专题5_传送带模型的结论总结

关于传送带传送物体的结论总结

1. 基本道具：传送带（分水平和倾斜两种情形）、物件（分有无初速度两种情形）

2. 问题基本特点：判断能否送达、离开速度大小、历时、留下痕迹长度等等。

3. 基本思路：分析各阶段物体的受力情况，并确定物件的运动性质（由合外力和初速度共同决定，即动力学观点）

4. 典型事例：

一、水平传送带

例1：如图所示，设两半径均为R 的皮带轮轴心间距离为L ,物块与传送带间的动摩擦因素为μ.物块（可视为质点）质量为m ，从水平以初速度v 0滑上传送带左端。试讨论物体在传送带上留下的痕迹（假设物块为深色，传送带为浅色）

（一） 若传送带静止不动，则可能出现：

1、v 0=gL μ2,恰好到达右端，v t =0，历时t =

g v μ0， 留下痕迹△S=L

2、v 0﹥gL μ2，从右端滑离，v t =L v g 22

0μ-,历时t =g gL μμ2v v 200--，留下痕迹

△S=L

3、v 0＜gL μ2，只能滑至离左端S =g v μ220处停下，v t =0，历时t =g

v μ0，留下痕迹△S=S =g v μ220 （二） 若传送带逆时针以速度匀速运动，可能出现：

1、v 0=gL μ2恰好能（或恰好不能）到达右端，v t =0，历时t =g

v μ0，留下痕迹长△S 有两种情形：（1）当v ＜0)2(v g R L μπ+时，△S=vt+L =g

v v μ0⋅+L ;(2)当v ≥0)2(v g R L μπ+时， △S =2（L +πR _）{注意：痕迹长至多等于周长，不能重复计算}。

2、v 0﹥gL μ2，从右端滑出，v t =L v g 220μ-，历时t =g

gL

μμ2v v 200--，留下的痕迹长△S 也有两种情形：（1）当v ＜

t R L π2+时，△S =vt +L ；（2）当 v ≥t

R L π2+时，△S =2（L +πR ） 3、v 0＜gL μ2，物块先向右匀减速至离左端S =g v μ220处，速度减为零，历时t 1=g

v μ0，之后，

（1）如果v 0≤v ，物块将一直向左匀加速运动，最终从左端滑落，v t =v 0，又历时t 2=t 1，留下的痕迹长△S =2vt 1（但至多不超过2L +2πR ）。

（2）如果v 0＞v ,物块将先向左匀加速运动一段时间t 2=g

v μ，再随传送带一起向左匀速运动一段时间t 3=gv v v μ2)(220-，最终从左端滑落；v t =v ，留下的痕迹长△S =v （t 1+t 2）+2

0v （t 1-t 2）（但最多不超过2L +2πR ）.

(三)若传送带顺时针以速度v 匀速运动，可能出现

1.0≤v 0≤gL v μ22-，物块一直做匀加速运动，从右端滑出，v t =gL v μ220

+，历时t =g v gL v μμ0

202-+，留下的痕迹长△S =（vt －L ）(但最多不超过2L +2πR ) 2. gL v μ22-＜v 0＜v ,物块先向右做匀加速，历时t 1=g

v v μ0-，后随传送带一块以速度v 匀速运动，历时t 2=gv v gL v μμ22220-+，v t =v ，留下的痕迹长△S =g

v v μ2)(2

0-（但此时必有△S ＜L ）

3．v 0=v ，物块始终随传送带一块向右匀速运动，历时t =

0v L ，v t =v ，△S =0 二、倾斜传送带:

例2：如图所示。传送带倾角为θ,两轮半径均为R,轴心间距离为L 。物块的质量为m （可视为质点）。与传送带间的动摩擦

因数为μ,试讨论物体在传送带上留下的痕迹（假设物块为深色，传送带为浅色）：

(一)传送带顺时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最低端，可能出现：

1. μ≤tanθ,即mgsinθ≥mgcosθ ,无论V 多大物块无法被传递到顶端;

2. μ＞tanθ,即mgsinθ<μmgcosθ，说明物块放上后将向上匀加速运动（受力如图），加速度a =g (μcosθ－sinθ)

(1) 如果v ≥L g )sin cos (2θθμ- ，则物块一直向上做匀加速运动，至顶端

v t =L g )sin cos (2θθμ-,历时 t =

a L 2=)sin cos (2θθμ-g L , 留下的痕迹长△S = v t －L (但至多不超过2πR +2L )。

(2) 如果v ＜L g )sin cos (2θθμ-，则物块先向上匀加速运动至离底端

S 1=)sin cos (22θθμ-g v ，历时t 1=)

sin cos (θθμ-g v ;之后，∵mgsinθ<μmgcosθ，滑动摩擦

力突变为静摩擦力，大小f ’=mgsinθ，物块随传送带一起以速度v 向上匀速运动，直至从顶端滑离；v t = v ，又历时t 2=v L －)

sin cos (2θθμ-g v ; 留下的痕迹长△S =)

sin cos (22

θθμ-g v = S 1＜L 。 （二）传送带顺时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最顶端，可能出现：

1．μ≥tanθ,即mgsinθ≤μmgcosθ，无论v 多大，物块无法被传递到底端；

2．μ＜tanθ,即mgsinθ＞μmgcosθ，物体将匀加速下滑，加速度a =g (sinθ－μcosθ),

从底端滑离；v t =)cos (sin 2θθ-gl ，历时t =)

cos (sin 2θθ-g L , 留下的痕迹长△S = vt +L （但至多不超过2πR +2L ）。

(三) 传送带逆时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最顶端，可能出现：

1. v ≥L g )sin cos (2θθμ+，物块一直向下匀加速运动，a =g (sinθ+μcosθ),从底端滑离；v t =L g )sin cos (2θθμ+，留下痕迹长△S =vt －L (但至多不超过2πR +2L )。

2. v ＜L g )sin cos (2θθμ+，物块先向下以加速度a 1=g (sinθ+μcosθ)做匀加速运动，至距

顶端S 1=)sin cos (22θθμ+g v 处，速度达到v ，历时t 1=)

sin cos (2θθμ+g v ,此后， （1）如果μ＜tanθ，则继续以a 1=g (sinθ－μcosθ)向下做加速运动，从底端滑离时v t =)(2122S L a v -+,又历时t 2=2

a v v t -，整个过程中留下痕迹长为△S ，①当v t ≤3 v 时， △S =)

sin cos (22

θθμ+g v = S 1；②当v t ＞3 v 时，△S =2)(2t v v t - (2) 如果μ≥tanθ，则物块将随传送带以速度v 一起向下匀速运动(这期间滑动摩擦力变为沿斜面向上的静摩擦力)，直至从底端滑离；v t = v ，又历时t 2=v

S L 1-,整个过程中，留下的痕迹长△S=)

sin cos (22

θθμ+g v = S 1。 （四）设传送带足够长，且μ≥tanθ，开始时，传送带静止，物块轻放于最顶端。现让传送带以恒定的加速度a 0逆时针开始运动，当其速度达到v 0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，物块在传送带上面留下了一段痕迹，物块相对于传送带不再滑动。求此痕迹的长度△S 。

【分析】依题意可知，物块能在传送带上留下一段痕迹，现设传送带匀加速运动时的加速度a 0＞g (sinθ+μcosθ).如果a 0≤g (sinθ+μcosθ)，则物块将随着传送带一起运动，并始终保持相对