2020年4月21日绵阳市高中2017级第三次诊断性考试文科数学试题参考答案

令 h(t) = t2 + (3 − x0 )t + x0 ．
①Δ=(3-x0)2-4x0= x02 − 10x0 + 9 0 ，
解得 1< x0<9；…………………………………………………………………………10 分
≥0，
②
x0
− 2
3
≤0，
解得 0≤x0≤1．
h(0)≥0，
又 x0≠1，故 0≤x0<1． 综上所述，x0 的取值范围是[0，1) (1，9) ． ……………………………………12 分
当 2 a 2 ，即1 2 e 时，得 f (x) 在 (1，2) 上递减，在 ( 2，e) 上递增，
e
a
a
a
由于 f (1) = a 0 ， f (e) = a(e−1) − 2 2 (e−1) − 2 = 2 − 4 0 ．
ee
ee
令 g(a) = f ( 2 ) = 2 − (a + 2) ln 2 − a + 2 = (a + 2) ln a − (1 + ln 2)a + 4 − 2ln 2 ，
（2）由 f (x) = x − 2 + x +1 ≥ (x − 2) − (x +1) = 1，
即 f (x) 的最小值为 1，即 m=3．……………………………………………………6 分
1 + 1 + 1 = 1 (1 + 1 + 1 )(a + 4b + 9c) a 4b 9c 3 a 4b 9c
，−
y1 )
，
故
MF MP = (x0
−
y12 ）(1 − 4
y12 ) + 4
y12
= y14 16
+3 4
y12
+ (1−
y12 4
)
x0
>0
恒成立．
………8 分
令t
=
y12 4
，则
t>0，原式等价于 t2
+ 3t
+ (1 − t)x0
0 对任意的
t>0 恒成立，
即 t2 + (3 − x0 )t + x0 0 对任意的 t>0 恒成立．
则 P(M ) = 9 = 3 ． …………………………………………………………………12 分 15 5
18．解：（1）由 an+1 = 2Sn ，得 Sn+1 − Sn = 2Sn ， ………………………………………2 分
∴
Sn+1
= 3Sn ，即
Sn+1 Sn
= 3．
……………………………………………………4 分
∴ 1 + 1 + 1 ++ 1 = 1 + 1 + 1 ++ 1
b2b3 b3b4 b4b5
bn+1bn+2 1 2 2 3 3 4
n(n +1)
=1− 1 + 1 − 1 ++ 1 − 1
223
n n+1
=1− 1 ， ………………………………10 分 n +1
∴ 由1 − 1 > 0.99 ，解得 n 99 ． ………………………………………………11 分 n +1
e
e
a
∴ f (x) 在(1，e)上没有零点．………………………………………………………11 分
综上所述，当
0
a
2 e(e− 1)
时，
f
(x)
在(1，e)上有唯一零点；
当 2 ≤a 2 时， f (x) 在(1，e)上没有零点．……………………12 分 e(e− 1) 文科数学答案第4页（共 5 页）
M
N C·2 H
3 d = HC2 + rC2 = 2 +
3 = 3 3 ， ………………9 分 2
O
· C1
x
∴ △PMN 面积的最大值为 1 MN d = 1 1 3 3 = 3 3 ． ……………………10 分
2
2
24
23．解：（1）当 x≤-1 时， f (x) = 2 − x − x −1≤5 ，
2
2
P
∴ DE//FG，且 DE=FG，
∴ 四边形 DEFG 为平行四边形， ………………………4 分 ∴ EF//DG． ∵ EF 平面 PCD， ∴ EF//平面 PCD． ……………………………………6 分
F A
B
G
E
D
C
（2）解：∵ EF//平面 PCD，
∴ F 到平面 PCD 的距离等于 E 到平面 PCD 距离，
= 1 (3 + 4b + a + 4b + 9c + 9c + a ) 3 a 4b 9c 4b a 9c
≥1 (3 + 2 4b a + 2 4b 9c + 2 9c a )
3
a 4b 9c 4b a 9c
=3．
当且仅当 a=4b=9c=1 时等号成立， …………………………………………………9 分
2)x + 2
=
(ax − 2)(x −1) x2
wk.baidu.com
．
∵ 0<a<2，
当 0 a≤ 2 ，即 2≥e 时，得 f (x) 在上(1，e)递减，
e
a
f (1) = a 0，
要使
f
(x)
在(1，e)上有零点，则
f
(e)
=
a e−
a
−
2 e
0，
解得 0 a
2 e(e− 1)
；
…………………………………………………………………8 分
由分层抽样得 6 = x = y ，解得 x = 2，y = 4 ． ………………………………8 分 60 20 40
即在抽取的 6 件中，有特等品 2 件， 记为 A1，A2，有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4． 则所有的抽样情况有： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4， B2B3，B2B4，B3B4，共 15 种， 其中至少有 1 件特等品情况有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2， A2B3，A2B4，共 9 种． ………………………………………………………………10 分 记事件 M 为“至少有 1 件特等品被抽到”，
解得 −2≤x≤ −1 ；
当 −1 x 2 时， f (x) = 2 − x + x + 1 = 3≤5 ，满足题意；……………………………3 分
当 x≥2 时， f (x) = x − 2 + x + 1≤5 ，
解得 2≤x≤3 ．
综上所述，不等式 f (x)≤5 的解集为{x − 2≤x≤3} ． ………………………………5 分
理
得
y2-4ty-4=0，
文科数学答案第2页（共 5 页）
诊 三 阳 绵
由韦达定理得 y1+ y2=4t，y1y2=-4． …………………………………………2 分 ∴ y0=2t，x0=ty0+1=2t2+1， 即 G(2t2+1，2t)．
∵直线 OG 的斜率为 2 ， 3
∴
2t 2t2 +1
=
2 3
∴ 使得不等式成立的最小自然数 n=100．…………………………………………12 分 19．（1）证明：取 PC 的中点为 G，连接 DG，FG．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，E，F，G 分别是线段 AD，PB，PC 的中点，
∴ DE//BC，且 DE= 1 BC，FG//BC，且 FG= 1 BC，
a
a
令 h(a) = g(a) = ln a + 2 − ln 2 ， a
则 h(a)
=
1 a
−
2 a2
=
a−2 a2
0
，
∴ h(a) 在 ( 2，2) 上递减， e
故 h(a) h(2) = 1 0 ，即 g(a) 0 ，
∴ g(a) 在 ( 2，2) 上递增， e
故 g(a) g( 2) = 2 − 4 0 ，即 f ( 2 ) 0 ，
，解得
t
=
1 2
或
t=1，
∴直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 2x-y-2=0．…………………………………………6 分
（2） FMP 为锐角，等价于 MF MP 0 ．
设
M
(
y12 4
，y1
)
，F(1，0)，
P(x0，0)，
则
MP
=
( x0
−
y12 4
，−
y1 )，MF
=
(1 −
y12 4
21．解：（1）当 a=4 时， f (x) = 4x − 6ln x − 2 + 2 ，x>0， x
得
f
(x)
=
4−
6 x
+
2 x2
=
4x2
− 6x + 2 x2
=
2(2x −1)(x −1) x2
．
…………………………2 分
∴ 函数 f (x) 在 (0，1) 和 (1，+ ) 上单调递增，在 (1，1) 上单调递减，
……………………5 分
显然当 P 点到直线 MN 的距离最大时，△PMN 面积最大．
此时 P 点为过 C2 且与直线 MN 垂直的直线与圆 C2 的一个交点，如图， 设 PC2 与直线 MN 垂直于点 H，
在 Rt△OHC2 中， HC2
π = OC2 sin 6 =
3 ，……7 分 2
P
∴ 点 P 到直线 MN 的最大距离为
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绵阳市高中 2017 级第三次诊断性考试 文科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． ACCDD CBDAB DB
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 4 5
14．x+y+2=0
15．2
16． 4 3 3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
3
32
3
即三棱锥 F-PCD 的体积为 2 ．………………………………………………………12 分 3
20．解：（1）由题意得 F(1，0)，设直线 l 的方程为 x=ty+1，M(x1，y1)，N(x2，
y2)，线段 MN 的中点 G(x0，y0)．
联立方程
x y
= ty +1， 整
2 = 4x，
诊 三 阳 绵
22．解：（1）由题意得，半圆 C1 的极坐标方程为 = 8cos (0 ≤ ≤ π) ， 2
圆 C2 的极坐标方程为 = 2 3 sin (0 ≤ ≤ π) ． …………………………………4 分
（2）由（1）得，|MN|=| M
−
N
|=
8cos π 3
−2
3 sin π = 1， 3
∵ S1 = a1 = 1 ，
∴ 数列{Sn}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，
故 Sn = 3n−1 ．
……………………………………………………………………6 分 文科数学答案第1页（共 5 页）
诊 三 阳 绵
（2）由 bn = log3 Sn = log3 3n−1 = n −1 ，………………………………………………7 分
所以 1 + 1 + 1 最小值为 3． ……………………………………………………10 分 a 4b 9c
文科数学答案第5页（共 5 页）
∴ V 三棱锥 F-PCD=V 三棱锥 E-PCD． …………………………………………………………8 分 而 V 三棱锥 E-PCD=V 三棱锥 P-CDE． ∵ PA⊥平面 ABCD，
∴ PA 是三棱锥 P-CDE 的高，
∴ V 三棱锥 P-CDE= 1 S△CDE PA = 1 1 1 2 2 = 2 ，…………………………………11 分
2
2
文科数学答案第3页（共 5 页）
诊 三 阳 绵
∴ 当 x = 1 时，函数 f (x) 取得极大值 f (1) = 6ln 2 ；
2
2
当 x=1 时，函数 f (x) 取得极小值 f (1) = 4 ．……………………………………5 分
（2）
f
(x)
=
a−
a
+2 x
+
2 x2
=
ax2
− (a + x2
17．解：（1）由 10÷0.1=100，即 n=100．………………………………………………2 分
∴ a=100×0.4=40，
……………………………………………………………4 分
b=30÷100=0.3．
……………………………………………………………6 分
（2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件，