弯曲应力及强度设计(问题)

(2) 圆截面：直径为d，则

1 2 和 W  bh 6

h

C y dy y d

z

1 1 4 3 I z  d 和 W  d 64 32

c

ρ y z y

z

p.8

材料力学

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横力弯曲时的应力
1．正应力计算公式：
当梁的跨度与梁的高度之比大于5时，可以使用纯弯曲的正应力计算公式， 而不会引起很大的误差，即

My  Iz

p.9

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横力弯曲时的应力
2．剪应力计算公式简介：
距中性轴为y的点上的剪应力相等且方向与剪力方向相同，大小为

QS  Izb

* z

其中，Q表示横截面上的剪力，Sz*表示距中性轴为y的横线以外部分截面面积对z 轴的静距，b是截面的宽度； 截面上最大剪应力发生在截面的中性轴上；

max

M max    W

(2) 梁截面关于中性轴不对称，拉压的许用应力相等时，强度条件为

 max 

M max  ymax Iz

 

(3) 梁截面关于中性轴不对称，拉压的许用应力不相等时，强度条件分别为

M  yt max M  yc max t max   t  , c max   c  I z t max I z c max

Me

y 图5-3

σ+max
p.5

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纯弯曲时的正应力
3．正应力计算公式的推导
(3) 静力关系：由应力和内力之间的关系知：
z c y M бdA x

y E N  AdA  A E dA   

A ydA  0
yC  0





A

ydA  yC  A  0,

上式说明，中性轴(z)通过横截面的形心 由于y轴是截面的对称轴，则My=0自然满足；另外

x

梁横截面上的内力是Q和M，任取一微面积dA，上面的正应力是σ，剪应力是τ，则 存在下列关系式：

N   dA  0
A

Q   dA
A

M z   y  dA  M
A

M y   z  dA  0
A
p.2

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纯弯曲时的正应力

1．平面假设：
梁的横截面在变形前后仍保持为平面，且垂直于梁的轴线；

b

一些常见截面的最大剪应力是 距形截面：

 max

3Q  2 bh

Q h y

圆截面：

工字型截面：

4 Q max  3 R2 y ω Q ，其中b和h分别是腹板的宽度和高度； max  bh

yC

z (中性轴)

p.10

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弯曲强度条件
1．等截面梁正应力强度条件
(1) 梁截面关于中性轴对称，拉压的许用应力相等时，强度条件为
p.11

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横力弯曲时的应力
2．剪应力强度条件：

max  

在同时给出正应力和剪应力强度条件时，一般先考虑正应力强度条件， 再考虑剪应力强度条件；

p.12

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横力弯曲时的应力
3．提高弯曲强度的措施
(1) 合理安排梁的支承； (2) 合理布置载荷；

p.13

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(4) 正应力公式：综合上面的关系得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
My  Iz
最大正应力是：

其中

Iz W ymax

Mymax M M  max    Iz W Iz ymax

称抗弯截面系数；
p.7

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纯弯曲时的正应力
4．截面性质：
(1) 矩形截面：矩形的高是h，宽是b，则

b

1 3 I z  bh 12

y

y E M z  M  A ydA  A y  E dA  A y 2 dA  
令 Iz 
2 y A dA 则：

EI z M 

或

1 M   EI z
p.6

其中EIz称抗弯刚度； 在纯弯曲时，轴线的曲率是常数，即轴线是一条圆弧

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纯弯曲时的正应力
3．正应力计算公式的推导
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弯曲应力及强度设计
Design Of Beams For Bending Stresses

p.1

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概念
1．纯弯曲：
梁截面上没有剪力，而只有弯矩，且弯矩是一个常量；

2．横力弯曲：
梁截面上既有剪力，又有弯矩；

z

Q

M σ τ y 图5-1

3．横截面上内力和应力之间的关系： 如图5-1所示，

2．应力分析：
正应力有拉应力，也有压应力，在过渡处的正应力则为0；定义梁中正应力为0 的一层为中性层，中性层与横截面的交线为中性轴；

p.3

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纯弯曲时的正应力
3．正应力计算公式的推导
(1) 变形几何关系：见图5-2；

dx O y b O b

ρ

dθ

y

O' b'

O' b'

图5-2 OO在中性层上，变形后OO长度不变，所以bb=OO=O'O'，bb的应变是：

 max

M x     W x 

阶梯轴为近似的等强度梁

等高等强度梁。
p.15



b' b'bb (   y )d  d y    bb d 
p.4

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纯弯曲时的正应力
3．正应力计算公式的推导
(2) 物理关系：由胡克定律知：

y   E  E 
由表达式知： 当y<0时，正应力是压应力，当y>0时，正应力是拉应力，当y=0时，正应力为 0(中性层)；横截面上沿y方向的正应力分布如图5-3所示； σ-max 中性轴

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横力弯曲时的应力
3．提高弯曲强度的措施
(3) 合理选择梁的截面：要使抗弯截面系数W增大，但不能使截面面积过份增大 ，即使W/A的值增大；

p.14

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横力弯曲时的应力
3．提高弯曲强度的措施
(4) 等强度梁的概念：使梁截面随截面上的弯矩改变而改变，结果使每个截面上 的最大正应力均相等，且等于许用应力，即