全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题3 导数及其应用

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题3 导数及其应用

(建议用时：90分钟)

一、选择题

1．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，则切点的横坐标为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1

D.12

解析 由题意y ′＝x 2－3x ，设切点P (x 0，y 0)，x 0＞0，则x 02－3x 0

＝1

2，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍)，故选A. 答案 A

2．(优质试题·南昌模拟)曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 ( )

A ．3x －y －2＝0

B ．x －3y ＋2＝0

C ．3x ＋y －4＝0

D ．x ＋3y －4＝0

解析 y ′＝2x ＋1

x ，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0. 答案 A

3．若函数f (x )＝x 2＋a

x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x 2

＋a x ＋1′＝（x 2＋a ）′（x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）′（x ＋1）2＝

x 2＋2x －a

（x ＋1）2，∵x ＝1为函数的极值点，∴f ′(1)＝0，即1＋2×1－a ＝0，解得

a ＝3，故选C. 答案 C

4．函数f(x)＝－x

e x，a＜b＜1，则()

A．f(a)＝f(b)

B．f(a)＜f(b)

C．f(a)＞f(b)

D．f(a)，f(b)大小关系不能确定

解析f(x)＝－x

e x，所以f′(x)＝－

e x－x e x

e2x＝

x－1

e x，当x＜1时，f′(x)＜0，所以

函数f(x)＝－x

e x在(－∞，1)上是减函数，又a＜b＜1，故f(a)＞f(b)．

答案 C

5．函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是() A．(－∞，0) B．(－∞，1)

C．(－∞，0] D．(－∞，1]

解析由题意知，f′(x)＝3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，

①x＝0时，－1≤0恒成立，即m∈R；

②x≠0时，有m≤

1

3x2在R上恒成立，∵

1

3x2＞0，∴m≤0，

综上m≤0，故选C.

答案 C

6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是()

解析 如图所示，当x ∈(－∞，x

0)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )为减函数，∴x ＝x 0是函数f (x )的极大值点，可得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0.由此对照各个选项，可得函数y ＝f ′(x )的图象只有A 项符合． 答案 A

7．用总长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5 m ，要使它的容积最大，则容器底面的宽为

( )

A ．0.5 m

B ．0.7 m

C ．1 m

D ．1.5 m

解析 设容器底面的宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m.由3.2－2x ＞0和x ＞0，得0＜x ＜1.6.设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )，其中0＜x ＜1.6，整理得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，所以y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，得x ＝1.从而在定义域(0，1.6)内只有当x ＝1时y 取得最大值，即容器底面的宽为1 m 时，容器的容积最大． 答案 C

8．(优质试题·青岛一模)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x

21

＋x

22

等于

( ) A.23 B.4

3

C.83

D.163

解析 由题图可知f (1)＝0，f (2)＝0， ∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－3，c ＝2. ∴f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2. 由图可知x 1，x 2为f (x )的极值点， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23.

∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2

＝4－43＝83.

答案 C

9．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为

( )

A ．{x |x ＞0}

B ．{x |x ＜0}

C ．{x |x ＜－1或x ＞1}

D ．{x |x ＜－1或0＜x ＜1}

解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x .因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0. 答案 A

10．(优质试题·石家庄模拟)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是

( )

A ．(－∞，0)

B ．(－∞，4]

C ．(0，＋∞)

D ．[4，＋∞)

解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3

x (x ＞0)，则h ′(x )＝

（x ＋3）（x －1）

x 2

.当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；

当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]． 答案 B 二、填空题

11．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝________． 解析 f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，取x ＝e ，得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，由此解得f ′(e)＝－1e ＝ －e －1. 答案 －e －

1

12．已知2≤⎠⎛1

2(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围是________．

∴2≤32k ＋1≤4，∴2

3≤k ≤2.