【中小学资料】广东省佛山市高明区高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(1)学案(无答案
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列(第3课时)教案新人教A版选修2-3(2021
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1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程,从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识,正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．错误!错误!提出问题：7位同学排队,根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题．(1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?（4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1）问题可以看作：7个元素的全排列A错误!＝5 040。
(2）根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A错误!＝720。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教a选修2_3
[学习目标] 1.理解排列的概念(重点)． 2.能利用计 数原理推导排列数公式(难点)． 3.会用排列数公式进行 相关计算(重点)．
[知识提炼· 梳理] 1．排列的相关概念 (1)排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的 式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算 量．
4 2A5 ＋ 7A 8 8 5 A8 － A 8 9
(2)
＝
＝ 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5
2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5
＝1. 8×7×6×5×（24－9） 2x＋1≥4， * (3)根据排列数的定义，x 应满足 x∈N ， x≥3， 解得 x≥3，x∈N*. 根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)· 2x· (2x－1)· (2x －2)＝140x· (x－1)· (x－2)．
解析：选项 A 中组成的三位数与数字的排列顺序有 关，选项 B，C，D 只需取出元素即可，与元素的排列顺 序无关． 答案：A
3．A，B，C 三名同学照相留念，成“一”字形排队， 所有排列的方法种数为( A．3 种 B．4 种 ) C．6 种 D．12 种
解析：所有的排法有：A－B－C，A－C－B，B－A －C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共 6 种． 答案：C
8×7×6×5×（8＋7）
因为 x≥3，于是得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)． 3 则 4x －35x＋69＝0，解得 x＝3 或 x＝5 (舍去)． 4
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式高效演练新人教A版选修2-
2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 第1课时排列与排列数公式高效演练新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 第1课时排列与排列数公式高效演练新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1课时排列与排列数公式A级基础巩固一、选择题1．从集合｛3，5，7，9，11｝中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆错误!＋错误!＝1中的a,b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线x2a2－错误!＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( ）A．①②③④B．②④C．②③D．①④解析：因为加法满足交换律,所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如错误!≠错误!，所以②是排列问题．若方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a〉b，a，b的大小一定；在双曲线错误!－错误!＝1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法的种数为（)A．80 B．240 C．480 D．40解析：先排甲、乙外的四个人,有A错误!种，再将甲、乙插入四个人形成的五个空当中,有A错误!种排法,则甲、乙两人不相邻的不同排法共有A错误!A错误!＝480(种）．答案：C3．北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为（) A．3 B．6 C．9 D．12解析：这个问题就是从北京、上海、香港三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．起点站终点站飞机票答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( ）A．180种B．360种C．15种D．30种解析：由排列定义知选派方案有A错误!＝6×5×4×3＝360(种）．答案：B5．用1,2,3,4，5这五个数字,组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ）A．24个 B．30个 C．40个 D．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A错误!个，另一类是4作个位数，也有A错误!个．因此符合条件的偶数共有A错误!＋A错误!＝24(个）．答案：A二、填空题6．若A错误!＝10×9×…×5,则m＝_________________________。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列(第3课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学过程复习回顾提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决以下排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5 040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22·A55＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法，所以一共有A25A55＝2 400种排列方法．典型例题类型一：捆绑法例17位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1 440种．(2)方法同上，一共有A55A33＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，假设丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑〞，所以，这样的排法一共有A14A55A22＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法〞(先捆后松)．[巩固练习]某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，那么不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A22种排法，共有A55A33A22A22＝2 880种不同的排法．[变练演编]7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A15种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A15A55A22＝1 200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A25种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A25A44A22＝960种不同的排法．类型二：插空法例27位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(称为“空〞)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A55A26＝3 600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空〞，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有A 35种方法，所以一共有A 44A 35＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法〞(特殊元素后考虑)．[巩固练习]5男5女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．解：(1)先将男生排好，有A 55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空〞(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A 55种排法，故此题的排法有N ＝2A 55·A 55＝28 800种．(2)方法1：N ＝A 1010A 55＝A 510＝30 240； 方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A 510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．故此题的排法为N ＝A 510×1＝30 240种．[变练演编]5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，得A 77，5男之间排列有顺序问题，得A 55，共A 77A 55种．(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A 1111－A 77A 55.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A 66A 57.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A 66A 55.[达标检测]1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1 440种B ．960种C．720种 D．480种2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是( )A．A88 B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A．42 B．96C．48 D．124答案：课堂小结1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．2．方法收获：捆绑法、插空法．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习[基础练习]1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，那么不同的排法种数为( )A．12 B．24C．48 D．1442．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个( )A．9 B．12C．24 D．213．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30C．72 D．184．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A．540 B．300C．180 D．150答案：[拓展练习]5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480设计说明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备课资料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，有A44＝24种排法．二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．解析：A17A33＋A27A23＋A37＝504种．例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是________．解析：不同排法的种数为A55A26＝3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空〞中，可得有A25＝20种不同排法．例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾〞有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为________种．解析：A19A33＋A29A23＋A39＝990种．例53个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个“空〞中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A14A33＝24种．解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空〞，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34＝24种．注：题中*表示元素，○表示空．例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A88种方法，要求空位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A19种方法，所以共有A19A88种方法．。
【配套K12】广东省佛山市高明区高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.3 导数的运算法则学案(无答
1.2.3导数的运算法则（2）【学习目标】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【重点难点】重点：复合函数求导法则.难点：简单复合函数求导法则的应用.【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【学习过程】一.课前预习探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y ＝ln x ； （2）y ＝e sin x ； （3）y ＝cos (3x ＋1)．探究点二 复合函数的导数问题 如何求复合函数的导数？例2 求下列函数的导数：（1）y ＝(2x －1)4； （2）y ＝11－2x ；（3）y ＝sin(－2x ＋π3)； （4）y ＝102x ＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数． （1）y ＝ln 1x ； （2）y ＝e 3x ；（3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( ) A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x 3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于( ) A ．2xf ′(x 2) B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2) 4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【课后作业】1.求下列函数的导数:2(1)(43)(2)cos(2)4y x y x π=-=-2.求下列函数的导数3. 求下列函数的导数(1)y=lg 5;(2)y=2-2x;(3)y=;(4)y=2cos2-1;(5)y=cos x·sin 3x;(6)y=log2.。
广东省佛山市高明区高中数学 第一章 计数原理 1.2 排
1.2.2组合(1)【学习目标】1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题.【重点难点】重 点: 理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系；理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.难 点: 会用组合数解决一些简单的问题.【学法指导】区分组合与排列的异同点，并加以应用.【学习过程】一．复习巩固1、组合定义:一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2、组合数:从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号________表示.3、组合数公式:0(1)(2)(1)!!!()! 1.m m n nm m m n n A n n n n m C m A n C m n m C ---===+=-我们规定：二．课堂学习与研讨探究 组合数 1: mn mn n C C -=性质 731010C C 练习：计算两个组合数 ； 问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？探究2.组合数性质2：11m m m n n nC C C -+=+ 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球（1）口袋里取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？（3）从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？从引例中可以发现一个结论：323877C C C =+ 对上面的发现(等式)作怎样解释？1211,,,1m n n a a a n m C +++一般地，从这个不同的元素中取出个元素的组合数是，组合数性质2：11m m m n n nC C C -+=+ 试用代数法证明性质2？11123111,,,1m n n a a a a a a n m a C -+-这些组合可分成两类：一类含有，一类不含有，含有的组合是从这个元素中取出个元素与组成的，共有个； 1231,,,m n n a a a a n m C +不含的组合是从这个元素中取出个元素组成的，共有个 由分类计数原理，得例1 计算例2. 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。
广东省佛山市高明区高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.5 排列组合综合应用学案(无答案)新人教
1.2.5排列组合综合应用(1)【教学目标】1、掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用。
2、认识分组分配和分组组合问题的区别。
3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。
【教学重难点】重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用难点：能够区分和解决分组分配和分组组合问题。
【教学过程】类型1.分组分配问题将3件不同的礼品（1）分给甲乙丙三人，每人各得1件，有多少种分法？（2）分成三堆，一堆一件，有几种分法？例1：将6件不同的礼品（1）分给甲乙丙三人，每人各得1件，有多少种分法？（2）分给甲乙丙三人，甲得1件，乙得2件，丙得3件，有多少种分法？（3）分成三堆，一堆1件，一堆2件，一堆3件，有几种分法？（4）分给三人，一人1件，一人,2件，一人,3件，有几种分法？（5）平均分成三堆，每堆2件，有几种分法？点评：本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清类型的归属对今后的解题大有裨益。
其中：⑴均匀不定向分配问题⑵非均匀定向分配问题⑶非均匀不定向分配问题⑷非均匀分配问题⑸均匀分配问题。
这是一个典型的问题，要认真体会。
变式训练1、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？（1）各组人数分别为2，4，6人；（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间。
变式训练2、2020年某地春季高考有10所高校招生，如果某3位学生恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有中。
类型2分组组合问题。
例2：6名男医生，4名女医生⑴选3名男医生，2名女医生，让他们到5个不同的地区巡回医疗，共有多少种不同的分派方法？⑵把10名医生分成2组，每组5人且每组要有女医生，有多少种不同的分派方法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正，副组长2人，又有多少种方法？点评：对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）。
变式训练3、从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A、B、C、D、E五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法？类型3. 相同元素的分组分配问题例3：某校高二年级有6个班级，现要从中选出10人组成高二年级女子篮球队参加县高中年级篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方案？点评：相同元素的分配问题，通常可以采用隔板法。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式讲义 新
第1课时排列与排列数公式知识点排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照□01一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．两个排列相同：当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的□02排列顺序相同．知识点排列数及排列数公式1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的□01所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式(1)乘积形式：A m n＝□02n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(这里n，m∈N*且m≤n)(2)阶乘形式：A m n＝□03n！(n－m)！.(n，m∈N*，且m≤n)(3)性质：A n n＝□04n！，规定A0n＝□051,0！＝□061.排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．注意：所研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是不同的．判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列．注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，它是一个数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．( )(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．( )(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．做一做(1)89×90×91×…×100可表示为( )A．A10100 B．A11100 C．A12100 D．A13100(2)从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这________排列问题．(填“是”或“不是”)(3)从1,2,3中任取两个数字可组成不同的两位数有________个．答案(1)C (2)不是(3)6解析(1)A12100＝100×99×...×(100－12＋1)＝100×99× (89)(2)甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法，故不是排列问题．(3)12,13,21,23,31,32，共6个．探究1排列的有关概念例1 判断下列问题是否是排列问题．(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？(3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？(5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？[解](1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个元素的位置无关，所以不是排列问题．(2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数做横坐标，哪一个数做纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．(4)是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题．(5)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，这是不同的，有顺序之分，所以这是排列问题．拓展提升判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1?(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a >b 还是a <b ，方程x 2a 2－y 2b2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关．探究2 简单的排列问题 例2 写出下列问题的所有排列：(1)、某某、某某、某某4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？[解] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：某某，某某，某某，某某某某，某某某某，某某，某某某某，某某，某某某某，某某，某某某某，某某某某，共12种．(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A、B，两名老师分别为M、N，此问题可分两类：由此可知所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．拓展提升用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏．[跟踪训练2]从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．解(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312. 探究3 与排列数有关的运算 例3 (1)计算：4A 48＋2A 58A 88－A 59；(2)解方程3A x 8＝4A x －19；(3)解不等式A x 9>6A x －29，其中x ≥3，x ∈N *；(4)若n ∈N ，将(55－n )(56－n )…(68－n )(69－n )用排列数符号表示． [解] (1)原式＝4A 48＋2×4A 484×3×2A 48－9A 48＝4＋824－9＝1215＝45. (2)由3A x 8＝4A x －19，得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋78＝0， 解得x 1＝6，x 2＝13.又∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.(3)由原不等式得9！(9－x )！>6×9！(9－x ＋2)！，其中3≤x ≤9，x ∈N *，即(11－x )·(10－x )>6，整理得x 2－21x ＋104>0，解得x <8或x >13. 又3≤x ≤9，x ∈N *，所以x ＝3,4,5,6,7. 故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．(4)先确定最大数，即69－n ，再确定因式的个数为(69－n )－(55－n )＋1＝15.则由排列数公式得A1569－n.拓展提升(1)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意，A m n中m∈N*，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉．(2)利用排列数公式灵活地解决问题的前提条件是准确把握排列数公式的结构特征——A m n 就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积，熟练掌握这一结构特征，就能活用排列数公式．[跟踪训练3](1)设a∈N*，且a<27，且(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )A．A827－a B．A27－a34－aC．A734－a D．A834－a(2)计算：A48A41212A611＝________.(3)求证：A m n＋1－A m n＝m A m－1n.答案(1)D (2)5 (3)见解析解析(1)27－a,28－a，…，34－a中最大数为34－a，一共有34－a－(27－a)＋1＝8个因式，所以(27－a)·…·(34－a)＝A834－a.(2)解法一：A48A41212A611＝8！4！×12！8！12×11！5！＝5！4！＝5.解法二：A48A41212A611＝(8×7×6×5)×(12×11×10×9)12×(11×10× (6)＝5.(3)证明：因为A m n＋1－A m n＝(n＋1)！(n＋1－m)！－n！(n－m)！＝n！(n－m)！·⎝⎛⎭⎪⎫n＋1n＋1－m－1＝n！(n－m)！·mn＋1－m＝m·n！(n＋1－m)！＝m A m－1n，所以A m n＋1－A m n＝m A m－1n.1．下列问题是排列问题的是 ( )A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？答案 B解析排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选B.2．下列各式中与排列数A m n相等的是( )A.n！(m－n)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.nn－m＋1A n－1n D．A1n·Am－1n－1答案 D解析∵A m n＝n！(n－m)！，∴A1n·A m－1n－1＝n(n－1)！[n－1－(m－1)]！＝n(n－1)！(n－m)！＝n！(n－m)！，∴A m n＝A1n·A m－1n－1.3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) A．8 B．12 C．16 D．24答案 B解析设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.4．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．答案23解析因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现错误的种数为A44－1＝23.5．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．。
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1.2.2组合(1)
【学习目标】
1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.
2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
3.会解决一些简单的组合问题.
【重点难点】
重 点: 理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系；理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
难 点: 会用组合数解决一些简单的问题.
【学法指导】
区分组合与排列的异同点，并加以应用.
【学习过程】
一．复习巩固
1、组合定义:
一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
2、组合数:
从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号________表示.
3、组合数公式:
0(1)(2)(1)!!
!()! 1.
m m n n
m m m n n A n n n n m C m A n C m n m C ---===+=-我们规定：
二．课堂学习与研讨
探究 组合数 1: m
n m
n n C C -=性质 731010
C C 练习：计算两个组合数 ； 问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？
问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
探究2.组合数性质2：11m m m n n n
C C C -+=+ 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
（1）口袋里取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
从引例中可以发现一个结论：3238
77C C C =+ 对上面的发现(等式)作怎样解释？
1211,,,1m n n a a a n m C +++一般地，从这个不同的元素中取出个元素的组合数是，
组合数性质2：11m m m n n n
C C C -+=+ 试用代数法证明性质2？
11123111,,,
1m n n a a a a a a n m a C -+-这些组合可分成两类：一类含有，一类不含有，含有的组合是从这个元素中取出个元素与组成的，共有个； 1231,,,m n n a a a a n m C +不含的组合是从这个元素中取出个元素组成的，共有个 由分类计数原理，得
例1 计算
例2. 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。
按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。
问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
329999( 1 ) ;C C +332
898( 2 ) .2C C C -+
例3.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。
产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
【当堂检测】
11111
111
12m m m m n n n n n n n n n n n m n m C C C C C C C C --+--+++++=+++++=1.证明：（）：（）
2.按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
【课堂小结】
进一步熟悉组合数的公式；了解组合数性质推导时的思维方法，掌握组合数的两个性质
【课后作业】
训练测评P7。