厚积薄发-高考数学四十一讲---第二十二讲：空间线线、线面、面面之间的位置关系

第二十二讲 空间线线、线面、面面之间的位置关系一、引言（一）本节的地位：空间线线、线面、面面之间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系，是立体几何中的重要内容，也是我们继续研究空间角和空间距离的基础，是高考的重点考查方向（二）考纲要求：了解平面公理及推论；掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（三）考情分析：本讲内容在高考中，主要考查线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定及其性质，题型以选择题为主，解答题极有可能在第一个小问题中出现，主要考查空间想象能力、逻辑推理与计算能力以及文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力．二、考点梳理1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：（1）相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线：不同在任何．．一个平面内，没有公共点． 2．直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理可用符号表示为：,,a b αα⊄⊂且////a b a α⇒．定理揭示出直线与平面的平行关系的证明可以转化为直线与直线的平行关系的证明．正确理解和应用定理，应注意是“平面外”的一条直线和“平面内”一条直线平行．3．平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．该定理可用符号表示为：,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒ ．定理揭示出平面与平面平行关系的证明可以转化为直线与平面平行关系的证明．利用此判定定理证明两个平面平行，必须同时具备以下两个条件：（1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面；（2）这两条直线必须相交．4．直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． 该定理可用符号表示为：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．此性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法．利用此定理证明两条直线平行时，必须同时满足以下三个条件：（1）直线a 和平面α平行；（2）平面α和平面β相交于直线b ；（3）直线a 在平面β内．5．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．该定理可用符号表示为：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒ ．此定理揭示出由平面与平面平行可以得到直线与直线平行．我们可以看到，通过直线与直线平行可以判定直线与平面平行；通过直线与平面平行可以判定平面与平面平行；而由直线与平面平行的性质定理，可以得出直线与直线平行；由平面与平面平行的定义与性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行．这揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．6．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．该定理可用符号表示为：,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥ ．定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此判定定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下两个条件：（1）平面内有两条直线垂直于已知直线；（2）这两条直线必须相交．7．两个平面的垂直及判定两个平面相交，如果它们所成的二面角为直二面角，就说这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．8．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．这个定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，同时也揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系．9．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下三个条件：（1）两个平面互相垂直；（2）直线在其中一个平面内；（3）直线与交线垂直．三、典型例题选讲例1 （2007辽宁）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ= ，n βγ= ，//m n ，则//αβC ．若m β⊥，//m α，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥解析：选项A ，直线m 与平面α的位置关系各种可能都有；选项B ，平面α与平面β也可能相交；选项C ，∵//m α，过m 作平面γ交平面α于m '，则//m m '．又因为m β⊥，所以m β'⊥．由面面垂直的判定定理可知，a β⊥；选项D ，平面β与γ也可能相交或平行．故正确选项为C ．归纳小结：本题重点考查了直线与平面以及平面与平面的位置关系．提高空间想象能力和逻辑推理能力是问题解决的关键，同时，要注意培养思维的完备性和严谨性，既要考虑特殊情况，也要考虑一般结论，切不可以偏概全．例2 （2007湖南）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是( )A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11AC 异面解析：连结1B C ，则1B C 与1BC 相交于点F ．∵E 、F 分别是1AB 、1CB 的中点，∴EF ∥AC ．又1BB AC ⊥，∴1BB EF ⊥．∴A 成立．又BD AC ⊥，EF ∥AC ，∴BD EF ⊥．∴B 成立．观察图形易知C 成立．∵//EF AC ，11//AC AC ，∴11//EF AC．故D 不成立． 正确选项为D ．归纳小结：为了分析和解决问题，常常要添加辅助线．在立体几何中，出现中点时，我们经常要利用特殊四边形的性质，构造对角线交点，进而得到三角形中位线，来证明直线与直线的平行关系．在本题中，对于正四棱柱概念的理解是基础，矩形对角线互相平分的性质是关键，合理构造，适当转化，问题便很容易得到解决．例3 在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ） A ． //BC 平面PDF B ． DF ⊥平面PAEC ． 平面PDF ⊥平面ABCD ． 平面PAE ⊥平面ABC答案：C ．分析：因为D 、F 分别是AB 、CA 的中点，所以//BC DF ，又因为BC ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，由直线与平面平行的判定定理知选项A 正确．因为P ABC -是正四面体，E 是BC 的中点，所以,PE BC AE BC ⊥⊥，又因为PE AE E = ，由直线与平面垂直的判定定理得BC ⊥平面PAE ．因为//BC DF ，所以DF ⊥平面PAE ．选项B 正确．因为BC ⊥平面PAE ，BC ⊂平面ABC ，由平面与平面垂直的判定定理得平面PAE ⊥平面ABC ，故选项D 正确．根据已知条件，不能得到平面PDF ⊥平面ABC ，故符合要求的选项为C ．归纳小结：本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定．准确理解相关概念和判定定理是问题解决的关键，另外要注意培养和不断提高空间想象能力，认真体会由线线平行证明线面平行，由线线垂直证明线面垂直，由线面垂直证明面面垂直的过程，体会普遍联系和相互转化的观点．例 4 （2008北京）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥．分析：线线垂直的证明，我们往往可以转化为线面垂直的证明．证法一：取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP = ，PD AB ∴⊥．AC BC = ，CD AB ∴⊥．PD CD D = ，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂ 平面PCD ，PC AB ∴⊥．证法二：AC BC = ,AP BP =,∴APC BPC △≌△．又∵PC AC ⊥，∴PC BC ⊥．AC BC C = ，∴PC ⊥平面ABC ．∵AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥．归纳小结：本题主要考查线线垂直、线面垂直，以及相互转化．充分利用已知条件和平面几何知识，适当构造辅助线，是问题得以解决的关键．在等腰三角形中，构造底边中点证明垂直是常用的方法． 值得指出的是，在平时的学习中，一题多解，既能灵活应用所学知识解决问题，又能增强对知识的理解，也有助于能力提高和创新思维意识的培养,我们要有意识的加强这方面的练习．例5 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC ．分析：要证//PB 平面AEC ，需要证明PB 和平面AEC 内的一条直线平行．证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 是平行四边形，所以OB OD =．又因为点E 是PD 的中点，所以EO 是△PBD 的中位线，则//EO PB ．因为PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，由直线与平面平行的判定定理得//PB 平面AEC ．归纳小结：本题考查直线与平面平行的证明．解决这类问题的关键是充分利用已知条件，在平面内确定（或构造）一条与已知直线平行的直线，把空间中直线与平面平行关系的证明转化为平面中直线与直线平行关系的证明．其中，构造三角形中位线（特别是出现中点或特殊四边形，如平行四边形，菱形，长方形，正方形等时）是证明直线与直线平行的常用方法．例6 如图，,a b 是异面直线，,//,,//a a b b αββα⊂⊂，求证：//αβ．分析：要证明//αβ，需要证明平面β（或α）内有两条相交的直线与平面α（或β）平行．其中一条平行线是已知条件，另一条平行线的构造则需要直线与平面平行的性质．证明：如图，设P 为b 上任意一点，则a 与P 确定一个平面，记为γ，设β与γ相交于c ．因为//,,a a c βγβγ⊂= ，所以//a c ．又因为,c c βα⊂⊄，所以//c α．因为//b α，又因为c 与b 有公共点P ，且c 与b 不重合（否则//a b ，与已知矛盾），即c 与b 相交， 由平面与平面平行的判定定理得//αβ．归纳小结：本题考查平面与平面平行的证明，需要证明其中一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，问题的关键是由已知直线与平面平行，利用直线与平面平行的性质定理构造一条平行线．直线与平面平行的判定定理是由直线与直线平行得到直线与平面平行，直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到直线与直线平行．直线与平面的位置关系与直线与直线的位置关系的相互转化是立体几何的一种重要的数学思想方法．例7 （2009江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，点D 在11B C 上，1A D ⊥1B C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．分析：线面平行的证明可以转化为线线平行的证明，面面垂直的证明可以转化为线面垂直的证明．证明：（1）因为E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，所以EF ∥BC ． 因为 EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．（2）由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱知1CC ⊥平面111A B C ．因为1A D ⊂平面111A B C ，故1CC ⊥1A D ．又因为1A D ⊥1B C ，11CC B C C = ，1CC 、1B C ⊂平面11BB C C ，所以1A D ⊥平面11BB C C ，又1A D ⊂平面1A FD ，所以平面1A FD ⊥平面11BBC C ． 归纳小结：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．在证明的过程中，要注意规范书写，注意细节，养成严谨思维和表达的习惯．例如，证明线面平行，一定要注意是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行；而面面垂直需要满足一个平面经过另一个平面的一条垂线，垂线在面内．四、本专题总结本专题研究的主要问题是直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．本部分内容的学习，要注意以下的数学思想与方法：转化的思想方法（ 位置关系的转化；空间问题向平面问题的转化等）；分类讨论的思想方法；运动变化的思想方法； 函数与方程的思想方法．本专题学习中需要注意的问题：1．本专题内容，概念、判定定理与性质定理较多，要深刻理解，才能灵活应用．2．应充分认识面面关系、线面关系、线线关系之间的相互转化过程，熟练掌握转化条件．3．作辅助线或辅助面时，要注意以下两点：第一，辅助线，辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线，辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，绝不能凭主观臆断，否则谬误难免．4．在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用这些定理时，一定要注意逻辑推理能力的规范性．5．立体几何的学习，对计算和推理能力，特别是空间想象能力有较高的要求，我们要在平时的学习中加强这方面的练习．。