2017-2018年山西省大同市高一上学期数学期末试卷(解析版)

2017-2018学年山西省大同市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{|x＞1} 2．（3分）如图执行的程序的功能是（）A．求两个正整数的最大公约数B．求两个正整数的最大值C．求两个正整数的最小值D．求圆周率的不足近似值3．（3分）已知回归直线=x+斜率的估计值为了1.23，样本点的中心为点（4，5），当x=2时，估计y的值为（）A．6.46B．7.46C．2.54D．1.394．（3分）把88化为五进制数是（）A．324（5）B．323（5）C．233（5）D．332（5）5．（3分）如果数据x1，x2，…x n的平均数为，方差为s2，则5x1+2，5x2+2，…5x n+2的平均数和方差分别为（）A．，s B．5+2，s2C．5+2，25s2D．，25s2 6．（3分）已知函数f（x）=，则f（﹣10）的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．（3分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．﹣1B．1C．2D．8．（3分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f （x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）10．（3分）已知函数f（x）=log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上任取一点x0，则使f（x0）≥0的概率为（）A．1B．C．D．11．（3分）某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是（）A．i＞6B．i＞7C．i≥6D．i≥512．（3分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0B．f（x1）＜0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0D．f（x1）＞0，f（x2）＞0二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（4分）一个容量为40的样本，分成若干组，在它的频率分布直方图中，某一组相应的小长方形的面积为0.4，则该组的频数是．14．（4分）一个总体为100个个体，随机编号为0，1，2，…99，依编号顺序平均分成10个小组，组号为1，2，3，…10．现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中抽取的号码为6，则在第7组中抽取的号码为．15．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．16．（4分）已知一个5次多项式为f（x）=4x5﹣3x3+2x2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x=3时v3的值为．17．（4分）已知f（x）=（x+1）•|x﹣1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（8分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．19．（8分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml （含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表： 酒精含量（mg/100ml ） [20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数34142321（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）； （2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．20．（8分）已知函数f （x ）=log a （x +1），g （x ）=log a （1﹣x ），其中a ＞0，a ≠1． （1）求函数F （x ）=f （x ）﹣g （x ）的定义域；（2）判断F （x ）=f （x ）﹣g （x ）的奇偶性，并说明理由； （3）当a ＞1时，求使F （x ）＞0成立的x 的集合． 21．（10分）设关于x 的一元二次方程．x 2+2x +b=0．（1）若a 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实数根的概率．22．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720（1）．求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+；（2）．判断变量x与y之间的正相关还是负相关；（3）．若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为===﹣2017-2018学年山西省大同市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{|x＞1}【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，则A∩∁U B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．（3分）如图执行的程序的功能是（）A．求两个正整数的最大公约数B．求两个正整数的最大值C．求两个正整数的最小值D．求圆周率的不足近似值【解答】解：由算法程序可知，用辗转相除法求m，n两数的最大公约数，输出的数为m、n的最大公约数．故选：A．3．（3分）已知回归直线=x+斜率的估计值为了1.23，样本点的中心为点（4，5），当x=2时，估计y的值为（）A．6.46B．7.46C．2.54D．1.39【解答】解：回归直线=x+斜率的估计值为了1.23，样本点的中心为点（4，5），∴5=1.23×4+，解得=0.08，∴回归直线为=1.23x+0.08；当x=2时，估计y的值为=1.23×2+0.08=2.54．故选：C．4．（3分）把88化为五进制数是（）A．324（5）B．323（5）C．233（5）D．332（5）【解答】解：∵88÷5=17…3，17÷5=3 (2)3÷5=0 (3)∴用倒取余数法得到五进制对应的数字是323故选：B．5．（3分）如果数据x1，x2，…x n的平均数为，方差为s2，则5x1+2，5x2+2，…5x n+2的平均数和方差分别为（）A．，s B．5+2，s2C．5+2，25s2D．，25s2【解答】解：∵数据x1，x2，…x n的平均数为，方差为s2，∴5x1+2，5x2+2，…5x n+2的平均数为+2，方差为25s2．故选：C．6．（3分）已知函数f（x）=，则f（﹣10）的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：f（﹣10）=f（﹣10+3）=f（﹣7）=f（﹣7+3）=f（﹣4）=f（﹣4+3）=f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1．故选：D．7．（3分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．﹣1B．1C．2D．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，a=2，i=1，i＜6，a=1﹣=，i=2，i＜6，a=1﹣2=﹣1，i=3，i＜6，a=1+1=2，i=4，i＜6，a=1﹣=，i=5，i＜6，a=1﹣2=﹣1，i=6，i≥6；结束循环，输出a=﹣1．故选：A．8．（3分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故选：B．9．（3分）奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f （x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选：A．10．（3分）已知函数f（x）=log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上任取一点x0，则使f（x0）≥0的概率为（）A．1B．C．D．【解答】解：由f（x）=log2x≥0，得x≥1．∴在区间[，2]上任取一点x0，则使f（x0）≥0的概率为P=．故选：C．11．（3分）某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是（）A．i＞6B．i＞7C．i≥6D．i≥5【解答】解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=0+21=2，i=1+1=2第2次：s=2+22=6，i=3第3次：s=6+23=14，i=4第4次：s=14+24=30，i=5第5次：s=30+25=62，i=6第6次：s=62+26=126，i=7因为输出结果是126，结束循环，判断框应该是i＞6．故选：A．12．（3分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0B．f（x1）＜0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选：B．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（4分）一个容量为40的样本，分成若干组，在它的频率分布直方图中，某一组相应的小长方形的面积为0.4，则该组的频数是16．【解答】解：∵小长方形的面积为0.4，∴这一组的频率为0.4，∴该组的频数为40×0.4=16．故答案为：16．14．（4分）一个总体为100个个体，随机编号为0，1，2，…99，依编号顺序平均分成10个小组，组号为1，2，3，…10．现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中抽取的号码为6，则在第7组中抽取的号码为66．【解答】解：总体为100个个体，依编号顺序平均分成10个小组，则间隔号为，所以在第7组中抽取的号码为6+10×6=66．故答案为66．15．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．16．（4分）已知一个5次多项式为f（x）=4x5﹣3x3+2x2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x=3时v3的值为101．【解答】解：f（x）=4x5﹣3x3+2x2+5x+1=（（（（4x）x﹣3）x+2）x+5）x+1，x=3时，v0=4，v1=4×3=12，v2=12×3﹣3=33，v3=33×3+2=101．故答案为：101．17．（4分）已知f（x）=（x+1）•|x﹣1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．【解答】解：由f（x）=（x+1）|x﹣1|=得函数y=f（x）的图象（如图）．由得x2+x+m﹣1=0，∴△=1﹣4（m﹣1）=5﹣4m，由△=0，得m=，∴由其图象可知f（x）=x+m有三个不同的实数解，就是直线y=x+m与抛物线f（x）=有三个交点，由图可知﹣1＜m＜，∴实数m的取值范围是﹣1＜m＜．故答案为：﹣1＜m＜．三、解答题（本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（8分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，=[（64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣75）所以甲的方差S2甲2+（77﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，又乙的方差S2=[（56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+乙（73﹣75）2+（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．19．（8分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．【解答】解：（1）酒精含量（mg/100ml）在[20，30）的为=0.015，在[30，40）的为=0.020，在[40，50）的为=0.005，在[50，60）的为=0.20，在[60，70）的为=0.010，在[70，80）的为=0.015，在[80，90）的为=0.010，在[90，100]的为=0.005；绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示：…（5分）（2）检测数据中醉酒驾驶（酒精含量在80mg/100ml（含80）以上时）的频率是；…（6分）根据频率分布直方图，小矩形图最高的是[30，40）和[50，60），估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；…（8分）估计检测数据中酒精含量的平均数是0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55+0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55．…（10分）20．（8分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），其中a＞0，a≠1．（1）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）判断F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a＞1时，求使F（x）＞0成立的x的集合．【解答】解：（1）根据题意，F（x）=f（x）﹣g（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），则有，解可得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）根据题意，由（1）的结论，F（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，F（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣F（x），即函数F（x）为奇函数；（3）根据题意，F（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），若F（x）＞0，即log a（x+1）＞log a（1﹣x），又由a＞1，则有，解可得：0＜x＜1，即x的取值范围为（0，1）．21．（10分）设关于x的一元二次方程．x2+2x+b=0．（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实数根的概率．【解答】解：设事件A为“方程x2+2x+b=0有实根”，方程x2+2x+b=0有实根的充要条件为a≥b．（1）基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件．事件A发生的概率为P==；（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．如图，∴所求的概率为=．22．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i 2=720（1）．求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程=x +； （2）．判断变量x 与y 之间的正相关还是负相关；（3）．若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为===﹣【解答】解（1）=x i =8，=y i =2，∴x i y i ﹣10=184﹣10×8×3=24，x i 2﹣102=720﹣10×82=80，∴===0.3=﹣=2﹣0.3×8=﹣0.4故所求回归方程为程=0.3x ﹣0.4；（2）由于变量y 的值随x 值的增加而增加（b=0.3＞0），故x 与y 之间是正相关． （3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。