第9章振动与波动9[1].1-9.3

o
x
19
C、当 ∆ϕ为其他值时，称两振动不同相。 、 为其他值时，称两振动不同相。 ∆ϕ > 0 则X2比X1 的位相超前。 的位相超前。 ∆ϕ < 0 则X2比X1 的位相落后。 的位相落后。 用振幅矢量分析位相的关系 注意： 注意： ∆ϕ 的取值范围在 π 内。
x2
∆ϕ
x1
∆ϕ
x1
x2
o
x
o
x
-0.5 -1
x1 + x 2
2
1
20 -1
40
60
80
100
120
-2
设分振动 合振动
x1=Acosω 1 t ω x2=Acosω 2t ω x = x1+ x2
2
1
20 -1
40
60
80
100
120
-2
ω1 − ω 2 ω1 + ω 2 x = 2 A cos( t ) cos( t) 2 2
24
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1 ) 1 1
讨论： 讨论：两种特殊情况 (1)若两分振动同相 若两分振动同相 ϕ 2−ϕ 1=±2kπ ± π (k=0,1,2,…)
v A
v A1
v A2
则 A = A1 + A2 ，合振幅最大。 合振幅最大。 X1 t X2 t 25
单位是 S-1 或 赫兹 Hz
6
3）、 初始条件 ）、 初始时刻（ ）振动小球的位移X 和速度V 初始时刻（t=0）振动小球的位移 0和速度 0的 取值称为初始条件。 取值称为初始条件。
x 0 = A co s ϕ
v0 = − Aω sin ϕ
联立求得
2 A = x0 + 2 v0
ω2
■
v0 tan ϕ = − ω x0
2、 旋转矢量图和复数表示 、
1）、 旋转矢量表示法 ）、
t
x = A cos(ωt + ϕ )
A
ωt A
ϕ
ω
0时刻
o
x
A 振幅矢量 ω 圆频率 ϕ 初相 ■
x
16
利用旋转矢量很容易求出简谐振动的位相和运动状态 例. 已知位相求状态 问状态？ 如：位相 ωt1 + ϕ = π 3 ，问状态？ 且向 负向运动。 x = A 2 ,且向x 负向运动。
31
2.∆ϕ =− π
π 2
右旋 y2 x2 + 2 = 1 正椭圆 2 A1 A 2 左旋
A1 = A2 圆
2
斜椭圆
3.Δ =其它值 ϕ
ϕ Δ 在0 Δ 在0 ϕ
y
A2
π 之间为右旋
−π
之间为左旋
− A1
− A2
A1
x
32
∆ϕ 为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆 为任意值时，
∆ϕ = 0
π
4
π
2 -0.2
4
6
8
10
12
x
t
k m o x x
4
简谐振动势能、 简谐振动势能、动能一个周期内平均值 动能
Ek 1 = T
T
∫
0
T
kA E k dt = 4
2
( 2 sin 2 α = 1 − cos 2α )
势能
E
p
1 = T
∫
0
kA E p dt = 4
2
( 2 cos 2 α = 1 + cos 2α )
v A2
v A
ω
ω
vω A1
ϕ1
t =0
ϕ2 ϕ
x2
x1
x
X
合振动是简谐振动, 其频率仍为ω 合振动是简谐振动 其频率仍为ω，
24
合振动 x =A cos(ω t+ϕ ) ω ϕ
v A2
ω
vω A1
ϕ1
v A
ω
t =0
ϕ2 ϕ
其中
x2
x1
x
X
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1 ) 1 1 A sinϕ1 + A2 sinϕ2 tgϕ = 1 A cosϕ1 + A2 cosϕ2 1
-1
3
描述简谐振动的基本量 由 x = A cos( ωt + ϕ )
A, ω , ϕ .
A
ω
振幅（最大位移的绝对值）。 振幅（最大位移的绝对值）。
或者 圆频率 。单位 rad/s 或者/s 由系统性质决定（故称固有频率）。 由系统性质决定（故称固有频率）。
ω =
k m
( ωt + ϕ )
ϕ
位相（决定振动状态的物理量）。 位相（决定振动状态的物理量）。 称初位相。由时间零点决定。 称初位相。由时间零点决定。
21
3、简谐振动的能量 、
1 E k = mv 2 动能 2 1 = mA 2 ω 2 sin 2 (ω t + ϕ ) 2
E p Ek
1 0.8 0.6 0.4 0.2
势能
总能
1 E p = kx 2 2 1 = kA 2 cos 2 (ω t + ϕ ) 2 E = Ek + E p
1 1 2 = mv + kx 2 2 2 1 1 2 = kA = m ( A ω ) 2 2 2 守恒！ 守恒！ ■
x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
他们的位相差为
x2
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1
∆ϕ
■
ϕ2
o
ϕ1
x1
x
18
A、当 ∆ϕ 为0或者 2π的整数倍 、 或者 两个简谐振动的振动矢量始终同向。 两个简谐振动的振动矢量始终同向。 同相。 称两振动同相 称两振动同相。
o
x
19
B、当 ∆ϕ为 π 或者π 的奇数倍 、 两个简谐振动的振动矢量始终反向。 两个简谐振动的振动矢量始终反向。 反相。 称两振动反相 称两振动反相。
6
总结： 总结： 凡是运动方程具有以下形式 运动方程
d dt
2
x
2
+ ω
2
x = 0
或振动方程具有以下形式 振动方程
x = A cos( ω t + ϕ )
都是简谐振动。 都是简谐振动。 ■
3
4）、 单摆也是简谐振动 ）、 单摆的长为L，摆球的质量为 ， 单摆的长为 ，摆球的质量为m， 当摆球的角位移 θ 很小时
25
2. 两同方向不同频率（相差较小）的简谐振动的合成 两同方向不同频率（相差较小）
ω1 ≈ ω 2
合振幅时强时弱的现象称为拍 拍频
∆ν = ν 1 −ν 2 = 0.1HZ
20 40 60 80 100 120
x1
1 0.5
-0.5 -1
t t t
28
x2
1 0.5 20 40 60 80 100 120
讨论： 的关系。 讨论：位相 ( ωt + ϕ )和位移 x 的关系。 ■ 5
另外两个重要的物理量---周期和频率 另外两个重要的物理量 周期和频率 周期
T=
2π
ω
单位是 S
振动往返一次的时间。 振动往返一次的时间。
1 ω = 频率 ν = T 2π
单位时间内振动的次数。 单位时间内振动的次数。■
第10章 章
动画
内容
§1 简谐振动 §2 两个简谐振动的合成 §3 阻尼振动 受迫振动 共振 §4 简谐波 §5 惠更斯原理 §6 波的叠加 干涉 驻波 §7 多普勒效应
机械振动 物体在平衡位置附近作往复周期性运动， 物体在平衡位置附近作往复周期性运动，称为机械 振动。 振动。 最简单机械振动是简谐振动。 最简单机械振动是简谐振动。 平衡位置(速度最大 ，最大位移(速度 平衡位置 速度最大)，最大位移 速度 速度最大 为0)，回复力 ， 电磁量（ 电磁量（如I 、V、 E、 B） 、 、 电磁振动 ■
2
3π π
4
π
π
5π π
4
3π π
7π π 2
5
2π
33
4.不同频率垂直方向简谐振动的合成 4.不同频率垂直方向简谐振动的合成 一般轨迹曲线复杂，且不稳定。 一般轨迹曲线复杂，且不稳定。 • 两振动的频率成整数比时，合成轨迹稳定， 两振动的频率成整数比时 合成轨迹稳定， 整数比 称为李萨如图形 李萨如图形。 称为李萨如图形。如： 1 y
1 2 1 因此： 因此： Ek = E p = kA = E 4 2
■
4
两个简谐振动的合成 §2 两个简谐振动的合成 1. 两同方向同频率的简谐振动的合成 ω1 = ω 2 x1=A1cos(ω t+ϕ 1) ω ϕ 分振动 : x =A cos(ω t+ϕ ) ω ϕ2 2 2 合振动 : x = x1+ x2 由矢量合成法 可得 x =A cos(ω t+ϕ ) ω ϕ
θ0
θ T
Fτ
d 2θ g + θ=0 2 l dt
振动方程
θ = θ 0 cos(ωt + ϕ )
o
■ 所以，单摆是简谐振动。 所以，单摆是简谐振动。
θ
mg
13
• 例10.1 一质点沿 轴作简谐振动，振幅 一质点沿X轴作简谐振动 轴作简谐振动， A=0.10m，周期 ，周期T=2s，当t=0时，质点相 ， 时 对平衡位置的位移为x 对平衡位置的位移为 0=0.05，并向 的正 ，并向x的正 方向运动， 方向运动，求 1、质点位移的表达式 、 2、t=0.5s时，质点的位移，速度和加速 、 时 质点的位移， 度。