二次函数单元测试1
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0答案：A2. 二次函数y=-3x^2+6x-2的对称轴是（）A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 0答案：B3. 二次函数y=x^2-4x+c的顶点坐标是（）A. (2, c-4)B. (2, c+4)C. (-2, c-4)D. (-2, c+4)答案：A4. 若二次函数y=x^2-6x+c的图像与x轴有两个交点，则c的取值范围是（）A. c > 9B. c < 9C. c = 9D. c ≠ 9答案：B5. 二次函数y=2x^2-4x+3的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C6. 二次函数y=-2x^2+4x+1的图像与y轴的交点坐标是（）A. (0, -1)B. (0, 1)C. (0, 3)D. (0, 5)答案：B7. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴没有交点，则a和b的取值关系是（）A. a > 0, b^2 > 4acB. a < 0, b^2 > 4acC. a > 0, b^2 < 4acD. a < 0, b^2 < 4ac8. 二次函数y=x^2-2x+1的图像的顶点坐标是（）A. (1, 0)B. (1, 1)C. (0, 1)D. (2, 1)答案：B9. 二次函数y=x^2-6x+5的图像开口方向是（）A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A10. 若二次函数y=2x^2-4x+1的图像与x轴有一个交点，则该交点的坐标是（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (-1, 0)D. (0, 0)答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 二次函数y=x^2-2x+1的对称轴方程是______。
第26章《二次函数》单元测试(1)
第26章《二次函数》单元测试一、选择题（每题3分，共30分）1．下列函数中属于二次函数的是（ ）（A ）y ＝12x （B ）y ＝x 2＋1x＋1 （C ）y ＝2x 2-1 （D ）y ＝x 2＋3 2．下列抛物线中与y ＝-122+3x -5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（ ） （A ）y ＝x 2+3x -5 （B ）y ＝-12x 2+2x （C ）y ＝12x 2+3x -5 （D ）y ＝12x 2 3．抛物线y ＝(x -1)2＋5的对称轴是（ ）（A ）直线x ＝1 （B ）直线x ＝5 （C ）直线x ＝-1 （D ）直线x ＝-54．抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )（A ）y ＝2(x -1)2-2 （B ）y ＝2(x ＋1)2-2 （C ）y ＝2(x ＋1)2＋2 （D ）y ＝2(x -1)2＋25．下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )6．抛物线y ＝-5x 2-4x ＋7与y 轴的交点坐标为（ ）（A ）（7，0） （B ）（-7，0） （C ）（0，7） （D ）（0，-7）7．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，则下列结论成立的是( )（A ）a ＞0，b ＞0，c ＞0 （B ）a ＜0，b ＜0，c ＞0（C ）a ＞O ，b ＜O ，c ＜0 （D ）a ＜0，b ＞0，c ＞08．二次函数y ＝2x 2＋x -1的图象与x 轴的交点的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）39．抛物线y ＝-2x 2-x ＋1的顶点在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限10．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）（A ）y ＝60(1-x )2 （B ）y ＝60(1-x ) （C ）y ＝60-x 2 （D ）y ＝60(1+ x )2二、填空题（每题3分，共30分）1．若y ＝(a -1)231a x 是关于x 的二次函数，则a ＝ ．2．抛物线 y ＝-2(x ＋1)2＋3的顶点坐标是 ．3．对于函数y ＝x 2-3x ，当x ＝-1时，y ＝ ； 当y ＝-2时，x ＝ ．4．如果一条抛物线的形状与y ＝-2x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，则它的解析式是 ．（第7题）5．将抛物线y＝13x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到y＝．6．抛物线y＝x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为．7．抛物线y＝(m-2)x2＋2x＋(m2-4) 的图象经过原点，则m＝．8．函数y＝3x2与直线y＝kx＋3的交点为(2，b)，则k＝______，b＝______．9．直线y＝2x+2与抛物线y＝x2+3x的交点坐标为________．10．用配方法把y＝-x2＋4x＋5化为y＝a(x-h)2＋k的形式为y＝，其开口方向，对称轴为，顶点坐标为．三、解答题（共60分）1．已知抛物线经过点（0，-3），且顶点坐标为（1，-4）,求抛物线的解析式．2．已知抛物线y＝12x2＋x-52（1）求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．3．小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？4．如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线相交于B、C两点，已知B 点坐标为(1，1)。
二次函数单元测试卷含答案
二次函数单元测试卷一、选择题每小题3分,共30分1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-x-m 2 + m 2 +1有最大值4,则实数m 值为47B. 3或-3 或-3 D. 2或3或-47 2. 函数22y mx x m =+-m 是常数的图像与x 轴的交点个数为A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个3. 关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时,函数的图像经过原点；②当0c >,且函数的图像开口向下时,方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时,函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4. 关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点,则m 的范围是A ．116m <-B ．116m -≥且0m ≠C ．116m =-D ．116m >-且0m ≠5. 下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点,这个函数是A ．2y x =B ．24y x =+C ．2325y x x =-+D ．2351y x x =+-6. 若二次函数2y ax c =+,当x 取1x 、2x 12x x ≠时,函数值相等,则当x 取12x x +时,函数值为A ．a c +B ．a c -C ．c -D ．c7. 下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点,这个函数是A ．1x y 2—=B ．24y x =+C ．1x 2x y 2+=—D ．2351y x x =+-8. 抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有且只有两个交点D ．有且只有三个交点9. 函数2y ax bx c =++的图象如图所示,那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根10..若把函数y=x 的图象用Ex,x 记,函数y=2x+1的图象用Ex,2x+1记,……则Ex,122+-x x 可以由Ex,2x 怎样平移得到A ．向上平移１个单位B ．向下平移１个单位C ．向左平移１个单位D ．向右平移１个单位二、填空题每小题3分,共24分11. 抛物线2283y x x =--与x 轴有 个交点,因为其判别式24b ac -= 0,相应二次方程23280x x -+=的根的个数为． 12. 关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根,则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于 点,此时m = ．13. 抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，,若121249x x x x =++,要使抛物线经过原点,应将它向右平移 个单位．14. 如图所示,函数2(2)(5)y k x k =-+-的图像与x 轴只有一个交点,则交点的横坐标0x = ．15. 已知二次函数212y x bx c =-++,关于x 的一元二次方程212x -根是1-和5-,则这个二次函数的解析式为16. 若函数y=m ﹣1x 2﹣4x+2m 的图象与x 轴有且只有一个交点,则m 的值为17. 若根式有意义,则双曲线y =x2-k 2与抛物线y =x 2+2x +2－2k 的交点在第 象限. 18. 将二次三项式x 2+16x+100化成x+p 2+q 的形式应为 三、解答题本大题共7小题,共66分19..7分已知一个二次函数的图象经过点0,0,1,﹣3,2,﹣8,求函数解析式;20. 8分已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上,且抛物线在x 轴上截得的线段长是求h 和k 的值．21. 8分已知函数22y x mx m =-+-．1求证：不论m 为何实数,此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；2若函数y 有最小值54-,求函数表达式． 22.9分 已知二次函数2224y x mx m =-+．1求证：当0m ≠时,二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；2若这个函数的图像与x 轴交点为A ,B ,顶点为C ,且△ABC 的面积为求此二次函数的函数表达式23. 10分下图是二次函数2y ax bx c =++的图像,与x 轴交于B ,C 两点,与y 轴交于A 点． 1根据图像确定a ,b ,c 的符号,并说明理由；2如果A 点的坐标为(03)-，,45ABC ∠=,60ACB ∠=,求这个二次函数的函数表达式．24.12分 已知抛物线222m y x mx =-+与抛物线2234m y x mx =+-图所示,其中一条与x 轴交于A ,B 两点．1试判断哪条抛物线经过A ,B 两点,并说明理由；2若A ,B 两点到原点的距离AO ,OB 满足条件1123OB OA -=,求经过A ,B 两点的这条抛物线的函数式．25. 12分已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点,与x 轴交于1(0)A x ，,212(0)()B x x x <，两点,顶点M 的纵坐标为4-,若1x ,2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根,且221210x x +=． 1求A ,B 两点坐标；2求抛物线表达式及点C 坐标；3在抛物线上是否存在着点P ,使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍,若存在,求出P 点坐标；若不存在,请说明理由．参考答案一、选择题每选对一题得3分,共30分1．C 2．C 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．B 9．C 10．D二、填空题每填对一题得3分,共24分11．0 < 0 12.一625 或9 7 15．25-x 3-x 21-y 2= 16．-1或1或2 17．2 18．()368x 2++ 三、解答题 7小题,共66分19．7分解：x 2--x y 2=20．1略 213x -x y 1-x -x y 22+==或21．1略 248x x 2y 48x -x 2y 22++=+=或 22．1a>0,b>0,c<0(2)A0,-3, B-3, 0 C0 , -323．14m 3-mx x y 22+= (2)设Ax 1 ,0,Bx 2 ,0, 则有32x 1x 121=+ 解得3-x 2x y 2+=25. 1A-1,0, B3, 0（2）3-x 2-x y 2=,C0,-3（3）存在;P1()()9,131P29,131-+，.。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案1. 选择题（每题2分）1. 下列函数中，属于二次函数的是：A. y = 3x + 2B. y = x^2 + 3x - 2C. y = √xD. y = |x|答案：B2. 二次函数y = 2x^2 + 3x - 4的图像开口方向是：A. 向上开口B. 向下开口答案：A3. 函数y = -x^2 + 5x + 3的顶点坐标是：A. (3, 8)B. (-3, 2)C. (5, 8)D. (-5, 3)答案：A4. 函数y = x^2 - 4x + 4的轴对称线方程为：A. x = 2B. x = 4C. x = -2D. x = -4答案：A5. 函数y = x^2 + 6x + 9的值域是：A. (-∞, 9)B. [9, +∞)C. (-∞, 0)D. [0, +∞)答案：B2. 填空题（每题3分）1. 二次函数y = -2x^2 + 4x - 1的判别式为_______。
答案：402. 函数y = x^2 + bx + c的顶点坐标是（-2, 1），则b和c的值分别为_______。
答案：b = 4，c = -33. 函数y = 3x^2 - 6x + k的图像与x轴有两个交点，则k的值为_______。
答案：k > 04. 函数y = -x^2 - 4x + m的轴对称线方程为x = 2，则m的值为_______。
答案：m = 35. 函数y = ax^2 + bx + 2的值域是(-∞, 1]，则a和b的关系是_______。
答案：a < 0，b > 03. 计算题（每题5分）1. 求二次函数y = -3x^2 + 6x + 9的顶点坐标和对称轴方程。
解答：首先，二次函数的顶点坐标可以通过公式 h = -b/2a 和 k = f(h) 来求得。
其中，h 表示对称轴的横坐标，k 表示顶点的纵坐标。
对于给定的函数 y = -3x^2 + 6x + 9，我们可以得到 a = -3，b = 6，c = 9。
初三数学 二次函数单元测试题及答案
初三数学二次函数单元测试题及答案二次函数单元测评一、选择题（每题3分，共30分）1.下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）() A。
y=x+2B。
y=2x+1C。
y=3xD。
y=x^2+2x-32.函数y=x-2x+3的图象的顶点坐标是()A。
(1，-4)B。
(-1，2)C。
(1，2)D。
(0，3)3.抛物线y=2(x-3)^2的顶点在()A。
第一象限B。
第二象限C。
x轴上D。
y轴上4.抛物线的对称轴是()A。
x=-2B。
x=2C。
x=-4D。
x=45.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，准确的是()A。
ab>0，c>0B。
ab>0，c<0C。
ab0D。
ab<0，c<06.二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限()A。
一B。
二C。
三D。
四7.如图所示，已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A。
4+mB。
mC。
2m-8D。
8-2m8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax^2+bx的图象只可能是()A。
开口向下的抛物线B。
开口向上的抛物线C。
直线D。
圆9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是()A。
y1<y2<y3B。
y2<y3<y1XXX<y1<y2D。
y2<y1<y310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A。
y=x^2-4x+7B。
y=(x+2)^2+3C。
y=x^2+2x+3D。
第六章二次函数单元测试试题(1)
二次函数单元测试试题01一、选择题：(每小题3分,共30分)1.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( )A ．2y ax bx c =++B ． 220x y +-=C ． 22y ax -=-D ．2210x y -+= 2．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、212y x =的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 c ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点3．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±14．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为 （ ）A ．2)1(-=x yB ． 2)1(2--=x yC ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y5．已知原点是抛物线y=(m-1)x 2的最高点，则m 的范围是 ( )A ． 1-<mB ． 1<mC ． m ﹥1D ． 2->m6、函数y= x 2-2x+2的图象顶点坐标是 ( )A 、（－1，1）B 、（1 ，1）C 、（0 , 1）D 、(1 , 0 )7、抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ( ) A 、23(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+- C 、23(1)2y x =++ D 、23(1)2y x =-+ 8、已知h 关于t 的函数关系式212h gt =（ g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图 象为 ( )9、下列四个函数中, 图象的顶点在x 轴上的函数是 （ ）A 、232y x x =-+B 、25y x =-C 、22y x x =-+ D 、244y x x =-+10、已知二次函数20，c ﹤0，那么它的图象大致是 （ ）二、填空题：(每小题3分,共30分)11、函数21(1)21m y m xmx +=--+是抛物线，则m ＝ . 12、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 .13、二次函数2y ax =-2的图象过点（1，-2），则它的解析式是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小.14．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到．15．抛物线342++=x x y 的对称轴是直线 在x 轴上截得的线段长度是 ．16．已知抛物线y=x 2-x-1与x 轴的一个交点为(m, 0)，则代数式m 2-m+2014的值为 ．17．抛物线m x x y +-=2，若其顶点在x 轴上，则=m ．18. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x 2相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .19、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值y ﹥0时，对应x 的取值范围是 .20、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点A （－2，6）和B （8，3），如上右图所示，则能使1y ﹤y 2成立的x 的取值范围 .三、解答题：（共90分）21(本题12分，每小题4分)、根据所给条件求抛物线的解析式：（1）、抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5）（2）、抛物线的顶点坐标为（2，-3）且过（3，-4）（3），抛物线与x 轴交点坐标为(-1,0)(3,0)且过（1，-2）22(本题10分)．已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过A （0，2），B （1，－3）两点.(1)求b 和c 的值； (2）试判断点P （－1，3）是否在此函数图像上？23.(本题8分)、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米.（1） 求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2） 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.24.(本题10分)、如图，抛物线n x x y ++-=52经过点A(1，0)，与y 轴交于点B.⑴求抛物线的解析式；⑵P 是y 轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标.(3)将抛物线n x x y ++-=52经过怎样的一次平移使它经过原点25.（18分）已知42)2(-++=k k x k y ＋2x+3是二次函数，且函数图象有最高点。
《二次函数》单元检测
《二次函数》单元检测一．选择题（共8小题）1．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．2．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大3．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y35．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣52）2﹣114B．y=﹣（x+52）2﹣114C．y=﹣（x﹣52）2﹣14D．y=﹣（x+52）2+146．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4 8．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1二．填空题（共8小题）9．写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：．10．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．11．将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为．12．已知抛物线y=（m﹣1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是．13．抛物线的图象如图，则它的函数表达式是．当x时，y＞0．14．如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为﹣4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是．15．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c的值为．16．顺达旅行社为吸引游客到黄山景区旅游，推出如下收费标准：若某公司准备组织x（x＞25）名员工去黄山景区旅游，则公司需支付给顺达旅行社旅游费用y（元）与公司参与本次旅游的员工人数x（人）之间的函数表达式是．三．解答题（共4小题）17．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）求二次函数与x轴的交点坐标；（4）画出这个二次函数的图象；（5）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．（6）观察图象并写出当x为何值时，y＞0．18．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；=10，求出此时点P的坐标．（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB19．九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x ≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p（件）198 140 80 20 （1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．单元检测解析一．选择题（共8小题）1．（2016•贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=cx的图象在第二、四象限，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．2．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣-22aa=1判断二次函数的增减性．【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣-22aa=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣-22aa=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2016•齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a ，然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a +c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx +c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x=﹣2b a=1，即b=﹣2a ， 而x=﹣1时，y=0，即a ﹣b +c=0，∴a +2a +c=0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．故选B ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．5．（2016•滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣52）2﹣114B．y=﹣（x+52）2﹣114C．y=﹣（x﹣52）2﹣14D．y=﹣（x+52）2+14【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即可．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，设原抛物线上有点（x，y），绕原点旋转180°后，变为（﹣x，﹣y），点（﹣x，﹣y）在抛物线y=x2+5x+6上，将（﹣x，﹣y）代入y=x2+5x+6得﹣y=x2﹣5x+6，所以原抛物线的方程为y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣52）2+14，∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x﹣52）2+14﹣3=﹣（x﹣52）2﹣114．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．6．（2016•天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．7．（2016•兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4 【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．【解答】解：y=x2﹣2x+4配方，得y=（x﹣1）2+3，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的不同表达形式，配方法是解此题关键．8．（2016•宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用二次函数对称性是解题关键．二．填空题（共8小题）9．（2016•南平）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：y=x2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的图象的顶点在y轴上，则b=0，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：y=x2（答案不唯一）．故答案为：y=x2（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出b的值是解题关键．10．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+2，2）或（1﹣2，2）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±2，∴P点坐标为（1+2，2）或（1﹣2，2），故答案为：（1+2，2）或（1﹣2，2）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．11．（2016•泰安）将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为y=2（x+2）2﹣2．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求得即可．【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣2．故答案为：y=2（x+2）2﹣2．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．12．已知抛物线y=（m﹣1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是m＜1．【分析】根据二次函数y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即m+1＜0，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线y=（m﹣1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，∴抛物线开口向下，∴m﹣1＜0，∴m＜1，故答案为m＜1．【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．13．抛物线的图象如图，则它的函数表达式是y=x2﹣4x+3．当x＜1，或x ＞3时，y＞0．【分析】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y＞0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值．【解答】解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），将（0，3）代入，3=a（0﹣1）（0﹣3），解得a=1．故函数表达式为y=x2﹣4x+3．由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0．【点评】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．14．如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为﹣4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是﹣4＜x＜﹣3．【分析】根据题意得出抛物线的对称轴，进而得出二次函数与x轴的交点坐标，再利用函数图象得出满足0＜y1＜y2的x的取值范围．【解答】解：如图所示：∵点A的横坐标为﹣4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为：x=﹣32，∵二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx的图象交于点A和原点O，∴C点坐标为：（﹣3，0），则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是：﹣4＜x＜﹣3．故答案为：﹣4＜x＜﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式（组），正确利用函数图象得出抛物线与x轴的交点是解题关键．15．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c的值为17．【分析】因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移4个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c=17．【解答】解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣32）2+114，当y=x2﹣3x+5向左平移4个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=（x﹣32+4）2+114+2=x2+5x+11；∴a+b+c=17．故答案是：17．【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．16．顺达旅行社为吸引游客到黄山景区旅游，推出如下收费标准：若某公司准备组织x（x＞25）名员工去黄山景区旅游，则公司需支付给顺达旅行社旅游费用y（元）与公司参与本次旅游的员工人数x（人）之间的函数表达式是y=﹣20x2+1500x．【分析】根据题意表示出实际旅游费用×x=总旅游费用，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：y=[1000﹣20（x﹣25）]x=﹣20x2+1500x．故答案为：y=﹣20x2+1500x．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出实际人均旅游费用是解题关键．三．解答题（共4小题）17．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）求二次函数与x轴的交点坐标；（4）画出这个二次函数的图象；（5）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．（6）观察图象并写出当x为何值时，y＞0．【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）根据（1）中的二次函数解析式直接写出答案；（3）将已知函数解析式转化为两点式方程即可得到答案；（4）根据顶点坐标，抛物线与y轴的交点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标画出图象；（5）（6）根据图象写出x的取值范围．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则该抛物线解析式是y=（x﹣2）2﹣1；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y=（x﹣2）2﹣1，所以对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）；（3）∵二次函数y=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数与x轴的交点坐标分别是：（1，0）（3，0）；（4）其图象如图所示：（5）由图象知，当y随x增大而减小时x≤2；（6）由图象知，当x＜1或x＞3时，y＞0．【点评】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法．属于基础题型，比较简单．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．18．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）．（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．设P（x，y），则S△PAB =12AB•|y|=2|y|=10，∴|y|=5，∴y=±5．①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．19．（2016•随州）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p（件）198 140 80 20 （1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．【分析】（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解：（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b （k、b为常数且k≠0），∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；当50＜x≤90时，y=90．∴售价y与时间x的函数关系式为y=40(150)90(5090)x xx+≤≤⎧⎨<≤⎩．由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），∴608030140m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：2200mn=-⎧⎨=⎩，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），当1≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．（2）当1≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤5313，∵x为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．【点评】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（2）利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；（3）得出关于x的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．20．（2016•漳州）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m 的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x=2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣+94，∴当m=32时，线段MN 取最大值，最大值为94． （3）假设存在．设点P 的坐标为（2，n ）．当m=32时，点N 的坐标为（32，32）， ∴PB==，PN=22332-+)22n -（）（，BN=22332-+)22-（）（0=322． △PBN 为等腰三角形分三种情况：①当PB=PN 时，即=22332-+)22n -（）（， 解得：n=12， 此时点P 的坐标为（2，12）； ②当PB=BN 时，即=322， 解得：n=±， 此时点P 的坐标为（2，﹣）或（2，）； ③当PN=BN 时，即=，解得：n=， 此时点P 的坐标为（2，）或（2，）．综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使△PBN 是等腰三角形，点的坐标为（2，12）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，再结合二次函数的性质解决最值问题是关键．。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学二次函数单元试卷（一）时间 90分钟满分： 100 分一、选择题（本大题共10 小题，每小题３分，共30 分）1．下列函数不属于二次函数的是（）A.y=(x － 1)(x+2)B.y= 1(x+1) 2 2C. y=1 － 3 x2D. y=2(x+3)2－ 2x22.函数 y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（）A. （2，-1 ）B. （-2，1）C.（-2 ，-1）D.（2， 1）3.抛物线 y1x 2 21的顶点坐标是（）2A．（ 2， 1） B ．（-2 ，1） C ．（2， -1）D．（-2 ，-1）4. y=(x － 1) 2＋ 2 的对称轴是直线（）A ． x=－ 1B． x=1C． y=－ 1D． y=15．已知二次函数y mx2x m(m2) 的图象经过原点，则m 的值为（）A．0或2B． 0C． 2D．无法确定6. 二次函数 y＝ x2的图象向右平移 3 个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A. y ＝x2＋ 3B. y ＝ x2－3C. y＝ (x ＋ 3) 2D. y＝ (x － 3) 27．函数 y=2x2-3x+4 经过的象限是（）A. 一、二、三象限B.一、二象限C. 三、四象限D.一、二、四象限8．下列说法错误的是（）A．二次函数 y=3x2中，当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大B．二次函数 y=－ 6x2中，当 x=0 时， y 有最大值 0C． a 越大图象开口越小， a 越小图象开口越大D．不论 a 是正数还是负数，抛物线2≠0) 的顶点一定是坐标原点y=ax (a129．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－5x ＋ 3.5 的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）A． 3.5m B． 4m C． 4.5m D． 4.6m10．二次函数 y=ax 2＋ bx＋ c 的图象如图所示，下列结论错误的是（）A． a＞ 0．B． b＞ 0．C． c＜ 0．D． abc＞ 0．y y3.05m o x(第 9题)(第 10题)二、填空题（本大题共 4 小题，每小题３分，共12 分）11．一个正方形的面积为16cm2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则 y 关于 x 的函数为。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c中，当a的值变为原来的2倍时，函数图像如何变化？A. 向上平移B. 向下平移C. 向左平移D. 向右平移答案：B2. 下列哪个选项是二次函数的标准形式？A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^2 - 3x + 4C. y = 3x + 4D. y = x - 2答案：B3. 若二次函数y = -2x^2 + 3x + 1的顶点坐标为(1, 2)，则下列哪个选项是正确的？A. a = -2, b = 3, c = 1B. a = 2, b = -3, c = -1C. a = -2, b = -3, c = -1D. a = 2, b = 3, c = 1答案：A4. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最小值是多少？A. 0B. 3C. 9D. 无法确定答案：C5. 如果二次函数y = x^2 + 4x + 4的图像与x轴相交于两点A和B，那么线段AB的长度是多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 5x + 3，其顶点坐标为__________。
答案：(1, -1)7. 函数y = -x^2 + 4x - 3的最大值是__________。
答案：18. 若二次函数y = 3x^2 - 2x - 5的图像关于y轴对称，则新的函数表达式为y = __________。
答案：y = 3x^2 + 2x - 5三、解答题9. 已知二次函数y = -2x^2 + 6x + 3，求该函数在x = -1时的函数值。
答案：当x = -1时，y = -2*(-1)^2 + 6*(-1) + 3 = -2 - 6 + 3 =-5。
10. 给定二次函数y = x^2 - 6x + 9，求该函数的对称轴方程。
答案：对称轴为x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3。
二次函数单元测试卷
二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 二次函数y = x² - 2x + 1的顶点坐标是（）A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)2. 二次函数y = -2x² + 4x - 5的对称轴是（）A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -23. 二次函数y = 3(x - 1)² + 2的图象的开口方向是（）A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右4. 把二次函数y = x²的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（）A. y=(x - 2)²+3B. y=(x + 2)²+3C. y=(x - 2)² - 3D. y=(x + 2)² - 35. 二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），当y = 0时，得到一元二次方程ax²+bx + c = 0，若方程有两个相等的实数根，则二次函数的图象与x轴（）A. 有两个交点B. 有一个交点C. 没有交点D. 无法确定6. 二次函数y = 2x² - 3x + 1与y轴的交点坐标是（）A. (0, 1)B. (0, -1)C. (1, 0)D. (-1, 0)7. 已知二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）的图象经过点(0, -1)，(5, -1)，则它的对称轴是（）A. x = 0B. x = 2.5C. x = 5D. 无法确定8. 二次函数y = x²+bx + c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y = x² - 2x + 1的图象，则b、c的值分别为（）A. b = -6，c = 6B. b = -8，c = 14C. b = -8，c = 18D. b = -6，c = 89. 若二次函数y = kx² - 6x + 3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k<3B. k≤3C. k<3且k≠0D. k≤3且k≠010. 对于二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），若a>0，b = 0，c<0，则它的图象（）A. 开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴负半轴B. 开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴正半轴C. 开口向下，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴负半轴D. 开口向下，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴正半轴二、填空题（每题3分，共15分）11. 二次函数y = -x²+2x - 3的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。
二次函数单元测试卷及答案
二次函数单元测试卷及答案第一部分：选择题（共10题，每题2分）1. 若 $f(x)=2x^2+6x+1$，则该函数的抛物线开口向上（）。
A. 对B. 错2. 对于函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，若 $a>0$，则抛物线开口（）。
A. 向上B. 向下3. 已知 $f(x)=x^2+bx+c$，若 $b^2-4c>0$，则该函数（）。
A. 有两个实根B. 无实根C. 有一个实根4. 若 $f(x)=\frac{1}{2}x^2+ax+b$ 的导函数为 $f'(x)=x+1$，则 $f(x)$ 的解析式为（）。
A. $\frac{1}{2}x^2+x+1$B. $\frac{1}{2}x^2+2x+1$C.$\frac{1}{2}x^2+x+2$5. 设 $f(x)=2x^2-10x+8$，$g(x)=x^2-3x+7$，则 $f(x)-g(x)$ 的值域为（）。
A. $(0,+\infty)$B. $(-\infty,0)$C. $[0,+\infty)$6. 函数 $f(x)=x^2-2mx+1$ 与 $y=0$ 交点的横坐标为 $4$，则 $m$ 的值为（）。
A. $1$B. $2$C. $-1$7. 若 $f(x)=x^2+1$，则 $f(2x+1)$ 的最小值为（）。
A. $2$B. $5$C. $6$8. 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 在 $x=1$ 处有极值 $0$，则 $a+b+c$ 等于（）。
A. $-1$B. $0$C. $1$9. 函数 $f(x)=x^2-2x+5$ 与 $g(x)=2x-1$ 的交点横坐标之和为（）。
A. $0$B. $1$C. $2$10. 若 $f(x)=x^2-2x-15$，则 $f(x)$ 的零点为（）。
A. $-3,5$B. $-5,3$C. $-3,-5$答案：1.A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A第二部分：填空题（共5题，每题4分）1. 函数 $f(x)=x^2+2x+1$ 的零点是 _____________。
二次函数单元测试题
九年级数学《二次函数》单元测试题(一) 一．填空题：（每空2分共30分）1．二次函数y=-x2+6x+3的图象顶点为_______ __对称轴为_______ __.2．抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是______ __.3．由y=2x2和y=2x2+4x-5的顶点坐标和二次项系数能够得出y=2x2+4x-5的图象可由y=2x2的图象向__________平移________个单位，再向_______平移______个单位得到．4、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如下，则：a+b+c_______0，a-b+c__________0．2a+b________05．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=-2x2相同，这个函数解析式为______ _ _____．6．二次函数y=2x2-x ,当x____ ___时y随x增大而增大，当x ____ _____时,y随x 增大而减小．7.抛物线y=ax2+bx+c的顶点在y轴上，则a．b．c中一定有__ _=0．8．已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过象限.二．解答题：（70分）9．（12分）根据以下条件求关于x的二次函数的解析式（1）当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7）.（2）与x轴交点的横坐标分别是x1=-3，x2=1时，且与y轴交点为（0，-2）.10．（18分）某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费每提升2元，则减少10张床位租出，为了投资少而获利大，每床每晚应收费多少元？11．（20分）二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x=-1．①求函数解析式；②若图象与x轴交于A．B（A在B左）与y轴交于C,顶点D，求四边形ABCD的面积．12．（20分）如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A(4,0)，B两点，该抛物线的对称轴x=—1，与x轴交于点C,且∠ABC=90°,求：(1)直线AB的解析式；(2)抛物线的解析式。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试卷(附答案)
12.若实数A、B满足A+B2=2，则A2+5B2的最小值为_____．
13.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点Q，使得C D平分∠A CQ，请求出点Q 坐标；
（3）在直线C D的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交C D于点G，以NG为直径画圆在直线C D上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？
（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段C D上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
（满分120分，考试用时120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共9小题）
1.对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A.图象的开口向下B.函数的最大值为1
C.图象的对称轴为直线x=﹣2D.当x＜2时y随x的增大而减小
2.抛物线y=﹣3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A.8Cm2B.9Cm2C.16Cm2D.18Cm2
6.在抛物线y＝Ax2－2Ax－3A上有A(－0.5，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）
二次函数单元测试(附答案)
二次函数单元测试卷一、选择题（20分）1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．不能确定2．若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是( )A．B．C．D．3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( )A．a＞0，b＞0 B．a＞0，c＞0 C．b＞0，c＞0 D．a，b，c都小于04．若抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A． B． C． D．5．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，则△ABC的面积为( )A．6 B．4 C．3 D．16．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣8=0的根的情况是( )A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根7．二次函数y=4x2﹣mx+5，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，那么当x=1时，函数y的值为( )A．﹣7 B．1 C．17 D．258．（1997•山东）若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c( )A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向下，对称轴平行于y轴D．开口向上，对称轴平行于y轴9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x2+4x+2，则水柱的最大高度是( )A．2 B．4 C．6 D．2+10．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成( )A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m二、填空题（20分）：11．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为__________．12．二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为__________．13．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是__________．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=__________．15．在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点B的坐标是__________．16．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为__________．17．若二次函数y=（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，则m的取值范围是__________．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），则抛物线的关系式为__________．19．当n=__________，m=__________时，函数y=（m+n）x n+（m﹣n）x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口__________．20．若抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，且开口向下，对称轴在y轴左侧，则a的取值范围是__________．三、解答题（60分）：21．（5分）求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．22．（6分）已知抛物线y=x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．23．（7分）下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：x …0 1 2 3 4 x2+bx+c … 3 ﹣1 3 （1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＞0；（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？24．（8分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．25．（7分）二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？26．（7分）有一条长7.2米的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，问窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？（不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积）27．（10分）某公司生产的A种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件．为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告．根据经验，每年投入的广告费为x（万元）时，产品的年销售量是原来的y倍，且y是x的二次函数，公司作了预测，知x与y之间的对应关系如下表：x（万元）0 1 2 …y 1 1.5 1.8 …（1）根据上表，求y关于x的函数关系式；（2）如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；（3）从上面的函数关系式中，你能得出什么结论？28．（10分）在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为，求这时点D的坐标．《二次函数》单元测试卷一、选择题1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．不能确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可．【解答】解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y=0时，方程x2﹣x+1=0解的个数，∵△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，此方程无解，∴二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴无交点．故选A．【点评】主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，这些性质和规律要求掌握．2．若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是( ) A．B．C．D．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数图象上所有点都在x轴下方可知，函数图象开口向下且顶点纵坐标小于0，列出不等式．【解答】解：由题意得：，解得：，故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象在x轴下方的性质：开口向下，且与x轴无交点．3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( )A．a＞0，b＞0 B．a＞0，c＞0 C．b＞0，c＞0 D．a，b，c都小于0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，再结合函数图象判断各选项．【解答】解：由函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，A、错误；B、错误；C、正确；D、错误；故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，应先观察图象得到信息，再进行判断．4．若抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A． B． C． D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），求得a的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离．【解答】解：由于抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），则4a﹣12=0，a=3，抛物线y=3x2﹣6x，变形，得：y=3（x﹣1）2﹣3，则顶点坐标M（1，﹣3），抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|==．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．5．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，则△ABC的面积为( )A．6 B．4 C．3 D．1【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．【解答】解：在y=x2﹣4x+3中，当y=0时，x=1、3；当x=0时，y=3；即A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）故△ABC的面积为：×2×3=3；故选C．【点评】本题考查根据解析式确定点的坐标．6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣8=0的根的情况是( )A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】把抛物线y=ax2+bx+c向下平移8个单位即可得到y=ax2+bx+c﹣8的图象，由此即可解答．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象顶点纵坐标为8，向下平移8个单位即可得到y=ax2+bx+c ﹣8的图象，此时，抛物线与x轴有一个交点，∴方程ax2+bx+c﹣8=0有两个相等实数根．【点评】考查方程ax2+bx+c+2=0的根的情况与函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数之间的关系．7．二次函数y=4x2﹣mx+5，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，那么当x=1时，函数y的值为( )A．﹣7 B．1 C．17 D．25【考点】二次函数的性质．【分析】因为当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是x=﹣2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x=1，可求出y的值．【解答】解：∵当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∴对称轴x=﹣=﹣=﹣2，解得m=﹣16，∴y=4x2+16x+5，那么当x=1时，函数y的值为25．故选D．【点评】主要考查了如何根据函数的单调性确定对称轴，并根据对称轴公式求字母系数从而求得函数值．8．（1997•山东）若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c( )A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向下，对称轴平行于y轴D．开口向上，对称轴平行于y轴【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由直线y=ax+b不经过二、四象限，则a＞0，b=0，再判断抛物线的开口方向和对称轴．【解答】解：∵直线y=ax+b不经过二、四象限，∴a＞0，b=0，则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x==0．故选A．【点评】本题考查了一次函数和二次函数与其系数的关系，由一次函数判断出a、b的正负，在判断二次函数的性质．9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x2+4x+2，则水柱的最大高度是( )A．2 B．4 C．6 D．2+【考点】二次函数的应用．【专题】应用题．【分析】求最大高度，就要把抛物线解析式的一般形式改写成顶点式后，求顶点的纵坐标．【解答】解：y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∵﹣1＜0∴当x=2时，最大高度是6．故选C．【点评】注意抛物线的解析式的三种形式，在解决抛物线的问题中的作用．10．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成( )A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m【考点】二次函数的应用．【专题】几何图形问题．【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．【解答】解：设长为x，则宽为，S=x，即S=﹣x2+2x，要使做成的窗框的透光面积最大，则x=﹣=﹣==1.5m．于是宽为==1m，所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m．故选A．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．二、填空题：11．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为4．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．【解答】解：二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，求得x1=﹣1，x2=3，则AB=|x2﹣x1|=4．【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并熟练运用．12．二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为（3，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】解方程﹣x2+6x﹣9=0即可求得函数图象与x轴的交点坐标的横坐标．【解答】解：当y=0时，﹣x2+6x﹣9=0，解得：x=3．∴交点坐标是（3，0）．【点评】考查二次函数与一元二次方程的关系．13．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形中：底边长为与x轴的两交点之间的距离，高为抛物线的顶点的纵坐标的绝对值，再利用三角形的面积公式即可求出b的值．【解答】解：由题意可得：抛物线的顶点的纵坐标为=﹣1，∴底边上的高为1；∵x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（3，0）；由题意得：底边长=|x1﹣x2|=2，∴抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积为：×2×1=1．【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并能与几何知识结合使用．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=﹣3.3．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】先根据图象找出函数的对称轴，得出x1和x2的关系，再把x1=1.3代入即可得x2．【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=1.3，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．故答案为：﹣3.3【点评】考查二次函数和一元二次方程的关系．15．在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点B的坐标是（0，0）．【考点】二次函数的性质．【分析】此题可以先将点A的坐标代入抛物线和直线，求得a、b的值，再将两个函数联立成一元二次方程求得另一个交点坐标B．【解答】解：抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点A代入y=ax2，解得a=1；代入y=2x+b，解得：b=0；将两方程联立得：x2=2x，解方程得：x=0或2，则另一交点坐标B为（0，0）．【点评】本题考查了待定系数法解函数及两函数图象的交点问题．16．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为y=﹣4（x﹣2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及所给的坐标可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）；可设新抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，把（3，﹣1）代入得a=﹣4，∴y=﹣4（x﹣2）2+3．【点评】题中由抛物线的顶点求解析式一般采用顶点式；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．17．若二次函数y=（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，则m的取值范围是m＞．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由题意二次函数y=（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，可知（m+5）x2+2（m+1）x+m=0，方程二次项系数（m+5）＞0，方程根的判别式△＜0，根据以上条件从而求出m的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，∴（m+5）＞0，△＜0，∴m＞﹣5，4（m+1）2﹣4（m+5）×m＜0，解得m＞．故m＞【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），则抛物线的关系式为y=﹣3x2﹣12x﹣9．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由题知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），∴对称轴x=﹣=﹣2…①，又∵抛物线过点P（﹣2，3），且过A（﹣3，0）代入抛物线解析式得，由①②③解得，a=﹣3，b﹣12，c=﹣9，∴抛物线的关系式为：y=﹣3x2﹣12x﹣9．【点评】此题考查二次函数的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力．19．当n=2，m=2时，函数y=（m+n）x n+（m﹣n）x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口向上．【考点】二次函数的性质；二次函数的定义．【分析】对y=（m+n）x n+（m﹣n）x的图象是抛物线的判定，需满足n=2，又其顶点在原点，需满足m﹣n=0，则m、n的值即可求出，根据解得的函数解析式判断抛物线的开口方向．【解答】解：若函数y=（m+n）x n+（m﹣n）x的图象满足是抛物线，且其顶点在原点，则，解得，，故函数y=4x2，又由于a=4＞0，则抛物线的开口向上．【点评】本题考查了二次函数的性质，需掌握抛物线函数需满足的条件及开口方向的判定．20．若抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，且开口向下，对称轴在y轴左侧，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线经过（0，1）可得c的值，又经过（2，﹣3）可得a和b的关系，又开口向下，对称轴在y轴左侧，则需满足a＜0，x=＜0，解得a的取值范围．【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，则c=1，4a+2b+c=﹣3，即4a+2b=﹣4，化简得：2a+b=﹣2，又抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，则需满足：，解得：﹣1＜a＜0．【点评】本题综合考查了二次函数的各种性质，并与不等式结合体现出来．三、解答题：21．求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】本题已知二次函数的一般式，求顶点，可以通过配方法把解析式写成顶点式，求它与x轴的交点坐标，可以设y=0，求方程x2﹣2x﹣1=0的解．【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣2=（x﹣1）2﹣2∴二次函数的顶点坐标是（1，﹣2）设y=0，则x2﹣2x﹣1=0∴（x﹣1）2﹣2=0（x﹣1）2=2，x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．二次函数与x轴的交点坐标为（1+，0）（1﹣，0）．【点评】本题考查求二次函数的顶点坐标及x轴交点坐标的求法．22．已知抛物线y=x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）此题首先要将函数右边的式子化为完全平方式，才能知道顶点坐标和对称轴；（2）令y=0，求得抛物线在x轴上的交点坐标，那么长度就很快就能求出．【解答】解：（1）∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）当y=0时，x2+x﹣=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，AB=|x1﹣x2|=．【点评】考查求抛物线的顶点坐标的方法及与x轴交点坐标特点．23．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：x …0 1 2 3 4 x2+bx+c … 3 ﹣1 3 （1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＞0；（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．【专题】图表型．【分析】根据与x轴的交点坐标得到什么时候y＞0．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．【解答】解：（1）这个代数式属于二次函数．当x=0，y=3；x=4时，y=3．说明此函数的对称轴为x=（0+4）÷2=2．那么﹣=﹣=2，b=﹣4，经过（0，3），∴c=3，二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，当x=1时，y=0；当x=3时，y=0．（每空2分）（2）由（1）可得二次函数与x轴的交点坐标，由于本函数开口向上，可根据与x轴的交点来判断什么时候y＞0．当x＜1或x＞3时，y＞0．（3）由（1）得y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．将抛物线y=x2﹣4x+3先向左平移2个单位，再向上平移1个单位即得抛物线y=x2．【点评】常由一些特殊点入与y轴的交点，对称轴等得到二次函数的解析式．24．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．（2）根据的函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标．（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．25．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）由平移规律求出新抛物线的解析式；（2）令y=0，求出x的值，即可得交点坐标．抛物线开口向上，当x的值在两交点之外y 的值大于0．【解答】解：（1）画图如图所示：依题意得：y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣2x+1﹣2=x2﹣2x﹣1∴平移后图象的解析式为：x2﹣2x﹣1（2）当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，即（x﹣1）2=2，∴，即∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x＜或x＞时，二次函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值大于0．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．26．有一条长7.2米的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，问窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？（不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积）【考点】二次函数的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设窗框的宽为x米，窗框的高为，则窗框的面积为S=x•，再求得面积的最大值即可．【解答】解：设窗框的宽为x米，则窗框的高为米．则窗的面积S=x•S=．当x==1.2（米）时，S有最大值．此时，窗框的高为=1.8（米）【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用．27．某公司生产的A种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件．为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告．根据经验，每年投入的广告费为x（万元）时，产品的年销售量是原来的y倍，且y是x的二次函数，公司作了预测，知x与y之间的对应关系如下表：x（万元）0 1 2 …y 1 1.5 1.8 …（1）根据上表，求y关于x的函数关系式；（2）如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；（3）从上面的函数关系式中，你能得出什么结论？【考点】二次函数的应用．【专题】应用题；图表型．【分析】（1）设所求函数关系式为y=ax2+bx+c，代入三点求出a、b、c，（2）由利润看成是销售总额减去成本和广告费列出关系式，（3）把二次函数化成顶点坐标式，观察S随x的变化．【解答】解：（1）设所求函数关系式为y=ax2+bx+c，把（0，1），（1，1.5），（2，1.8）分别代入上式，得解得∴y=﹣x2+x+1（2）S=（3﹣2）×10y﹣x=（﹣x2+x+1）×10﹣x=﹣x2+5x+10．（3）∵S=﹣x2+5x+10=﹣．∴当0≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．因此当广告费在0﹣2.5万元之间时，公司的年利润随广告费的增大而增大【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．28．在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为，求这时点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）欲求抛物线的解析式，需求出m、n的值，根据抛物线的解析式，易得顶点A 的坐标，然后将x=1代入抛物线的解析式中，可得点C的坐标，即可根据AC的长得到第一个关于m、n的等量关系式；由于抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，即根的判别式△=0，联立两个关于m、n的式子即可求出m、n的值，从而得到该抛物线的解析式．（2）根据（1）的抛物线解析式可求得点B的坐标，即可得到OB的长；过O作OM⊥BD于M，根据题意可知OM=，进而可利用勾股定理求得BM的长；在△EOF中，OM⊥EF，易证得△OBM∽△FOM，根据相似三角形所得比例线段即可求得OF的长，也就得到了F 点的坐标，进而可利用待定系数法求得直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点D的坐标．【解答】解：（1）根据题意，画出示意图如答图所示，过点C作CE⊥x轴于点E；∵抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3，∴C（1，n﹣2m+2），其中n﹣2m+2＞0，OE=1，CE=n﹣2m+2；∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上，∴A（m，0），其中m＜0，OA=﹣m，AE=OE+OA=1﹣m；由已知得，由（1）得n=m2﹣1；（3）把（3）代入（2），得（m2﹣2m+1）2+（m2﹣2m+1）﹣90=0，∴（m2﹣2m+11）（m2﹣2m﹣8）=0，∴m2﹣2m+11=0（4）或m2﹣2m﹣8=0（5）；对方程（4），∵△=（﹣2）2﹣4×11=﹣40＜0，∴方程m2﹣2m+11=0没有实数根；由解方程（5），得m1=4，m2=﹣2，∵m＜0，∴m=﹣2．把m=﹣2代入（3），得n=3，∴抛物线的关系式为y=x2+4x+4（2）∵直线DB经过第一、二、四象限；设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥DB于点M，∵点O到直线DB的距离为，∴OM=，∵抛物线y=x2+4x+4与y轴交于点B，∴B（0，4），∴OB=4，∴BM=；∵OB⊥OF，OM⊥BF，∴△OBM∽△FOM，∴，∴，∴OF=2BO=8，F（8，0）；∴直线BF的关系式为y=﹣x+4；∵点D既在抛物线上，又在直线BF上，∴，解得，∵BD为直线，∴点D与点B不重合，∴点D的坐标为．【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到勾股定理、根的判别式、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法等重要知识，综合性强，难度较大．。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，则a的取值范围是（）。
A. a>0B. a<0C. a=0D. a≠0答案：A2. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是（）。
A. (1,0)B. (2,1)C. (2,-1)D. (4,3)答案：C3. 若抛物线y=-2x^2+4x-1与x轴有两个交点，则这两个交点的坐标是（）。
A. (1/2,0) 和 (3/2,0)B. (1,0) 和 (3,0)C. (1,0) 和 (-3,0)D. (-1,0) 和 (3,0)答案：B4. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，则b的值是（）。
A. -2aB. 2aC. -aD. a答案：B5. 抛物线y=x^2-6x+8与x轴的交点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 二次函数y=-x^2+2x+3的图象与y轴的交点坐标是（）。
A. (0,3)B. (0,-3)C. (0,2)D. (0,-2)答案：A7. 二次函数y=x^2-2x-3与x轴的交点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C8. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是（）。
A. (1,3)B. (2,5)C. (-1,3)D. (-2,5)答案：A9. 二次函数y=x^2-4x+c的图象经过点（2,0），则c的值是（）。
A. 0B. 4C. 8D. 16答案：C10. 抛物线y=x^2-6x+8与直线y=2x-4的交点坐标是（）。
A. (2,0) 和 (4,4)B. (2,0) 和 (4,0)C. (2,4) 和 (4,0)D. (0,2) 和 (4,4)答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 二次函数y=2x^2-4x+1的顶点坐标是（）。
答案：(1,-1)12. 二次函数y=-3x^2+6x-3与x轴的交点坐标是（）。
二次函数单元测试卷
二次函数单元测试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 二次函数的基本形式是：A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^2 + bxC. y = ax^2D. y = ax + c2. 对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a > 0时，其图像开口：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右3. 二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来计算，其中f(-b/2a)表示：A. 顶点的x坐标B. 顶点的y坐标C. 函数的最小值D. 函数的最大值4. 如果二次函数的图像与x轴有两个交点，那么判别式Δ = b^2 - 4ac：A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 无法确定5. 二次函数的对称轴是直线x = -b/2a，这条直线：A. 总是通过顶点B. 总是通过原点C. 总是垂直于x轴D. 总是平行于y轴二、填空题（每题2分，共10分）6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的顶点坐标是________。
7. 当a < 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口________。
8. 如果二次函数的图像与x轴有一个交点，那么判别式Δ = b^2 -4ac等于________。
9. 二次函数y = -2x^2 + 4x - 1的对称轴是直线x = ________。
10. 函数y = x^2 + 2x + 3的最小值是________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 2)和(-1, 6)，求a和b的值。
12. 给定二次函数y = 2x^2 - 8x + 3，求其顶点坐标和对称轴。
13. 如果二次函数y = 4x^2 - 12x + 9与x轴相交，求交点坐标。
14. 函数y = -3x^2 + 6x + 1的最大值是多少？并说明取得最大值时x的值。
第1章 二次函数单元测试题（试卷答案答题卷）
二次函数单元测试班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本题有10题，每小题4分，共40分）1． 若二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象经过点M (2，－3)，则它也经过（ ）A ．M'(－2，－3)B ．M'(－2，3)C ．M'(－3，－2)D ．M'(－3，2)2． 下列函数中，当x ＞0时y 值随x 值的增大而减小的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x －1C ．y ＝34xD ．y ＝1x3． 已知点A (－2，a )，B (1，b )，C (3，c )是抛物线y ＝x 2－2x ＋2上的三点，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a4． 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大其中结论正确的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5． 在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－26． 函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k (k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜3B ．k ＜3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠08． 已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－19． 若二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为（ ） A ．x 1＝0，x 2＝6 B ．x 1＝1，x 2＝7C ．x 1＝1，x 2＝－7D ．x 1＝－1，x 2＝710．如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a ∥b ，Rt △GEF 从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积(S )随时间(t )变化的图象大致是（ ）二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．写出一个开口向下的二次函数的表达式____________________________．12．在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2＋4x ＋1的图象先沿x 轴向右平移2个单位长度，再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到新函数图象的顶点坐标是___________________． 13．如图所示，桥拱是抛物线，其函数的解析式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面的宽为12 m ，此时水面离桥顶的高度h 是__________m ．st OA ．stOB ．C ．stOD ．st OGDCE F ABb a14．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x … －32 －1 －12 0 12 1 32 … y…－54－2－94－2－5474…则该二次函数的表达式为__________________．15．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h (m )与时间t (s )的关系可以用公式h ＝－5t 2＋150t ＋10表示．经过________s ，火箭达到它的最高点．16．如图，把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ．抛物线m 经过点A (－6，0)和原点(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为___________．三、解答题（本题有8小题，共80分）17．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标．18．已知二次函数y ＝(x －3)2－2．(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出草图； (2)根据图象分析该函数图象经过怎样的变换可得y ＝x 2－2x 的图象．19．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件． (1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？ 20．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)运动的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离开地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3．4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．21．如图，抛物线y ＝a (x －1)2＋4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连接BD ，已知点A 的坐标为(－1，0) (1)求该抛物线的解析式； (2)求梯形COBD 的面积．22．在一次数学活动课上，老师出了一道题： (1)解方程x 2－2x －3＝0．巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二题：(2)解关于x 的方程mx 2＋(m －3)x －3＝0(m 为常数，且m ≠0)．老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题： (3)已知关于x 的函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m 为常数)．求证：不论m 为何值，此函数的图象恒过x 轴、y 轴上的两个定点． 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题．23．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx (a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边的距离分别为12 m ，32m ．(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？24．如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18cm ，AD ＝4cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x (s )，△PBQ 的面积为y (cm 2)． (1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．。
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学达教育初三数学（二次函数）单元测试
一. 填空题:（每小题3分）
1. 抛物线2)1(2--=x y 的顶点坐标是____________
2. 若抛物线2)2(x m y -=的开口向下,则m 的取值范围是_______
3. 函数1422++=x x y ,当x=______时,y 随x 的增大而减少.
4. 抛物线bx x y +=22的对称轴在y 轴的右侧,则b 的取值范围是______
5. 已知抛物线c x x y +-=2
12的顶点在x 轴上,则c=_________ 6. 一个二次函数的图象与抛物线23x y =的形状相同,且顶点为(1,4),那么这个函数的关系式是_________________________________
7. 若二次函数9)1(22-++=m x m y 有最大值,且图象经过原点,则m=______
8. 二次函数当x=4时,有最小值2,且图象过点(2,0),则函数关系式为______________
9. 抛物线342--=x x y 与x 轴交于A,B,顶点为P,则 △PAB 的面积是_________
二、选择题: （每小题3分）
1、二次函数522-+=x x y 取最小值时，自变量x 的值是 （ ）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
2.下列函数中，图象一定经过原点的函数是 （ ）
A. 23-=x y
B.X
y 1= C.x x y 22+= D.12+=x y 4、把抛物线1422++-=x x y 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 （ ）
A.6)1(22+--=x y
B. 6)1(22---=x y
C .6)1(22++-=x y D. 6)1(22-+-=x y
5、二次函数c bx ax y ++=2（ ）
A a>0 b<0 c>0
B a<0 b<0 c>0
C a<0 b>0 c<0
D a<0 b>0 c>0
6、二次函数c bx ax y ++=2 A B C D
三、解答题：（第1至4题每题12分，第5题7分）
1、 已知二次函数5632+--=x x y
（1） 求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；
（2） 若另一条抛物线k x x y --=2与上述抛物线只有一个公共点，求k 的值。
2、 根据所给的条件，求二次函数的解析式
（1） 当0=x 时，1-=y ，当2
12或
-=x 时，函数值y 都为0；
（2） 抛物线的顶点坐标是()3,2-与y 轴的交点的纵坐标是7。
3、 已知抛物线m x x y +-=2
（1） 写出它的开口方向，对称轴，并用m 表示它的顶点坐标；
（2） 试求m 在什么范围内取值时，抛物线全部在x 轴上方。
4、 如图是一条高速公路上隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点1A A 和，点1B B 和分别关于y
轴对称。
隧道拱部分为1BCB 为一段抛物线，最高点C 离路面1AA 的距离为8m ，点B 离路面
1AA 的距离为6m ，隧道的宽1AA 为16 m 。
（1） 求隧道拱抛物线1BCB 的函数关系式；
（2） 离均为7m ，它能否安全通过这个隧道。
5、 启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件。
为了获得
更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，
产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且10
7107102++-=x x y 。
如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费
（1） 试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告是多少万元时，
公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（2） 把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的投资新项目，现有6个项目可供选择。
各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
投资方式？写出每种投资方式所选的项目。