西藏拉萨中学2016届高三数学下学期第七次月考试卷理(含解析)

2015-2016学年西藏拉萨中学高三（下）第七次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1．设集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣x＜6}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．N∩M=∅C．M⊆N D．M∩N=R2．已知向量，若．则=（）A．B．C．2 D．43．已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．104．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣5．已知某线性规划问题的约束条件是，则下列目标函数中，在点（3，1）处取得最小值得是（）A．z=2x﹣y B．z=2x+y C．z=﹣x﹣y D．z=﹣2x+y6．执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．168．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．39．已知a，b同号，二次不等式ax2+2x+b＜0的解集为，且，，则m+n的最大值是（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣410．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．11．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4）A．B．C．D．12．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是．14．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则= ．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题（17、18、19、20、21每题12分，为必做题，22、23、24位选做题，10分，共70分）17．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（﹣1）n log2a n，其前n项和为T n，求T2n﹣1．18．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[20，50]岁的临汾市“低头族”（低头族电子产品而忽视人际交往的人群）人群随是因使用机抽取1000人进行了一次调查，得到如下频数（2）估计[20，50]年龄段的“低头族”的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从年龄段在[25，35）的“低头族”中采用分层抽样法抽取6人接受采访，并从6人中随机选取2人作为嘉宾代表，求选取的2名嘉宾代表中恰有1人年龄在[25，30）岁的概率．19．如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，CF⊥D B1，且A1F=1．（1）求证：CF⊥平面B1DF；（2）求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．20．已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a、b为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（1）当a=1时，求f（x）的极大值点和极小值点；（2）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．21．如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，并将所选题目编号在答题卡上涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证： =．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明： =0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．2015-2016学年西藏拉萨中学高三（下）第七次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1．设集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣x＜6}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．N∩M=∅C．M⊆N D．M∩N=R【考点】子集与真子集．【分析】求出集合N，从而判断出M，N的关系即可．【解答】解：集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣x＜6}={x|﹣2＜x＜3}，则M⊆N，故选：C．2．已知向量，若．则=（）A．B．C．2 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值，可得的值．【解答】解：∵向量，若，∴（2﹣）•=2﹣=2（﹣1+x2）﹣（1+x2）=﹣3+x2=0，∴x=±，则==2，故选：C．3．已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．10【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．【解答】解：∵===a+i，∴=a， =﹣1，解得：b=﹣7，a=3．∴a+b=﹣7+3=﹣4．故选：A．4．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．5．已知某线性规划问题的约束条件是，则下列目标函数中，在点（3，1）处取得最小值得是（）A．z=2x﹣y B．z=2x+y C．z=﹣x﹣y D．z=﹣2x+y【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：A．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线可得当直线经过点A（3，1）时，截距最小，此时z 最大，B．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线可得当直线经过点A（3，1）时，截距最大，此时z 最大，C．由z=﹣x﹣y得y=﹣x﹣z，平移直线可得当直线经过点B时，截距最大，此时z最小，D．由z=﹣2x+y得y=2x+z，平移直线可得当直线经过点A（3，1）时，截距最小，此时z 最小，满足条件．故选：D6．执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】计算循环中x，与i的值，当x＞23时满足判断框的条件，退出循环，输出结果k 即可．【解答】解：循环前x=3，k=0，接下来x=8，k=1满足判断框条件，第1次循环，x=8+5=13，k=2，第2次判断后循环，x=13+5=18，k=3，第3次判断并循环x=18+5=23，k=4，第4次判断并循环x=23+5=28，k=5，满足判断框的条件退出循环，输出k=5．故选C．7．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．16【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B8．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意画出图形，联立方程组求出A，B的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案．【解答】解：如图，联立，解得，∵A在x轴上方，∴，则|AF|=x A+1=4，|BF|=，由=m，得．故选：D．9．已知a，b同号，二次不等式ax2+2x+b＜0的解集为，且，，则m+n的最大值是（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式ax2+2x+b＜0的解集得出△=0，且a＜0，再利用基本不等式求出m+n的最大值．【解答】解：a，b同号，二次不等式ax2+2x+b＜0的解集为，∴方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根﹣，∴△=4﹣4ab=0，解得ab=1；又a＜0，，，∴m+n=a+b++=a+b+b+a=2（a+b）=﹣2（﹣a﹣b）≤﹣2×2=﹣4，当且仅当a=b=﹣时，取“=”，∴m+n的最大值是﹣4．故选：D．10．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根据2016π≥•，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x）的最大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又f （x ）=cos ωx （sin ωx+cos ωx ）=sin2ωx+=sin （2ωx+）+，故2016π≥•，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：D ．11．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；实际问题中导数的意义． 【分析】根据条件求出甲乙产品的利用表达式，分别求出投入甲乙两种产品的销售获得利润，利用换导数法求出最大值．【解答】解：∵甲产品的利润与投入资金成正比，∴设y=kx ，当投入4万时，利润为1，即4k=1，得k=，即y=x ， ∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，∴设y=k，当投入4万时，利润为2.5==，即k=，得2k=，即k=，即y=，设乙产品的投入资金x ，则甲产品投入资金10﹣x ，0≤x≤10，则销售甲乙产品所得利润y=（10﹣x ）+，则函数的导数y′=﹣+=，由f′（x ）＞0得5﹣2＞0，即0＜x ＜，由f′（x ）＜0得5﹣2＜0，即x ＞，即当x=时，函数取得极大值同时也是最大值，此时f （）=（10﹣）+=+=，故选：B12．若函数f （x ）=的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）【考点】函数的图象．【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）由两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0由两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是15 ．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．【解答】解：样本间距为36÷4=9，则另外一个编号为6+9=15，故答案为：15．14．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R==2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故答案为：16π．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•a6﹣r•，令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为12．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，∴P的纵坐标为2，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．故答案为：12．三、解答题（17、18、19、20、21每题12分，为必做题，22、23、24位选做题，10分，共70分）17．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（﹣1）n log2a n，其前n项和为T n，求T2n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据条件，建立方程组即可求出数列{a n}的通项公式；（2）利用分组求和方法，对n讨论是奇数和偶数，即可得到T2n﹣1．【解答】解：（1）设单调递增的等比数列{a n}的公比为q，∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴2（a3+2）=a2+a4，即 a1q+a1q3﹣2a1q2=4，又a2+a3+a4=28，即a1q+a1q2+a1q3=28，∴q=（舍去）或q=2，∴a1=2，∴a n=2n．（2）由（1）知a n=2n．∴b n=a n+（﹣1）n log2a n=2n+（﹣1）n•n，当n为奇数时，前n项和为T n=（2+4+…+2n）+（﹣1+2﹣3+4+…﹣n）=+﹣n，当n为偶数时，前n项和为T n=（2+4+…+2n）+（﹣1+2﹣3+4+…+n）=+，即有T2n﹣1=+﹣（2n﹣1）=22n﹣n．18．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[20，50]岁的临汾市“低头族”（低头族电子产品而忽视人际交往的人群）人群随是因使用机抽取1000人进行了一次调查，得到如下频数（2）估计[20，50]年龄段的“低头族”的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从年龄段在[25，35）的“低头族”中采用分层抽样法抽取6人接受采访，并从6人中随机选取2人作为嘉宾代表，求选取的2名嘉宾代表中恰有1人年龄在[25，30）岁的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表画出频率分布直方图即可，（2）根据平均数的定义即可求出，（3）根据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果．【解答】解：（1）频率直方图如下：（2）设“低头族”平均年龄为，则=22.5×0.3+27.5×0.32+32.5×0.16+37.5×0.16+42.5×0.04+47.5×0.02=29．（3）因为[25，30）岁年龄段的“低头族”与[30，35）岁年龄段的“低头族”的比值为320：160=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[25，30）岁中有4人，[30，35）岁中有2人．设[25，30）岁中的4人为a，b，c，d，[30，35）岁中的2人为m，n，则选取2人作为嘉宾代表的有（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），（c，d），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n），（m，n），共15种；其中恰有1人年龄在[25，30）岁的有（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n），共8种．所以选取的2名嘉宾代表中恰有1人年龄在[25，30）岁的概率为．19．如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，CF⊥DB1，且A1F=1．（1）求证：CF⊥平面B1DF；（2）求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明CF⊥B1F即即可证明CF⊥平面B1DF；（2）根据二面角的定义先找出二面角的平面角即可求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，D为A1C1的中点，∴DB1⊥AA1，∵CF⊥DB1，CF∩⊥AA1=F．∴DB1⊥平面AA1CC1．∴DB1⊥A1B1，则△A1B1C1为等腰直角三角形，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中高为3，AC=2，A1F=1∴AB=BC=，AF=2，FB1=，B1C=，CF=2，满足B1F2+CF2=B1C2，即CF⊥B1F，∵CF⊥DB1，DB1∩B1F=B1，∴CF⊥平面B1DF；（2）∵CF⊥平面B1DF，B1F⊂平面B1DF，DF⊂平面B1DF，∴CF⊥B1F，CF⊥DF，∵DB1⊥平面AA1CC1．∴∠B1FD是平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的平面角，则B1D=1，DF=，则cos∠B1FD===，即平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值为．20．已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a、b为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（1）当a=1时，求f（x）的极大值点和极小值点；（2）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）通过求解函数的导数，结合函数的极值点，求出b，然后通过函数的单调性求解极值点即可．（2）通过f′（x）=0求出x1=1，x2=，然后讨论当＜0时，f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），求出a．（ⅱ）当a＞0时，①当＜1时，利用f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增，求出a=．②当1≤＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增，求解a 即可．③当x2=≥e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，求解a即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为f（x）=lnx+ax2+bx，所以f′（x）=+2ax+b．因为函数f（x）=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值，f′（1）=1+2a+b=0．当a=1时，b=﹣3，f′（x）=，+ ﹣+增函数减函数增函数所以f（x）的单调递增区间为（0，）和（1，+∞），单调递减区间为（，1）﹣﹣﹣﹣所以f（x）的极大值点为，f（x）的极小值点为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）因为f′（x）==（x＞0），令f′（x）=0得，x1=1，x2=，因为f（x）在x=1处取得极值，所以x2=≠x1=1，（ⅰ）当＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）=1，解得a=﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅱ）当a＞0时，x2=＞0，①当＜1时，f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增，所以最大值1可能在x=或x=e处取得，而f（）=ln+a（）2﹣（2a+1）•=ln﹣﹣1＜0，所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当1≤＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增，所以最大值1可能在x=1或x=e处取得，而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0，所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=，与1＜x2=＜e矛盾；③当x2=≥e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0，矛盾．综上所述，a=或a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），所以，由此能求出直线l的方程．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x0，y0），则．因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x0，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x0，y0），则．设圆的方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．【解答】解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．…所以，，解得：．…故直线l的方程为：，即．…（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（法一）：设A（x0，y0），则．…因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x0，0）．…所以直线AB的方程为：，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…，所以直线AB与抛物线相切．…解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…设A（x0，y0），则．…设圆的方程为：，…当y=0时，得x=1±（x0+1），因为点B在x轴负半轴，所以B（﹣x0，0）．…所以直线AB的方程为，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…，所以直线AB与抛物线相切．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，并将所选题目编号在答题卡上涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证： =．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过弦切角定理以及角的平分线，直接证明三角形是等腰三角形，即可证明CE=DE；（Ⅱ）利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证： =即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明： =0．【考点】直线的参数方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由直线l的参数方程用代入法消去t得普通方程，曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得 x2﹣4x﹣4=0，求出x1•x2和y1y2的值，代入=x1x2+y1y2进行运算．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t得普通方程为 y=2x+2．由曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程为 x2=2y．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得 x2﹣4x﹣4=0，∴x1+x2=4，x1•x2=﹣4，∴y1y2=，∴=x1x2+y1y2=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由题意可得+=（+）（a+b）=5++，由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴+的最小值为9；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，则需|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，可转化为，或或，分别解不等式组可得﹣7≤x≤﹣1，≤x≤11，﹣1＜x＜综合可得x的取值范围为[﹣7，11]。