1.7.1 简单几何体的侧面积

h
d
b
h
h
b
a
a
d
S直棱柱侧＝（a + b + d ) ⋅ h = ch
1 S正棱锥侧 ＝ ch' 2
h'
h'
C′
h'
1 S正棱台侧 （c + c' )h' ＝ 2
h'
C
思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行比较， 思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行比较， 你能发现它们的联系和区别吗？ 你能发现它们的联系和区别吗？
2
答：锅炉的表面积约为 8.8m 2.
例2
圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 10cm
展开图的扇环的圆心角是180° 展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多 180 少？（结果中保留 π ） ？（结果中保留 解 如图，设上底面周长为c,因为扇环 如图，设上底面周长为c,因为扇环 c, 的圆心角是180° 所以c= 的圆心角是180°，所以c= π·SA 180
r1 = r2
S圆柱侧 = 2p rl
例1.一个无上盖圆柱形的锅炉，底面直径 d = 1m ， 1.一个无上盖圆柱形的锅炉， 一个无上盖圆柱形的锅炉 求锅炉的表面积（保留2个有效数字） 高 h = 2.3m ，求锅炉的表面积（保留2个有效数字）
骣÷ çd ÷ 解： S = S侧面积 + 2S底面积 = p dh + 2p ç ÷ ç2 桫 1 = p 创 2.3 + 2p 椿 1 4 8.8 (m 2 )
又因为c=2 ,所以SA=20.同理 所以SA=20. 又因为c=2 π×10=20 π ,所以SA=20.同理 SB=40.所以，AB=SBSB=40.所以，AB=SB-SA=20,S圆台侧= 所以
π ⋅ (r1 + r2 ) ⋅ AB
π ⋅ (10 + 20) × 20 = 600π (cm2 )
S圆柱表 = 2p r 2 + 2p rl = 2p r (r + l )
圆锥的表面积为： 圆锥的表面积为：

S圆锥表 = p r 2 + p rl = p r (r + l )
圆台的表面积为： 圆台的表面积为：
S圆台表 = p (r12 + r2 2 + r1l + r2l )
思考：把直棱柱、正棱锥、 思考：把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一条侧 棱展开，分别得到什么图形? 棱展开，分别得到什么图形?
解
分别是上,下底面的中心, 如图 O , O 分别是上 ,下底面的中心,则 OO = 1 1
3 , 2
连接 AO 并延长交 BC1 于 D ,连接 AO 并 延长交 BC 1 1 1 1 于 D ,过 D 作 D E ⊥ AD 于 E . 1 1
在 Rt∆D ED 中 , D E = OO = 1 1 1
r
l
宽＝
长方形
长＝ 2 π r
l
S圆 柱 侧 = S 长 方 形＝ 2 p rl
特别提醒 将空间图形问题转化为平面图形问题， 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立体几何 问题基本、常用的方法. 问题基本、常用的方法.
思考:把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形? 思考:把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形? 展开的图形与原图有什么关系？ 展开的图形与原图有什么关系？
R扇＝l
npl l扇 ＝ 180
扇形
np l S圆锥侧＝S扇＝ 360
2
l
r
1 = l扇l = p rl 2
思考:把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形? 思考:把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形? 展开的图形与原图有什么关系？ 展开的图形与原图有什么关系？
S圆台侧＝S扇环
扇环
＝（r1 + r2 )l p
A1
O1 B1
C1 D1 C
3 , 2
1 3 3 DE = DO − OE = DO − DO = × × (6 − 3) = , 1 1 3 2 2
3 3 2 DD = D E2 + DE2 = ( )2 +( ) = 3, 1 1 2 2
A
O
E D B
所以 S∆正三棱台侧= (c + c′) ⋅ DD = 1
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积， 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，您知道 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
思考: 把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形? 思考: 把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形? 展开的图形与原图有什么关系？ 展开的图形与原图有什么关系？
1、柱、锥、台的侧面展开图； 台的侧面展开图； 2、对应的面积公式
不论做什么，请记住我的格言：笑容是良药， 音乐是秘方，睡觉则可以让你忘掉一切。祝 天天快乐！
r1
r2
l
在∆S0′A和∆S0B中 ∵
S 即 x= x A 2p r1 扇 环
rl 1 r2 - r 1
1 2 1 x)- 醋 pr x 2
1 ∴ S扇环 = ? 2pr2 (l 2
o′
r1
= pr l + pr x - pr x 2 2 1 = p r l + p (r - r )x 2 2 1
l
r2
B
2p r2
= pr2l + prl 1 = p r + r2 )l （1
思考：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行比较， 思考：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行比较，你能 发现它们的联系和区别吗？ 发现它们的联系和区别吗？
S圆锥侧 = p rl
r1 = 0
S圆台侧 = p (r1 + r2 )l
1 S 正 棱 锥 侧＝ ch ' 2
c'= 0
1 S 正 棱 台 侧 ＝ （ c ＋ c ') h ' 2
c'= c
S 直 棱 柱 侧＝ ch ' = ch
例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm， 3cm 是3/2cm，求三棱台的侧面积. 3/2cm，求三棱台的侧面积. A1 分析：关键是求出斜高， 分析：关键是求出斜高，注 意图中的直角梯形 B1 O1 C1 D1 C A O E D B
§7
简单几何体的面积和体积
7.1 简单几何体的侧面积
1．掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式； 掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式； 2．能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积,熟悉台体 能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积, 与柱体、锥体之间的转换关系； 与柱体、锥体之间的转换关系； 3．感受几何体的侧面积求解过程，培养空间想象和空间 感受几何体的侧面积求解过程， 思维. 思维.
答：圆台的侧面积为600 圆台的侧面积为600
π cm2
思考：圆台的上、下底面半径分别为2 思考：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 2 3 ， 求其侧面展开图扇环所对的圆心角. 求其侧面展开图扇环所对的圆心角. 分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键 分析： 答：180° 180°
思考：圆柱、圆台、 思考：圆柱、圆台、圆锥表面积公式 圆柱的表面积为： 圆柱的表面积为：
1 2
27 3 (cm2 ). 2
答 :三 棱台的侧 面积为
27 3 2 cm . 2
1.一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4 1.一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4， 一个正三棱柱的底面是边长为 则其侧面积为 ______ 答：60 2.正四棱锥底面边长为6 ,高是 高是4 2.正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小 正四棱锥底面边长为 棱锥和一个棱台， 棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积 答： 45