每日一题第三季

每日一题第三季
题目来自四面八方，多数改自高考 题以及初赛题。 部分解析来自意琦行。
前言
一段时间过去之后，我决定开始写每日一题第 三季。前面两季也算圆满结束了。我们有过自 编，有过改编，有过评选，也有许多新的形式， 自己也编过贺岁题。无论怎样，在很长一段时 间内，我是不会放弃每日一题的。
一、瘦死的骆驼没马大
注 和含根式的函数往往可以 利用判别式法求值域一样，含 三角函数的根式函数也可以将 函数看作是方程，通过求解使 得方程由定义域上的解的y的 范围去获得函数的值域．
这里用了等式两边同 乘一个式子
五、概率论教你说谎：直觉思维的科学解释
昨夜，M同学牵着女朋友的手走出宿舍楼，整夜没有回来；直到今天早晨，大家才见他支着腰回到寝室，样子十分疲惫。我们几个好友似乎已经心领神 会，于是一行人走上前去，带着淫邪的笑容拷问他：昨晚干啥了，那么疲惫？本以为M同学会支支吾吾答不上话来，殊不知他义正严词地答道：我和女 朋友去看通宵电影去了。几个人不服气，问他，那电影票呢？谁知他说了一句“忘了放哪儿了”后，还真煞有其事地在包里翻来翻去。一群人大笑着说， 唉呀，你就别装了吧。两分钟后，我们全都傻了眼——M同学还真摸出两张电影票。一哥们儿猛地拍了一下M同学的肩膀说，唉呀，为了骗过我们真是 煞费苦心啊，居然到影院门口找散场观众买了两张票根！ 笑过之后，我突然开始想，假如M同学为了掩饰自己的恶劣行径，真的准备好了伪证的话，他的演技可不是一般的高明。试着想象以下两个画面： 1. 几个人不服气，问他，那电影票呢？M同学不急不慢地从口袋里掏出两张电影票说，在这儿呢。 2. 几个人不服气，问他，那电影票呢？M同学假装到处寻找电影票，过了两分钟才翻出来。 显然，第二种做法更令人相信，他真的跑去看通宵电影去了。事实上，M同学还能做得更好： 3. 几个人不服气，问他，那电影票呢？M同学条件反射式地说，电影票早就扔了。我们继续追问，不会吧，跟女朋友的电影票就这样扔了，不是你的作 风啊。M同学继续狡辩，电影票真没了，是不小心被搞丢的……半个小时后，M同学终于（装作）妥协了，说，那你们看了电影票不要笑我哦。于是， 他（假装）不好意思地交出电影票。我们接过来一看，然后指着他大笑：你居然和女朋友一起去看见过大爷？！还是爱国电影通宵连映？！ 这个效果绝对一流，估计我们几乎百分之百地会相信他是真的去看电影去了。事实上，很多电影和小说中也有类似的情节，比如《达芬奇密码》中爵士 以隐私权为由拒绝警方进入飞机搜查，而事实上警方强行进入后却发现飞机里根本没有别人。爵士事先让大伙儿撤离飞机，并在警方要求搜查飞机时故 意造成飞机里还有别人的假象，这样为什么就会让人更加相信爵士反而没有隐瞒什么呢？有趣的是，从概率论的角度来说，这个直觉思维有一个很具有 启发性的科学解释。在概率论中，在知道事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率就记作P(A|B)，它应该等于P(A∩B)/P(B)。例如，投掷一颗骰子， 如果已经知道它的点数不超过3，那么这个点数是奇数的概率就应该等于2/6除以3/6，即2/3。而上述公式中的P(A∩B)又可以等于P(B|A)· P(A)，因此我 们得到公式P(A|B) = P(B|A)· P(A)/P(B)。这个公式叫做Bayes定理，它的直观意义就是，当你获知了一个新的信息后，你对原事件的看法有什么改变。 若令事件A等于“M同学去开房”，事件B等于“M同学有电影票”，让我们来看看公式中的各个概率的意义： P(A)：M同学昨晚去开房了的概率 P(B)：M同学手中有电影票的概率 P(A|B)：M同学手中的电影票被发现后，他昨晚去开房了的概率 P(B|A)：如果昨晚M同学真的去开房了，他手中会有电影票的概率 其中P(A|B)就是当事人提供了新的证据之后人们对原事件发生概率的看法。利用Bayes定理P(A|B) = P(B|A)· P(A)/P(B)，我们发现，P(A|B)与P(A)和 P(B|A)成正比，与P(B)成反比。因此，为了让人们相信事件A没有发生，作为伪证的事件B一定要具有这样的性质：它本来很可能发生，但伴随着事件A 一起发生就很不可思议了。通宵电影票就具有这样的性质：有一张通宵电影票根并不罕见，罕见的就是昨晚开了房之后还有一张通宵电影票。为了充分 利用这个伪证，让P(A|B)变得更低，我们可以从以下三个角度入手： 减小P(B|A)：不要轻易拿出证据（前文所说的策略）。故意做出没法给出证据的样子，让人越来越坚信在事件A发生后还能给出证据B的概率有多么小。 增加P(B)：平时做好铺垫工作。长期保存电影票根，经常提起自己保留纪念物的喜好，让人们相信证据本身的存在并不是什么怪事。 减小P(A)：不要长得那么猥琐。努力提高自己在别人心目中的人品。去整形医院改头换面，让自己的面容端庄善良、和蔼可亲，不致于让人一看见你就 说你怎么看上去那么淫荡是不是昨晚又没干好事。
六、“奔驰定理”
好吧其实这个定理的名字可能不是什么公 认的名字。但是我们不得不承认，这个定 理把几何问题转化为向量的能力是非常强 的。它可以称得上是平面向量中最优美的 一个结论，并且这个结论对于利用平面向 量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角 形的五心相关的问题，有着决定性的基石 作用。
ps:由于这个定 理和奔驰的 logo很相似， 我们把它称为 奔驰定理．
这里附上一道习题。它也可以体现“奔驰定理”的威力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2013年高考辽宁卷文科数学第12题（选择压轴题）、理科数学第11题：
二、共线的向量表达
三、不动如山，动若雷震
正确答案是【1，3】． 分析 易知△ABC为正三角形，接下来有两条风格迥异的思路可以解决问题．
四、函数与方程
前言：看到这个标题，你们是否感到很亲切 呢。这个题目一改之前的文艺范，显得很老 土。然而，我们今天讲的这个函数与方程， 是一个很实用的能力提升类的题。看完这个 后，相信大家对三角函数的运用会更加娴熟。 题目：