老师用 二、动点问题题型方法归纳
初中动点问题的方法归纳
初中动点问题的方法归纳动点问题是初中生学习数学时常遇到的难题之一。
这类问题需要学生掌握一定的解题方法和技巧才能够解决。
本文将从动点问题的基本概念、解题思路和常见解题方法等方面进行详细的归纳和总结，希望能够帮助学生更好地掌握动点问题的解题技巧。
一、动点问题的基本概念动点问题是数学中的一个重要课题，在初中数学中占据着重要的地位。
动点问题通常是指以点的运动规律为基础，通过分析和推理，确定动点在一定条件下的运动轨迹或者位置。
动点问题涉及到数学中的线性代数、平面几何等多个知识领域，对学生的逻辑思维和解决问题的能力提出了较高的要求。
动点问题的基本概念可以概括为以下几个方面：1.动点的定义：动点是指在一定条件下，按照一定的规律进行运动的点。
动点的轨迹、速度等都是动点问题的研究对象。
2.动点的运动规律：动点在其运动过程中会遵循一定的规律，这种规律可以是直线运动、曲线运动、周期性运动等。
了解动点的运动规律是解决动点问题的基础。
3.动点问题的应用：动点问题在生活和工作中有着广泛的应用，如汽车在高速公路上行驶的轨迹、射击运动中子弹的轨迹等，都可以通过动点问题进行模拟和分析。
二、动点问题的解题思路解动点问题需要遵循一定的思维逻辑和解题方法，下面将对解题思路进行详细的介绍：1.熟悉动点的运动规律：在解动点问题之前，首先需要了解动点所遵循的运动规律。
这包括动点的速度、加速度、运动轨迹等相关信息。
只有了解了动点的运动规律，才能够有针对性地解决动点问题。
2.建立数学模型：解动点问题需要建立适当的数学模型，根据动点的运动规律和条件进行建模。
这包括建立坐标系、确定参照物、建立方程等步骤，通过数学模型能够更清晰地描述动点的运动状态。
3.运用数学知识进行推理：在建立数学模型之后，需要通过数学知识进行推理和分析。
这包括运用几何知识、代数知识、函数知识等进行推导和计算，找出动点在不同条件下的位置和轨迹。
4.检验和求解：在进行推理之后，需要对所得的结果进行检验和求解，验证计算结果的正确性，并对结果进行解释和讨论，这样才能够得出准确的结论。
初三数学动点问题归类及解题技巧
初三数学动点问题归类及解题技巧初三数学学科是学生学习的重要科目之一，数学知识的掌握对学生的数学素养和综合能力提高有着非常重要的作用。
其中，解题技巧和问题分类是学生学习数学的关键点之一。
以下将从初三数学动点问题的归类和解题技巧展开讨论。
一、问题归类初三数学动点问题主要包括以下几种类型：1.几何问题：主要涉及到点、线、面等几何图形的性质和运动规律，如点的坐标、直线的方程、圆的性质等。
2.图像问题：主要是通过图像呈现的运动问题，要求学生根据图像进行分析和解答，比如速度图、位移图、加速度图等。
3.速度问题：主要是针对运动物体的速度和位移等概念展开的问题，要求学生掌握速度的定义和相关计算方法。
4.运动方程问题：主要是要求学生建立物体运动的数学模型，并求解相关问题，如撞击问题、相遇问题等。
5.加速度问题：主要是针对物体加速度的概念和计算方法进行考察，要求学生对加速度的定义和公式进行灵活运用。
6.综合问题：综合了以上几种类型的数学问题，要求学生在综合运用各种知识和方法的基础上解答问题。
以上这些类型的动点问题，对学生的数学能力和解题技巧有着很高的要求，需要学生通过不断的练习和思考，逐渐提高自己的解题能力。
二、解题技巧初三数学动点问题的解题技巧主要包括以下几点：1.充分理解问题：在解题前，要先充分理解问题的意思和要求，明确问题中涉及到的数学概念和知识点，了解问题的背景和条件。
2.建立数学模型：对于涉及到物体运动的问题，要根据问题的要求建立数学模型，明确物体的运动规律和相关参数，建立方程或不等式。
3.运用相关知识和公式：根据问题的情况，灵活运用速度、加速度、位移等物理量的定义和相关公式进行计算，注意在计算过程中要完整标明单位。
4.图像分析：对于图像问题，要细致分析图像的特点和变化规律，结合数学知识对图像进行解释和分析，从图像中得出相关信息。
5.综合能力：对于综合问题，要能够综合运用各种知识和方法，进行综合分析和推理，完成问题的解答。
初中数学动点问题归类及解题技巧
初中数学动点问题归类及解题技巧
初中数学的动点问题是学习者必须掌握的重要知识，其中的解题技巧也非常重要。
因此，本文将对初中数学动点问题的归类及解题技巧进行介绍，以便学习者更好地掌握此类问题。
一、初中数学动点问题的归类
1、一元一次动点问题：即求出给定点之间的距离，或求出给定点的坐标，或求出给
定点斜率等问题。
2、一元二次动点问题：即求出两个给定点之间的距离，或求出两个给定点的切线方程，或求出两个给定点的中点等问题。
3、多元一次动点问题：即求出多个给定点之间的最短距离，或求出多个给定点的重
心坐标，或求出多个给定点的平均值等问题。
二、初中数学动点问题的解题技巧
1、分解法：首先要分解出给定问题，将复杂的问题分解成简单的子问题，从而更容
易解决。
2、组合法：将多个给定点组合在一起，归纳出新的特征，从而更容易解决问题。
3、等价法：将某个问题转换成其他等价的问题，以求出更容易解决的问题。
以上就是关于初中数学动点问题的归类及解题技巧的介绍。
学习者可以根据上述知识，通过分解法、组合法和等价法等方法，更好地掌握动点问题的解题技巧，从而更快更准确
地解决此类问题。
初二动点问题解题技巧
初二动点问题解题技巧初二动点问题是一个比较常见的数学问题，它涉及到运动和变化，需要学生运用数学知识和逻辑推理来解决。
以下是一些解题技巧，希望能帮助你更好地解决这类问题：1. 建立数学模型：首先，你需要将实际问题转化为数学模型。
这通常涉及到定义变量、建立方程或不等式，以及确定变量的取值范围。
2. 确定变量的关系：在动点问题中，你需要找出变量之间的关系，如距离、速度和时间的关系。
这些关系通常可以通过几何图形、物理定律或逻辑推理来得出。
3. 运用数学定理和公式：在解题过程中，你需要运用各种数学定理和公式，如勾股定理、三角函数、相似三角形等。
这些定理和公式可以帮助你解决各种复杂的数学问题。
4. 进行逻辑推理：动点问题往往涉及到多个因素和条件，你需要通过逻辑推理来分析它们之间的关系，并推断出正确的结论。
5. 进行计算和验证：最后，你需要进行计算和验证，以确保你的答案正确无误。
在计算过程中，要注意单位的统一和计算的准确性。
下面是一个具体的例子，以帮助你更好地理解如何解决初二动点问题：例题：一个圆形的跑道长为100米，甲、乙两人从同一起点出发，沿着跑道练习跑步。
甲每分钟跑10米，乙每分钟跑8米。
当甲第一次追上乙时，甲跑了多少米？解题思路：1. 首先，我们定义甲、乙两人的速度分别为10米/分钟和8米/分钟，跑道长度为100米。
2. 其次，我们需要找出甲追上乙的时间。
由于甲的速度比乙快，所以当甲追上乙时，甲比乙多跑了一圈（100米）。
因此，我们可以建立方程：10t -8t = 100，其中t是时间（分钟）。
3. 解这个方程，我们得到 t = 50 分钟。
这意味着甲追上乙需要50分钟。
4. 最后，我们计算甲跑了多少米。
甲的速度是10米/分钟，所以甲跑了 10 × 50 = 500 米。
通过以上步骤，我们可以得出结论：当甲第一次追上乙时，甲跑了500米。
动点问题解题技巧初二
动点问题解题技巧初二
1. 嘿，初二的小伙伴们！对于动点问题啊，一定要学会找关键点呀！就像你找宝藏得先找到关键线索一样。
比如在一个图形上有个动点在移动，那它经过的特殊位置不就是关键点嘛！比如它到某个顶点或中点的时候，往往就能发现很多规律呢！
2. 还有哦，要多画画图！别懒呀！画个图就像给自己开了盏明灯。
比如说在一条线段上有个动点，你把它的运动轨迹画出来，是不是一下子就清楚很多了呀，这多有用啊！
3. 哇塞，一定要注意速度啊！动点的速度可是很关键的呢！就好比跑步比赛，跑得快和跑得慢差别可大啦！像如果告诉你一个动点的速度，那就能算出它在一定时间内移动的距离呀，这可不能马虎！
4. 嘿呀，别忘了利用方程呀！方程可是个好帮手呢！当你遇到一些复杂的动点问题，感觉脑袋都要炸了的时候，方程可能就像救星一样。
比如一个动点从这到那，它们之间的关系可以用方程来表示呀，是不是很神奇！
5. 注意观察动点的运动规律呀！这就像看一场有趣的表演，你得看出其中的门道。
比如说它是来回往复运动，还是一直朝一个方向运动，找到了规律就好办啦！
6. 初二的同学们呀，多和同学讨论讨论！三个臭皮匠还顶个诸葛亮呢！大家一起研究动点问题，往往能发现自己想不到的方法和思路，这多棒呀！
7. 最后呀，一定要有耐心和信心！动点问题虽然有时候感觉很难，但只要你坚持，肯定能攻克它！就像爬山，虽然过程辛苦，但到了山顶那种成就感，哇，太爽啦！
我觉得呀，只要掌握了这些技巧，动点问题对于初二的大家来说就不再是难题啦！加油哦！。
动点问题所有题型解题技巧
动点问题所有题型解题技巧摘要：1.动点问题概述2.动点问题分类与解题思路a.直线动点问题b.圆动点问题c.曲线动点问题3.解题技巧总结4.动点问题应用实例解析5.动点问题练习与解答正文：动点问题是指在数学中，涉及点到点之间运动的问题。
它具有一定的复杂性和挑战性，需要掌握一定的解题技巧。
本文将为大家介绍动点问题的解题技巧，以及如何应对不同类型的动点问题。
一、动点问题概述动点问题涉及几何、函数、方程等多个方面的知识。
一般来说，动点问题有以下几个特点：1.题目中存在一个或多个点在运动。
2.运动过程中，点与直线、曲线之间存在一定的关系。
3.求解问题时，需要运用数学知识进行分析。
二、动点问题分类与解题思路1.直线动点问题直线动点问题主要涉及点到直线的距离、角度等关系。
解题思路如下：（1）找出关键信息，如直线的方程、点的坐标等。
（2）根据题目条件，建立点到直线的距离或角度的方程。
（3）求解方程，得到点的坐标或位置。
2.圆动点问题圆动点问题主要涉及点到圆心、圆上的点等关系。
解题思路如下：（1）找出关键信息，如圆的方程、点的坐标等。
（2）根据题目条件，建立点到圆心距离、圆上的角度等方程。
（3）求解方程，得到点的坐标或位置。
3.曲线动点问题曲线动点问题涉及点到曲线的关系。
解题思路如下：（1）找出关键信息，如曲线的方程、点的坐标等。
（2）根据题目条件，建立点到曲线的关系方程。
（3）求解方程，得到点的坐标或位置。
三、解题技巧总结1.熟练掌握几何知识，如直线、圆的方程，以及点到直线、圆的距离公式。
2.灵活运用函数、方程的知识，建立动点问题的关系方程。
3.利用数学方法求解方程，如代数法、几何法等。
四、动点问题应用实例解析以下为一个动点问题的实例：已知直线l的方程为2x+3y-1=0，点P在直线l上，且满足PA=PB，其中A、B为圆O的两点，圆O的方程为x^2+y^2=4。
求点P的坐标。
解：根据题意，先求出点A、B的坐标，然后根据PA=PB建立方程，最后求解得到点P的坐标。
初二动点问题讲解
初二动点问题主要涉及几何图形中点的运动，通常伴随着线段、角度或其他几何元素的变化。
解决这类问题的一般步骤如下：
理解题意：首先，需要仔细阅读题目，理解动点的运动方式、起始位置和目标位置，以及与此相关的线段、角度或其他几何元素的变化。
画图分析：画出相关的几何图形，标注出已知的量和未知的量。
这样可以帮助我们更直观地理解问题，找到解题思路。
建立关系式：根据题意和图形，利用相关的几何知识（如相似三角形、勾股定理等）建立关系式。
这些关系式通常包含未知数，可以是线段的长度、角度的大小等。
求解关系式：通过解方程或不等式，求出未知数的值或范围。
这一步可能需要一些代数技巧，如代入法、消元法等。
验证答案：最后，需要验证求出的解是否符合题意。
这可以通过再次观察图形或检查计算过程来完成。
以下是一些常见的动点问题类型及解题思路：
点在线段上的运动：这类问题通常涉及线段长度的变化。
可以通过建立线段长度的关系式来解决。
点在圆上的运动：这类问题可能涉及角度或弧长的变化。
可以通过建立角度或弧长的关系式来解决。
两点之间的距离最短问题：这类问题通常可以通过建立两点之间的距离公式，然后利用导数求最值的方法来解决。
点的轨迹问题：这类问题要求找出动点的轨迹。
可以通过分析动点的运动方式和条件，确定其可能的轨迹类型（如直线、圆、抛物线等）。
动态相似或全等问题：这类问题涉及图形的相似或全等性质在动点运动过程中的变化。
可以通过分析图形的相似或全等条件，建立关系式来解决。
请注意，解决动点问题需要灵活运用各种几何和代数知识，同时保持清晰的思路和逻辑。
二、动点问题题型方法归纳
①求直线解析式
②四边形面积的表示
③动三角形面积函数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标
②探究平行四边形
③探究动三角形面积是定值
菱形是含60°的特殊菱形；
△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
动点问题
题型方法归纳
。
近三年中考数学
“坐标几何题”（动点问题）分析
（马铁汉）
07
08
09
动点个数
两个
一个
两个
问题背景
特殊菱形两边上移动
特殊直角梯形三边上移动
抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函数关系式
探究等腰三角形
考
点
①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线、抛物线解析式
④相似三角形
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
三年共同点：
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积
②动点按到拐点时间分段分类
③画出矩形必备条件的图形探究其存在性
①直角梯形是特殊的（一底角是45°）
②点动带动线动
③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）
初二动点问题的方法归纳
初二动点问题的方法归纳动点问题是在数学中常见的一种题型，其中涉及到的知识点包括函数、方程、不等式等。
解决动点问题需要学生具备一定的数学思维和逻辑推理能力。
本文将就初二动点问题的解决方法进行归纳，主要包括以下五个方面:一、理解题意解决动点问题的第一步是理解题意。
学生需要仔细阅读题目，明确题目所给的条件和要解决的问题。
在理解题意的过程中，学生需要注意以下几点:1．确定题目中涉及到的知识点和公式;2．弄清楚各个变量之间的关系;3．判断是否需要分类讨论。
二、画图分析画图分析是解决动点问题的重要步骤。
通过画图可以帮助学生更好地理解题意，将抽象的问题具体化。
在画图分析的过程中，学生需要注意以下几点:1．根据题目所给条件画出图形;2．在图形上标注出已知量和未知量;3．根据问题要求，在图形上标出必要的点和线。
三、建立模型建立模型是解决动点问题的关键步骤。
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地解决问题。
在建立模型的过程中，学生需要注意以下几点:1．根据题意确定需要的方程或不等式;2．根据图形关系建立方程或不等式;3．对于多个变量的情况，需要考虑分类讨论。
四、求解模型求解模型是解决动点问题的核心步骤。
在求解模型的过程中，学生需要注意以下几点:1.选择合适的方法进行求解;2.对于多个变量的情况，需要分别求解并综合结果;3.对于实际问题需要考虑实际情况，如是否有解、解是否合理等。
五、整合答案整合答案是解决动点问题的最后一步。
在整合答案的过程中，学生需要注意以下几点:1.将求解结果进行整理和归纳;2.根据题目要求给出答案;3.对于实际问题需要考虑实际情况，如是否有解、解是否合理等。
初中数学动点问题解题技巧,动点题解题三步骤,初三数学动点解题思路
双动点问题动点问题是初中数学中的热门问题，也是让人欢喜让人忧的一类问题．其中的数学模型隐藏在变化的运动背后，很多同学容易被这类问题的已知条件迷惑，虽练习很多仍然“闻动色变”，实在爱不起来．但如果会透过现象看本质，找到运动过程中不变的规律，这一类问题又会让人感觉精彩绝伦，回味无穷。
本文就动点问题中如何找到双动点类型中的运动轨迹与大家分享．动点题有时不止一个点在动，如果有两个动点，其中一个随着另一个的运动而运动，题目往往研究第二个动点的一些规律，比如最大最小值，经过的路径长等．解决问题的关键是找到第二个动点的运动轨迹．一、直线型运动1．如图，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。
如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，求点E移动的路径长．分析：要求点E移动的路径长，首先要确定点E的运动轨迹。
连结CE，如图②,易证△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60°，因为∠ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在点D从点B开始移动至点C的过程中,点E的运动轨迹是过点C且平行于AB的一条线段，确定了轨迹，再确定起始与终止位置就可求出路径长．答案：42．已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，点G移动的路径长是_____．分析：延长AC、BD相交于点E，因为∠A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，同理PC∥EB，所以四边形CPDE是平行四边形，连结EP，所以EP、CD互相平分，因为点G为CD的中点，所以EG=PG，所以点G是EP的中点，当点P从点A运动到点B时，点G的运动轨迹是△EAB的中位线MN．答案：5双动点的运动问题中，第二动点的运动轨迹如果是直线型，通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的位置关系如平行、垂直等，或者是某一条特殊的直线（或直线上的一部分）如中位线、角平分线等．试一试：1.如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB－BC向终点C 运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E 运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．答案：C在数学中，静中找动，实现从特殊到一般的转化。
动点问题解题技巧总结
动点问题解题技巧总结一、 动点选择题（中考选择最后一道） 1排除法：（1）首先看趋势，排除明显不可能的（2）看图像上面的特殊点，算出特殊点的横纵坐标，排除错误的选项（3）求解析式：如果选项出现二次函数的图像，特别需要确定开口方向，有时候可以不用完全算出解析式，确定了开口方向就可以确定正确选项（4）如果解析式不好求，可以取分段函数的每一段的中点，如果这一段的端点坐标是，x y x y ,,1122)()( 确定纵坐标比+y y 212大还是小 中考再现1．（2017•天水）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=4cm ，∠B=30°，点P 从点B 出发，以cm/s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA ﹣AC 方向运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】第一步看趋势，四个选项都是先增大后减小，均符合 第二步，看特殊点，四个选项特殊点一样，不能排除，第三步，取区间中点，选项中出现了两个区间，<<x 04和<<x 48，区间中点x =2和x =6，x =2时，长段线垂，线垂的作过，===<BQ BP Q BP y 2223,1343则易得答案为D ．2．（2017•铁岭）如图，在射线AB 上顺次取两点C ，D ，使AC=CD=1，以CD 为边作矩形CDEF ，DE=2，将射线AB 绕点A 沿逆时针方向旋转，旋转角记为α（其中0°＜α＜45°），旋转后记作射线AB′，射线AB′分别交矩形CDEF 的边CF ，DE 于点G ，H ．若CG=x ，EH=y ，则下列函数图象中，能反映y 与x 之间关系的是（ ）A． B． C． D．【分析】第一步看趋势，均符合第二步，看特殊点，A,B选项是过（2,0），C,D选项是过（1,0），当x=1时，由矩形知CF∥DE，∴△ACG∽△ADH，∴，∵AC=CD=1，∴AD=2，当x=1时，即GC=1，求出DH=2，EH=y=0，排除A,B，由0°＜α＜45°不含等号，所以不能取到（1,0），因此是D选项3．（2017•葫芦岛）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】第一步看趋势，A,B,C都是增大，只有D是先增大后减小，随着P,Q向右运动面积一直增大，所以排除D 选项第二步，看特殊点，A,B,C 三个选项特殊点一样，不能排除，第三步，取区间中点，选项中出现了一个区间，<<x 02，区间中点x =1，x =1时，，长段，线垂，线垂的作过，====<S CQ BQ BH H BP 14823 1.5,33333则易得答案为A ．二、 动点解答题几何图形动点问题（包括三角形，四边形，圆）：此类问题动点是有运动速度和运动路径的，解决问题的步骤如下：第一步，确定动点运动的阶段（如果是在折线上面运动，每一个线段是一个阶段）为了方便理解，每一个阶段都任意画出动点的一个可能位置（动点解答题的解题关键是化动为静，这个“为静”指的是在每一个阶段里任意选一个位置，用t 把相关线段表示出来，这样运动的点在这个阶段内就是“静止”的了），画出对应的图第二步，根据路程=速度⨯时间把动点运动的路程表示出来，进而将每一个阶段涉及到的线段表示出来第三步，根据具体问题列出等量关系式，例如：涉及到面积问题，用21底⨯高表示出面积，根据题目条件列出等量关系式 中考再现1.（2015江苏省）如图所示，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，若、同时出发：（1）几秒钟后，可使？（2）几秒钟后，可使四边形的面积占的面积三分之二？1. 【分析】（1）第一步：确定分段，本题两个动点都只在一条线段移动，因此不用分段第二步，根据路程=速度 时间把动点运动的路程表示出来，设运动时间为t秒，P点从A出发，沿着AC运动，运动路程是AP= t，Q点从C出发，沿着CB运动，运动路程是CQ=2t ，第三步，根据具体问题列出等量关系式，即 AC-AP=CQ，即解得，，则秒钟后，．（2）第二问因为前两步已经在第一问解决，直接进入第三步的面积为：，四边形的面积占的面积三分之二，的面积占的面积三分之一，，解得，，，答：秒或秒钟后，可使四边形的面积占的面积三分之二．2. （2015湖北省）如图,在矩形中,,E 是AD 的中点.动点从A 点出发,沿路线以秒的速度运动,运动的时间为秒.将以EP 为折痕折叠,点A 的对应点记为. 当点在边AB 上,且点在边BC 上时,求运动时间;【分析】第一步：确定分段，本题只有一个动点P ，P 在线段AB 运动，不用分段 第二步，根据路程=速度⨯时间把动点运动的路程表示出来，运动时间为t 秒，P 点从A 出发，沿着AB 运动，运动路程是AP= t ，第三步，根据具体问题列出等量关系式当点在边AB 上，且点在边BC 上时,根据折叠不变性，为因又，，。
做动点问题的解题技巧
做动点问题的解题技巧
动点问题是数学中常见的问题，通常涉及到在给定图形中，一个或多个点在某些条件下移动，并求出某些量（如距离、角度等）的变化。
解决这类问题需要一定的技巧和策略。
解题技巧：
1. 确定动点的轨迹：首先需要确定动点的移动轨迹，是直线、圆、抛物线还是其他曲线。
2. 找出动点的移动规律：如果动点的移动有特定的规律（如匀速、匀加速等），需要找出这个规律。
3. 运用数学模型：根据动点的轨迹和移动规律，建立数学模型，如方程、不等式或函数等。
4. 利用几何性质：在解决与图形相关的问题时，要充分利用几何性质，如勾股定理、相似三角形等。
5. 数形结合：将数学模型与图形结合起来，通过直观的图形来理解问题，有助于找到解题思路。
6. 分类讨论：对于涉及多种情况的问题，需要进行分类讨论，逐一解决。
7. 检验答案：得出答案后，需要进行检验，确保答案符合题目的要求和条件。
解题步骤：
1. 读懂题目：仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 分析问题：分析问题涉及的数学概念和知识点，确定解题思路。
3. 建立模型：根据题目的要求和条件，建立数学模型。
4. 求解模型：利用数学知识和技巧求解模型，得出答案。
5. 检验答案：对答案进行检验，确保其正确性和合理性。
通过掌握这些技巧和步骤，可以更好地解决动点问题。
初中动点问题的方法归纳
初中动点问题的方法归纳初中动点问题是指在空间移动的过程中，需要确定一个或多个点的位置。
这种问题需要运用几何知识和分析能力来解决。
下面将对初中动点问题的方法进行归纳。
一、直线运动问题直线运动是最简单的动点问题之一，常见的例子包括匀速直线运动和匀变速直线运动。
1.匀速直线运动问题的解法：假设动点的速度为v，则可以根据速度和时间的关系确定动点在某个时刻t的位置：距离=速度×时间。
例如，问题描述为“某动点从A点出发，以60km/h的速度匀速向B点行进，已行进2小时，请问此时该动点距离A点多远？”解法：距离=速度×时间= 60km/h × 2h = 120km。
2.匀变速直线运动问题的解法：如果动点的速度随着时间的变化而变化，可以应用速度-时间图像或速度-时间关系的知识来解决问题。
例如，问题描述为“一辆汽车以10m/s^2的加速度匀加速，在10s 内的位移是多少？”解法：根据匀变速运动中的公式s = (初速度+末速度) ×时间/ 2，代入已知条件初速度为0，加速度为10m/s^2，时间为10s，计算得到位移为(0 + 10) × 10 / 2 = 50m。
二、曲线运动问题1.匀速圆周运动问题的解法：当动点以恒定速度绕固定的圆周运动时，可以应用圆的性质来解决问题。
例如，问题描述为“一个半径为5cm的圆正好需要6秒完成一周，求圆周的长度。
”解法：根据圆的性质，圆周长= 2π ×半径= 2π × 5cm =10πcm ≈ 31.4cm。
2.曲线运动问题的解法：在一些特殊的曲线运动问题中，可以利用对称性、角度关系和距离比例等方法来解决。
例如，问题描述为“一个人从A点出发，按其速度向直线BC行进，当经过点B时，BC边所形成的角度是90°，请问此时人到底B点的距离是BC边长的多少？”解法：利用角度关系，已知∠B = 90°，可以得出AB与BC互补，所以AB : BC = 1 : 1，即人到B点的距离等于BC边长的一半。
中考热点问题”双动点问题”的处理方法复习总结（模型解析+例题精讲+真题反馈）
中考热点问题"双动点问题"的处理方法总结动点问题是中考数学必考的重难点问题，大多数同学都是“谈动色变”，选择直接放弃的更是大有人在。
解决动点问题，大家一定不要被其“动”所吓倒，我们要充分发挥空间想象能力，“动"中求“静"，化“动”为“静"，利用已知条件和所学知识点，寻找和所求相关的不变量和确定关系，这样，题目就化难为易了。
动点问题一般分为点动、线动和面动这三种类型，本节我们主要学习两类较难的动点问题。
一.不关联双动点问题对于不关联的双动点问题，我们采用“控制变量法"，我们先控制其中一个点不动，分析另一个点运动轨迹，之后再让这个点运动起来，这样我们可以使问题更直观，思路更清晰。
我们先来看一道例题：例1.如图，RTAABC中，AC=3,AB=4,D、E分别是AB、AC上的两个动点，将AADE 沿着DE翻折，A点落在A'处，求A'C的最小值。
【简答】首先，我们固定D点不动，使E点动起来，随着E点的运动，X'始终在以D为圆心，DA为半径的圆上运动（如图1）,图1只有当C、A'、D三点共线时，A z C是最短的(如图2)；图2然后我们让D点也动起来，随着D点的运动，圆D的半径会发生变化，圆的半径越大，离C点就越近，因此，当D与B重合时，圆离C点的距离最近，再，移动E点，使得A，落在BC上，此时C、A，、D三定共线(如图3),CA'最小为5-4=1.图3二.多动点联动问题对于多个点运动并且是联动的这类问题，我们采用相对运动法，可以让这多个点静止，让原本的定点动起来，这样减少了动点的个数，使得问题简单化。
(原则是：让数量少的点动，让数量多的点休息)如下面这道天津中考题的最后一问。
例2.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0的坐标为(0,0),点A 的坐标为(5,0),点B的坐标为(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点0,B,C的对应点分别为D,E, F.(1)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标.(2)如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB,AD与BC交于点H.①求证：AADB义AAOB；②求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S^jAKDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可).【简答】(1)VA(5.0), B (0.3).・.・OA=5,OB=3,..•四边形AOBC是矩形.AAC OB=3,OA BC-5,ZOBC=ZC-90°.•.•矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，/.AD=AO=5.在RtAAlK中，CD V a D2+AC2 4..•.BD=BC-CD 1.AD(h3).(2)®由四边形ADEF是短形，得到ZADE=90°.•・•点D在线段BE上，:.ZADB90°,由(1)可知，AD-AO.又AB AB.ZAOB=90%ARtAADBSSRlAAOB②如图b中.由八ADB^AAOB.得到ZBAD-ZBAO.又在矩形AOBC中，OA〃BC,/.ZCBA=ZOAB,.\ZBAD=ZCBA..\BH=AH.设AH=BH=m.则HC BC-BH5-m.在RtAAHC中,VAIP-HC^AC^.ABH y..・.H(—,3).<3）要求△KDE面积的取值范围.我们只要考虑K、D,E三个点的运动情况即可.由于D、E西个点都在运动.3KDE面积的取值范围不好确定.例3.直线1外有一点D,点D到直线的距离为3,让腰长为2的等腰直角三角板ABC在直线］上滑动，则AD+CD的最小值为.【简答】由于运动是相对的，可以看做D点在直线r上运动，作点a关于直线r的对称点A'.可知当A\D、C三点共线时AD+CD 最小，最小值为A，C的长。
中考专题二动点问题题型方法归纳
动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已图（3） B图（1）B图（2）知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．图（1）图（2） 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
动点题的解题技巧
动点题的解题技巧动点题是数学中常见的一种题型，主要考察学生的空间思维能力和问题解决能力。
解决动点问题需要一定的技巧和策略，以下是一些解题技巧：1. 建立坐标系：首先，为方便分析，我们通常会建立一个坐标系。
根据题目的描述，选择一个合适的点作为原点，确定x轴、y轴的方向。
2. 标记关键点：在动点运动路径上，标记关键的点，如起点、终点、转折点等。
这些关键点在解题过程中可能会起到重要的作用。
3. 找出变量和参数：明确题目中的变量和参数，理解它们之间的关系和变化规律。
这些变量和参数通常与动点的位置、速度、加速度等有关。
4. 运用函数思想：在许多动点问题中，我们需要运用函数的思想来描述和解决。
例如，可以用一次函数、二次函数、三角函数等来表示动点的运动规律。
5. 运用几何知识：动点问题常常涉及到几何图形的形状、大小、位置关系等。
因此，我们需要运用几何知识来分析问题，如平行线、垂直线、角相等、距离相等等等。
6. 寻找等量关系：在解决动点问题时，我们需要寻找等量关系，如时间相等、距离相等、角度相等等等。
这些等量关系可以帮助我们建立方程或方程组。
7. 数形结合：数形结合是解决动点问题的重要方法之一。
通过将数学表达式与几何图形相结合，我们可以更直观地理解问题，找到解题的突破口。
8. 分类讨论：对于一些复杂的动点问题，我们需要进行分类讨论。
根据不同的条件或情况，将问题分解成若干个子问题，然后分别解决。
9. 检验答案：在解决问题后，我们需要对答案进行检验。
检查答案是否符合题目的要求，是否符合实际情况等等。
通过掌握这些解题技巧，我们可以更好地解决动点问题，提高数学思维能力。
初中动点问题的方法归纳
初中动点问题的方法归纳初中物理学动点问题是指分析物体在空间中沿特定轨迹运动的问题。
动点问题通常涉及位置、速度、加速度等物理量的变化及其关系，通常可以通过数学方法进行分析和解决。
在初中物理教学中，动点问题是一个重要的知识点，对学生的数学思维能力和物理理解能力具有一定的要求。
下面将对初中动点问题的解决方法进行归纳总结。
1.位置、速度和加速度的关系在解决动点问题时，首先需要了解位置、速度和加速度三者之间的关系。
位置是描述物体在空间中的具体位置，速度是描述物体在单位时间内所走的距离和方向的改变，加速度是描述速度随时间的变化率。
在物理学中，位置、速度和加速度之间有着具体的数学关系，通过这些关系可以解决动点问题。
初中生需要掌握位置、速度和加速度的数学表达式，以及它们之间的相互转化关系，才能解决动点问题。
2.匀速直线运动的解决方法在解决动点问题时，最简单的情况是匀速直线运动。
匀速直线运动的特点是物体在单位时间内所走的距离相等，速度不变。
针对匀速直线运动，可以通过速度和时间的关系，求出物体的位移。
在初中物理教学中，学生通常会接触到匀速直线运动的解决方法，可以通过公式计算物体的位移、速度和时间等物理量。
3.变速直线运动的解决方法相对于匀速直线运动，变速直线运动在初中物理学中更具有挑战性。
在变速直线运动中，物体的速度随时间的变化，加速度不为0。
在解决变速直线运动问题时，需要利用速度和加速度的关系，求出物体在不同时间内的速度和位移。
针对变速直线运动的问题，通常需要运用微积分等高等数学知识进行分析和解决。
4.抛体运动的解决方法抛体运动是一个常见的动点问题，描述的是物体在被施加初速度的情况下，同时沿水平方向和竖直方向运动的情况。
在初中物理学中，学生通常需要掌握抛体运动的解决方法，包括通过初速度、加速度等参数计算物体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等物理量。
对于抛体运动，学生需要了解抛体的水平运动和竖直运动之间的关系，以及如何通过物理公式和数学方法进行求解。
初二数学动点题型及解题方法
初二数学动点题型及解题方法我折腾了好久初二数学的动点题型，总算找到点门道。
说实话，初二刚接触动点题型的时候，我是真懵。
我一开始也是瞎摸索，感觉就像在一个黑暗的房间里找东西，完全没有方向。
比如说那种在几何图形里，一个点在动，然后让求面积或者线段长度关系之类的题。
我试过一种方法，就是先假设动点静止在某个特殊位置。
比如说一个三角形里有个动点在一条边上动，我就先把它当成在中点的位置去计算，看看能不能得到一些有用的规律或者关系。
但是很多时候，这样做只能得到这个特殊位置的情况，离得出一般的结论还差得远呢。
这就好比在大海里捞鱼，在一个小角落捞到一两条，可这根本不是全部。
后来我发现，用设未知数的方法特别重要。
就像给这个动点安个名字一样，设这个动点的坐标或者它移动的某个长度为x。
然后根据题目中的已知条件，用含x的式子去表示其他相关的线段长度或者角度。
比如说，一个动点从A点向B点移动，AB长度为10，设移动了x的长度，那剩下的长度就是10 - x嘛。
这样就能把变化中的东西用式子固定下来，再去寻找各种几何关系就容易多了。
关于解题步骤，我觉得就像搭积木一样。
首先找出和动点相关的已知条件，这是基础的积木块。
然后根据几何图形的性质，比如说三角形的内角和是180度，平行四边形对边相等之类的，把这些积木块按照规则搭起来，最后就能得出我们想要的结果。
但是这里面有坑啊。
我就犯过错，有时候太急于求成，式子列错了。
有次把相似三角形的对应边关系搞错了，算出来的结果就完全不对。
所以啊，做这种题一定要细心，每一步都要认真想想依据是什么。
要是实在不确定，就再重新仔细读题，看看是不是忽略了什么条件。
再比如说求动点产生的面积问题。
我有个心得，就是一定要去找不变的量和变化的量。
有些图形虽然动点在动，但是它可以转化成我们熟悉的图形加减。
像一个四边形ABCD，里面有个动点P，连接AP、BP、CP、DP把四边形分成了好几个三角形，要求总的面积，就可以看其中某些三角形的面积之和或者差是不变的，先算出来，然后再加上或减去变化部分的面积。
初二几何动点解题技巧
初二几何动点解题技巧
初二几何动点解题技巧可以通过以下方法来应用：
1. 分析问题：首先，仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。
确定动点的运动方式（点动、线动、面动），并注意题目中给出的常量和变量之间的关系。
2. 建立模型：根据问题的要求，将动点的位置或运动过程用数学方式表示出来。
可以使用坐标系、函数关系式或几何图形等方法建立模型。
3. 利用几何性质：根据几何性质和定理，利用已知条件推导出未知量之间的关系。
例如，利用相似三角形、平行线、垂直关系等几何性质来解决问题。
4. 运用代数方法：将几何问题转化为代数问题，利用代数运算求解。
可以使用方程、不等式、函数等代数工具来解决问题。
5. 分类讨论：根据问题的特点，进行分类讨论，分析不同情况下的解决方法。
例如，根据动点的位置或运动方向进行分类，分别讨论不同情况下的解题方法。
6. 反证法：有时可以使用反证法来证明或解决问题。
假设问题的结论不成立，通过推理和推导得出矛盾，从而得出正确的结论。
7. 实际问题的抽象化：将实际问题抽象化为几何动点问题，利用几何知识和
解题技巧来解决。
例如，将物体的运动、图形的变化等实际问题转化为几何动点问题。
需要注意的是，初二几何动点解题技巧需要结合具体问题进行灵活运用。
掌握几何知识和解题技巧的同时，也要培养逻辑思维和分析问题的能力。
通过不断练习和思考，可以提高解题的准确性和效率。
二、动点问题题型方法归纳
动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
图（3）B图（1）B图（2）2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a=-+≠经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
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图（3）B图（1）B图（2）专题二：动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60º．（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
解：（1）抛物线2(1)0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，，093a a ∴=+=-·································································································· 1分 ∴二次函数的解析式为：2y x x =+······················································· 3分 （2）D为抛物线的顶点D ∴过D 作DN OB ⊥于N，则DN =3660AN AD DAO =∴=∴∠=，° ························································ 4分 OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 66(s)OP t ∴=∴= ····················································· 5分过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴=== ····································································································· 6分③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． ·· 7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E ，则2PE =················································································ 8分 116(62)222BCPQ S t∴=⨯⨯⨯-⨯=2322t ⎫-⎪⎝⎭··········································································································· 9分 当32t =时，BCPQ S ········································································· 10分∴此时3339332444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=2PQ ∴===··························································· 11分二、 特殊四边形边上动点 4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；（3）求y 与x 之间的函数关系式．图（1） 图（2）提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。