大一高数之函数

y f [ ( x )]为复合函数.
自变量
2
中间变量
2
如, y 1 x 是由y u , u 1 x 复合 而得的.
基本初等函数
如, y ｅ 是 指数函数 初等函数:由基本初等 u 函数经过有限次四则运 ｅ , u v , v 1 x 2 由y 算和复合运算构成的函 复合而得的. 数并可用一个式子表示 多项式函数 幂函数 的函数.
y cos x
正切函数
y tan x
π π 定义域 : ( kπ , kπ ), k Z; 值域( , ), 2 2 π π 以π 为周期, 在每个开区间( kπ , kπ )上 2 2 递增.
余切函数
y cot x
定义域 : kπ ,( k 1)π ), k Z；值域( , ), （ 以π 为周期, 在每个开区间( π ,( k 1)π ) k 上 递减.
六、应用
例7 连续复利问题： 在银行存款所得利息的计算公式为： 利息 I =本金 A×存期 t×利率 r. 这是单利公式，如果计算复利，即到 期利息计入本金继续计息，那么应该 如何计算利息？ 解 设有本金 A，计息期每期利息利率 r， 计息期数（存期）t .若每期结算1次， 则 t 期后的本利和为
1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的.
例如 y arcsin u,
u 2 x ;
2Hale Waihona Puke y×arcsin(2 x )
2
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 自变量 中间变量
x x 例如 y cot , y u , u cot v , v . 2 2 把一个复合函数分成不同层次的函数,叫做复合 中间变量 函数的分解.
例9 生物的繁衍 经过长时间的研究，生物学家测定某 地区鲸鱼数 y (头)和时间 t (年)的关系 y t 2 14t 220, 为 如果从1984年算起（t = 0），哪一年此 群鲸鱼数为100头？ 解 已知y t 2 14t 220,
在t 0时，即1984年底，y 220 （头） 由题意，y 100 （头）， 即有 t 2 14t 120 0 t 2 14t 120 0
y log a x (a 0, a 1)
y ln x是常用的对数函数
（1，0）
y log a x

y log 1 x
a
4、三角函数
正弦函数
y sin x
y= sinx，y =cos x 的定 义域是（－∞，＋∞）， 值域是[－ 1，1]，以2π为 最小周期，有界函数.
余弦函数
即根据1978年的数据,可推算出2005年底 我国人口为13.22亿.
人口模型 : 设某地某年人口为p0，人口自然 增长率为r，那么t 年后的人口p为 p p0 (1 r ) .
t
马尔萨斯（malthus，英，1776 — 1834） 根据上述模型提出了他的人口理论，这一模 型只适用于生物种群的生存环境较为优雅宽 松的情况.当生物种群数量增长到一定值时， 恶化的生态环境将抑制种群数量的增长，进 而出现负增长，此时马尔萨斯人口模型就不 适用了.
提示与分析： 所给函数是两个函数之和形式，所以 f ( x )的定义域是使两个函数同时有意 义的取值范围，即应是两个函数定义 域的交集.
解
x 1 1, x 2 25, x 1 5且 x 5 5 4 x 6且 5 x 5，
于是, 定义域是[
5 5 [ 4 0
三、基本初等函数
1、幂函数
y x

( 是常数)，在（0， ）内总有定义 y
y x
y x2
y x
x
o
1 y x
2、指数函数 x ya
1 x y( ) a 1 0 1 a
(a 0, a 1) x y ｅ是常用的指数函数
x y a（a 1）

(0，1)
3、对数函数
五、MM 能力培养
数学模型方法简称MM方法.构建数学模型, 欣赏数学模型, 进而借鉴数学模型是解决实际 问题的能力. 构建函数模型的步骤与方法: 1)对实际问题的现实原型进行分析,判断所属 的系统,如:力学系统、电学系统、心理学系统 等.分析量的主要矛盾,屏弃次要矛盾,保留两 个主要变量及常量,考察是否有可借用的公 式、定理.如果没有,还须通过观察、实验等 科学方法探询有关量之间的关系.
2)采用数学符号，建立自变量和因变量以 及相关常量之间的等量关系，解出因变量， 并判明自变量有意义的变化范围，便得函 数模型. 3) 在模型上进行必要的逻辑推理和演算， 求得解答，再返回到实际问题进行检验.
例6 人口模型 已知1978年底我国人口为9.6259 亿，当年的自然增长率为12.00‰.若将次增长率 作为年均增长率计算，那么到2005年底我国人 口将是多少？ 解 设 t 年后我国人口为p，那么 一年后人口为 9.6259+9.6259×12‰ = 9.6259×(1+12 ‰) 2年后人口为 9.6259 ×( 1+12‰ ) +9.6259×(1+12‰) × 12‰ = 9.6259×(1+12‰) 2
y x2 1 1 3 ln[1 arcsin( x )] cos 2 x 3
1 x 2
表面形式复杂,但依然 是初等函数.
分解复合函数原则: 观察各层函数是否 为基本初等函数或多 项式函数.
y arcsin u的定义域是[1,1],
注意:
而u 2 x 2 1, 这两个函数是 不能复合成一个函数的.
A1 A(1 r )t ；
r 若每期结算m次，则每次利率为 ， m t期内共结算mt次，t期后的本利和为
r mt Am A(1 ) . m 如果，即按照每个瞬间“即存即算” 来计算本利和，则归结为求极限
r mt lim A(1 ) m m
这个求极限问题将在第二章的应用中 介绍.
,
).
）
5 6
两个函数和的定义域，是这两个函数定义 域公共部分.
四、复合函数
设y f ( u), u U ; u ( x ), x X
y f X 称为 由x ( u)确定的函数值u ( x )落在 ( x )称为 u 外层函数 函数y f ( u)的定义域U内, 则称里层函数
π π 定义域 : ( , ), 值域( , ), 2 2 单增函数, tan arctan x） x . （
渐近线
π y 2
π y 2
渐近线
把常数函数，幂函数，指数函 数，对数函数，三角函数和反三 角函数统称为 基本初等函数.
x 1 1 的定义域. 例5 讨论y arcsin 5 25 x 2
b a ct，c为常数， ｅ
b 1 t 5570时，ｅ ， a 2
ct
ln 0.5 4 可得，c 1.244 10 ， 5570 b 1.244104 t 即有 0.767 e ， a
ln 0.767 t 2132(年). 4 1.244 10 因此推算出古墓是在2132年前建成的.
例8 用函数关系探测古墓的年代 考古人员研究了长沙马王堆一号古墓，发 现了棺盖板是由杉木做成的，并且盖板所含 的C14放射性物质和现代杉木的C14的比值为 76.7%，问此古墓是什么时候建的？
解
已知放射性物质C14的半衰期为5570 年，
并且生物体死亡后C14的含量b为原始含量 a随时间的变化满足下面的函数关系：
分段函数:不能用统一的代数式
表示的函数.如:
sin x f ( x) x 1 x0 0
须注意: ☆ 分段函数不是初等函数. ☆ 分段函数不可认为是若干函数的和, 也不是几个函数,而是一个函数.只是 随着自变量 x 取不同范围的值,函数的 表达式不同.
综上所论:
复合函数y f ( u), u ( x ) y f [ ( x )] 由基本初等函数经有限次四则 初等函数： 运算和有限次复合运算构成 指数函数y a x , y e x 初等函数的 对数函数y log a x，y ln x 结构关系 幂函数y x 基本初等函数 三角函数y sin x , y cos x , y tan x , y cot x , y sec x , y csc x 反三角函数 yc 反函数y f 1 ( x )
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
定义域 [1,1], sin arcsin x x . （ ） π π 值域[ , ] 2 2
反余弦函数 y arccos x
定义域 [1,1], 值域[0,π ] cos arccos x x . （ ）
反正切函数 y arctan x
t 6或t 20
t 0时为1984年底，由此推算，在1964年底 和1990年底的鲸鱼数都是100头.
例10 反函数的应用 某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加 拿大元时，币面值增加12%，回美国后他发现，把 加拿大元兑换成美元时币面值减12%. 1）把这两个函数关系表示出来，并证明这两个函 数不互为反函数；2）同一时期，某人从美国到加 拿大旅游，他把10000美元兑换成加拿大元，但因 故未能成行，于是他又将加拿大元兑换成美元，问 他是否亏损？ 解 设f1 ( x )表示将x美元兑换成加拿大元数，
……
……
t 年后人口为p＝9.6259×(1+12‰) t
即
p 9.6259 1.012t