《土力学》教程---6-土压力计算

土力学教程
（同济大学土木工程学院编制）
目录
土压力计算
学习指导
工程背景
土压力的分类与相互关系
静止土压力计算
朗肯土压力理论
库仑土压力理论
粘性土土坡的整体稳定分析
粘性土土坡稳定分析的条分法
本章小结
学习指导
学习目标
掌握土压力的基本概念与常用计算方法，初步具备将土压力理论应用于一般工程问题的能力。

学习要求
1．掌握静止土压力、主动土压力、被动土压力的形成条件；
2．掌握朗肯土压力理论；
3. 掌握库仑土压力理论；
4．了解有超载、成层土、有地下水情况的土压力计算；
5. 了解土压力计算在实际工程中存在的问题。

主要基础知识
地基土的自重应力计算、土的强度理论
一、工程背景
土建工程中许多构筑物如挡土墙、隧道和基坑围护结构等挡土结构起着支撑土体，保持土体稳定，使之不致坍塌的作用，而另一些构筑物如桥台等则受到土体的支撑，土体起着提供反力的作用，如图6-1所示。

在这些构筑物与土体的接触面处均存在侧向压力的作用，这种侧向压力就是土压力。

（a）边坡挡土墙（b）隧道
(c）基坑围护结构（d）桥台
图6-1 工程中的挡土墙
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二、土压力的分类与相互关系
1. 土压力的分类
作用在挡土结构上的土压力，按挡土结构的位移方向、大小及土体所处的三种极限平衡状态，可分为三种：静止土压力、主动土压力和被动土压力。

（1）静止土压力
如果挡土结构在土压力的作用下，其本身不发生变形和任何位移（移动或转动），土体处于弹性平衡状态，则这时作用在挡土结构上的土压力称为静止土压力，如图6-2(a)所示。

（2）主动土压力
挡土结构在土压力作用下向离开土体的方向位移，随着这种位移的增大，作用在挡土结构上的土压力将从静止土压力逐渐减小。

当土体达到主动极限平衡状态时，作用在挡土结构上的土压力称为主动土压力，如图6-2(b)所示。

（3）被动土压力
挡土结构在荷载作用下向土体方向位移，使土体达到被动极限平衡状态时的土压力称为被动土压力，如图6-2(c)所示。

2．三种土压力的相互关系
在实际工程中，大部分情况下的土压力值均介于上述三种极限状态下的土压力值之间。

土压力的大小及分布与作用在挡土结构上的土体性质、挡土结构本身的材料及挡土结构的位移有关，其中挡土结构的位移情况是影响土压力性质的关键因素。

图6-3表示了土压力与挡土结构位移之间的关系，由此可见产生被动土压力所需要的位移量大大超过产生主动土压力所需要的位移量。

(a)静止土压力(b)主动土压力
观看动画 (c)被动土压力
观看动画
图6-2 土压力分类
图6-3 土压力与挡土结构位移δ的关系
三、静止土压力计算
1．墙背竖直时的静止土压力计算
（1）土压力计算
静止土压力可根据半无限弹性体的应力状态进行计算。

在土体表面下任意深度z处取一微小单元体，其上作用着竖向自重应力和侧压力（如图6-4），这个侧压力的反作用力就是静止土压力。

根据半无限弹性体在无侧移的条件下侧压力与竖向应力之间的关系，该处的静止土压力强度p0可按下式计算：
（6-1）
式中K0为静止土压力系数，其值可用室内或原位试验确定；γ为土体重度，kN／m3。

（2）土压力分布
由式（6-1）可知，静止土压力沿挡土结构竖向为三角形分布，如图6-4所示。

如果取单位挡土结构长度，则作用在挡土结构上的静止土压力E0为：
（6-2）
式中h为挡土结构高度，m。

E0的作用点在距墙底h/3处。

图6-4 墙背竖直时的静止土压力
2．墙背倾斜时的静止土压力计算
对于挡土墙背倾斜的情况（如图6-5），作用在单位长度上的静止土压力可根据土楔体ABB′的静力平衡条件导出如下：
（6-3）
式中ε为墙背倾角，°。

而E0与水平方向的夹角α可由下式求得：
（6-4）
E0的作用点在距墙底
处。

h/3
图6-5 墙背倾斜时的静止土压力
四、朗肯土压力理论
1.基本假设与适用条件
朗肯土压力理论是朗肯(W.J.M.Rankine)于 1857年提出的。

它假定挡土墙背垂直、光滑，其后土体表面水平并无限延伸，这时土体内的任意水平面和墙的背面均为主平面（在这两个平面上的剪应力为零），作用在该平面上的法向应力即为主应力。

朗肯根据墙后主体处于极限平衡状态，应用极限平衡条件，推导出了主动土压力和被动土压力计算公式。

2. 朗肯主动土压力计算
（1）主动土压力计算方法
考察挡土墙后主体表面下深度z处的微小单元体的应力状态变化过程（可点击主动土压力的形成过程演示）。

当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力σz保持不变，而水平向应力σx逐渐减小，直至达到土体处于极限平衡状态。

土体处于极限平衡状态时的最大主应力为σ1=γz，而最小主应力σ3即为主动土压力强度p a。

根据土的极限平衡理论，可推导出主动土压力强度p a的计算公式如下：
无粘性土或（6-5）
粘性土
或（6-6）
式中K a为主动土压力系数
（2）主动土压力分布规律
与深度z成正比，沿墙高的土压力强度呈三角由朗肯主动土压力计算公式可知，无粘性土中主动土压力强度
p a
形分布（如图6-6）。

作用在单位长度挡墙上的土压力为三角形分布面积，即
（6－6）
土压力作用点在距墙底h/3 高度处。

粘性土中的土压力强度由两部分组成：一部分是由土体自重引起的土压力，另一部分是粘力c引起的负侧压力，两部分的叠加结果如图6-7所示，其中aed部分是负侧压力，对墙背是拉应力，但实际上土与墙背在很小的拉应力作用下即会分离，故在计算土压力时，这部分的压力应设为零，因此粘性土的土压力分布仅是abc部分。

令式（6-6）为零即可求得临界深度z0：
（6-8）单位长度挡墙上的主动土压力可由土压力实际分布面积计算（图6-8中abc部分的面积）。

主动土压力E0的作用点通过三角形的形心，即作用在离墙底高度处。

图6-6 无粘性土的p a分布图6-7粘性土的p a分布
朗肯主动土压力计算的具体方法可查阅例题6-1。

例题6-1
有一挡土墙高6 m，墙背竖直、光滑，墙后填土面水平，填土的物理力学指标为：c＝15 kPa,φ＝15°, ＝18 kN／m3。

求主动土压力及其作用点并绘出主动土压力分布图。

【解】（1）计算墙顶处的主动土压力强度p a1
（2）计算临界深度z0
（3）计算墙底处的主动土压力强度p a2
（4）绘出主动土压力的分布图如图6-9所示（5）计算主动土压力值
主动土压力值按分布面积计算如下：
（6）E a的作用点位置
主动土压力E a的作用点离墙底的距离为：
图6-9 土压力分布图
3．朗肯被动土压力
考察挡土墙后土体表面下深度z处的微小单元体的应力状态变化过程（请观看演示动画）。

当挡土墙在土压力的作用下向着土体方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力σz保持不变，而水平向应力σx逐渐增大，由小主应力变为大主应力，直至达到土体处于极限平衡状态。

土体处于极限平衡状态时的最小主应力为σ3=γz，而最大主应力σ1即为被动土压力强度p p。

与主动土压力推导过程相似，可推导出被动土压力强度p p的计算公式如下：
无粘性土
（6-9）
粘性土
公式推导
（6-10）
式中K p为被动土压力系数，其值为
由式（6-9）和式（6-10）可知，无粘性土的被动土压力强度呈三角形分布，粘性土中的被动土压力强度呈梯形分布，如图6-9所示。

作用在单位长度挡土墙上的土压力E p同样可由土压力实际分布面积计算，E p的作用线通过土压力强度分布图的形心。

图6-10 被动土压力分布
（a）无粘性土（b）粘性土
4．几种情况朗肯土压力的计算
（1）土体表面有均布荷载q作用
当墙后土体表面有连续均布荷载q作用时，均布荷载q在土中产生的上覆压力沿墙体方向矩形分布，分布强度为q，如图6-10。

土压力的计算方法是将上覆压力项γz换以γz＋q计算即可，如粘土的主动土压力强度p a为：
（6-11）
图6-10墙后土体表面超载q作用下的土压力计算
（2）成层土体中的土压力计算
一般情况下墙后土体均由几层不同性质的水平土层组成。

在计算各点的土压力时，可先计算其相应的自重应力，在土压力公式中项 z换以相应的自重应力即可，需注意的是土压力系数应采用各点对应土层的土压力系数值。

具体的计算方法可查阅例题6-2。

例题6-2
挡土墙高5 m，墙背直立、光滑，墙后土体表面水平，共分二层，各层土的物理力学指标如图6-11所示，求主动土压力并绘出土压力分布图。

【解】第一层的土压力强度
层顶面处：p a0=0
层底面处：
第二层的土压力强度
层顶面处：
层底面处：
主动土压力合力为
主动土压力分布图如图6-12所示。

图6-11 例题6-2
（3）墙后土体有地下水的土压力计算
当墙后土体中有地下水存在时，墙体除受到土压力的作用外，还将受到水压力的作用。

通常所说的土压力是指土粒有效应力形成的压力，其计算方法是地下水位以下部分采用土的有效重度计算，水压力按静水压力计算。

但在实际工程中计算墙体上的侧压力时，考虑到土质条件的影响，可分别采用“水土分算”或“水土合算”的计算方法。

所谓“水土分算”法是将土压力和水压力分别计算后再叠加的方法，这种方法比较适合渗透性大的砂土层情况；“水土合算”法在计算土压力时则将地下水位以下的土体重度取为饱和重度，水压力不再单独计算叠加，这种方法比较适合渗透性小的粘性土层情况。

五、库仑土压力理论
1．基本假设
库仑（C. A.Coulomb）1773年建立了库仑土压力理论，其基本假定为：
（1）挡土墙后土体为均匀各向同性无粘性土（c=0）；
（2）挡土墙后产生主动或被动土压力时墙后土体形成滑动土楔，其滑裂面为通过墙踵的平面；
（3）滑动土楔可视为刚体。

库仑土压力理论根据滑动土楔处于极限平衡状态时的静力平衡条件来求解主动土压力和被动土压力。

2．库仑主动土压力
（1）库仑主动土压力计算
如图6-12(a)所示，设挡土墙高为h，墙背俯斜，与垂线的夹角为ε，墙后土体为无粘性土（c=0），土体表面与水平线夹角为β，墙背与土体的摩擦角为δ。

挡土墙在土压力作用下将向远离主体的方向位移（平移或转动），最后土体处于极限平衡状态，墙后土体将形成一滑动土楔，其滑裂面为平面BC，滑裂面与水平面成θ角。

沿挡土墙长度方向取１m进行分析，并取滑动土楔ABC为隔离体，作用在滑动土楔上的力有土楔体的自重W，滑裂面BC上的反力R和墙背面对土楔的反力E（土体作用在墙背上的土压力与E大小相等方向相反）。

滑动土楔在W，R，E的作用下处于平衡状态，因此三力必形成一个封闭的力矢三角形，如图6-12（b）所示。

根据正弦定理并求出E的最大值即为墙背的库仑主动土压力：
公式推导（6-12）
式中K a为库仑主动土压力系数，其值为：
（6-13）
图6-12库仑主动土压力计算
(a)挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形
（2）库仑主动土压力分布
库仑主动土压力强度分布图为三角形，E a的作用方向与墙背法线逆时针成δ角，作用点在距墙底h/3处，如图6-13。

图6-13 库仑主动土压力分布
库仑主动土压力的具体计算与分布图形可查阅例题6-3。

例题6-3
挡土墙高5 m，墙背倾斜角ε=10º（俯角），填土坡角β＝20º，填土重度γ＝18 kN/m3，ϕ=30º，c=0，填土与墙背的摩擦角δ=(2/3)ϕ，按库仑土压力理论计算主动土压力及其作用点。

【解】 根据ε =10º,β＝20º,γ＝18 kN/m3,ϕ=30º,c=0和δ =(2/3)ϕ的条件，按式（6-12）可求得主动土压力系数K a=0.540。

由于主动土压力沿墙背垂直面为三角形分布，故主动土压力得合力为:
主动土压力作用点在离墙底h/3=5.0 m/3=1.67 m处。

3．库仑被动土压力
库仑被动土压力计算公式的推导与库仑主动土压力的方法相似，计算简图如图6-14，计算公式为：
（6－14）
式中K p为库仑被动土压力系数，其值为：
（6－15）库仑被动土压力强度分布图也为三角形，E p的作用方向与墙背法线顺时针成δ角，作用点在距墙底h/3处。

图6－15 库仑被动土压力计算
（a）挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形
特别提示
当墙背垂直（ε =0）、光滑（δ =0）、土体表面水平（β=0）时，库仑土压力计算公式与朗肯土压力公式一致。

库仑土压力理论是从无粘性土出发推导得到的，故不能直接用于计算粘性土中的土压力。

工程实践表面，墙后土体破坏时的滑动面只有主动状态下在墙背斜度不大且墙背与土体之间的摩擦角很小时才接近于平面，库仑公式的平面假设引起的误差在计算主动土压力时比较小，约为2％～10％；而在计算被动土压力时的误差较大，且误差随 δ角的增大而增大，有时可达2～3倍，故工程中计算被动土压力一般不使用库仑公式。

4．粘性土与成层土中的库仑土压力计算
（1）粘性土中的库仑土压力计算
在实际工程中，为了利用库仑公式计算粘性土中的土压力，通常采用等代内摩擦角ϕd来综合考虑c, ϕ值对土压力的影响，即适当增大内摩擦角来反映内聚力的影响，然后按砂性土的计算公式计算土压力。

等代内摩擦角ϕd一般根据经验确定，地下水位以上的粘性土可取ϕd＝30º～35º,地下水位以下的粘性土可取ϕd＝25º～30º。

也有如下的经验公式：
特别提示
上述经验公式计算出的等代内摩擦角ϕd并非定值，而与挡土墙的高度有关，这可能导致土压力计算值出现较大的误差，具体计算中应结合原位土层和挡土墙的具体情况，确定一个比较合理的ϕd值。

（2）成层土中的库仑土压力计算
对实际工程中的成层土地基，设挡土墙后各土层的重度、内摩擦角和土层厚度分别为γi,ϕi和h i，通常可将各土层的重度、内摩擦角按土层厚度进行加权平均，即
然后按均值土情况采用γm,ϕm值近似计算其库仑土压力值。

本章主要介绍了土压力的形成过程与土压力计算的朗肯理论和库仑理论。

  土压力是支挡结构和其他地下结构中普遍存在的受力形式。

土压力的大小与支挡结构位移有很大的依存关系，并由此形成了三种土压力：静止土压力、主动土压力和被动土压力。

静止土压力的计算方法由水平向自重应力计算公式演变而来，而朗肯土压力计算公式是由土的极限平衡条件推导得出，库仑土压力公式则是由滑动土楔的静力平衡条件推导获得的。

各种土压力公式都有其适用条件，在实际使用中对此应引起注意。

序号问题
参考解
答
1影响挡土墙上土压力的因素中那些最主要，强度指标与位移对土压力的影响效果如何？
2地下水位升降对土压力的影响如何？
3对朗肯土压力理论和库仑土压力理论进行比较和评价。