8.1 平面及空间两直线的位置关系

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空间直线与平面的位置关系

空间直线与平面的位置关系空间中的直线和平面是几何学中常见的基本元素，它们之间的位置关系常常是我们在解决几何问题时要考虑的重点。

本文将讨论空间中直线与平面的不同位置关系，并探讨它们之间的几何性质及应用。

一、直线与平面的位置关系在空间中，一条直线与一个平面可以有三种不同的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

1. 直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称该直线在平面内。

在这种情况下，直线上的任何一点都在平面内部，而且直线与平面的相交点也在直线上。

此时，直线与平面之间有无数个交点，且这些交点都在平面内。

2. 直线与平面相交当一条直线与一个平面有且仅有一个交点时，我们称该直线与平面相交。

在这种情况下，直线既不完全位于平面内，也不与平面平行。

通过这个交点，直线与平面都可以确定。

3. 直线与平面平行当一条直线与一个平面没有交点时，我们称该直线与平面平行。

在这种情况下，直线与平面的方向相同或者相反，但它们之间没有交点。

此时，直线与平面之间的距离是恒定的，且在空间中可以找到无数个与给定直线平行的直线。

二、直线与平面位置关系的性质及应用直线与平面的位置关系具有以下性质及应用：1. 垂直关系当一条直线与平面相交，且与平面的每一条边都垂直时，我们称该直线与平面垂直。

在这种情况下，直线与平面的交点将位于平面的正中央，呈90度的角度与平面相交。

该性质在解决垂直投影、测量角度等问题时经常被使用。

2. 平行关系如果两条直线都与同一个平面平行，那么这两条直线之间也是平行的。

这个性质在解决平行线测量、平面切割等问题时常常被应用。

3. 夹角关系当一条直线与两个平面相交时，它与每个平面的夹角是独立的。

这个性质在解决求解角度、判断两个平面之间的关系等问题时有重要的应用。

4. 平面切割直线可以被平面切割为两个或多个部分。

根据切割条件的不同，我们可以得到不同的几何图形。

例如，当一个平面与一条直线相交时，会形成两个有限长的线段或线段与射线的组合。

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系几何学中，直线与平面的位置关系是一个基础且重要的概念。

直线和平面是空间中最基本的几何元素，它们之间的位置关系不仅仅涉及到它们的交点、平行与垂直等简单的关系，还包括它们的夹角、距离以及相交情况等更加复杂的问题。

在本文中，我们将探讨直线与平面的不同位置关系及其几何性质。

1. 直线与平面的交点当一条直线与一个平面相交时，它们会在空间中有一个唯一的交点。

这个交点是直线与平面上所有点的共同点，也是平面上与直线最近或最远的点。

直线和平面的交点常常用坐标的形式来表示，比如(x, y, z)。

交点的坐标可以通过解直线和平面的方程组来求得，一般来说，代入直线的参数方程或者平面的一般方程，可以方便地计算出坐标值。

2. 直线与平面的平行关系当一条直线与一个平面平行时，它们永远不会相交。

这种关系可以用向量的角度来描述。

具体而言，如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则可以判定直线与平面平行。

在空间解析几何中，通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来确定它们的平行关系。

若点积为零，则表明直线与平面平行。

3. 直线与平面的垂直关系当一条直线与一个平面垂直时，它们之间的夹角为90度。

垂直关系也与向量的角度有关，当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，可以认定直线与平面垂直。

同样地，在解析几何中，可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来判定它们的垂直关系。

若点积的结果为零，则两者垂直。

4. 直线与平面的夹角直线和平面的夹角是指直线上的一条边与平面上的一条边之间的夹角。

夹角可以分为锐角、直角和钝角三种情况。

当夹角为锐角时，说明直线与平面的位置关系比较近；当夹角为直角时，直线与平面垂直；当夹角为钝角时，直线和平面的位置关系相对远离。

在计算夹角时，可以利用向量的点积公式来求得两者之间的夹角大小。

总结起来，直线与平面的位置关系涉及到交点、平行、垂直和夹角等几个重要概念。

根据具体的问题，我们可以使用不同的几何方法来确定它们之间的关系。

解析几何中两条直线的位置关系

解析几何中两条直线的位置关系几何是一门独特的学科，它以空间形体的性质加以分析和研究。

在几何学的研究中，解析几何是一种十分重要的数学方法。

解析几何的基础内容包括坐标系、点、直线、平面等，它是高中数学必修课程中的重要章节。

而两条直线的位置关系就是解析几何中的一项主要内容，它涉及到两条直线在平面上的交点、平行、垂直等关系。

下面我们将结合一些实例，从不同角度来解析几何中两条直线的位置关系。

一、平行的直线两条直线如果在平面上没有交点，那么我们就称它们是平行的。

在解析几何中，判断两条直线是否平行的方法是通过它们的斜率来决定的。

斜率是直线上两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，我们用 k1 和 k2 来表示两条直线的斜率。

如果 k1 = k2，那么这两条直线是平行的，它们在平面上永远不会相交。

例如，对于直线 y = 2x + 1 和 y = 2x + 2，我们可以求出它们的斜率分别为 2，因此它们是平行的。

二、垂直的直线两条直线在平面上相交，并且它们的交点与坐标轴构成的角度为 90 度，那么我们就称它们是垂直的。

在解析几何中，判断两条直线是否垂直的方法是通过它们的斜率的互为倒数来决定的。

斜率的倒数是指直线上两个点横坐标之差与纵坐标之差的比值，用k1 和 k2 来表示两条直线的斜率。

如果 k1 × k2 = -1，那么这两条直线是垂直的。

例如，对于直线 y = -0.5x + 4 和 y = 2x - 1，我们可以求出它们的斜率分别为 -0.5 和 2，因此它们不垂直。

如果我们对第一条直线求出它的斜率的倒数为 -2，再对第二条直线求出它的斜率的倒数为 -0.5，就能得出它们是垂直的。

三、相交的直线如果两条直线在平面上相交，那么我们就需要考虑它们的交点和交角。

直线交点是直线在平面上的交点，我们用 (x0, y0) 来表示直线的交点坐标。

交角是指两条直线在交点处所夹的角度，它的度数可以通过反正切函数求出。

空间点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识要点：1.平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2.空间中直线与直线之间的位置关系：空间两条直线的位置关系有且只有三种：如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

3.空间中直线与平面之间的位置关系：（1）直线在平面内……有无数个公共点；（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行……没有公共点。

其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

注意，我们不提倡如下画法．4.平面与平面之间的位置关系：（1）两个平面平行……没有公共点；（2）两个平面相交……有一条公共直线。

二、例题讲解：例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．解：图1可以用几何符号表示为：即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．图2可以用几何符号表示为：，△ABC的三个顶点满足条件即：平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上．例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图．解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图．点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习．（2）与本题类似的其它变形还有：用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形．例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）DD1和A1B1的位置关系如何？D1B和AC的位置关系如何？A1C和D1B的位置关系如何？（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？（4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。

空间中直线与平面的位置关系

空间中直线与平面的位置关系在几何学中，空间中直线与平面的位置关系是一种重要的研究内容。

直线和平面是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系对于解决实际问题、推导定理以及解决几何题目都具有重要的作用。

本文将详细探讨空间中直线与平面之间的位置关系及其相关性质。

一、直线与平面的关系在空间几何中，直线和平面是两种不同维度的图形。

直线是一维的，即由无数个点沿着同一方向无限延伸而成，而平面是二维的，由无数条平行的直线组成。

直线和平面之间存在着多种位置关系。

1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，它们必定交于一点或者一条直线。

这是空间几何中最基本的关系之一。

根据交点的个数，我们可以将直线与平面的相交分为以下几种情况：（1）当直线与平面相交于且只有一个点时，称为直线与平面相交于一点的情况；（2）当直线与平面相交于无数个点时，称为直线与平面相交于多点的情况；（3）当直线与平面重合时，称为直线与平面相交于一条直线的情况。

2. 直线在平面上直线在平面上的意思是，直线上的所有点都在平面上。

当直线与平面重合时，我们可以称直线在平面上。

在这种情况下，直线与平面的位置关系是一致的。

3. 直线平行于平面当直线的方向与平面平行时，我们称直线平行于平面。

这种情况下，直线与平面没有交点，并且它们始终保持平行关系。

二、直线与平面的性质1. 垂直关系当一条直线与平面上的所有直线都垂直时，我们称这条直线垂直于该平面。

垂直关系是直线与平面之间重要的性质之一。

根据垂直关系，我们可以得出以下结论：（1）垂直于同一平面的两条直线相互平行；（2）直线垂直于平面的任意一条直线，则直线必与该平面垂直；（3）两个平面如果相交，那么它们的公共直线与两个平面垂直。

2. 倾斜关系当直线与平面不平行也不垂直时，我们称直线与平面之间存在倾斜关系。

倾斜关系是一种介于垂直关系与平行关系之间的位置关系。

三、直线与平面的应用直线与平面的位置关系在几何学中有广泛的应用。

空间直线和平面的位置关系ppt课件

a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离：设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面内所有直线平行; D. 直线 m 与平面没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法（1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都垂直，那么直线l与平面垂直.

平面的基本性质与空间两条直线的位置关系 2019年高考复习

第八章立体几何第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系[最新考纲]1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角．②范围：(0°，90°]．3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( )(2)两两相交的三条直线可以确定一个平面．( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)如图39-1所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为____________．图39-160° [连结B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角，又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.]3．下列命题正确的有____________．(填序号)①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．①③[①③正确，②④错误．②中两直线的位置关系可能平行、相交或异面；④中若三个点不共线，则两平面重合．]4．(2016·山东高考改编)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的____________条件．充分不必要条件[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．]5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．[答案]b与α相交或b⊂α或b∥αAB和AA1的中如图点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．图39-2[证明](1)如图，连结EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．[变式训练1]如图39-3所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．图39-3(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？【导学号：62172214】[解](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊12AF，G为F A的中点知BE綊GF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.1212β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是____________．(填序号)①l与l1，l2都不相交；②l与l1，l2都相交；③l至多与l1，l2中的一条相交；④l至少与l1，l2中的一条相交．(2)(2017·郑州模拟)在图39-4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④图39-4(1)④(2)②④[(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．][规律方法] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练2]a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为____________．(填序号)①④[对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．](1)如图39-5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为____________．图39-5(2)(2016·全国卷Ⅰ改编)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为____________．(1)45(2)32[(1)连结BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连结A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝4 5.(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.][规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练3]如图39-6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________. 【导学号：62172215】图39-62[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.][思想与方法]1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．[易错与防范]1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．课时分层训练(三十九)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．在下列命题中，不是公理的是()①平行于同一个平面的两个平面相互平行；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．①[①不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；②③④是平面的基本性质公理．]2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为____________．1[法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]3．(2016·南京模拟)下列命题中正确的是____________．(填序号)①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②三个平面两两相交的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可能只有一个交点．①[由公理3的推论1可知①正确；其余均错误．]4．已知α，β为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推理错误的是____________．(填序号)①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A.③[由公理1及公理2可知①②正确，③错误．]5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A1A，C1C的中点．若∠BFC＝60°，则∠ED1D＝____________.【导学号：62172216】60°[∵BF∥D1E，DD1∥CF，∴由等角定理可知∠BFC＝∠ED1D＝60°.]6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为____________．35[连结DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ，∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 22·52a ·52a＝35.]7.如图39-7所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：图39-7①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) ③④ [由题图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.]8.如图39-8所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．图39-860° [取A1C 1 的中点E ，连结B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求，设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，AE ＝32，故∠AB 1E ＝60°.]9．如图39-9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.【导学号：62172217】图39-94 [取CD 的中点为G (图略)，由题意知平面EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF 在平面内，所以直线EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]10.如图39-10是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，图39-10①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是____________．②③④[把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.]二、解答题11.如图39-11，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD 于点H.图39-11(1)求AH∶HD；(2)求证：EH，FG，BD三线共点．[解](1)∵AEEB＝CFFB＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴AHHD＝CGGD＝3.∴AH∶HD＝3∶1.(2)证明：∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，又P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．12.如图39-12，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形. 【导学号：62172218】图39-12的中点，连结EQ，QC1，如图．因证明：设Q是DD为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形．B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是____________．①若AC与BD共面，则AD与BC共面；②若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；③若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC；④若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC.③[①中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；②中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC 是异面直线；③中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；④中，若AB ＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.]2.如图39-13，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．图39-1336 [取DE 的中点H ，连结HF ，GH . 由题设，HF 綊12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝2， GF ＝GH ＝6，∴cos ∠GFH ＝(2)2＋(6)2－(6)22×2×6＝36.]3．空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．图39-14[解] 如图，取AC 的中点G ，连结EG ，FG ，则EG 綊12AB ，FG 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD ＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面．(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线．[证明](1)∵E，F分别为D1C1，C1B1的中点，∴连结D1B1(图略)，易知EF∥D1B1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面．即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β，因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又因为Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又因为A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．第三节基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7 B.8 C ．9D.10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：01772209】A ．1＋ 2 B.1＋ 3 C ．3D.4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2 C ．2 2D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10 B.9 C ．8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，3分 ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).5分 (2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).12分法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.12分 [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.【导学号：01772210】[证明] 由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，3分当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，8分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.12分制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].2分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).5分 (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10，当且仅当130×18x＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立.8分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分。

直线与平面的位置关系判断

直线与平面的位置关系判断直线与平面的位置关系是几何学中重要的内容之一，通过判断直线与平面的位置关系可以帮助我们解决许多实际问题。

在本文中，我们将介绍判断直线与平面的位置关系的方法和几个实际应用案例。

一、直线在平面上的位置关系判断直线与平面的位置关系判断可以分为三种情况：直线与平面相交、直线在平面上、直线与平面平行。

1. 直线与平面相交当直线与平面有一个或多个交点时，我们可以判断直线与平面相交。

相交的情况下，可以进一步判断直线与平面的交点数目。

2. 直线在平面上当直线的每一个点都在平面上时，我们可以判断直线在平面上。

直线在平面上的情况下，可以进一步判断直线与平面的位置关系。

3. 直线与平面平行当直线上的所有点都不在平面上，并且直线与平面的方向向量垂直时，我们可以判断直线与平面平行。

直线与平面平行的情况下，可以进一步判断直线与平面之间的距离。

二、直线与平面位置关系判断的应用直线与平面的位置关系判断在实际应用中有许多重要的应用。

以下是几个典型的应用案例。

1. 三维图形的绘制在三维图形的绘制中，判断直线与平面的位置关系可以帮助我们确定直线的投影位置，从而绘制出更加准确的三维图形。

2. 汽车设计与航空设计汽车设计与航空设计中，直线与平面的位置关系判断可以帮助工程师确定车身与机翼的位置关系，从而优化车辆的气动性能和安全性能。

3. 建筑设计与土木工程在建筑设计与土木工程中，直线与平面的位置关系判断可以帮助建筑师和工程师确定建筑物与地面的位置关系，从而确保建筑物的稳定性和安全性。

4. 光学设计在光学设计中，直线与平面的位置关系判断可以帮助光学工程师确定光线的传输路径，从而设计出更加高效和精确的光学系统。

总结：直线与平面的位置关系判断是几何学中的重要内容，通过合理的判断可以帮助我们解决许多实际问题。

在本文中，我们介绍了直线与平面相交、直线在平面上以及直线与平面平行的判断方法，并且给出了几个应用案例。

直线与平面的位置关系判断在各个领域都有重要的应用，希望本文能为读者提供一些帮助。

空间几何中的平面与直线的位置关系

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平面在空间中占据一个位置，并具有方向和大小。
平面是一个无限延展、没有厚度的几何对象。
平面可以通过点或向量来定义，也可以通过其他几何对象来描述。
平面是几何学中最基本的对象之一，是研究空间几何的基础。
平面与直线相交的定义平面与直线相交的性质平面与直线相交的判定方法平面与直线相交的作图方法
定义：平面与直线在空间中平行，即它们
不相交
判定方法：利用平行线的性质和判定定理
进行判断
性质：平行线之间的距离是固定的，与平面和直线的方
向无关
应用：在几何学、物理学和工程学等领域
有广泛应用
几何表示法：用平行四边形表示平面
代数表示法：用向量表示平面
点法式表示法：用点法式方程表示平面
一般式表示法：用一般式方程表示平面
平面是一个无限延展、没有边界的二维空间。平面内的任意两点可以确定一条直线，且任意三点可以确定一个平面。平面具有传递性，即平面上任意两直线段都平行或相交于一点。平面具有垂直性，即平面上任意一条直线都可以与另一条直线垂直。
平面与直线在空间中相交的性质和特点
平面几何中，平行直线永不相交
平面内，直线与平面平行，则直线与平面内任一直线平行
平面内，直线与平面平行，则直线与平面内任一直线平行
平面内，直线与平面平行，则直线与平面内任一直线平行
平面与直线垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线是无限长的，没有起点
和终点
直线是连续不断的，可以用任何两点间的最短路径来表

平面的性质、空间两条直线的位置关系

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探究提高
判断两条直线是异面直线的方法： 1．利用反证法：反证——归谬——结论，这样的模式进行．利
用定义来处理； 2．利用书本上异面直线的判定：平面内一点与平面外一点的连
线和平面内不过该点的直线是异面直线．
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变式训练 2
下列四个命题： ①若直线 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，则 a、c 是异面直线； ②若直线 a、b 相交，b、c 相交，则 a、c 相交； ③若 a∥b，则 a、b 与 c 所成的角相等； ④若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c. 其中真命题的个数是________．
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探究提高
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． (1)证明三线共点的依据是公理 2. (2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题化归到证明点在直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以化归为点在直线上的问题来处理．
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变式训练 1
忆一忆知识要点
1．平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理 3：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
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忆一忆知识要点
2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类共面直线平相行交
异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做异面直线 a，b 所成的角． ②范围：0，π2.
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高一下册数学期中复习知识点：空间两直线的位置关系

高一下册数学期中复习知识点：空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

空间几何中的直线与直线的位置关系

空间几何中的直线与直线的位置关系在空间几何中，直线与直线的位置关系是一个重要的研究内容。

直线是一个无限延伸的几何对象，它具有无宽度和无厚度的特点。

直线的位置关系可以通过它们之间的相互作用和相对位置来描述和分析。

本文将从不同角度探讨直线与直线之间的位置关系，并介绍几种常见的位置关系。

1. 平行关系平行是直线与直线最常见的一种位置关系。

当两条直线在同一个平面内，且永远不相交，我们可以称它们为平行直线。

平行直线有如下几个特点：- 两条平行直线的斜率相等。

斜率是指直线的倾斜程度，斜率相等意味着两条直线的斜率相同。

- 两条平行直线在任意位置上的距离是相等的。

这是平行直线的定义之一，即两条直线始终保持同一距离，不会相交。

2. 相交关系相交是直线与直线另一种常见的位置关系。

当两条直线在同一个平面内，且交于一点时，我们可以称它们为相交直线。

相交直线有如下几个特点：- 两条相交直线的斜率不相等。

因为相交直线在交点处会有一个共同的斜率值，并在交点处相遇。

- 两条相交直线将平面分为四个不同的部分，分别是两个内部部分和两个外部部分。

3. 相交关系的特殊情况除了一般的相交关系，我们还可以遇到特殊情况，如垂直关系和重合关系。

- 垂直关系当两条直线相交时，如果它们的交角为直角（即90度），我们称这两条直线为垂直直线。

垂直直线有如下几个特点：- 两条垂直直线的斜率乘积为-1。

即斜率为m1和m2的两条直线互相垂直时，它们的斜率满足方程m1 * m2 = -1。

- 两条垂直直线之间没有任何角度的夹角，因为它们的交角为90度。

- 重合关系当两条直线完全重合时，它们被称为重合直线。

在空间几何中，重合直线具有相同的位置和方向。

通过以上介绍，我们可以看出，在空间几何中，直线与直线之间的位置关系主要有平行关系、相交关系以及相交关系的特殊情况（垂直关系和重合关系）。

了解这些关系有助于我们理解和应用空间几何中的相关概念和定理。

总结起来，直线与直线的位置关系在空间几何中具有很高的实用性和重要性。

空间几何中的平面与直线位置关系

空间几何中的平面与直线位置关系在我们的日常生活和学习中，空间几何的知识无处不在。

其中，平面与直线的位置关系是一个基础且重要的概念。

让我们一起来深入探讨一下这一有趣的话题。

想象一下，我们身处一个三维的空间里。

平面就像是一块无限延展的平坦“地板”，而直线则如同笔直的“箭”。

它们之间的位置关系多种多样，大致可以分为三种：平行、相交和直线在平面内。

当直线与平面平行时，就好像是一条笔直的铁轨与一片广阔的平原，铁轨始终与平原没有交点，保持着一定的距离，相互不干扰。

这种平行关系具有一些独特的性质。

比如，如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意一个平面与已知平面的交线都与这条直线平行。

这就好比是在不同的“世界”中，却有着相似的“轨迹”。

相交的情况则更加常见和直观。

比如，一根直立的旗杆插在地面上，旗杆就代表直线，地面就是平面，它们相交于一点。

在空间几何中，如果一条直线与一个平面相交，那么它们只有一个交点。

而且，这个交点与平面内不过该交点的直线所成的角，被称为线面角。

还有一种特殊的情况，那就是直线在平面内。

这时候，直线就像是平面这个“大家庭”中的一员，完全融入其中，没有任何突出或特殊的地方。

这种关系在解决一些几何问题时，往往容易被忽略，但却是不能被遗忘的重要存在。

为了更好地理解和判断平面与直线的位置关系，我们常常会运用一些方法和定理。

比如，通过直线的方向向量和平面的法向量来判断平行关系。

如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么直线就与平面平行。

而判断相交关系时，则可以通过联立直线和平面的方程，看是否有解来确定。

在实际应用中，平面与直线的位置关系有着广泛的用途。

在建筑设计中，工程师们需要精确地确定梁、柱等结构元素与墙面、地面等平面的位置关系，以确保建筑物的稳定性和安全性。

在机械制造中，零件的设计和装配也离不开对平面与直线位置关系的准确把握。

再比如，在计算机图形学中，为了绘制出逼真的三维图像，程序需要根据平面与直线的位置关系来计算光线的反射和折射，从而呈现出物体的真实质感和光影效果。

空间直线与平面平面与平面之间的位置关系课件

它通过将几何问题转化为代数问题，利用代数工具进行求解，再
将其结果转换回几何意义。
解析法的基础是坐标系和坐标轴的设置，通过坐标表示点、线、
面的位置和关系。
解析法的应用实例
1 2
确定点在空间中的位置
通过设定三维坐标系，将点的坐标表示为(x, y, z) ，进而确定其在空间中的位置。
计算两点之间的距离
缺点
解析法需要设定坐标系和坐标轴，对于某些不规则或抽象的几何形状可能难以应用。此外，解析法在处理复杂的几何问题时可能较为繁琐，需要较高的数学技巧和计算能力。
05
CATALOGUE
空间几何问题几何法解析
几何法的基本概念
01
几何法是一种通过图形和空间想象来解析问题的方法，它利用点、线、面等几何元素之间的关系来解决问题。
详细描述
直线与平面平行意味着直线不在平面内，并且直线与平面没有交点。在几何学中，这表示为直线与平面平行或线面平行。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有且仅有一个公共点时，直线与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线与平面有一个共同的点，即交点。除了交点之外，直线与平面上其他点不重合。
几何法的优缺点分析
优点
几何法直观易懂，可以通过图形和空间想象来帮助理解问题，对于一些直观的问题，几何法可以快速找到解决方案。
缺点
对于一些复杂的问题，几何法可能会比较繁琐，需要花费较多的时间和精力，而且有时候难以找到合适的几何元素和关系来解决。
THANKS
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03
CATALOGUE
空间几何定理及其应用
直线与平面的定理
直线与平面平行
如果一条直线与平面内无数条直线平行，则这条直线与该平面平

空间几何中的平面与直线位置关系

空间几何中的平面与直线位置关系在我们的日常生活中，空间几何的概念无处不在。

从建筑的设计到家具的摆放，从道路的规划到地图的绘制，都离不开对空间几何的理解和运用。

而在空间几何中，平面与直线的位置关系是一个非常基础且重要的概念。

首先，让我们来了解一下什么是平面和直线。

在空间几何中，平面是一个无限延展的、平坦的表面，它没有厚度，并且可以向各个方向无限延伸。

而直线则是一个可以向两端无限延伸的、笔直的线。

平面与直线的位置关系主要有三种：平行、相交和直线在平面内。

当直线与平面没有公共点时，我们称直线与平面平行。

想象一下，一面巨大的墙壁代表一个平面，而一根笔直的铅笔在空中与这面墙没有任何接触点，那么这根铅笔所在的直线就与墙壁所在的平面平行。

这种平行关系在建筑设计中常常被运用，比如高楼大厦中的一排排平行的窗户，或者是工厂厂房中平行排列的钢梁。

直线与平面相交，意味着直线与平面有且仅有一个公共点。

比如，一根垂直立在地面上的旗杆，旗杆所在的直线与地面所在的平面就相交于旗杆底部的那一个点。

在实际生活中，我们常见的电线杆与地面的位置关系就是相交。

还有一种情况是直线在平面内。

这就好比在一张纸上画一条直线，这条直线自然就在纸张所代表的平面内。

这种情况在几何问题中也经常出现，需要我们加以区分和判断。

要判断直线与平面的位置关系，我们通常会运用一些几何定理和方法。

比如，如果一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就与这个平面平行。

又或者，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直。

在解决空间几何问题时，我们常常需要通过构建空间直角坐标系来进行计算和分析。

通过坐标的表示，可以将直线和平面的方程明确地写出来，从而更加清晰地判断它们之间的位置关系。

平面与直线的位置关系在工程设计、物理学等领域都有着广泛的应用。

在工程设计中，比如桥梁的设计，需要确保桥梁的钢梁与支撑面之间的位置关系符合力学原理，以保证桥梁的稳定性和安全性。

高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系

高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的基本公式，熟练运用，才能解考试过程中的各种题型。

直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内有无数个公共点
②直线和平面相交有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a
叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行没有公共点
直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

空间几何直线与平面的位置关系

空间几何直线与平面的位置关系空间几何中，直线和平面是两个基本要素，它们之间存在着丰富的位置关系。

本文将就直线与平面的位置关系展开探讨，包括直线在平面上、直线与平面的交点、直线与平面的平行与垂直等方面。

一、直线在平面上直线可以与平面有三种不同的位置关系：直线在平面之内、直线在平面之上以及直线与平面相交。

1. 直线在平面之内直线在平面之内指的是直线的所有点都在平面上。

当直线与平面没有交点时，可认为直线在平面之内，如图1所示。

2. 直线在平面之上直线在平面之上指的是直线与平面不相交，也就是直线的所有点都在平面的同一侧。

当直线与平面平行时，可认为直线在平面之上，如图2所示。

3. 直线与平面相交直线与平面相交通常存在交点，交点可以是唯一的也可以是无穷多个。

当直线与平面仅有一个交点时，可认为直线与平面相交，如图3所示。

二、直线与平面的交点当直线与平面相交时，交点的性质也具有一定的规律和特点。

1. 交角直线与平面相交时，与平面相切的直线与平面的夹角被称为交角。

交角的大小受到直线与平面的位置关系的影响。

当直线在平面之上时，所对应的交角为锐角；当直线在平面之内时，所对应的交角为钝角，如图4所示。

2. 交点的个数直线与平面的位置关系决定了交点的个数。

当直线与平面平行时，直线与平面没有交点；当直线与平面有且只有一个交点时，直线穿过平面。

若直线与平面有无穷多个交点，则直线包含于平面中，如图5所示。

三、直线与平面的平行与垂直关系直线与平面之间的平行和垂直关系是空间几何中常见的情况。

1. 直线与平面的平行关系直线与平面平行指的是直线与平面没有任何交点，并且它们的方向也相同或者完全相反。

当两条直线都与同一个平面平行时，这两条直线也可以认为是平行的。

平行关系是指直线与平面之间的一种基本的位置关系，具有重要的数学应用价值。

2. 直线与平面的垂直关系直线与平面垂直指的是直线与平面之间的夹角为90度。

当直线与平面的方向垂直时，可以说直线与平面垂直。

直线平面之间的位置关系知识点总结_高三数学知识点总结

直线平面之间的位置关系知识点总结_高三数学知识点总结直线平面之间的位置关系是高等数学中的一个重要知识点，在解决空间几何问题时经常会用到。

在高三数学中，学生需要对这一知识点有深刻的理解和掌握，下面就来总结一下关于直线平面之间的位置关系的知识点。

一、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的位置关系一般有以下几种情况：(1) 直线与平面相交；(2) 直线在平面内；(3) 直线与平面平行；(4) 直线与平面垂直。

2. 直线与平面相交的性质：(1) 相交直线在平面内部延长出的部分与平面外部所围成的锐角和钝角相等；(2) 相交直线在平面内部延长出所成的补角相等；(3) 相交直线在平面内部延长出的部分与平面外部所成的对顶角互补；(4) 相交直线在平面上的投影在平面内外部的对应点上。

3. 直线在平面内的性质：(1) 直线在平面内始终保持在平面内，不会穿过平面；(2) 直线在平面内的投影始终在平面内。

4. 直线与平面平行的性质：(1) 直线与平面平行，则直线上的任意一点到平面的距离都相等；(2) 平行线上的任意一点到平面的距离都相等，且等于平行线上任意一点到平面的距离；(3) 平行线上任意一点到平面的垂线相互平行。

1. 根据直线与平面的位置关系求解空间几何问题在解决空间几何问题时，经常需要根据直线与平面的位置关系来求解，例如求直线与平面的交点坐标、求直线在平面内的投影、求直线与平面的距离等等。

在空间几何中，有一些重要的定理是基于直线与平面的位置关系而成立的，因此在证明这些定理时，也需要利用直线与平面的位置关系来进行推导。

1. 理解平面的方程及其性质在学习直线与平面的位置关系时，需要首先对平面的方程及其性质有深刻的理解，包括点法式、截距式、法线方向、平面的法向量等内容。

2. 熟练掌握直线的向量方程及其性质3. 熟练掌握直线与平面的交点特性4. 注意巩固练习与应用实践直线与平面的位置关系是一个需要不断练习和应用的知识点，只有在实际问题中不断巩固练习，才能真正掌握这一知识点。

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2）在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外,我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3）直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时,表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外,且与某一边平行.例1、下列命题中正确的命题的个数为。

①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直;③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是 .①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l //α;②若直线a 在平面α外，则a//α；③若直线a//b ，直线α⊂b ，则a//α；④若直线a//b ，直线α⊂b ，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线。

变式2、下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0 B。