八年级全等三角形知识与辅助线做法

全等三角形复习 [知识要点] 一、全等三角形 1．判定和性质注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

因此我们可以来采取逆思维的方式。

来想要证全等，则需要什么条件另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。

然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL ）证明三角形全等。

（二）实例点拨例1 （2010淮安） 已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE=CD ，∠ACD=∠BCE 。

求证：AE=BD 。

解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。

证明如下： 证明：∵点C 是线段AB 的中点∴AC=BC ∵∠ACD=∠BCE∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠BCD 在△ACE 和△BCD 中， AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD ∴△ACE ≌△BCD （SAS ） ∴AE=BD反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。

EBCA D⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC F C DFAC 例2 已知：AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC 于D ，试证明：BD=CD解析：此题若直接证BD 、CD 所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD 、CD 所在的三角形全等。

证明如下： 证明：在△ABE 和△ACE 中 AB=AC ， EB=EC ， AE=AE∴ △ABE ≌△ACE (SSS) ∴∠BAE ＝∠CAE 在△ABD 和△ACD 中 AB=AC ∠BAE= ∠CAE AD=AD∴ △ABD ≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。

此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。

例3.如图，点C 、E 、B 、F 在同一直线上，AC∥DF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，求证：AB=DE. 【证明】∵AC∥DF ，∴F C ∠=∠ 在中和DFE ACB ∆∆⇒和DFE ACB ∆∆≌中和DFE ACB ∆∆，∴AB=DE.17、如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF ；（2）若∠AGB=30°，求EF 的长.【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，在△ABE 和△DAF 中，∴△ABE≌△DAF.(2)∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠1+∠4=90o ∴∠1=∠AGB=30o ∵∠3=∠4, 在Rt △ADF 中，∠AFD=90o AD=2 ,∴∠1+∠3=90o ∴AF=3 , DF =1,∴∠AFD=90o 由(1)得△ABE≌△ADF,∴AE=DF=1 在正方形ABCD中， AD∥BC, ∴EF=AF -AE=13-.例4如图， ,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．【解析】（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、ACBDEFG1423⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA ABABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）.（2）以△ADB ≌ADC 为例证明．证明：,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=Q °. 在Rt ADB △和Rt ADC △中，,,AB AC AD AD ==Q ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.要点二、角平分线的性质与应用例5、如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A.PA PB =B.PO 平分APB ∠C.OA OB =D.AB 垂直平分OP【解析】选D.由OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，可得PA PB =，由HL 可得Rt △AOP≌Rt △BOP ，所以可得PO 平分APB ∠，OA OB =.例6如图，在ΔABC 中，∠C=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D 到直线AB 的距离是_______厘米。

【解析】过点D 作DE 垂直于AB 于E,由勾股定理得68102222=-=-=BC BD CD ,由角平分线性质得6==CD DE 答案：6. 【实弹射击】CABD E第1题图1、 如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。

2、如图：AC 与BD 相交于O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B3、如图，已知AB=CD ，AD=CB ，E 、F 分别是AB ，CD 的中点，且DE=BF ，说出下列判断成立的理由 .①△ADE ≌△CBF ②∠A=∠C4、已知：BECF 在同一直线上， AB ∥DE ，AC ∥DF ，并且BE=CF 。

OACDB第2题图ADBCF E 第3题图FE DCBA第4题图FEDCBA求证：△ ABC ≌ △ DEF如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC ；（2）ΔBDH ≌ΔADC 。

如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB ，且DEF ∆也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的； 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

A BCDEH如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO 的值．如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。

PDA CB OA BE如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+．全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．2、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．3、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．4、角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．5、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”DCBA EFG特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1.已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.二、截长补短例1.已知：如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。

求证：BE+CF>EF。

证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。

延长FD到G , 使DG=FD, 再连结EG,BGABCDE FN1-图1234AB CDE3-图C1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD 在AB 上取点N ,使得AN=ACCDBACCBABA3、如图，已知在ABC V 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：证明：做辅助线PM ‖BQ ，与QC 相交与M 。

4、角平分线如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：0180=∠+∠C A5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为AP ，△EBC 周长记为BP .求证BP ＞AP .例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.ED CB A四、借助角平分线造全等CBFED CBA1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD2、如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.五、旋转1 、正方形ABCD 中E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.EDGFC BANMEFACBA例2 D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。