数学--四法求初相
高二数学课本知识点总结归纳(8篇)
高二数学课本知识点总结归纳（8篇）高二数学课本知识点总结归纳（8篇）你知道哪些高二数学知识点是真正对我们有帮助的吗在平凡的学习生活中，大家都背过各种知识点吧知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
下面是小编给大家整理的高二数学课本知识点总结归纳，仅供参考希望能帮助到大家。
高二数学课本知识点总结归纳篇1高二数学知识点11、导数的定义：在点处的导数记作、2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0，f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3、常见函数的导数公式：4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导，如果，那么为增函数;如果，那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围，那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较，的为值，最小的是最小值。
高二数学知识点2等差数列：对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差，记为d;从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。
那么，通项公式为，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：将以上n—1个式子相加，便会接连消去很多相关的项，最终等式左边余下an，而右边则余下a1和n—1个d，如此便得到上述通项公式。
此外，数列前n项的和，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。
值得说明的是，前n项的和Sn除以n后，便得到一个以a1为首项，以d/2为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。
等比数列：对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比q;从第一项a1到第n项an的总和，记为Tn。
4-1-2简谐运动旋转矢量法简谐运动的动力学讲解
-A1
的相位角来判断。
1
2
, 2
0
1
3
2
,
2
0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2 1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位 移 ：x(t) Acos(t )
速 度 ：(t) Asin(t )
加 速 度 ：a(t) 2 x(t)
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
dt
2
a(t)
d 2 x(t) dt 2
2 Acos(t
)
2 x(t)
m
加速度与位移成正比而反向
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
- 2A
a < 0 a<0 加速
<0 >0 减速
o
x
x
>0 >0 加速
T t
>0 <0 减速
三. 描述简谐运动的特征量 x(t)=Acos( t+)
1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关
波动与光学
第1章 振 动 (Vibration)
生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船， 人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜， 人类自身中的：声带、耳膜、心脏， 不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、
传递温度的固体内原子的振动、 传递信息的天线中电子的振动…… 周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。
2.周期T (period) 振动往复一次所需时间 频率v (frequency) 单位时间内的振动次数
数学热点题型突破：第3章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及3角函数模型的简单应用
学必求其心得，业必贵于专精第四节函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用考点一五点法作图及图象变换［例1］已知函数y＝2sin错误!。
(1)求它的振幅、周期、初相；(2）用“五点法"作出它在一个周期内的图象；（3)说明y＝2sin错误!的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．［自主解答］(1)y＝2sin错误!的振幅A＝2，周期T＝错误!＝π，初相φ＝错误!.（2）令X＝2x＋错误!,则y＝2sin错误!＝2sin X。
列表：x－错误!π12错误!错误!5π6X0错误!π错误!2πy＝sin X010－1y＝2sin错误!020－2描点画图：(3）法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移错误!个单位长学必求其心得，业必贵于专精度，得到y ＝sin （）x ＋π3的图象；再把y ＝sin 错误!的图象上所有点的横坐标缩短到原来的错误!倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 错误!的图象；最后把y ＝sin 错误!上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变），即可得到y ＝2sin 错误!的图象．法二:将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的错误!倍（纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移错误!个单位长度，得到y ＝sin 错误!＝sin 错误!的图象；再将y ＝sin 错误!的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），即得到y ＝2sin 错误!的图象．【互动探究】若将本例（3)中“y ＝sin x "改为“y ＝2cos 2x "，则如何变换？解：y ＝2cos 2x ＝2sin 错误!错误!y ＝2sin 2x 错误!y ＝2sin 错误!，故将y ＝2cos 2x 的图象向右平移错误!个单位长度即可得到y ＝2sin 错误!的图象．【方法规律】函数y ＝A sin(ωx ＋φ）（A ＞0,ω＞0）的图象作法(1）五点法：用“五点法”作y ＝A sin （ωx ＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，错误!，π,错误!,2π来求出相应的x ，通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象．（2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移"．1．为了得到函数y ＝sin 错误!的图象，只需把函数y ＝sin 错误!的图象（ )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移错误!个单位长度 C ．向左平移错误!个单位长度 D ．向右平移错误!个单位长度解析:选B y ＝sin 错误!＝sin 错误!，y ＝sin 错误!＝sin 错误!＝sin 错误!，所以将y ＝sin 错误!的图象向右平移错误!个单位长度得到y ＝sin 错误!的图象．2．把函数y ＝sin （ωx ＋φ)(ω＞0，|φ｜＜π)的图象向左平移π6个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象表示的函数解析式为y ＝sin x ，则ω＝________，φ＝________.解析：y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的错误!倍（纵坐标不变),所得的图象表示的函数解析式为y ＝sin 2x ，再将此函数图象向右平移错误!个单位长度可得y ＝sin 2错误!的图象，即y ＝sin 错误!，所以ω＝2，φ＝－错误!。
高考数学复习点拨 对初相的理解及求解
对初相ϕ的理解及求解一、对初相ϕ的理解教材中指出：物理中，简谐运动的函数解析式形如[)sin()0y A x x ωϕ=+∈+，，∞（其中00A ω>>，），x ωϕ+称为相位；0x =时的相位ϕ称为初相．可见，ϕ没有明确的范围，并且可正可负，这里先从形式上予以浅谈．例1 指出函数πsin 2(π)3y x ϕ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭的初相． 分析：本题中解析式需满足sin()y A x ωϕ=+中的00A ω>>，，因此函数需要化成标准形式才能解答．解：由ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2πsin π2sin 233x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可知，函数的初相是2π3． 二、初相ϕ的求法1．代点法：即将图象上的已知点代入解析式求ϕ例2 根据图象写出函数sin()y A x ωϕ=+（00A ω>>，）的解析表达式． 解：由图象1可知：A =周期2[6(2)]16T =⨯--=，所以2ππ168ω==，因此π8y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 下面请看有关ϕ的几种求法：分析：由正弦曲线sin y x =可知，点(2π0)k ，在其单调增区间上，点((21)π0)k -，在其单调减区间上，因此在求ϕ时要特别注意由该点所在区间的单调性来确定x ωϕ+的取值．解法一：点(60)，在其增区间上， 所以π62π8ϕ⨯+=． 解得5π4ϕ=； 解法二：点(20)-，在其减区间上， 所以ππ4ϕ-+=． 解得5π4ϕ=； 解法三：因为点(2-，在图象上且为最低点，所以πsin 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π3π42ϕ+=．解得5π4ϕ=．因此所求解析式为π5π84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 说明：以上解法的关键是抓住两点，一个是已知点所在单调区间，另一个是最值点．2．平移法：函数s i n (y Ax ωϕ=+（00A ω>>，）的图象，看作是由s i n y x ω=的图象经向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕω个单位而得到． 例3 已知电流I 与时间t 的关系为πsin()02I t ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，，根据图2中的数据求其解析式．解：由图可知300A =，周期111218090075T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以2π150πTω==． 因此300sin(150π)300sin[150π]150πI t t ϕϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 由图象的平移可知，1150π900ϕ-=-， 又π2ϕ<，解得π6ϕ=． 因此所求解析式为π300sin 150π6y t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 说明：由平移可知，sin()sin y A x A x ϕωϕωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭上面的点2π0ϕωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，对应着 sin y x ω=上面的点2π0ω⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且都在其单调增区间上，否则在例3中易出现1150180ϕ-=，5π6ϕ=-的错解．。
高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.3 1.3.1 第二课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含答案
1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。
求三角函数初相
求三角函数初相在学习三角函数时，一个重要的概念就是初相，初相指的是三角函数图像与横轴交点的位置，能够影响到函数图像的周期和形态。
因此，在求解三角函数初相时必须掌握一定的方法和技巧。
一、正弦函数的初相正弦函数的标准式为y=Asin(ωx+φ)+k，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相，k为y轴上的截距。
对于正弦函数来说，初相指的是在x轴上的第一个正弦函数图像的左端点对应的x值。
求解正弦函数初相的一个方法就是观察函数图像和周期。
由于正弦函数在一个周期内从0到2π再回到0，因此只需找到一个周期内的两个特殊点，然后计算它们之间的距离，再把这个距离除以相应的函数系数即可。
另外，还可以用公式φ=arcsin(y0/A)-ωx0来求解。
其中，y0为图像上第一个极小值点的y坐标，x0为对应的x坐标。
二、余弦函数的初相余弦函数的标准式为y=Acos(ωx+φ)+k，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相，k为y轴上的截距。
对于余弦函数来说，初相指的是在x轴上的第一个余弦函数图像的最高点对应的x值。
与求解正弦函数初相类似，求解余弦函数初相也可以通过观察函数图像和周期得到。
由于余弦函数在一个周期内从1到-1再回到1，因此只需找到一个周期内的两个特殊点，然后计算它们之间的距离，再把这个距离除以相应的函数系数即可。
另外，还可以用公式φ=arccos(y0/A)-ωx0来求解。
其中，y0为图像上第一个极大值点的y坐标，x0为对应的x坐标。
三、正切函数的初相正切函数的标准式为y=Atan(ωx+φ)+k，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相，k为y轴上的截距。
对于正切函数来说，初相指的是在x轴上的第一个切线与x轴交点的x值。
求解正切函数初相可以用公式φ=arctan(y0/A)-ωx0，其中y0为函数图像上第一个切线斜率为正无穷的位置对应的y值，x0为对应的x值。
另外，由于正切函数的周期是π/ω，因此也可以通过求周期来求出初相，即φ=π/2-ωl。
怎样求初相
怎样根据正余弦型曲线的特征求初相ϕ？根据正弦型函数()sin y A x b ωϕ=++的图像特征求解析式是一类常考不衰的题型，如2010年高考题中就出现了数次。
它有时以选择题的形式出现，此时要尽可能用排除法求解；但是以填空题或者解答题的形式出现也有可能，此时其难度往往集中在初相ϕ的确定上，根据已知条件的不同又分为两类，第一类是已知点为“纯零点型”的，那么我们一般都是从寻找“五点法”的第一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口，注意从图像的升降趋势找准第一个零点的位置；第二类是“非纯零点型”的，即已知点不全在x 轴上的，此时求初相ϕ的值相对容易一些。
求A 与ω的值都不会难，此时要写出初步的解析式，以便用待定系数法求ϕ。
一般地，题目都会规定A ＞0，如果没有规定，也先假设A ＞0解下去。
若对初相ϕ的范围未给出限制，则习惯上尽量取一个绝对值比较小的值，如ϕ＜2T 。
【问题1】如图为电流I 与时间t 的关系式()sin I A t ωϕ=+ 在一个周期内的图像，请写出这个解析式。
【解析】：由图像知，A=300，最小正周期 T=111215030050⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴2100T πωπ==， 此时()300sin 100I t πϕ=+……（*）图像上的第一零点（图像开始上升的零点）为1,0300⎛⎫-⎪⎝⎭，将其代入（*）式中，得11000300πϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，∴3πϕ=， ∴所求解析式为300sin 1003I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭。
其中ϕ的值也可以这样求：100100100100100t t t ϕϕπϕππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 比较图像得：11003003ϕπϕπ-=-⇒=。
这个方法体现了用“五点法”的第一个零点求ϕ的值的思想，是最具一般性的思想。
【问题2】（2005全国高考Ⅰ第17题）设函数()()sin 2f x x ϕ=+（π-＜ϕ＜0），()y f x =的一条对称轴是直线8x π=。
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
初相的求法若干
初相的求法
如何根据正弦型函数y =Asin(ωx +φ)的图像正确地写出它的解析式,是中学数学教学中的一个难点问题 .难点的关键在于初相φ的确定,拜读文[1 ]后深受启迪,张老师从图像出发给出了一种确定初相φ的方法,但没有从理论上给予论述,问题的研究不够深入,本文就这一问题作进一步的探讨 .
1 初相φ的范围根据正弦函数y =sinx的周期性,初相φ的取值可规定在(-π,π]之内 .因为正弦型函数的解析式y =Asin(ωx +φ) (A 0 ,ω0 )应该是最简形式 .如果初相|φ|π,则可设φ=
2 kπ+φ′(k∈Z) ,φ′∈[-π,π].此时,y =Asin(ωx +φ) =Asin(ωx +2 kπ+φ′) =Asin(ωx +φ′) .由于φ′=-π与φ′=π的终边相同,所以,φ′可限定在(-π,π]内取值.因此,我们总可以规定初相φ在区间(-π,π]之内取值.当初相φ=...。
人教版高中数学-三种办法求初相角
精校版三种办法求ϕ值已知B x A y ++=)sin(ϕω的一段图象求解析式问题是三角习题中常见题型，在解答过程中同学们对ω,,B A 的求值大都感觉比较容易，而求ϕ值却颇感棘手，当中也有许多困惑，如遇增解而不知其由、出错解而不知其因等。
本文选三例给出求ϕ的三种办法。
旨在帮助同学拔开迷雾、揭开疑团、澄清思路、总结方法。
1、“代点法”求ϕ该办法的基本思路就是：求出了ω,,B A 之后，再利用图象上一定点的坐标建立方程去求ϕ。
例1、 如图为),0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的一段图象（实线），求其解析式。
解：依图可知A=32)365(22=⇒-==ωππωπT ⊗+=∴ )2sin(3ϕx y 经分析可知该图象过点)3,127(π，将其代入上式得： .32,,322)67sin(33πϕπϕππϕϕπ-=∴<-=⇒+=而k 故).322sin(3π-=x y 点评：1、若代点)0,3(π或)0,65(π求ϕ则会出现增解现象，即多出了图中虚线情况； 2、代点求ϕ时为避免出现增解要代最值点。
2、“五点法”求ϕ该办法的基本思路就是：求出了B A ,之后，再结合“五点法”作图中所选点的特征，对照本图列方程（组）求ϕ。
例2、 如图为),0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的一段图象，求其解析式。
解：由图可知A=2,即)sin(2ϕω+=x y 又函数图象过点P )0,127(π-与点Q )1,0(，因此： ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-⎪⎩⎪⎨⎧==+-626127:0sin 0)127sin(πϕωπϕπϕωπϕϕωπ由五点法作图可知点评：1、本解中注意P 点、Q 点分别与五点法作图中的点)0,0(),0,(π-相对应； 2、利用该法解题时一定要注意点的对应关系要吻合。
否则会出现错误。
3、“变换法”求ϕ该办法的基本思路就是：求出了ω,,B A 之后，再结合B x A y ++=)sin(ϕω的图象可由x y sin =的图象变换得到的过程去求ϕ。
高中数学教材必修4知识点
高中数学必修4知识点汇总目录第一章三角函数 (3)§1.1.1任意角 (3)§1.1.2弧度制 (3)§1.2.1任意角的三角函数 (3)§1.2.2同角三角函数的基本关系式 (4)§1.3三角函数的诱导公式 (4)§1.4.1正弦、余弦函数的图象和性质 (5)§1.4.2正切函数的图象与性质 (5)§1.5函数()ϕω+=xAy sin的图象 (7)第三章三角恒等变换 (9)§3.1.1两角差的余弦公式 (9)§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (9)§3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 (9)§3.2简单的三角恒等变换 (10)第二章平面向量 (10)§2.1.1向量的物理背景与概念 (10)§2.1.2向量的几何表示 (10)§2.1.3相等向量与共线向量 (10)§2.2.1向量加法运算及其几何意义 (10)§2.2.2向量减法运算及其几何意义 (11)§2.2.3向量数乘运算及其几何意义 (11)§2.3.1平面向量基本定理 (11)§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 (11)§2.3.3平面向量的坐标运算 (11)§2.3.4平面向量共线的坐标表示 (12)§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (12)§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (12)§2.5.1平面几何中的向量方法 (14)§2.5.2向量在物理中的应用举例 (14)1、直线的方向向量和平面的法向量 (14)2、用向量方法判定空间中的平行关系 (15)5、利用法向量求空间距离 (17)6、三垂线定理及其逆定理 (18)7、三余弦定理 (19)8、面积射影定理 (19)9、一个结论 (19)高中数学必修4知识点总结第一章 三角函数 §1.1.1任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 r l =α.3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.§1.2.2同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈）2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.2正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增 在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增 对称性 Z k ∈ 对称轴方程：2x k ππ=+ 对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.5函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减） 横坐标不变()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+（左加右减）平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2y y A -=，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.第三章 三角恒等变换 §3.1.1两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=.2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=.变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 第二章 平面向量 §2.1.1向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x j y i x a ,=+=.§2.3.3平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x b a =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x --=.§2.3.4平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θb a =⋅.2、 a 在b θ.3、 2=.4、 =.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=r r r r2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==r r r r4点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=u u u r，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =r平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1平面几何中的向量方法 §2.5.2向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n r所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥r ，如果n α⊥r ，那么向量n r叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =r．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==r u r．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r r .⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a r ∥b r ，即()a kb k R =∈r r. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a r ，平面α的法向量是u r，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥r r ，即0a u ⋅=r r.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u r ，平面β的法向量为v r ，要证α∥β，只需证u r ∥v r，即证u v λ=r r .即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥r r ，即0a b ⋅=r r . 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a r ，平面α的法向量是u r ，则要证明l α⊥，只需证明a r ∥u r，即a u λ=r r .②（法二）设直线l 的方向向量是a r ，平面α内的两个相交向量分别为m n u r u u r 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩r u rr r则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.⑶面面垂直若平面α的法向量为u r，平面β的法向量为v r ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥r r ，即证0u v ⋅=r r .即：两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BDAC BDθ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为u r ，直线与平面所成的角为θ，a r 与u r的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .in a ua uϕθ⋅==r r r⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n u r r 、，再设m n u r r 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n u r r、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：OAOBl◆如果θ是锐角，则cos cos m nm nθϕ⋅==u r r u r r ，即arccos m nm nθ⋅=u r r u r r ；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-u r r u r r ，即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭u r r u r r .5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a r为直线l 的方向向量，b r =PQ uuu r ，则点Q 到直线l 距离为h =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n r ，则P 到平面α的距离就等于MP u u u r在法向量n r 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =u u u r r u u u u rn MP MP n MP ⋅=⋅r u u u r u u u r r u u u rn MPn⋅=r u u u r r ⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MPd n⋅=r u u u r r⑷两平行平面,β之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=r u u u r r⑸异面直线间的距离设向量n r 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP u u u r在向量nr 方向上投影的绝对值.即.n MPd n⋅=r u u u r r6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭I概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭I概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、 面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。
2025年高考数学总复习课件34第四章第五节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
2．(教材改编题)将函数y＝3sin
2x+
π 4
的图象向左平移π3个单位长度后得到函数
y＝g(x)的图象，则g(x)＝____________.
3sin
2x+
11π 12
解析：g(x)＝f
x+
π 3
＝3sin
2
x+
π 3
+
π 4
＝3sin
2x+
11π 12
.
第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用
第四章 三角函数与解三角形
第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用
·考试要求· 1．结合具体实例，了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义． 2．能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象 的影响． 3．会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事 物周期变化的数学模型．
3x+
π 3
＋2
C．f (x)＝2sin
3x－
π 6
＋2
√D．f (x)＝2sin
2x+
π 6
＋2
D
解析：根据题图知ቊbA－+bA==40，，所以A＝2，b＝2.又T＝4
5π 12
－
π 6
＝π，
所以ω＝2ππ＝2.
又函数的图象经过最高点
π 6
，4
，
代入函数f (x)＝2sin (2x＋φ)＋2，得sin
＝－sin 2x，所以f (x)＝－sin 2x.
而直线y＝12x－12显然过
0，－
1 2
六招破解函数f(x)=Asin(ωx十ψ)之初相
六招破解函数f（x）=Asin（ωx十ψ）之初相作者：翟爱国来源：《新高考·高二数学》2018年第05期求初相是学习函数f（x）=Asin（ωx+ψ）中的一个难点，也是确定函数解析式的重要步骤，许多同学由于掌握不住确定ψ的有效方法致使解题出错.如何求初相？本文介绍六种方法，供同学们参考.一、五点法“五點法”作图时，要抓住五个关键点，使函数式中的ωx+ψ取0，π/2，π，3π/2，2π，通过列表作出函数的图象.由方程的思想可知，利用“五点法”来确定初相ψ，即在五点中找到两个特殊点列出方程组解出ψ·二、初始点法这里把“五点法”中的第一零点叫初始点.如果函数图象提供了初始点的坐标，义能根据周期求出ω，利用初始点坐标x。
代入ωx0+ψ=2kπ，k∈N即可求出ψ.三、图象平移先确定函数的基本函数Y=AsinωX，根据图象平移规律就可以确定相关的参数.四、利用最值点对于函数y=A sin（ωx+ψ）（A>O，ω>o），当x=2kπ+π/2，k∈z时，y取最大值；当x=2kπ+3π/2，k∈z时，y取最小值.如果图象给定的点是五个关键点的最值点，则可以代入最值点坐标来确定，若题目对ψ有范围限制，则可以选取适当的k来确定φ的值.五、利用单调性我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般有两个解，我们可在一个限定的范围内利用函数的单调性求出其唯一解.六、利用对称性函数y=A sin（ωx+φ）（A>O，ω>o）的图象既是轴对称图形义是中心对称图形时，可以根据它的对称轴和对称中心与φ的关系，求出φ的值.同学们，上面介绍破解初相的六种方法，其实这些方法不是彼此孤立的，而是互相有关联的.如果能把每一道题多角度思考，举一反三，一定能融会贯通，受益匪浅.。
高中数学公式汇总
高中数学公式汇总一．集合与函数1.集合运算：交、并、补.(利用韦恩图理解并交补)2.集合的运算律：交换律： 新课标第一网 结合律: 分配律:. 3.函数定义域的三个关键：（1）分母0≠；（2）里面0≥；（3）ln 里面0>.4.函数奇偶性的判断：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=-.,cos ,)()(.tan ,sin ,)()(等偶函数：等奇函数：偶奇x x x x f x f x x x x f x f （2）将奇函数看成负数，偶函数看成正数⎪⎩⎪⎨⎧奇偶得奇偶偶得偶奇奇得偶（3）复合函数奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”。
5.函数单调性的判断：先定义域后求导，0)(≥'x f 单调递增；0)(≤'x f 单调递增。
6.函数周期性的定义：对x ∀，)()(T x f x f +=（T 为常数），则)(x f 的周期为T 。
（若函数)(x f 有两条对称轴a x =，b x =，则)(x f 是周期为a b -2的周期函数。
7.常见函数的求导公式：()()()()xxxxn n ee aaa nx x C ='='='='-ln 01()()()()()xx xx x x xx ax x a 2sec tan sin cos cos sin 1ln ln 1log ='-='='='='乘法求导法则：()g f g f g f '⋅+⋅'='⋅ 除法求导法则：2g g f g f g f '⋅-⋅'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛{|,}{|}{,}AB x x A x B AB x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C .;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==二．三角函数8.弧长R L α=， 22121R LR S α==扇形，其中α是圆心角。
初相三角函数
三角函数的初相怎么求
解析：三角函数公式为f（x）=Asin（ωx+φ）
这里A是振幅ω影响周期,φ是是初相,ωx+φ称为相位
∴求初相只需将x=0带入
∴f（0）=Asin（φ）
如果f（0）=特殊值就可以求出φ
否者得借助计算器.
在三角函数图像y=Asin(ωx+φ)中ωx+φ称为相位（phase）,x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相。
注意：初相的前提是（A>0，ω>0），如果其中有一个不是，可以通过诱导公式进行变形，使之满足上述条件即可。
物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、和频率等都是与这个解析式中的常数有关。
A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=2π/ω，这是做间歇运动的物体往复运动一次所需要的时间。
这个简谐运动的频率由公式f=1/T=|ω|/2π（这里的频率不是指角速率）它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数。
扩展资料：
初相的运算：
1、三角函数图像向左或向右移动的距离=φ/|ω|（注意移动距离向左符号为正，向右符号为负。
谨记左加右减原则）不过这个应用并不广泛。
2、带入运算法：取函数图像上的某点代入函数表达式即可算出初相φ。
初相为零时，余弦表达的质点处于"正方向端点"，正弦表达的质点处于"平衡位置，正方向运动"，表明H的起始位置是"正方向端点"，H'的起始位置是"平衡位置，正方向运动"，显然H与H'差值的根本原因是由于两种表达式的质点起始位置不同而造成的。
数学(心得)之巧求初相角速解题
数学论文之巧求初相角速解题巧求初相角速解题◎王卫华求初相角是高中数学学习中的一个重要知识点，也是一个难点，涉及到求初相、相位、求三角函数解析式、分析图象性质、图象变化等题型，本文专门谈谈怎样求初相角．一、反代法例1．(2003年全国高考文科题)函数y＝sin(x＋φ)(0≤x≤π)是R上的偶函数，则φ＝()A．0B．π4C．π2D．π解：把φ＝0，π4，π2，π分别代入原函数验证，可知仅当φ＝π2时为偶函数，故选C．说明：一般的，如果题目是选择题，可用反代法的思路将选择枝代入检验，这可以大大节约时间，提高命中率．二、巧用图象与函数式之间的联系速求初相角例2．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象(其中φ＜π2)，那么()A．ω＝1011，φ＝π6B．ω＝1011，φ＝－π6C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6解：观察各选择答案可知，应有ω＞0，观察图象可看出，应有T ＝2πω＜2π，∴ω＞1，故可排除A与B，由图象还可看出，函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象是由函数y＝2sinωx的图象向左移而得到的，∴φ＞0，又可排除D，故选C．说明：在求解此题时，可充分利用图象与函数式之间的联系，也可用排除法来巧妙求解．在高考中主要考查已知函数图象或已知函数的性质求解析式，关键在于求A，ω，φ等三个量，反过来已知解析式可以画出其图象．别解：由图可知，点(0，1)和点(11π12，0)都是图象上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sinφ＝1，即sinφ＝12，又｜φ｜＜π2，∴φ＝π6．又由“五点法”作图可知，点(11π12，0)是“第五点”，所以ωx ＋φ＝2π，即ω·1112π＋π6＝2π，解之得ω＝2，故选C．例3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)图象的一个最高点(2，3)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求φ．解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16，∴ω＝2πT＝π8，又A＝3，∴y＝3sin(π8x＋φ)把(2，3)代入上式得：3＝sin(π8×2＋φ)·3，∴sin(π4＋φ)＝1，而0＜φ＜2π，∴φ＝π4，所求解析式为：y＝3sin(π8x＋π4)．评析：待定初相位时，既要思考过点，又要思考点所在的单调区间或五点中按序的第几个点，整体变量解出初相位．三、利用最值思想巧求初相角例4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，｜φ｜＜π2）在同一周期内，当x＝π12时，y有最小值－2，当x＝7π12时，y有最大值2，求函数的解析式．分析：由y＝Asin(ωx＋φ)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即T2，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求φ．解：由题意A＝2，π2＝7π12－π12，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)，又x＝π12时y＝2，∴2＝2sin(2×π12＋φ)，∴φ＋π6＝π2，∴φ＝π3．∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋π3)．四、利用函数的奇偶性探求初相角例5．(2003年江苏)已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间［0，π2］上是单调函数，求φ的值．分析：抓住函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，且有f（－x）=f（x），这点是解决本题的关键．解：由f（x）是偶函数，得f（－x）=f（x）．即sin（－ωx+φ）=sin（ωx+φ），∴－cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以得φ=π2．评析：函数的奇偶性是指判断y＝Asin(ωx＋φ)型的奇偶性，或已知奇偶性求参数．对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(φ≠0)，当φ＝kπ(k∈Z)，则函数f(x)为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则函数f(x)为偶函数；否则一定是非奇非偶函数．本小题考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．五、由函数的对称性巧求初相例6．（2005全国卷Ⅰ）设函数f(x)=sin(2x+φ)(－π解：由图象知，将y=5sin(23x)的图象沿x 轴向左平移π2个单位，就得到本题图象，故所求函数为y＝5sin23(x ＋π2)，即y＝5sin(23x＋π3)．评析：在高考中对于图象的平移要引起重视，这是高考中一个重要知识点．九、借用辅助角将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式得到初相角例10．已知函数f(x)=4sin2x+2sin2x－2，x∈R．求f(x)的初相角．解：f(x)=4sin2x+2sin2x－2=2sinx－2(1－2sin2x)=2sin2x－2cos2x=22sin(2x－π4)．故的初相为－π4．评析：一般来说，将其它形式的题转化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，如对所求函数式中的A、ω、φ不加限制(如A、ω的正负，角φ的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中．（原载2008年4月《数理天地》）。
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初相角初相角在物理学中，相位是反映交流电任何时刻的状态的物理量。
比如正弦交流电流，它的公式是i=Isinωt=Isin2πft。
随着时间的推移，交流电流可以从零变到最大值，从最大值变到零，又从零变到负的最大值，从负的最大值变到零。
在三角函数中2πft相当于角度，它反映了交流电任何时刻所处的状态，是在增大还是在减小，是正的还是负的等等。
因此把2πft叫做相位，或者叫做相。
在t等于零时且初相ψ不等于零时，公式应为：i=Isin(ωt+ψ)=Isin(2πft+ψ)。
那么2πft+ψ叫做相位，ψ叫做初相位，或者叫做初相。
初相是自正弦量零点开始到t=0所经历的电角度，所以初相与计时起点无关。
什么是初相角浏览次数：880次悬赏分：0|提问时间：2010-6-15 20:19 |提问者：wangyc2188请通俗一点，最好有列子推荐答案在物理学中，相位是反映交流电任何时刻的状态的物理量。
比如正弦交流电流，它的公式是i=Isinωt=Isin2πft。
随着时间的推移，交流电流可以从零变到最大值，从最大值变到零，又从零变到负的最大值，从负的最大值变到零。
在三角函数中2πft相当于角度，它反映了交流电任何时刻所处的状态，是在增大还是在减小，是正的还是负的等等。
因此把2πft叫做相位，或者叫做相。
在t等于零时且初相ψ不等于零时，公式应为：i=Isin(ωt+ψ)=Isin(2πft+ψ)。
那么2πft+ψ叫做相位，ψ叫做初相位，或者叫做初相在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示，频率的2π倍叫角频率，即ω=2πf。
在国际单位制中，角频率的单位也是弧度/秒。
频率是描述物体振动快慢的物理量，所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量。
频率、角频率和周期的关系为ω = 2πf = 2π/t。
在简谐振动中，角频率与振动物体间的速度 v 的关系为v =ωasin( ωt + φ )。
以上可以看出，圆周运动中的角速度ω与简谐振动中的角频率ω，虽然单位相同且都有ω = 2π/t的相同形式，但它们并不是同一个物理量。
正弦型函数中初相角的求法
正弦型函数中初相角的求法
在根据图象求 的解析式时，最容易求错的就是初相角 。刚好，昨天在电子期刊库里发现这篇小论文，感觉不丑，尤其“用五点法确定初相角”很巧。所以把它剪下来再贴出去，以期使其作用最大化。 帖上去以后，我心里一格登：这不要是抄的哟！现在的抄家太多了。于是，干了件没聊蛋的事情：上网查查它是不是抄的。果不其然，该文早就在2007年《数学通报》第05期上就刊发过。
高中数学必修四知识点大全
知识点串讲必修四第一章：三角函数 1.1．1 任意角1、角的有关概念: ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类：2、象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外）在第几象限,我们就说这个角是第几象限角． 终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内,可构成一个集合S ＝{ β ｜ β = α + k ·360 ° ， k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 3、写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示） ． 解:｛α | α = 90°+ n ·180°，n ∈Z ｝．4、已知α角是第三象限角,则2α，2α各是第几象限角？ 解:α 角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°（k ∈Z ） 因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z ） 即(2k +1）360°＜2α＜（2k +1)360°+180°(k ∈Z ） 故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角．又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°（k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k =2n (n ∈Z ），则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z ） ,当k 为奇数时，令k =2n +1 (n ∈Z ）,则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ，负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边终边顶点AO B 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角因此2α属于第二或第四象限角． 1。
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四法求初相“ϕ”
要确定正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，需要求出A ω，和ϕ的值．下面就介绍求ϕ的四种方法．
例1 已知图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛
⎫=+<
⎪⎝⎭
的图象上的一段，则（ ）
Ａ．10π116
ωϕ==
，
Ｂ．10π11
6
ωϕ=
=-
， Ｃ．π26
ωϕ==，
Ｄ．π26
ωϕ==-，
分析：观察图象我们可以得到很多信息：周期、五个关键点、图象平移量等，那么是不是这些信息全具备我们才能求出ω和ϕ呢？其实我们只要知道其中的某些信息，通过不同的方法就能求ω和ϕ．下面从不同角度用三种方法解决此问题．
一、最值点法
若题设中出现最值点时，在求出A 和ω后把最值点的坐标代入解析式，然后通过解三角方程来求角ϕ．
解法一：∵11
πππ1212T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2π
T ω
=
，
∴2π2π2π
T ω=
==．∴2sin(2)y x ϕ=+．
把最高点π
26
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
代入上式得π
sin 216ϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝
⎭
， ∴
ππ2π()3
2
k k ϕ+=+∈Z ，π2π()
6
k k ϕ=+
∈Z ，
∵π2
ϕ<，∴取0k =，得π=6
ϕ，故选（Ｃ）．
点评：“最值点”法容易理解且出错较少，应重点掌握．
二、逆用五点法
“五点法”可作出正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象，因此利用五个关键点可求出ϕ． 解法二：2ω=（求解过程同解法一），选取一个关键点π
012⎛⎫
-
⎪⎝⎭，，则其对应着用“五点
法”作函数sin y x =图象的第一个点，故令π2012ϕ⎛
⎫
⨯-
+= ⎪⎝
⎭
，得π6
ϕ=，故选（Ｃ）．
点评：①用此法求ϕ，需要对“五点法”作简图有深刻的理解；②此法对五个关键点都适用．注意选点时尽可能的选用能够简化运算的点；③本解法中选取的是第一个关键点，得到π6
ϕ=
．如果选取第二个关键点π
12
⎛⎫
⎪⎝⎭，，1、第三个关键点(π0)，及第四个、第五个关键点，
得到的ϕ是否相同呢？通过验证我们知道得到的ϕ是相等的，但它可能并不是我们所要求的
范围的角，我们可以根据终边相同的角的性质，即终边相同的角相差2π的整数倍，将ϕ转化到所要求的范围．
三、图象平移法
图象的变换规律见第二版《三角函数的图象变换及应用》． 解法三：2ω=（求解过程同解法一），由图象知，2sin(2)y x ϕ=+的图象可由2sin 2y x =的图象向左平移个单位得到．
∴函数sin()y A x ωϕ=+的解析式为ππ2sin 22sin 2126y x x ⎛
⎫⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
∴π6
ϕ=
．
点评：图象平移法简单易行，但此法需要我们对三角函数的变换规律有深刻的理解． 如果通过分析题意我们不知道函数的周期，不知道五个关键点，更不知道函数图象的平移量，那该怎么办呢？下面介绍一种解这类问题的方法——单调性法．
四、单调性法
将函数sin()y A x ωϕ=+的图象与sin y x =的图象进行比较，选取某一单调区间上的点，代入函数sin()y A x ωϕ=+的表达式，得到一个等式，从而求出ϕ．
代入的点在图象递增段上时，π
π2π2π()2
2x k k k ωϕ⎡
⎤
+∈-+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ，
；
在图象递减段上时，π
3π2π2π()22x k k k ωϕ⎡
⎤
+∈-+∈⎢⎥⎣⎦
Z ，
．
例2 已知函数sin(2)y x ϕ=+的图象，如图2，求角ϕ．
解：把点π132A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入函数解析式得
1
2πsin 23ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
．
∵π132A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在函数图象的递减段上， ∴2π
π32π2ππ()322k k k ϕ⎡
⎤+∈++∈⎢⎥⎣
⎦Z ，， ∴
2π52ππ()
3
6
k k ϕ+=+
∈Z ，
∴ π2π()6
k k ϕ=+∈Z ∴．。