信号分析复习题

1.什么是确定性信号？什么是随机性信号？它们是如何分类的？答：（1）确定性信号是所有参数都已经确定，能够用确定性图形、曲线或数学解析式准确描述的信号；（2）随机性信号是不能用准确的数学表达式来描述的，具有随机性的信号； （3）它们是按照信号取值随时间变化的特点而分类的。

2.什么是[a,b]上的标准正交基？基函数系有什么特点？答：（1）一个函数系：)(0t ϕ，)(1t ϕ，…，)(t n ϕ，…，其中每个函数都是定义在区间[a,b]上的实函数或实变量的复值函数，如果同时满足就称该函数系为区间[a,b]上的标准(规范)正交函数系。

（2）基函数系的主要特点有：1）正交性；2）正则性；3）消失矩；4）紧支性；5）对称性；6）相似性；7）冗余度 3.理解内积的物理意义。

答：由于在平方可积空间L 2（R ）中的函数)(t x ，)(t y 的内积为>-=<-=⎰∞∞-*)(),()()()(τττt x t x dt t x t x R xx>-=<-=⎰∞∞-*)(),()()()(τττt y t x dt t y t x R xy若将)(τ-t x 以及)(τ-t y 视为基函数，则内积可以理解为信号)(t x 与“基函数”关系紧密度或相似性的一种度量。

⎰=-*b an m t t t a b 0d )()(1ϕϕn m ≠211()()d ()d 1b b m m m a a t t t t t b a b a ϕϕϕ*==--⎰⎰4.傅里叶变换的性质答：1）线性叠加性质；若)()(11ωx t x ↔，)()(22ωx t x ↔，则：)]()([)]()([22112211ωωx a x a t x a t x a +↔+2）时移性质；若)()(ωx t x ↔，则：0)()(0jwt e x t t x ±↔±ω 3）频移性质；若)()(ωx t x ↔，则：)()(00ωωω±↔x e x jwt 4）时间伸缩性质；设)()(ωx t x ↔，a 为正实数，则：)(1)(ax a at x ω↔ 5）时间微分性质；若)()(ωx t x ↔，则：)()(ωωx j dtt dx ↔ 6）时间积分性质；若)()(ωx t x ↔，且若0)(0==ωt x ，则：)(1)(ωωτx j x t ↔⎰∞- 7）卷积定理；若)()(11ωx t x ↔，)()(22ωx t x ↔，则：)()()()(2121ωωx x t x t x =*，)()(21)()(21ωωπx x t x t x *↔5.FFT （快速傅里叶变换）的基本思想是什么，并说明其蝶形算法。

答：FFT 的基本思想是把长度为2的正整数次幂的数据序列}{k x ，分隔成若干较短的序列，做DFT 计算以代替原始序列的DFT 计算，然后再把它们合并起来，得到整个序列}{k x 的DFT 。

把原序列}{k x 按奇偶的次序分成偶序列和奇序列，然后分别做DFT 计算，再将两个半段n X 和)2(N n X +相接后得到整个序列的n X 。

在合成时，偶序列DFT 的变换)(n G 不变，奇序列DFT 的变换)(n H 要乘以权重函数nNω。

同时，二者合成时前半段用加，后半段用减，即：)()()(n H n G n x nNω+=， 12,...,1,0-=N n')()()2(n H n G N n x nN ω-=+， 12,...,1,0-=N n 此算法即为蝶形算法。

6.画出n=8时的FFT 的计算流程图 答：注：将图中倒数第二列中的N W 0的位置写到箭头所示的位置上 7.什么是相干函数，说明其物理意义答：（1）相干函数分析建立在平稳机械信号的自功率谱密度函数)(ωx S 、)(ωy S 和互功率谱密度函数)(ωxy S 之上。

则相干函数可以定义为：)()()()(2xy 2ωωωωy x xyS S S r =1)(02≤≤ωxy r（2）相干函数反映了信号)(t y t 中频率ω的分量在多大程度上来源信号)(t x 。

8.说明使用倒频谱理论分离噪声的原理答：工程上实测的波动、噪声信号往往不是振源信号本身，而且振源或声源信号)(t x 经过传递系统)(t h 到测点输出信号)(t y 三者具有如下关系：ττd t h t x t h t x t y ⎰∞-=*=0)()()()()(对上式进行傅里叶变换)()()(f s f s f s h x y =两边取对数得)(log )(log )(log f s f s f s h x y +=对上式进行傅里叶反变换)}({log )}({log )}(log )({log )}({log 1111f s F f s F f s f s F f s F h x h x y ----+=+= 或者 )()()(q c q c q c h x y +=倒频域上由两部分组成，即低倒频率1q 和高倒频率2q 。

前者表示源信号)(t x 的谱特征，而后者表示系统特性)(t h 的谱特征。

它们各自在倒频谱图上有不同的倒频率位置。

9.什么叫全息谱，举例说明其应用。

答：（1）全息谱技术是基于一种多传感器信息集成和融合的先进诊断方法，它将机组上许多传感器收集到的信息有机地集成和融合在一起充分利用了机组的多向振动信号以及每一方向上振动信号的幅值频率和相位信息。

（2）应用:旋转机械动态信号全息谱分析实现了x 和y 两方向振动信息的融合，尤其是失谱在双通道FFT 的基础上可直接分析出单频椭圆的3个特征参数。

把全息谱技术引入启停分析可以进行全息泊德图和全息瀑布图的分析，指出三维全息谱能用于旋转机械的动平衡。

10.循环平稳信号常采用的循环统计量方法是什么？答：循环平稳信号是指这样的一种时间序列)(t x ，它具有周期时变的联合概率密度函数，),(),(011nT t x P t x P i Ni i N i +∏=∏==其中：N 是信号的统计阶数；0T 是信号的基本循环平稳周期；n 是一个给定的整数。

常用的循环统计量有：1）一阶循环统计量(循环均值)；2)二阶循环统计量（循环自相关函数；循环功率谱密度函数）；3）高阶循环统计量 11．短时傅里叶变换的基本原理及其局限性答：用一个在时间上可滑移的时窗来进行傅里叶变换从而实现了在时间域和频率域上都具有较好局部性质的分析。

当)(t h 的中心位于τ由加窗信号)(t x ，)(τ-t h 的傅里叶变换便产生短时傅里叶变换：dt e t h t x f STFT ft j x πττ2)()(),(-+∞∞-⎰-=dt e t h t x ft j πτ2)()(-+∞∞-*⎰-=dt e t h t x ft j *+∞∞-⎰-=])()[(2πτ>-=<ft j e t h t x πτ2)(),(局限性：短时傅里叶变换是一种时窗大小及形式都固定不变的时频局部化分析，由于频率与周期成反比，因此，反映信号高频成分需要用窄时窗而反映信号低频成分需用宽时窗。

这样，短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。

12．小波的正、逆变换的定义答：给定平方可积的信号)(t x 即)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换定义为：dt abt t x ab a WT x )()(1),(-=*⎰ϕ dt t t x ab a )()(1,*⎰=ϕ>=<)(),(,t t x b a ϕ该式称为连续小波变换 小波逆变换的定义：设)()(),(2R L t t x ∈ϕ,记)(Ωϕ为)t (ϕ的傅里叶变换，若：∞<ΩΩΩ=⎰∞d C 0)(ϕϕ则对)(t x 可由其小波变换),(b a WTx 来恢复，即：dadb t b a WTx aC t x b a )(),(1)(,02ϕϕ⎰⎰+∞∞-∞-=13．为什么说小波变换具有恒Q 性，有何优点？答：若)t (ϕ的时间中心是0t ，时宽是t ∆，)(Ωϕ的频率中心是0Ω，带宽是∆Ω，那么)a t (ϕ的时间中心变为0at ，时宽变成t a ∆，)a t (ϕ的频谱)(Ωa a ϕ的频率中心变为aΩ，带宽变成a∆Ω，这样：中心频率带宽=Ω∆Ω=0Q 其中，Q a=Ω∆Ω=Ω∆Ω=a中心频率带宽由于小波的恒Q 性，信号的时、频分辨率可以随分析任务的需要作调整。

14．小波变换的计算性质 答：（1）时移性质；),(),(τ-=b a WTx b a WTy（2）尺度转换性质；),(1),(b a WTx b a WTy λλλ=（3）微分性质；),(),(b a WTx bb a WTy ∂∂=（4）两个信号卷积的CWT ；),()(),()(),(b a WTx bt h b a WTh b t x b a WTy *=*=（5）两个信号和的CWT ；令)()()(),(),,(x )(),(212121t x t x t x b a W Tx b a W T CW T t x t x +=且分别是的，则),(),(),(21b a W Tx b a W Tx b a W Tx +=若)()(21t kx t kx x t +=，),(),(),(2211b a WTx k b a WTx k b a WTx +=（6）小波变换的内积定理设)(),(),()(),(),(21221t x t x R L t t x t x ∈ϕ的小波变换分别为),(),,(21b a WTx b a WTx ，则：><=⎰⎰∞+∞∞-*)(),(),(),(212021t x t x C db adab a WTx b a WTx ϕ 式中，ΩΩΩ=⎰∞d C 02)(ϕϕ，）（为t )(ϕϕΩ的傅里叶变换。

15．Mallat 多分辨分析的原理与过程 答：设j v 空间由基)}({,t k j ϕ组成，)2(2)(2,k t t j jk j -=--ϕϕ为)(t ϕ做二进制伸缩及整数位移产生的函数系，且信号)(t x 在j v 中的投影为)()()(,t k a t x P k j kj j ϕ∑=，)(k a j 为加权系数，因此，对于不同的j 分辨率不同，j 越小，分辨率越高，-∞→j 时，)(,t k j ϕ中的每一个基函数宽度都变成无穷小。

因此，有)()(t x t x P j j =∞→ ，反之+∞→j 时，)(t x P j 对于)(t x 的近似误差最大，因此，低分辨率的基函数完全可以有高一级分辨率的基函数所决定，从空间上来讲，低分辨率的空间应包含在高分辨率的空间中，又因为 在高分辨率空间中的投影对 的近似比分辨率空间中的投影好。