1.1.2 两个计数原理(二)经典案例
两个基本计数原理教案
两个基本计数原理教案第一章：概述1.1 计数原理的定义解释计数原理的概念和重要性强调计数原理在数学和实际生活中的应用1.2 两个基本计数原理介绍两个基本计数原理：排列原理和组合原理解释排列原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列方式的个数解释组合原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合方式的个数第二章：排列原理2.1 排列原理的公式介绍排列公式：P(n, m) = n! / (n-m)!解释排列公式的含义和推导过程2.2 排列原理的应用举例说明排列原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用排列原理计算不同的排列方式个数第三章：组合原理3.1 组合原理的公式介绍组合公式：C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]解释组合公式的含义和推导过程3.2 组合原理的应用举例说明组合原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用组合原理计算不同的组合方式个数第四章：排列与组合的综合应用4.1 排列与组合的区别与联系解释排列与组合的概念及其区别强调排列与组合在解决实际问题中的综合应用4.2 综合应用举例举例说明排列与组合在实际问题中的综合应用练习题：根据给定的问题，运用排列与组合原理计算不同的方式个数第五章：练习与拓展5.1 练习题提供一系列练习题，巩固排列与组合原理的应用鼓励学生自主思考，提高解题能力5.2 拓展与应用探讨排列与组合原理在其他领域的应用鼓励学生发现生活中的数学问题，运用排列与组合原理解决第六章：排列与组合在概率论中的应用6.1 排列与组合在概率计算中的作用解释排列与组合在概率计算中的重要性介绍排列与组合在计算事件概率时的应用6.2 具体案例分析通过具体案例，展示排列与组合在概率计算中的应用练习题：根据给定的概率问题，运用排列与组合原理进行计算第七章：排列与组合在日常生活中的应用7.1 排列与组合在日常生活中的实例探讨排列与组合原理在日常生活中的应用实例强调排列与组合原理在解决实际问题中的重要性7.2 练习题提供一系列与日常生活相关的练习题，运用排列与组合原理进行解答鼓励学生自主思考，提高解决实际问题的能力第八章：排列与组合在算法与编程中的应用解释排列与组合在算法与编程中的应用介绍排列与组合在解决算法与编程问题时的作用第八章：排列与组合在算法与编程中的应用8.1 排列与组合在算法中的应用解释排列与组合在算法中的重要性介绍排列与组合在算法设计中的应用实例8.2 排列与组合在编程语言中的应用探讨排列与组合在编程语言中的应用实例强调排列与组合在编程问题解决中的重要性第九章：排列与组合在数学竞赛中的应用9.1 排列与组合在数学竞赛中的题目特点分析数学竞赛中排列与组合题目的特点解释排列与组合在数学竞赛中的重要性9.2 练习题提供一系列数学竞赛中的排列与组合题目，进行练习鼓励学生自主思考，提高解决竞赛题目的能力第十章：总结与提高10.1 排列与组合原理的总结回顾本教案的主要内容，总结排列与组合原理的重要性和应用强调排列与组合原理在数学和实际生活中的重要性10.2 提高题与研究性学习提供一系列提高题，鼓励学生深入研究排列与组合原理鼓励学生开展研究性学习，探索排列与组合原理在其他领域的应用重点和难点解析六、排列与组合在概率论中的应用重点：排列与组合在概率计算中的作用，具体案例分析难点：理解排列与组合在概率计算中的应用，以及如何将实际问题转化为概率问题七、排列与组合在日常生活中的应用重点：排列与组合在日常生活中的实例，练习题难点：将抽象的排列与组合原理应用到具体的生活情境中，提高解决实际问题的能力八、排列与组合在算法与编程中的应用重点：排列与组合在算法与编程中的应用，练习题难点：理解算法与编程中排列与组合的概念，以及在实际编程中应用这些概念九、排列与组合在数学竞赛中的应用重点：排列与组合在数学竞赛中的题目特点，练习题难点：解决数学竞赛中的排列与组合问题，需要学生具备较高的逻辑思维和解题能力十、总结与提高重点：排列与组合原理的总结，提高题与研究性学习难点：巩固所学知识，进一步探索排列与组合原理在其他领域的应用全文总结与概括：本教案主要介绍了排列与组合两个基本计数原理，通过讲解排列与组合的概念、公式及其在概率论、日常生活、算法与编程、数学竞赛等领域的应用，使学生能够理解并掌握这两个基本计数原理。
1.1.2 两个基本原理的应用
根据分步乘法计数原理, 字母组合在左的牌照共有 26 25 24 10 9 8 11 232 000 个 .
同理, 字母组合在右的牌照也有11 232 000个. 所以, 共能给11232000 11232000 22464000辆汽车上牌照 .
思考 你能归纳一下用分类加法计数原理、分步乘法计数原理 解决计数问题的方法吗 ?
边城高级中学 张秀洲
1、掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
2、理解两个原理的区别与联系.
3、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
自学教材 P6—P10 解决下列问题
一、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 二、《教材》 P10 练习.
【分类计数原理】 完成一件事，有n类方式，
在第1类方式中有m1种不同的方法，
在第2类方式中有m2种不同的方法， …， 在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共 有： N m1 m2
mn 种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
注:⑴把完成一件事的所有方法分类. (注意不重不漏) ⑵分类──类类相加. (每类中的每一种方法都独立完成这件事)
4、对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．
如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不 同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域
必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
问: 若用2色、3ຫໍສະໝຸດ 、4色、5色等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数分别是
0, 6,
解 用图1.1 3来表示一个字节
第1位 第2位 第3位
第8位
2种
2种
2种
两个计数原理优秀课件
分类加法计数原理适用于问题的分类 比较明确且易于操作的情况；分步乘 法计数原理适用于问题的步骤比较清 晰且易于分解的情况。
联系
两个原理都是基于计数原理的基本思 想，即对问题进行分解或分步，然后 对每一部分或每一步进行计数，最后 将结果相加或相乘。
02
Байду номын сангаас
两个计数原理的应用
在排列组合中的应用
排列
在排列组合中，两个计数原理主要用于计算不同元素的排列 方式。具体来说，乘法原理用于计算在固定元素下，其他元 素的排列方式；加法原理则用于计算在元素可重复使用的情 况下，所有可能的排列方式。
02
两个计数原理的应用范 围广泛，包括统计学、 计算机科学、物理学、 生物学等众多领域。
03
两个计数原理有助于人 们更好地理解随机现象 ，预测和控制随机结果 ，为决策提供依据。
未来发展的趋势和展望
随着科技的不断进步，两个计数 原理的应用领域将不断扩大，特 别是在大数据和人工智能领域的
应用将更加广泛。
旅行
在制定旅行计划时，我们需要考虑多种交通工具的选择和行程路线的安排。这时 ，两个计数原理可以帮助我们计算出所有可能的行程组合，以便我们做出最佳的 选择。
03
两个计数原理的实例解析
总结词
排列组合是两个计数原理中的重要内容，通过实例解析可以帮助学生更好地理解。
详细描述
排列组合是组合学中的基本概念，通过实例解析可以帮助学生更好地理解排列组合的概念、性质和计 算方法。例如，在解析“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列”的问题时，可以通过实例解析 让学生理解排列的计算公式和性质，并掌握其应用。
04
两个计数原理的练习题及解 析
基础练习题及解析
两个计数原理优秀课件
排列问题
排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列的问题。排列数表示为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n×(n-1)×...×(n-m+1)。
组合问题
组合是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序的问题。组合数表示为C(n,m)，计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
练习题2
一个骰子有6个面，分别标有数字1-6，求掷出偶数点的概率？
解析2
在解决概率问题时，需要先明确问题的条件和要求，然后根据概率的基本概念和公式进行计算。
概率计算练习题及解析
总结词
练习题3
解析1
解析2
练习题2
练习题1
掌握决策的基本原则和方法
一个公司有5个项目需要投资，每个项目的投资额和收益率都不同，如何分配资金才能使得总收益率最大？
01
02
03
04
两个计数原理的发展趋势与展望
THANKS.
排列组合练习题及解析
总结词
理解概率的基本概念和计算方法
练习题3
一个硬币有两面，正面和反面，掷一次出现正面的概率为多少？
练习题1
一个袋子中有5个红球和3个蓝球，从中随机取出3个球，求取出红球数的概率？
解析1
概率的计算公式为$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部可能的基本事件数}$。通过这个公式可以计算出不同情况下概率的大小。
分类计数原理定义
分类计数原理在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，例如在排列组合、概率论、统计学等领域都有涉及。
分类计数原理的应用
例如，从A地到B地有3种交通方式，每种方式都有各自的路线和费用，则从A地到B地的总路线和总费用就是三种交通方式路线和费用的总和。
两个计数原理优秀课件
关键概念
介绍二进制计数、十进制计数和其他常见 计数形式。
计数原理的实际应用案例
智能家居
探索计数原理在智能家居系 统中的实际应用，如计数光 电传感器。
交通流量监测
讲解计数原理在交通监测中 的实际应用，如车辆数量统 计。
生产线控制
说明计数原理在荐一些计数原理的免费在线课程，供进 一步学习和深入了解。
实践项目
提供一些计数原理的实践项目建议，帮助 学习者将理论应用到实际中。
参考书籍
列出一些经典的计数原理参考书籍，适合 深入学习和研究。
在线社区
推荐一些计数原理讨论和交流的在线社区， 供学习者互相交流和分享。
总结和要点
1 计数原理是什么
总结计数原理的定义和基本概念。
2 实际应用案例
强调计数原理在智能家居、交通流量监 测和生产线控制中的实际应用。
3 计数器的设计和原理
4 与计数原理相关的元件
提及设计计数器的步骤和计数器的工作 原理。
概括多路选择器、触发器和解码器在计 数原理中的作用。
5 常见的计数原理实验
6 进一步学习资源
总结二进制计数器、十进制计数器和环 形计数器的实验。
计数器的设计和原理
计数器类型
• 二进制计数器 • 十进制计数器 • 环形计数器
计数器的工作原理
解释计数器是如何根据输 入脉冲进行计数的。
设计计数器
介绍设计计数器的基本步 骤和常见方法。
与计数原理相关的电子元件
1 多路选择器
解释多路选择器在计数原理中的作用，如时钟信号选择。
2 触发器
介绍触发器在计数原理中的作用，如状态存储。
让学习者知道如何继续学习和深入了解 计数原理的资源。
完整版两个计数原理
两个计数原理两个计数原理1•分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m i种不同的方法, 在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m i m2 L 种不同的方法•例从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有____________ 种练习一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 _种.2•分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m i种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 L m*种不同的方法•例1一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法•例2 一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有种•练习1从分别写有0,1，2，3，…，9十张数字的卡片中，抽出两张，数字和为奇数的卡片共有种不同的抽法。
数字和为偶数的卡片共有种不同的抽法•练习2从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x) ax2 bx c 的系数，可组成不同的二次函数共有—，其中不同的偶函数共有个.18,63两个原理的综合应用例1如图10-1-2所示，从A地到B地有3条不同的道路,从B地到C地有4 条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.（1）从A地到C地共有多少种不同的走法？（14）（2）从A地到C地再回到A 地有多少种不同的走法？（196）⑶从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种走法？（182）⑷从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种走法？（122）例2如下图的街道上，从A到B不走回头路，则有n i& 11不同的走法.（15）例3某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29 中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花_____________________ 钱•（2100）练习1如图，从A C有___________ 种不同走法•（6）练习2在3000到8000之间有_______ 无重复数字的奇数.（1232个）分两类；一类是以3、5、7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有 3 种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数位有8 X7种方法，所以共有 3 X4 X8 X7=672 个.另一类是首位是4或6的四位奇数，也可以3步完成，共有2 X5 X8X7=560个•由分类计数原理得共有672+560=1232 个.练习3有一角、二角、五角人民币各一张，一元人民币3张，五元人民币2张，一百元人民币2张,由这些人民币可组成_____ 中不同的非零币值.（287 ）练习4用0, 1，2，3，4，5可以组成—无重复数字且比2000大的偶数（120）.涂色问题 例1如图：某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中 A 、B 、C 、D 每一部分只写一种 颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有1 -------A―i1------------* B 斗一CD例2如图，用4种不同的颜色涂入 图中的矩形A ，的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A练习1如图所示，用五种不同的颜色，给图中标有①，②，③，④的各个部分涂色,每部分只能涂一种颜色，且相邻部分要涂不同色，那么不同涂色的方法种数为 _____ （240 ）种（180）A . 72 种B . 48 种C . 24 种D . 12 种例2有5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有种可能.练习2用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色,(260)□ □ □练习3将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻三 模型法（投信法） （1）可重复问题例1有5名同学报名参加4个课外活动小组，若每人限报1个，共有 _ 中不 同的报名方法•若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有种不同的涂色方法的两个区域的颜色都不相同，贝U 不同的涂色方法有种例1将三封信投入4个邮箱，不同的投法有_________ 种.例2有3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有____ 中不同的报名方案•例3有数学、物理、文学3个课外活动小组,6个同学报名，每人限报一组，一共有种报名的方法•（2）无重复问题例1把4张不同的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完, 则不同的分法共有种•练习1五个工程队承建某个工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项, 其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有___种.（96）练习2从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4中蔬菜中选3中，分别种在不同土质的三四间接法和排除法例1已知集合A a i ,a 2,a 3,a 4以集合B bb ， 合B 为值域能构成 _____ 不同函数•（ 14）例2从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数, 数，可得到 ____ 个不同的对数值.（17）块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法有种.（18）则以集合A 为定义域，以集分别作为对数的底数和真练习 1 用数字2，3组成四位数，且数字 2 ，3至少都出现一次，这样的四位数共有____ 个.（14 ）练习 2 用0，1，L ，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数个数为（252）。
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。
其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。
第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。
假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。
例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。
如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。
第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。
假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。
例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。
如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。
综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。
这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。
通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。
这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。
两个计数原理及其综合应用(
在解决复杂的计数问题时，通常需要综合运用分类加法计 数原理和分步乘法计数原理。例如，在计算组合数和排列 数时，需要先对元素进行分类，再对每一类中的元素进行 排列或组合，最后根据两个计数原理计算总数。
对未来研究的展望
深入研究两个计数原理的内在联系
虽然分类加法计数原理和分步乘法计数原理在形式上有所不同，但它们在本质上是相通的。未来研究可以深入探讨这 两个原理的内在联系，以便更好地理解和应用它们。
THANKS
感谢观看
拓展两个计数原理的应用领域
目前，两个计数原理在组合数学、概率论、统计学等领域有广泛的应用。未来研究可以尝试将这两个原理应用到其他 领域，如计算机科学、信息论等。
发展新的计数方法
虽然分类加法计数原理和分步乘法计数原理是基本的计数方法，但有些复杂的问题可能需要更高级的计 数方法。因此，未来研究可以致力于发展新的计数方法，以解决更多类型的计数问题。
两个计数原理及其综 合应用
目录
• 两个计数原理介绍 • 两个计数原理的应用 • 两个计数原理在概率中的应用 • 两个计数原理在组合数学中的应用
目录
• 两个计数原理在实际问题中的应用 • 总结与展望
01
两个计数原理介绍
分类计数原理
总结词
将问题分为若干个互斥的子问题，分 别计算子问题的数量，再将子问题的 数量相加。
04
两个计数原理在组合数学 中的应用
组合数的计算
组合数的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，记作 C(n,m)，计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
组合数的性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n+1,m)=C(n,m-1)+C(n,m)。
两个计数原理的简单应用
两个计数原理的简单应用1. 简介在计算机科学中，计数原理是一种基本的数学原理，被广泛应用于各种计算机系统和算法中。
本文将介绍两个计数原理的简单应用，包括排列组合计数和模数计数。
2. 排列组合计数排列组合是一种数学方法，用于计算从一个给定集合中选择若干元素的不同方式的总数。
2.1 排列排列是从给定的元素集合中选择并安排元素的一种方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
例如，对于一个由3个元素组成的集合{A, B, C}，可以形成的不同排列的总数为6。
这是因为可按照以下方式排列元素：- ABC- ACB- BAC- BCA- CAB- CBA排列计数可通过使用排列公式计算得出：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，P(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的总数，n!表示n的阶乘。
2.2 组合组合是从给定的元素集合中选择若干元素的一种方式。
在组合中，元素的顺序不重要。
例如，对于一个由3个元素组成的集合{A, B, C}，可以形成的不同组合的总数为3。
以下是该集合的所有组合：- A- B- C组合计数可通过使用组合公式计算得出：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合的总数。
3. 模数计数模数计数是一种利用取模操作进行计数的方法。
在模数计数中，我们将计数限定在一个特定的范围内，并通过不断取模将计数周期循环。
它经常用于计算需要给定周期的循环计数的问题。
3.1 简单的模数计数最简单的模数计数问题是确定一个整数是否是另一个整数的倍数。
例如，我们要确定一个整数是否是4的倍数，只需判断这个整数除以4的余数是否为0。
3.2 关于模数的计数除了简单的倍数计数之外，模数计数还可以应用于更复杂的问题。
例如，在密码学中，我们经常使用模数计数来计算加密和解密操作。
在这种情况下，我们需要选择适当的模数，以确保计数周期足够长，以提供足够的安全性。
两个计数原理的应用笔记
两个计数原理的应用笔记引言计数是数学中非常基础和重要的概念，它在现代科学和技术中有着广泛的应用。
本文将介绍两个常见的计数原理，并探讨它们在实际应用中的具体应用场景。
1. 排列组合计数原理排列组合计数原理是数学中常用的计数方法，它有两个基本的概念：排列和组合。
1.1 排列排列是指从给定的元素集合中选出若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
排列的计算公式为：\[P(n, k) = \frac{{n!}}{{(n-k)!}}\]其中，\(n\) 表示元素的总个数，\(k\) 表示选取的元素的个数。
排列的应用非常广泛，例如在密码学中，要计算一个密码的可能组合数目，就可以使用排列计数原理。
1.2 组合组合是指从给定的元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。
组合的计算公式为：\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]其中，\(n\) 表示元素的总个数，\(k\) 表示选取的元素的个数。
组合的应用也非常广泛，例如在概率统计中，要计算从一副扑克牌中抽取若干张牌的可能情况，就可以使用组合计数原理。
2. 鸽笼原理鸽笼原理是一种基本的计数原理，它是由数学家爱德华·威廉·卢德施特利特（Edward W. L. Chien）在鸽舍中观察到的。
鸽笼原理的核心思想是：如果将\(n+1\)个物体放入\(n\)个容器中，那么至少有一个容器中会放入两个或更多的物体。
鸽笼原理的应用范围非常广泛，下面是一些实际应用场景的例子。
2.1 信箱问题假设有\(n\)个信箱和\(m\)封信，每个信箱只能容纳一封信。
如果\(m>n\)，那么至少有一个信箱会收到两封或更多的信。
这是因为我们无法将\(m\)封信放入只有\(n\)个信箱的情况下，每个信箱都只收到一封信。
2.2 生日悖论生日悖论是指在一个包含较少人数的群体中，两人生日相同的可能性远远超过我们的直觉。
根据鸽笼原理，我们可以推导出具体的计算公式。
高中数学 1.1两个计数原理课件 新人教A版选修2
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3
本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ 9
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同
的取法？
24
例2 要从a、b、c、d四名同学中选出2名参加某天的
一项活动，有多少种不同的选法？
列举法
这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从 甲地到乙地，共有：3×h2＝6种不同的走法． 4
（二）分步计数原理
分步计数原理 完成一件事，需要分成 n
个步骤，做第1步有 m 1种不同的方法，做第2步 有m 2 种不同的方法，…，做第 n步有 m n 种不同
的方法，那么完成这件事共有：
的4位偶数
h
10
小结
分类计数原理与分步计数原理体现了解 决问题时将其分解的两种常用方法。
注意 1、都是完成事件的方法 2、“类”间互相独立 “步”间互相联系．
h
11
作业：学生卷 （一）、（二）
h
12
Nm 1m 2...m n 种不同的方法．
注意： (1)分步计数原理又叫乘法原理。
(2)分步计数原理与分类计数原理的区别：
分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相 互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；
分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 相互依存，只有各个步h骤都完成才能完成这件事。5
走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以
共有：3＋2＝5
h
2
(一）分类计数原理
分类计数原理 完成一件事，有n类办法，
在第1类办法中有 种m不1同的方法，在第2类办 法中有 种m不2同的方法，…，在第 类办n法中
两个计数原理[www
A1型最密堆积（配位数为12）（例如铜）
2.离子晶体属非等径圆球的密堆积方式：
大球先按一 定的方式做 等径圆球密 堆积
小球再填充 到大球所形 成的空隙中
配位数：一个原子或离子周围所邻接的原子 或离子数目。
NaCl：Cl－ 离 子密先堆以积，AN1a型＋ 离紧 子再填充到空 隙中。
ZnS： S2－离子 先以思考
1. 将等径圆球在一列 上的最紧密排列有几种？ 如何排列？ 2.等径圆球在同一平面上的堆积方式是唯一的吗？ 最紧密堆积有几种排列？ 在最紧密堆积方式中每个等径圆球与周围几个球 相接触？
1.金属晶体属等径圆球的密堆积方式：
请你比较
最紧密堆积
非紧密堆积
密置层
非密置层
采用密置层排列能够降低体系的能量
Ⅰ
Ⅱ
变式：如图,该电路,从A到B共有多少条不同的
线路可通电（每条线路仅含一条通路）？
A
B
数学应用
例4.(1)由数字l，2，3，4，5可以组 成多少个允许数字重复的三位数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少 个没有重复数字的三位数？ (3)由数字0，l，2，3，4，5可组成多少 个没有重复数字的三位数？
分类计数原理
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法
中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种 不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不 同的方法，则完成这件事共有
种不同的方法。 N= m1+m2+… +mn
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1 步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的 方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则 完成这件事共有 N= m1×m2×… ×mn
两个计数原理的综合应用 (2)
两个计数原理的综合应用引言计数原理是数字电路中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍两个常用的计数原理，并通过实际案例来展示它们的综合应用。
1. 二进制计数原理二进制计数是计算机中最基本的计数方式，也是数字电路中最常用的计数原理之一。
在二进制计数中，数字由0和1组成，每增加1个计数值，就会发生一次进位。
利用二进制计数原理，我们可以实现很多实用的功能。
比如，可以将计数器的输出与一些逻辑电路相连接，实现各种复杂的计算和控制功能。
下面是二进制计数原理的一些典型应用： - 数字时钟：通过将计数器和数码管连接，可以实现24小时制的数字时钟。
- 二进制加法器：利用进位位的特性，我们可以将多个二进制数相加得到结果。
- 路灯控制系统：利用二进制计数器可以实现多种路灯控制方案，例如交替点亮、闪烁等。
2. 基于触发器的计数原理基于触发器的计数原理是数字电路中常用的计数方式之一。
在这种计数方式中，计数器由多个触发器组成，触发器的输出状态会随着时钟信号的变化而改变。
基于触发器的计数原理具有以下特点： - 可以实现复杂的计数模式：通过设计合适的触发器连接方式，我们可以实现各种复杂的计数模式，如递增、递减、循环、非连续等。
- 可以灵活地控制计数速度：通过调节时钟信号的频率，我们可以实现控制计数速度的功能。
- 可以实现多位计数器：通过连接多个触发器，我们可以实现多位计数器，扩展计数范围。
下面是基于触发器的计数原理的一些具体应用案例： - 计步器：通过将触发器与脉冲传感器相连接，可以实现步行人数的计数功能。
- 电梯控制系统：通过触发器的连接方式和控制逻辑，可以实现电梯的各种运行模式和控制功能。
- 程序计数器：在计算机中，我们通过触发器来实现程序计数器，以记录当前指令的地址。
3. 两种计数原理的综合应用案例为了更好地展示两种计数原理的综合应用，我们将介绍一个实际案例——交通灯控制系统。
3.1 系统概述交通灯控制系统是基于数字电路和控制逻辑的典型应用案例之一。
两个计数原理与排列组合知识点及例题
两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.例题分析例1某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
现要配成一荤一素一汤的套餐。
问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算。
解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析： 1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.略解：N=5×5×5=125（个）【例题解析】1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？2、有一个班级共有46名学生，其中男生有21名.（1）现要选派一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法？ （2）若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法？3、有0、1、2、3、4、5六个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？排列与组合1.排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2.排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3.排列数公式：(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）4.阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．5.排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m -6.组合概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合7．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 8.组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n-=,,(n m N m n ≤∈*且 9.组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=nC ； 10.组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C C n 0+C n 1+…+C n n =2n题型讲解例1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； （2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为72066=A（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有14A 种选法，然后其他5人选，有55A 种选法，故排法种数为4805514=A A（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为35A ；②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有14A 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有14A 种选法，其余两棒次不受限制，故有221414A A A 种排法，由分类计数原理，共有25224141435=+A A A A 种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有2405522=A A 种排法 （5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有2544A A （或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为48024066=-A ）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法1203336=A C 种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻例2 假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有64446024597=C 种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有44232023397=C C 种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有32973C C 种第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有23973C C 种按分类计数原理有4469763329723397=+C C C C 种点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是46628839823=C C 种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A 、B 、C ，第一步先抽A 、B 第二步再抽C 和其余2件正品，与第一步先抽A 、C （或B 、C ），第二步再抽B （或A ）和其余2件正品是同一种抽法，但在算式39823C C 中算作3种不同抽法例3 求证：①m n m n m n A mA A =+---111 ；②12112++-+=++m n m n m n m n C C C C证明：①利用排列数公式左()()()()1!1!1!!n m n n m n m -⋅-=+--- ()()()()1!1!!n m n m n n m --+⋅-==-()==-mn A m n n !!右 另一种证法：（利用排列的定义理解）从n 个元素中取m 个元素排列可以分成两类：①第一类不含某特殊元素a 的排列有mn A 1-第二类含元素a 的排列则先从()1-n 个元素中取出()1-m 个元素排列有11--m n A 种，然后将a 插入，共有m 个空档，故有11--⋅m n A m 种，因此mn m n m n A A m A =⋅+---111②利用组合数公式 左()()()()()!!2!11!1!1!m n m n m n m n m n m n -++--+--+=()()()()()()()[]11211!1!1!+-+++++--⋅+-+m n m m m m n m n m n m n ＝()()()()()()()==+-++=+++-+=++12!1!1!212!1!1!m n C m n m n n n m n m n 右另法：利用公式111---+=m n m n m n C C C 推得 左()()==+=+++=+++++-+1211111m n n n m n m n m n m n m n C C C C C C C 右点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质例4 已知f 是集合{}d c b a A ,,,=到集合{}2,1,0=B 的映射 （1）不同的映射f 有多少个？（2）若要求()()()()4=+++d f c f b f a f 则不同的映射f 有多少个？ 分析：（1）确定一个映射f ，需要确定d c b a ,,,的像（2）d c b a ,,,的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：（1）A 中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有433333=⋅⋅⋅个不同映射（2）根据d c b a ,,,对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有121314=P C 个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有624=C 个由分类计数原理共有1+12+6=19（个）点评：问题（1）可套用投信模型：n 封不同的信投入m 个不同的信箱，有nm 种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏例5 四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？（2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？解：（1）如图，含顶点A 的四面体的三个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有353C 种取法含顶点A 的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理和点A 共面三点取法共有333335=+C 种（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（410C 种取法）减去4点共面的取法取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有464C 种取法 第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法 第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法根据分类计数原理4点共面取法共有6936446=++C故取4个点不共面的不同取法有()14136446410=++-C C （种）点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等小结 ：⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有mmP种“捆绑”方法⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 mnP 种不同的“插入”方法⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有mn C 种不同⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以mm P【例题解析】例1 完成下列选择题与填空题（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。
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题型一 主客体须分清
例1.有四位同学参加三项不同的竞赛． (1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种 不同结果？ (2)每项竞赛只许一位学生参加，且每人参加的项数不 限,有多少种不同结果？ (3)每项竞赛只许一位学生参加，且每人至多参加一项, 有多少种不同结果？
解析 :(1) 学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件 限制，所以每位学生均有3个不同的机会．要完成这件事必须 是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四 步．而每位学生均有 3 个不同机会，所以用分步乘法计数原 理．故3×3×3×3＝34＝81(种)．
题型一 主客体须分清
例1.有四位同学参加三项不同的竞赛． (1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种 不同结果？ (2)每项竞赛只许一位学生参加，且每人参加的项数不 限,有多少种不同结果？ (3)每项竞赛只许一位学生参加，且每人至多参加一项, 有多少种不同结果？
•(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个 项目可挑选4个不同学生中的一个．要完成这件事必须是每项 竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分 步乘法计数原理．故4×4×4＝43＝64(种)． •(3)竞赛项目可挑选学生,分成三步:4×3×2＝12(种)
(1)
1
2
3
4
(ห้องสมุดไป่ตู้)
1
2
3
4
共320种涂法
共320种涂法 A B C D
(3)
(4)
共260种涂法
共180种涂法
巩固练习
1.A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？ A B C D
共48种
2.如图所示,一环形花坛分成A,B,C,D四个区 域,现有4种不同的花可供选种,要求在每个 区域里种1种花,且相邻的2个区域种不同的 花,问有多少种不同的种法?
人教A版选修2-3 第一章
1.1.2 两个计数原理(二) -----------经典案例
德化一中
复习回顾
联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都 是关于完成一件事情的不同方法的种数问题； 区别： 分类要做到“不重不漏”，各种方法是相互独立的，用 任何一种方法都能完成这件事； 分步要做到“步骤完整”，各个步骤都完成才能完成这 修的事情．
巩固练习
解:(1)分三步,每位旅客有4种不同的住宿方法,由 分步计数原理得共有4×4×4＝43 (2)分四步,每封信有3种不同的投递法,由分步计 数原理得共有3×3×3×3＝34 变式:将4封信投入3个邮筒,每个邮筒至少一 封信,共有多少不同的投法? 答案：36
题型二 染色问题
例2 用5种不同颜色给下列图中四个区域涂色,每个区域 涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共 有多少种不同的涂色方法?
共84种
题型三 错位问题
例3 同室四人各写一张贺年卡,选集中起来,然后每人从中拿 一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方案有( ) (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 分析：不妨让甲乙丙丁四人写的卡片分别标上号码1，2，3， 4，完成这件事情需要四个步骤： （1)不妨让甲先拿，有3种方法； （2）让甲拿的编号的人去拿，有3种方法； (3)(4)让剩下两个去拿各有1种方法，所以3×3×1×1=9种
巩固练习
将1，2，3，4填入标有1，2，3，4的四个方格里内 (1)每格填一个数，共有多少种不同的填法？ (2)每格填一个数,且每个方格所填入的数字与方格的标号都不同 的填法有多少种？ (1)4×3×2×1=24种 (2)3×3×1×1=9种