高中数学1.1.1集合的含义与表示导学案(1)新人教A版必修1.doc
《必修一》1.1.1集合的含义与表示导学案
高一数学A 1.1集合导学案（一）1.1.1集合的含义与表示编者：刘玉明审核人：王建美使用时间：2014. 10.13学习目标：（1）学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法。
（2）学生初步了解元素与集合间“属于”、“不属于”关系的意义。
学习重点：集合的基本概念学习过程（一）新知预习（阅读课本21、集合的概念（1）一般地，我们把统称为元素，把一些叫做集合。
练习1 下列各组对象能否构成一个集合并说明理由（1）著名的数学家；（2）某校高一（2）班所有高个子的同学；（3）不超过10的非负数（4） 5 的近似值的全体练习2集合中元素的特征（1）；（2）；（3）。
2、集合的表示集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……3、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素,就说，记作。
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说，记作。
要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.练习3（1）给出下面四个关系:2∈R, 0.7∉Q, 0 ∈{0}, 0∉N,其中正确的个数有( )个A．4 B．3 C．2 D．1（2）下面有四个命题:①若-a ∈Ν,则a ∉Ν②若a∈Ν,b ∈Ν,则a+b的最小值是2③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}.其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：记作；（2）正整数集：记作；（3）整数集：记作；（4）有理数集：记作；（5）实数集：记作；（二）课堂小结本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念；2．集合元素的性质；3．集合的表示4集合与元素的关系及记法5常用数集的定义及记法；。
高中数学《1.1.1集合的含义与表示》导学案 新人教A版必修
高中数学《1.1.1集合的含义与表示》导学案新人教A版必修1、1、1集合的含义与表示》导学案新人教A版必修1【学习目标】1、知道集合的含义，掌握元素与集合的属于关系。
2、掌握集合的特点和集合的表示方法，以及常用数集的记法。
3、提高学生分析问题和解决问题的能力。
【学习重难点】学习重点：集合的含义与表示方法。
学习难点：表示法的恰当选择。
【知识链接】【预习案】1、集合的含义(1)一般地，我们把研究的_____统称为元素，把一些元素组成的总体叫做_____、（简称为集）(2)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是_____的、2、集合的特征集合元素具有____、____、_____。
3、常见的数集及其记法自然数集（非负整数集）记为____；正整数集记为____；整数集记为____；有理数集记为____；实数集记为____。
4、元素与集合的关系如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作_____；如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作_______。
5、集合的表示方法(1)图示法(2)自然语言(3)字母表示(4)列举法:______________________________________、教学反思注意：在花括号内不多，不漏，元素之间用“,”隔开、(5) 描述法:______________________________________、(6)注意：表示元素的符号及取值范围，共同特征、6、集合的分类（1）_____：含有有限个元素的集合、例如，A＝｛1，2｝、（2）_____：含有无限个元素的集合、例如，N、（3）_____：不含任何元素的集合，记作、例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝、（注：对于无限集，不宜采用列举法、）【预习反馈】例1：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流； (3)中国的直辖市； (4)身材较高的人、例2：用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1~20以内的所有质数组成的集合、例3：用描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合、【探究案】1、求方程组的解集【检测案】。
河南省焦作市沁阳一中高中数学 1.1集合的含义与表示导学案 新人教A版必修1
1.1.1 集合的含义及其表示方法（1）一、课前预习新知（一）、预习目标：初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法（二）、预习内容：阅读教材填空：1 、集合：一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的（或）。
构成集合的每个对象叫做这个集合的（或）。
2、集合与元素的表示：集合通常用来表示，它们的元素通常用来表示。
3、元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说，记作，读作。
如果a不是集合A的元素，就说，记作，读作。
4.常用的数集及其记号：（1）自然数集：，记作。
（2）正整数集：，记作。
（3）整数集：，记作。
（4）有理数集：，记作。
（5）实数集：，记作。
二、课内探究新知（一）、学习目标1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.学习重点:集合的基本概念与表示方法.学习难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.（二）、学习过程1、核对预习学案中的答案2、思考下列问题①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A 表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a 表示高一(3)班的一位同学,b 是高一(4)班的一位同学,那么a 、b 与集合A 分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？ ⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？ ⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？3、集合元素的三要素是 、 、 。
高中数学：1.1集合的含义与表示教案新课标人教A版必修1
1.1集合的含义与表示[三维目标]一、知识与技能1，理解集合的含义，知道常用数集及其记法2，了解元素与集合的关系及符号表示；了解有限集、无限集、空集的意义3，掌握集合表示法的基本框架二、过程与方法1，通过学生看书及事例汇总出集合的含义，引出集合的特性及元素与集合的关系2，通过例子辨别表示法及有限、无限集合，用自己熟悉的表示法表示集合三、情感态度和价值观1，通过组织学生预习→教师汇总→学生应用的方式，表达以学生为主体的思想特征2，通过汇总，培养学生找不足、差距及联系的观点，并比较与初中学习方法的不同[重点] 集合的含义及表示方法[难点] 集合的表示方法[过程]一，看书P1---P5,教师版书：集合的含义及表示例1：看下面事例⑴15的正约数⑵新华中学高一年级的全体学生⑶所有的自然数⑷老人⑸方程x+1=0的解⑹身材较高的人⑺抛物线y=x2上所有的点二、教师汇总1、集合的含义象⑴⑵⑶⑸⑺这样具有确定的共同属性的对象的全体就构成一个集合，其中的每个对象称这个集合的一个元素，元素的个数为有限个称有限集如⑴⑵⑸，无限的称无限集⑶⑺，将不含有任何元素的集合称空集，如：x2+1=0的实数解根据集合的含义可以知道，一个集合具有：确定性：任何一个事物要么在这个集合中，要么不在，不能摸棱两可。
在时称属于这个集合，符号∈；不在时称不属于这个集合，符号∉或∈；象⑷⑹由于不确定，就不是集合互异性：集合中的元素不能出现重复无序性：集合中的元素顺序可以任意互换集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，那么称这两个集合是相等的。
问题：集合如何表示呢？2、集合的表示还是从例1来说⑴可以表示为：{1，3，5，15}，这种一个个列举出的方法称列举法⑵可以表示为：{新华中学高一年级的学生}或{x|x为新华中学高一年级的学生}；这两种表示方法称描述法：其中前者称文字描述〔自然语言〕，由于集合含义中已经含有了全部的意义，所以要去掉诸如全体、所有等全称量词；后者称属性描述法，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
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(4) 小于 10 的所有自然数组成的集合；
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(5)
方程
2
x
x 的所有 实数根组成的集合；
(6) 由 1~20 以内的所有质数组成的集合。
问题 6：能否用列举法表示不等式 x-7<3 的解集 ? 由此引出描述法。
x+3<6 的解集 ?（可表示为 :x<3 ）
(III) 讲授新课
一、集合的表示方法
问题 4 中，方法 1 为图示法，方法 2 为列举法 .
1. 列举法： 把集合中的元素一一列举出来 , 写在大括号里的方法 .
说明： (1) 书写时，元素与元素之间用逗号分开；
(2) 一般不必考虑元素之间的顺序；
(3) 在表示数列之类的特殊集合时 , 通常仍按惯用的次序；
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R：全体实数的集合。 （ III ）课堂练习
1. 课本 P2、 3 中的思考题
2. 补充练习：
(1) 考察下列对象是否能形成一个集合？
① 身材高大的人
②所有的一元二次方程
③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点
④细长的矩形的全体
Байду номын сангаас
⑤ 比 2 大的几个数
(4){x
N∣ 3<x<4};
f. 判断下列关系式是否正确 ?
(1) 2 (4) 2
Q;
(2) N
{{2},{1}}; (5)
R;
(3) 2
菱形 { 四边形与三角形 }; (6) 2
集合的含义及其表示1学案(人教A版必修1)
第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．4．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2.其中正确的命题有________个．集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题 1．由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．3．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则M 中元素的个数为________． 6．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中含有________个元素．7．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形．二、解答题8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .9．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？10．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：集合的概念【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2.其中正确的命题有________个．答案 2解析 因为集合N 中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误．故正确的命题有2个．集合中元素的特性【例2】 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .分析 考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6－22是不是集合A 中的元素．分析 解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A 中的元素．解 因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素． 解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ， 即12－3∈A .1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案 ①④⑤2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．答案 03．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________．答案 3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，－4.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有________个元素．答案 17．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形．答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．二、解答题8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解当3 x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。
高一数学人教A版必修一教案：1.1.1集合的含义与表示Word版含答案
课题：§ 1.1集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：新授课教学目标：（1 ）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法一一列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，研究对象统称为元素（element ），—些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3. 思考1 :课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2 ）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5. 元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to ）A，记作a € A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to ）A，记作a A （或a A □举例）6. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N + ；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案
高中数学必修1导学案§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中,是空集的是 （）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1,1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ,},|{2A t t x x B ∈==,用列举法表示B= .[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法,难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析,运用集合中元素的三个特性解决问题,叫做元素分析法.这是解决有关集合问题的一种重要方法；3．确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数较少的有限集合可采用列举法,而其它的一般采用描述法.4.要特别注意数学语言、符号的规范使用.[巩固提高]1．已知下列条件：①小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；④方程2x=4的所有解.其中不可以表示集合的有--------------------（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关系中表述正确的是-----------------------------------------（）A．{}200x∈=B．(){}00,0∈C．0∈∅ D．0N∈3．下列表述中正确的是----------------------------------------------（）A．{}0=∅B．{}{}1,22,1=C．{}∅=∅D．0N∉4．已知集合A={}23,21,1a a a---,若3-是集合A的一个元素,则a的取值是（）A．0 B．-1 C．1 D．25．方程组3254x yx y=+⎧⎨+=⎩的解的集合是---------------------------------------（）A．(){}1,1-B．(){}1,1-C．()(){},1,1x y-D．{}1,1-6．用列举法表示不等式组240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解集合为：7．设21522x x ax⎧⎫∈--=⎨⎬⎩⎭,则集合2192x x x a⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭中所有元素的和为：8、用列举法表示下列集合：⑴(){} ,3,,x y x y x N y N+=∈∈⑵{}3,,y x y x N y N +=∈∈9．已知A ={1,2,x 2－5x ＋9},B ={3,x 2＋ax ＋a },如果A ={1,2,3},2 ∈B,求实数a 的值.10.设集合{},3A n n Z n =∈≤,集合{}21,B y y x x A ==-∈, 集合,试用列举法分别写出集合A 、B 、C.1.1.2子集、全集、补集[自学目标]1.了解集合之间包含关系的意义.2.理解子集、真子集的概念.3.了解全集的意义,理解补集的概念.[知识要点]1.子集的概念：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B B ∈）,那么称集合A(){}2,1,C x y y x x A ==-∈为集合B 的子集（subset ）,记作B A ⊆或A B ⊇,.B A ⊆还可以用Venn 图表示.我们规定:A ∅⊆.即空集是任何集合的子集.根据子集的定义,容易得到:⑴任何一个集合是它本身的子集,即A A ⊆.⑵子集具有传递性,即若B A ⊆且B C ⊆,则A C ⊆.2.真子集：如果B A ⊆且A B ≠,这时集合A 称为集合B 的真子集（proper subset ）.记作：A B⑴规定：空集是任何非空集合的真子集.⑵如果A B, B C ,那么A C3.两个集合相等：如果B A ⊆与B A ⊆同时成立,那么,A B 中的元素是一样的,即A B =.4．全集：如果集合S 包含有我们所要研究的各个集合,这时S 可以看作一个全集（Universal set ）,全集通常记作U.5．补集：设A S ⊆,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集（complementary set ）, 记作：S A （读作A 在S 中的补集）,即 {,}.S A x x S x A =∈∉且 补集的Venn 图表示:[预习自测]例1．判断以下关系是否正确：⑴{}{}a a ⊆；⑵{}{}1,2,33,2,1=； ⑶{}0∅⊆； ⑷{}00∈； ⑸{}0∅∈； ⑹{}0∅=；例2.设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出A 的所有子集.例 3.已知集合{},,2M a a d a d =++,{}2,,N a aq aq=,其中0a ≠且M N =,求q 和d 的值(用a 表示).S A S A A UC U A例4.设全集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,{}5U C A =,求实数a 的值.例5.已知{}3A x x =<,{}B x x a =<.⑴若B A ⊆,求a 的取值范围;⑵若A B ⊆,求a 的取值范围;⑶若R C A R C B ,求a 的取值范围.[课内练习]1． 下列关系中正确的个数为（ ） ①0∈{0},②Φ{0},③{0,1}⊆{（0,1）},④{（a ,b ）}＝{（b ,a ）} A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．集合{}8,6,4,2的真子集的个数是（ ）（A ）16 (B)15 (C)14 (D) 133．集合{}正方形=A ,{}矩形=B ,{}平行四边形=C ,{}梯形=D ,则下面包含关系中不正确的是（ ）（A ）B A ⊆ (B) C B ⊆ (C) D C ⊆ (D) C A ⊆4．若集合 ,则_____=b ．5．已知M={x| -2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a -1}.（Ⅰ）若M ⊆N,求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若M ⊇N,求实数a 的取值范围.[归纳反思]1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集.2. 深刻理解用集合语言叙述的数学命题,并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言,抓住集合语言向文字语言或图形语言转化是打开解题大门的钥匙,解决集合问题时要注意充分运用数轴和韦恩图,发挥数形结合的思想方法的巨大威力.[巩固提高]1．四个关系式：①∅}0{⊂；②0}0{∈；③}0{∈∅；④}0{=∅.其中表述正确的是[ ]A ．①,②B ．①,③C ． ①,④D ． ②,④2．若U={x ∣x 是三角形},P={ x ∣x 是直角三角形},则=P C U ----------------------[ ] A ．{x ∣x 是直角三角形}B ．{x ∣x 是锐角三角形}C ．{x ∣x 是钝角三角形}D ．{x ∣x 是锐角三角形或钝角三角形}3．下列四个命题：①{}0∅=；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有---------------------------------------------------[ ]Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个４．满足关系{}1,2A ⊆ {}1,2,3,4,5的集合Ａ的个数是--------------------------[ ] Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８５．若,x y R ∈,(){},A x y y x ==,(),1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,则,A B 的关系是---[ ] Ａ．A B Ｂ．A B Ｃ．A =B Ｄ．A ⊆B６．设A={}5,x x x N ≤∈,B={x ∣1< x <6,x }N ∈,则=B C A ７．U={x ∣},01582R x x x ∈=+-,则U 的所有子集是８．已知集合}5|{<<=x a x A ,x x B |{=≥}2,且满足B A ⊆,求实数a 的取值范围.９．已知集合P={x ∣},062R x x x ∈=-+,S={x ∣},01R x ax ∈=+,若S ⊆P,求实数a 的取值集合.１０．已知M={x ∣x ,0>R x ∈},N={x ∣x ,a >R x ∈}（1）若M N ⊆,求a 得取值范围；（2）若M N ⊇,求a 得取值范围；（3）若M C R N C R ,求a 得取值范围.交集、并集[自学目标]1．理解交集、并集的概念和意义2．掌握了解区间的概念和表示方法3．掌握有关集合的术语和符号[知识要点]1．交集定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}运算性质：(1)A ∩B ⊆A,A ∩B ⊆B(2) A ∩A=A,A ∩φ=φ(3) A ∩B= B ∩A(4) A ⊆ B ⇔ A ∩B=A2．并集定义：A ∪B={x| x ∈A 或x ∈B }运算性质：(1) A ⊆ （A ∪B ）,B ⊆ （A ∪B ） (2) A ∪A=A,A ∪φ=A(3) A ∪B= B ∪A (4) A ⊆ B ⇔ A ∪B=B[预习自测]1．设A={x|x ＞—2},B={x|x ＜3},求 A ∩B 和A ∪B2．已知全集U={x|x取不大于30的质数},A、B是U的两个子集,且A∩C U B= {5,13,23},C U A∩B={11,19,29},C U A∩C U B={3,7},求A,B.3．设集合A={|a+1|,3,5},集合B={2a+1,a2+2a,a2+2a—1}当A∩B={2,3}时, 求A∪B[课内练习]1．设A=(]3,1- ,B=[)4,2,求A∩B2．设A=(]1,0,B={0},求A∪B3．在平面内,设A、B、O为定点,P为动点,则下列集合表示什么图形（1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}4．设A={（x,y）|y=—4x+b},B={（x,y）|y=5x—3 },求A∩B5．设A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k—1,k∈Z},C= {x|x=2k,k∈Z}, 求A∩B,A∪C,A∪B[归纳反思]1．集合的交、并、补运算,可以借助数轴,还可以借助文氏图,它们都是数形结合思想的体现2．分类讨论是一种重要的数学思想法,明确分类讨论思想,掌握分类讨论思想方法.[巩固提高]1． 设全集U={a,b,c,d,e},N={b,d,e}集合M={a,c,d},则C U （M ∪N ）等于2．设A={ x|x ＜2},B={x|x ＞1},求A ∩B 和A ∪B3．已知集合A=[)4,1, B=()a ,∞-,若A B,求实数a 的取值范围4．求满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A5．设A={x|x 2—x —2=0},B=(]2,2-,求A ∩B6、设A={（x,y ）| 4x+m y =6},B={（x,y ）|y=nx —3 }且A ∩B={（1,2）},则m= n=7、已知A={2,—1,x 2—x+1},B={2y,—4,x+4},C={—1,7}且A ∩B=C,求x,y 的值⊂ ≠8、设集合A={x|2x 2+3px+2=0},B={x|2x 2+x+q=0},其中p,q,x ∈R,且A ∩B={21}时,求p 的值和A ∪B9、某车间有120人,其中乘电车上班的84人,乘汽车上班的32人,两车都乘的18人,求：⑴只乘电车的人数 ⑵不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数10、设集合A={x|x 2+2（a+1）x+a 2—1=0},B={x|x 2+4x=0} ⑴若A ∩B=A,求a 的值 ⑵若A ∪B=A,求a 的值集合复习课[自学目标]1．加深对集合关系运算的认识2．对含字母的集合问题有一个初步的了解 [知识要点]1．数轴在解集合题中应用2．若集合中含有参数,需对参数进行分类讨论 [预习自测]1．含有三个实数的集合可表示为⎬⎫⎨⎧1,,b a ,也可表示为{}0,,2b a a +,求20042003b a +2．已知集合A={}21|>-<x x x 或,集合B={}04|<+p x x ,当B A ⊇时,求实数p 的取值范围3．已知全集U={1,3,x x x 2323++},A={1,|2x —1|},若C U A={0},则这样的实数x 是否存在,若存在,求出x 的值,若不存在,说明理由[课内练习]1．已知A={x|x<3},B={x|x<a} （1）若B ⊆A,求a 的取值范围 （2）若A ⊆B,求a 的取值范围（3）若C R A C R B,求a 的取值范围2．若P={y|y=x 2,x ∈R},Q={y| y=x 2+1,x ∈R },则P ∩Q = 3．若P={y|y=x 2,x ∈R},Q={（x,y ）| y=x 2,x ∈R },则P ∩Q = 4．满足{a,b} A ⊆{a,b,c,d,e}的集合A 的个数是 ⊂≠ ⊂≠[归纳反思]1．由条件给出的集合要明白它所表示的含义,即元素是什么？ 2．含参数问题需对参数进行分类讨论,讨论时要求既不重复也不遗漏.[巩固提高]1．已知集合M={x|x 3—2x 2—x+2=0},则下列各数中不属于M 的一个是 （ ） A ．—1 B ．1 C ．2 D ．—22．设集合A= {x|—1≤x ＜2},B={ x|x<a },若A ∩B ≠φ,则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞—2 C ．a ＞—1 D ．—1≤a ≤23．集合A 、B 各有12个元素,A ∩B 中有4个元素,则A ∪B 中元素个数为 4．数集M={x|N k k x ∈+=,41},N={ x|N k k x ∈-=,412},则它们之间的关系是 5．已知集合M={（x,y ）|x+y=2 },N={（x,y ）|x —y=4},那么集合M ∩N= 6．设集合A={x|x 2—px+15=0},B={x|x 2—5x+q=0},若A ∪B={2,3,5},则A= B=7．已知全集U=R,A={x|x ≤3},B={ x|0≤x ≤5},求（C U A ）∩B8．已知集合A={x|x 2—3x+2=0},B={x|x 2—mx+(m —1)=0},且B A,求实数m 的值9．已知A={x|x 2+x —6=0},B={x|mx+1=0},且A ∪B=A,求实数m 的取值范围 ⊂ ≠10．已知集合A={x|—2＜x ＜—1或x ＞0},集合B={ x|a ≤x ≤b},满足A ∩B={x|0＜x ≤2},A ∪B={x|x ＞—2},求a 、b 的值§2.1.1函数的概念与图象（1）[自学目标]1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,理解函数的概念； 2．了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则； [知识要点]1．函数的定义：)(x f y =,A x ∈.2．函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则. 3．函数的相等. [预习自测]例1．判断下列对应是否为函数： （1）2,0,;x x x R x→≠∈ （2）,x y →这里2,y x =,.x N y R ∈∈补充：（1）,{A R B x ==∈R ︱0x >},:f x y x →=；（2）,:3A B N f x y x ==→=-；（3）{A x R =∈︱0}x >,,:B R f x y =→= （4）{0A x =≤x ≤6},{0B x =≤x ≤3},:2xf x y →=分析：判断是否为函数应从定义入手,其关键是是否为单值对应,单值对应的关键是元素对应的存在性和唯一性.例2． 下列各图中表示函数的是------------------------------------------[]A B C D例3． 在下列各组函数中,)(x f 与)(x g 表示同一函数的是------------------[ ] A ．)(x f =1,)(x g =0xB ．x y =与2x y =C ．2x y =与2)1(+=x y D ．)(x f =∣x ∣,)(x g =2x63-x （x ≥0）例4 已知函数=)(x f 求)1(f 及)]1([f f 5+x （x 0<）,[课内练习]1．下列图象中表示函数y=f(x)关系的有--------------------------------( )A.(1)(2)(4)B.(1)(2)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)2．下列四组函数中,表示同一函数的是----------------------------------( ) A ．24129y x x =-+32y x =- B ．2y x =和y x x =xyxyxyxyOOOOC ．y x =和y D ．y x =和2y =3．下列四个命题（1）f(x)=x x -+-12有意义; （2）)(x f 表示的是含有x 的代数式 （3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图象是抛物线,其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0４．已知f(x)=221(1)1(1)x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩,则)= ； 5．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b),且f (2)=p ,q f =)3(那么)72(f =[归纳反思]１．本课时的重点内容是函数的定义与函数记号()f x 的意义,难点是函数概念的理解和正确应用；２．判断两个函数是否是同一函数,是函数概念的一个重要应用,要能紧扣函数定义的三要素进行分析,从而正确地作出判断．[巩固提高]1．下列各图中,可表示函数)(x f y =的图象的只可能是--------------------[ ]A ．0)1(-=x y 与1=yB ．y =22x ,y =x 2C ．1,y x x R =-∈与1,y x x N =-∈D ． =)(x f 2-x 1与12)(-=t t g3．若=)(x f a x +2(a 为常数),)2(f =3,则a =------------------------[ ]A ．1-B ．1C ．2D ．2-4．设=)(x f 1,11±≠-+x x x ,则)(x f -等于--------------------------------[ ] A ．1B ．)(x f -C ．1-D ． )(x f5．已知)(x f =12+x ,则)2(f = , )1(+x f = 6．已知)(x f =1-x ,Z x ∈且]4,1[-∈x ,则)(x f 的定义域是 , 值域是7．已知)(x f = ()()221111x x x x ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩,则=)33(f 8．设3()1f x x =+,求)]}0([{f f f 的值9．已知函数1()3,2f x x =+求使9()(,4)8f x ∈的x 的取值范围10．若12)(2+=x x f ,1)(-=x x g ,求)]([x g f ,)]([x f g§2.1.1函数的概念与图象（2）[自学目标]掌握求函数定义域的方法以及步骤；1、函数定义域的求法：(1)由函数的解析式确定函数的定义域； (2)由实际问题确定的函数的定义域；(3)不给出函数的解析式,而由)(x f 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域. [预习自测]例1．求下列函数的定义域：（1）()1f x x x =+- （2）)(x f =x x -1（3）1()21f x x=+ （4）)(x f =+-x 5x -21分析：如果()f x 是整式,那么函数的定义域是实数集R ；如果()f x 是分式,那么函数的定义域是使分母0≠的实数的集合；如果()f x 是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0的实数的集合.★注意定义域的表示可以是集合或区间.例2．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架（如图）,若矩形底边长为2x ,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并指出其定义域例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1- （1）求函数(1)f x +的定义域；（2）求函数=y )41()41(-++x f x f 的定义域.[课内练习] １．函数()1f x x x=-的定义域是―――――――――――――――――（ ） Ａ．(),0-∞Ｂ．()0,+∞Ｃ．[0,)+∞Ｄ．Ｒ２．函数f(x)的定义域是[1,1],则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ）A ［0,1］B ［2,52］ C ［0,52］ D (),3-∞３．函数()f x =()01x -的定义域是： ４．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是 5．函数()()1log 143++--=x x xx f 的定义域是[归纳反思]１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值； ２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组； [巩固提高]1．函数y =21x -+12-x 的定义域是----------------------------[ ] A ．[1-,1] B ．（),1[]1,+∞-∞- C ．[0,1] D ．{1,1-}2．已知)(x f 的定义域为[2,2-],则)21(x f -的定义域为------------[ ] A ．[2,2-] B ．[]23,21-C ．[]3,1-D ．[,2-]23 3．函数1x y+=------------------------------------[ ]A ．{}0x x > B ．{}0x x < C ．{}0,1x x x <≠- D ．{}0,1x x x ≠≠-4．函数y =xx 1+的定义域是 5．函数)(x f =1+x 的定义域是 ；值域是 . 6．函数11y x=-的定义域是： . 7．求下列函数的定义域 (1) y =32+x ； （2）y =)1)(21(1+-x x ； （3）51+-=x x y8．若函数()f x 的定义域为[]3,1x ∈-,则()()()F x f x f x =+-的定义域.9．用长为30cm 的铁丝围成矩形,试将矩形面积S （2cm ）表示为矩形一边长()x cm 的函数,并画出函数的图象.10．已知函数)(x f =c bx ax ++2,若1)()1(,0)0(++=+=x x f x f f ,求)(x f 的表达式.§2.1.1函数的概念与图象（3）[自学目标]掌握求函数值域的基本求法； [知识要点]函数值域的求法函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的,因此,要求函数的值域,一般要从函数的定义域与对应法则入手分析,常用的方法有：（1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法.例1． 求下列函数的值域： （1）21,{1,2,3,4,5}y x x =+∈； （2）=y x 1+;（3）=y 1+x x；（4）=y 2211xx +-；（5）=y 322+--x x 变题：=y 322+--x x 5(-≤x ≤2-）；（6）=y 12-+x x分析：求函数的值域,一种常用的方法就是将函数的解析式作适当的变形,通过观察或利用熟知的基本函数（如一次函数、二次函数等）的值域,从而逐步推出所求函数的值域（观察法）；或者也可以利用换元法进行转化求值域.例2． 若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围[课堂练习] 1．函数()201y x x=>+的值域为（ ） A ．[]0,2 B ．(]0,2 C ．()0,2 D ．[)0,2A (-3,3)B (-5,-3)C (-5,3)D (-5,+∞)3．函数[]2,4,1y x x=-∈--的最大值是 ( )A ．2B ． 12C ． 1-D ． 4- 4．函数2y x=()2x ≠-的值域为5．求函数[归纳反思]求函数的值域是学习中的一个难点,方法灵活多样,初学时只要掌握几种常用的方法,如观察法、图象法、配方法、换元法等,在以后的学习中还会有一些新的方法（例如运用函数的单调性、配方法、分段讨论法、不等式法等等）,可以逐步地深入和提高.[巩固提高] 1.函数y =)1(1>x x的值域是---------------------------------------[ ] A ．（),0()0,+∞∞- B ．R C ．（0,1） D ．(1,)∞+走2.下列函数中,值域是(0,∞+)的是--------------------------------[ ] A ．y = 132+-x x B ．y =21+x （)0>x C ．12++=x x y D ．21xy =3.已知函数()f x 的值域是[]2,2-,则函数()1y f x =+的值域是--------[ ] A.[]1,3- B.[]3,1- C.[]2,2- D.[]1,1-4.)(x f =∈-x x x ,2{3,2,1±±±},则)(x f 的值域是: .5.函数2y x =-的值域为: .6.函数2122y x x =-+的值域为: . 7.求下列函数的值域（1）1y =（2）221y x x =--- （3）2(23)y x x =-≤≤（4）2211x y x -=+ （5）2y x =-（6）y =xx3121-+8.当[1,3]x ∈时,求函数2()26f x x x c =-+的值域§2.1.1函数的概念与图象（4）[自学目标]1．会运用描点法作出一些简单函数的图象,从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；2．通过对函数图象的描绘和研究,培养数形结合的意识,提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力． [知识要点] 1．函数图象的概念将自变量的一个值0x 作为横坐标,相应的函数值()0f x 作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点()()0,x f x ．当自变量取遍函数定义域Ａ中的每一个值时,就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为()(){},,x f x x A ∈即()(){},,x y y f x x A =∈,所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．2．函数图象的画法画函数的图象,常用描点法,其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中,一定要注意函数的定义域和值域． 3．会作图,会读（用）图 [预习自测]例1．画出下列函数的图象,并求值域：(1)y =13-x ,∈x [1,2]； (2)y = (1-)x,∈x {0,1,2,3}；(3)y =x ； 变题：1y x =-； (4)y =2x 22--x例2．直线y=3与函数y=|x2-6x |图象的交点个数为（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个例3.下图中的A. B. C. D四个图象中,用哪三个分别描述下列三件事最合适,并请你为剩下的一个图象写出一件事.(m)时间（min）时间（min）A B时间（min）时间（min）C D(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,停下来想了一会还是返回家取了作业本再上学；(2)我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间；(3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间加快了速度.1．下列四个图像中,是函数图像的是 （ ）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3）D 、（3）、（4）2．直线x a =()a R ∈和函数21y x =+的图象的交点个数 ( )A 至多一个B 至少有一个C 有且仅有一个D 有一个或两个以上 3．函数y=|x+1|+1的图象是 ( )4．某企业近几年的年产值如图,则年增长率最高的是（ ）（年增长率=年增长值/年产值）A ）97年B ）98年C ）99年D ）00年5．作出函数223(1y x x x =--≤-或2x >）的图象；[归纳反思]１． 根据函数的解析式画函数的图象,基本方法是描点法,但值得指出的是：一要注意函数的定义域,二要注意对函数解析式的特征加以分析,充分利用已知函数的图象提高作图的速度和准确性；２． 函数的图象是表示函数的一种方法,通过函数的图象可以直观地表示x 与y 的对应关系以及两个变量变化过程中的变化趋势,以后我们会经常地运用函数解析式与函数图象两者的有机结合来研究函数的性质． [巩固提高]1．某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走作余下的路,在 下图中纵轴表示离学校距离,横轴表示出发后的时间,则下图中较符合学生走法的是 （ ） d d d dxOyxxyyyOOO（1） （2）（3）（4）0099989796(年）2004006008001000（万元）O t O t O t O t A B C D 2．某工厂八年来产品C （即前t 年年产量之和）与时间t(年)的函数如下图,下列四种说法：（1）前三年中,产量增长的速度越来越快；（2）前三年中,产量增长的速度越来越慢；（3）第三年后,年产量保持不变； （4）第三年后,年产量逐步增长．其中说法正确的是 （ ） A ．（2）与（3） B ．（2）与（4） C ．（1）与（3） D ．（1）与（4） 3.下列各图象中,哪一个不可能是函数)(x f y =的图象 （ ）xA ．B ．y yxxC ．D ．4.函数)0(≠+=kb b kx y 的图象不通过第一象限,则b k ,满足-----------[ ] A ．k 0,0><b B ．0,0<<b k C ．0,0<>b k D ．0,0>>b k5.函数c bx ax y ++=2与b ax y +=（)0≠ab 的图象只可能是---------[ ]xy0 0 0． C ． D ．的图象是----------------------------------------[ ]． C ． D ． 1(≤x ≤2）的图象是2,0）和（-2,1）,则此函数的解析式为9.若二次函数3222+-+-=m mx x y 的图象的对称轴为2-=x ,则=m10.在同一个坐标系中作出函数)(x f =2)1(-x 与)(x g =1-x 的图象 （1）问：=y )(x g 的图象关于什么直线对称？（2）已知121<<x x ,比较大小：)(1x g )(2x g§2.1.2 函数的表示方法[自学目标]1.了解表示函数有三种基本方法:图象法、列表法、解析法;理解函数关系的三种表示方法具有内在的联系,在一定的条件下是可以互相转化的.2.了解求函数解析式的一些基本方法,会求一些简单函数的解析式.3.了解简单的分段函数的特点以及应用. [知识要点]1.表示函数的方法,常用的有:解析法,列表法和图象法.在表示函数的基本方法中,列表法就是直接列表表示函数,图象法就是直接作图表示函数,而解析法是通过函数解析式表示函数. 2.求函数的解析式,一般有三种情况 ⑴根据实际问题建立函数的关系式; ⑵已知函数的类型求函数的解析式; ⑶运用换元法求函数的解析式; 3．分段函数在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数;①分段函数是一个函数,而不是几个函数;②分段函数的定义域是x 的不同取值范围的并集;其值域是相应的y 的取值范围的并集 [例题分析]例1． 购买某种饮料x 听,所需钱数为y 元．若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示x({}1,2,3,4x ∈)成的函数,并指出该函数的值域．例2．（1）已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1,求f(x)的表达式；（2）已知f(2x-3)= 2x +x+1,求f(x)的表达式；例3．画出函数()f x x =的图象,并求(3)f -,(3)f ,(1),f -(1)f ,((2))f f -变题① 作出函数()1f x x =+ ()2f x x =-的图象变题② 作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象变题③ 求函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域变题④ 作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象,是否存在0x 使得f(0x )=22? 通过分类讨论,将解析式化为不含有绝对值的式子．-2x+1, x<-1,f(x)=x+1+x-2=3, -1x 2,2x-1, x>2 ⎧⎪≤≤⎨⎪⎩作出f(x)的图象由图可知,()f x 的值域为[3,)+∞,而22<3,故不存在0x ,使0()22f x =例4．已知函数25,1,(),11,2, 1.x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩(1)求f(-3)、f[f(－3)] ； （2）若f(a)= 12,求a 的值．1．用长为30cm 的铁丝围成矩形,试将矩形面积S （2cm ）表示为矩形一边长x （cm ）的函数,并画出函数的图象．2.若f(f(x))=2x －1,其中f(x)为一次函数,求f(x)的解析式．3.已知f(x-3)＝221x x ++,求f(x+3) 的表达式．4．如图,根据y=f(x) (x R ∈)的图象,写出y=f(x)的解析式．[归纳反思]1. 函数关系的表示方法主要有三种: 解析法,列表法和图象法.这三种表示方法各有优缺点,千万不能误认为只有解析式表示出来的对应关系才是函数;2. 函数的解析式是函数的一种常用的表示方法,要求两个变量间的函数关系,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域;3. 无论运用哪种方法表示函数,都不能忽略函数的定义域;对于分段函数,还必须注意在不同的定义范围内,函数有不同的对应关系,必须先分段研究,再合并写出函数的表达式. [巩固提高] 1．函数f(x)=︱x+3︱的图象是------------------------------------------------------------( )()223f x x =+,则()f x 等于--------------------------------------------------( )A.32x +B.3x +C.32x+ D.23x + 3．已知一次函数的图象过点()1,0以及()0,1,则此一次函数的解析式为------（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．1y x =- D ．1y x =--4．已知函数()()()221122(2)x x y f x x x x x +≤-⎧⎪==-<<⎨⎪>⎩,且()3f a =,则实数a 的值为---（ ）A ．1B ．1.5C ．3-D ．35．若函数()2,(),(1)1,f x x mx n f n m f =-+==-则()5f -= 由如6．某航空公司规定,乘机所携带行李的重量（kg ）与其运费（元）图的一次函数图象确定,那么乘客免费可携带行李的最大重量为 7．画出函数2x 0,f(x)=x0,x x ≥⎧⎨<⎩ 的图象,并求f(32+)+f(32-的值． 8．画出下列函数的图象(1) y=x －︱1－x ︱ (2)21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩9．求函数y=1－︱1－x ︱的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积．10．如图,在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P,它沿着折线 BCDA 由点B （起点）向A （终点）运动．设点P 运动的路程为x, △APB 的面积为y.(1)求y 关于x 的函数表示式,并指出定义域； （2）画出y=f(x)的图象．函数的单调性（一）[自学目标]1．掌握函数的单调性的概念2．掌握函数单调性的证明方法与步骤 [知识要点]1．会判断简单函数的单调性（1）直接法 （2）图象法2．会用定义证明简单函数的单调性：（取值 , 作差 , 变形 , 定号 , 判断） 3．函数的单调性与单调区间的联系与区别 [预习自测]1．画出下列函数图象,并写出单调区间：⑴ 22+-=x y ⑵ )0(1≠=x xy2．证明x x f -=)(在定义域上是减函数3．讨论函数3x y =的单调性[课内练习]1．判断1)(2-=x x f 在（0,+∞）上是增函数还是减函数 2．判断x x x f 2)(2+-=在（ —∞,0）上是增函数还是减函数 3．下列函数中,在（0,2）上为增函数的是（ ）（A ）y=x1 （B ） y=2x-1 （C ） y=1-x （D ）y=2)12(-x4． 函数y=x1-1的单调 递 区间为 5．证明函数 f （x ）=-2x +x 在（21,+∞）上为减函数[归纳反思]1．要学会从“数”和“形”两方面去理解函数的单调性 2．函数的单调性是对区间而言的,它反映的是函数的局部性质 [巩固提高]1．已知f （x ）=（2k+1x+1在（-∞,+∞）上是减函数,则（ ） （A ）k ＞21 （B ）k ＜21 （C ）k ＞-21 （D k ＜-21 2．在区间（0,+∞）上不是增函数的是 （ ） （A ）y=2x+1 （B ）y=32x +1 （C ）y=x2 （D ） y=32x +x +1 3．若函数f （x ）=2x +2（a-1）x+2在区间（-∞,4）上为增函数,则实数a 的 取值范围是 （ ）（A ） a ≤ -3 （B ）a ≥-3 （C ）a ≤ 3 （D ）a ≥3（A ）f （2a ）＞f （a+1） （B ）f （a ）＜ f （3a ） （C ）f （2a +a ）＞f （2a ） （D ）f （2a -1）＜f （2a ） 5．函数y=11+x 的单调减区间为 6．函数y=1+x +x -2的增区间为 减区间为 7．证明：21)(xx f =在（0,+∞）上是减函数8．证明函数xx x f 1)(+=在（0,1）上是减函数9．定义域为R 的函数f （x ）在区间（ —∞,5）上单调递减,对注意实数t 都有)5()5(t f t f -=+,那么f （—1）,f （9）,f （13）的大小关系是10．若f （x ）是定义在[]1,1-上的减函数,f （x-1）＜f （2x -1）,求x 的取值范围函数的单调性（二）[自学目标]1．理解函数的单调性,最大（小）值及其几何意义 2．会求简单函数的最值 [知识要点]2．会看图形,注意数形语言的转换 [预习自测]1．求下列函数的最小值 （1）xy 1= ,[]3,1∈x （2）)0(,1≠+=a ax y ,[]3,1∈x2．已知函数1)(2-+=mx x x f ,且f(-1)= -3,求函数f(x)在区间[2,3]内的最值.3．已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],a ＜c ＜b,当x ∈[a,c]时,f(x)是单调增函数；当x ∈[c,b]时,f(x)是单调减函数,试证明f(x)在x=c 时取得最大值.[课内练习]1．函数f(x)=-2x+1在[-1,2]上的最大值和最小值分别是 （ ） （A ）3,0 （B ）3,-3 （C ）2,-3 （D ）2,-22．xy 1=在区间(]1,2--上有最大值吗？有最小值吗？ 3．求函数[]0,2,322-∈+-=x x x y 的最小值4．已知f(x)在区间[a,c]上单调递减,在区间[c,d]上单调递增,则f(x)在[a,d] 上最小值为5．填表已知函数f(x),的定义域是F,函数g(x)的定义域是G,且对于任意的G x ∈,F x g ∈)(,试根据下表中所给的条件,用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空.[归纳反思]1．函数的单调形是函数的重要性质之一,在应用函数的观点解决问题中 起着十分重要的作用2． 利用函数的单调性来求最值是求最值的基本方法之一 [巩固提高]1．函数y=-x 2+x 在[-3,0]的最大值和最小值分别是 （ ） （A ）0,-6 （B ）41 ,0 （C ）41,-6 （D ）0,-12 2．已知二次函数f(x)=2 x 2-mx+3在(]2,-∞-上是减函数,在[)+∞-,2上是增函数, 则实数m 的取值是 （ ）（A ） -2 （B ） -8 （C ） 2 （D ） 83．已知函数f(x)=a x 2-6ax+1 (a ＞0),则下列关系中正确的是 （ ）（A ） f(2) ＜f(3) （B ） f(5)＜ f(3) （C ）f(-1)＜ f(1) （D ）f(2) ＞ f(3) 4． 若f(x)是R 上的增函数,对于实数a,b,若a+b ＞0,则有 （ ） （A ） f(a)+ f(b) ＞f(-a)+ f(-b) （B ）f(a)+ f(b) ＜f(-a)+ f(-b) （C ） f(a)- f(b) ＞f(-a)- f(-b) （D ）f(a)- f(b) ＜f(-a)-f(-b) 5．函数y=-x2+1在[1,3]上的最大值为 最小值为 6．函数y=- x 2+2x-1在区间[0,3]的最小值为 7．求函数y=-2 x 2+3x-1在[-2,1]上的最值8．求 []2,0,12)(2∈--=x ax x x f 上的最小值9．已知函数f(x)是R 上的增函数,且f(x 2+x) ＞ f(a-x)对一切x ∈R 都成立, 求实数a 的取值范围10．已知二次函数c bx x x f ++=2)((b 、c 为常数)满足条件：f(0)=10,且对任意实数x,都有f(3+x)=f(3-x). （1）求f(x)的解析式；（2）若当f(x)的定义域为[m,8]时,函数y=f(x)的值域恰为[2m,n],求m 、n 的值.函数的奇偶性[自学目标]1．掌握奇函数、偶函数的定义 2．会判断和证明函数的奇偶性 [知识要点]1．奇、偶函数的定义2．奇偶函数的图象与性质（等价性）[预习自测]例1．判断下列函数是否具有奇偶性(1) x x f 2)(= (2)2)1()(-=x x f （3）0)(=x f (4)()1,0,1)(2∈-=x x x f（5）x x x f -+-=11)( (6)x x x x f 32)(35++=例2．已知函数xx x f 1)(-= ⑴判断奇偶性 ⑵判断单调性 ⑶求函数的值域例3．若f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2| ,求x<0时f(x)的表达式[课内练习]1．奇函数y=f(x),x ∈R 的图象必经过点 （ ）A ．（a,f （-a ））B ．（-a,f （a ））C ．（-a, -f （a ））D ．（a, f （a1）） 2．对于定义在R 上的奇函数f(x)有 （ ）A ．f(x)+f(-x)＜0B ．f(x) -f(-x)＜0C ．f(x) f(-x)≤0D ．f(x) f(-x)＞0 3．已知8)(35-++=bx ax x x f 且f(-2)=0,那么f(2)等于最大值为5．f(x)=nx mx x ++23为奇函数,y=32++nx x 在（-∞,3）上为减函数,在（3,+∞）上为增函数,则m= n= [归纳反思]1．按奇偶性分类,函数可分为四类：（1）奇函数 （2）偶函数 （3）既是奇函数又是偶函数 （4）既非奇函数又非偶函数 2．在判断函数的奇偶性的基本步骤：（1）判断定义域是否关于原点对称 （2）验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x) 3．可以结合函数的图象来判断函数的奇偶性 [巩固提高]1．已知函数f(x)在[-5,5]上是奇函数,且f(3) ＜f(1),则 （ ） （A ）f(-1) ＜f(-3) （B ）f(0) ＞f(1) （C ）f(-1) ＜f(1) （D ）f(-3) ＞f(-5) 2．下列函数中既非奇函数又非偶函数的是 （ ） （A ）y=x 1 （B ）y=112+x （C ）y=0 , x ∈[-1,2] （D ）y=12+x x3．设函数f(x)=211xa x ---是奇函数,则实数a 的值为 （ ）（A ） -1 （B ） 0 （C ） 2 （D ） 14．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在 区间[-7,-3]上是 （ ）（A ）增函数且最小值为-5 （B ）增函数且最大值为-5 （C ）减函数且最大值为-5 （D ）减函数且最小值为-5 5．如果二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)是偶函数,则b= 6．若函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则 f(0)=7．已知函数f(x)在(0, +∞)上单调递增,且为偶函数,则f(-π),f(-31), f(3)之间的大小关系是8．f(x)为R 上的偶函数,在（0,+∞）上为减函数,则p= f(43-)与q= f(12+-a a ) 的大小关系为9．已知函数f(x)=x 2+mx+n (m,n 是常数)是偶函数,求f(x)的最小值。
高中数学 1.1.1集合的含义与表示教案 新人教A版必修1
第1课时集合的含义与表示（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集. （2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，…，–39，41}. 【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x∈N |∈N}；（2）B = {∈N | x∈N }；（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N，q∈N*}.【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件也是自然数；集合B中的元素是自然数，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y = –x2 + 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y = –x2 + 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，=1，3，9也是自然数.∴A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}.（3）由y = –x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6.∴x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.∴C = {2，5，6}.（4）点 {x，y}满足条件y = –x2 + 6，x∈N，y∈N，则有：∴D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则x要满足条件x =，∴E = {0，，，，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a –1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a–1 = –3，当a–3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a– 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得a.。
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§1.1.1集合的含义与表示（1）
学习目标
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集
合语言的意义和作用；
3.掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P 3，找出疑惑之处）
讨论：军训前学校通知： 8 月 15 日上午 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员 . 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一
而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——
集合，即是一些研究对象的总体 .
集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还
渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参
阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.
二、新课导学
※ 探索新知
探究 1：考察几组对象：
① 1 ～ 20 以内所有的质数；
② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形；
④ x2 , 3x 2 , 5y3 x , x2 y2；
⑤东升高中高一级全体学生；
⑥方程 x2 3x 0 的所有实数根；
⑦隆成日用品厂2008 年 8 月生产的所有童车；
⑧ 2008 年 8 月，广东所有出生婴儿.
试回答：
各组对象分别是一些什么？有多少个对象？
新知 1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）, 把一些元素组成的总体叫做集合（ set ） .
试试 1：探究 1 中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？
探究 2：“好心的人”与“ 1,2,1 ”是否构成集合？
新知 2：集合元素的特征
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两
种情况必有一种且只有一种成立 .
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素 .
无序性：集合中的元素没有顺序 .
只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合
.
试试 2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： ① 不等 式 x 3 0 的解；
② 3 的倍数；
2
③ 方程 x 2 x 1 0 的解；
④ a ， b ， c ， x ， y ， z ； ⑤ 最小的整数；
⑥ 周长为 10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋；
⑩ 地球的小河流 .
探究 3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？
新知 3：集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的
元素用小写的拉丁字母表 示 .
如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 (belong to) 集合 A ，记作： a ∈ A ； 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 (not belong to) 集合 ，记作：.
A
a A
试试 3： 设 B 表示“ 5 以内的自然数”组成的集合，则 5
B ，0.5 B ， 0
B ，
－ 1
B .
探究 4：常见的数 集有哪些，又如何表示呢？
新知 4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集） ：全体非负整数组成的集合，记作 N ；
正整数集：所有正整数的集合，记作 N *或 N +； 整数集：全体整数的集合，记作 Z ；
有理数集：全体有理数的集合，记作 Q ；
实数集：全体实数的集合，记作 R. 试试 4：填∈或
：0
N ，0
R ，3.7 N ，3.7 Z ， 3 Q ， 3 2
R.
探究 5：探究 1 中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合 . 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？
新知 5：列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ { } ”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法 .
注意：不必考虑顺序 , “ , ”隔开； a 与 { a } 不同 .
试试 5：试试 2 中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示
.
※ 典型例题
例 1 用列举法表示下列集合： ① 15 以内质数的集合；
2
1) 0 的所有实数根组成的 集合；
② 方程 x(x ③ 一次函数 y x 与 y 2 x 1的图象的交点组成的集合 .
变式：用列举法表示“一次函数
y x 的图象与二次函数 y
x 2 的图象的交点”组成的集
合 .
三、总结提升 ※ 学习小结
①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及 表示；④列举
法 .
※ 知识拓展
集合论是德国著名数学家康托尔于
19 世纪末创立的 . 1874 年康托尔提出“集合”的概念：
把若干确 定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一 个集合，其中各事物称为该集合的元素 . 人们把康托尔于 1873 年 12 月 7 日给戴德金的信中 最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日 .
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（
） .
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差 ※ 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：
1. 下列说法正确的是（） .
A ．某个村子里的高个子组成一个集合
B ．所有小正数组成一个集合
C ．集合 {1,2,3,4,5} 和 {5,4,3,2,1 } 表示同一个集合
136
1
D ． 1,0.5, , , , 这六个数能组成一个集合
2. 给出下列关系： ①
1
R ；② 2 Q ；③3N
；④
3 Q.
2
其中正确的个数为（
）.
A ．1个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
3. 直线 y 2x 1 与 y 轴的交点所组成的集合为（） .
A. {0,1}
B. {(0,1)}
C.
1
,0} D.
1 { {(,0)}
2 2
4.设 A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A.（填∈或）
5. “方程 x 2
的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________. 3x 0
课后作业
1.用列举法表示下列集合：
（1）由小于 10 的所有质数组成的集合；
（2） 10 的所有正约数组成的集合；
（3）方程 x2 10x 0 的所有实数根组成的集合 .
2.设 x∈R，集合A{3, x, x22x} .
（1）求元素x所应满足的条件；
（2）若 2 A，求实数x.。