2009年四川省成都市中考数学试卷

2009年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）计算2×（﹣）的结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞3．（3分）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（）A．长方体B．三棱柱C．圆锥D．正方体4．（3分）下列说法正确的是（）A．某市“明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间会降雨B．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上C．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖D．在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交5．（3分）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠08．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．40°B．80°C．120° D．150°9．（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量（）A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg10．（3分）为了解某小区居民的日用电情况，居住在该小区的一名同学随机抽查了15户家庭的日用电量，结果如下表：则关于这15户家庭的日用电量，下列说法错误的是（）A．众数是6度B．平均数是6.8度C．极差是5度D．中位数是6度二、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）11．（4分）已知：（n=1，2，3，…），记b1=2（1﹣a1），b2=2（1﹣a1）（1﹣a2），…，b n=2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），则通过计算推测出b n的表达式b n=．（用含n的代数式表示）12．（4分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB 的距离为．13．（4分）已知M（a，b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M （a，b）在直线x+y=n上”为事件Q n（2≤n≤7，n为整数），则当Q n的概率最大时，n的所有可能的值为．14．（4分）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y=（k＞0，x ＜0）的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S=m（m为常数，且0＜m ＜4）时，点R的坐标是．（用含m的代数式表示）15．（4分）化简：=．16．（4分）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=度．17．（4分）分式方程的解是x=．18．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=．19．（4分）改革开放30年以来，成都的城市化推进一直保持着快速、稳定的发展态势．据统计，到2008年底，成都市中心五城区（不含高新区）常住人口已达到4 410 000人，对这个常住人口数有如下几种表示：①4.41×105人；②4.41×106人；③44.1×105人．其中是科学记数法表示的序号为．三、解答题（共9小题，满分84分）20．（8分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．注：销售利润=销售收入﹣购进成本．21．（10分）已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．（1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx﹣3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？23．（10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD 的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．24．（10分）有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字：1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值．（1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；（2）分别求出当S=0和S＜2时的概率．25．（6分）解不等式组并在所给的数轴上表示出其解集．26．（12分）解答下列各题：（1）计算：+2（π﹣2009）0﹣4sin45°+（﹣1）3；（2）先化简，再求值：x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x=．27．（8分）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45度．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（计算过程和结果均不取近似值）28．（8分）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．（1）试确定反比例函数的表达式；（2）若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．2009年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2009•成都）计算2×（﹣）的结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】根据异号两数相乘，结果为负，且2与﹣的绝对值互为倒数得出．【解答】解：2×（﹣）=﹣1．故选A．【点评】本题考查有理数中基本的乘法运算．2．（3分）（2009•成都）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．【解答】解：根据题意得：3x﹣1≠0，解得：x≠．故选C．【点评】当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．3．（3分）（2011•莆田）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（）A．长方体B．三棱柱C．圆锥D．正方体【分析】左视图是一个长方体，而主视图中间有一条虚线隔开，俯视图是一个三角形，根据三视图可以得出这个图形是三棱柱．【解答】解：根据三视图可以想象出该物体由三条棱组成，底面是三角形，此只有三棱柱的三视图与题目中的图形相符．故选B．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力，较简单．4．（3分）（2009•成都）下列说法正确的是（）A．某市“明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间会降雨B．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上C．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖D．在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交【分析】必然发生的事件就是一定发生的事件．不确定事件就是随机事件，既可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．【解答】解：A、选项中“明天降雨的概率是75%”能说明明天降雨的概率比较大，而不是有75%的时间会降雨，故A错误；B、选项中正面朝上和反面朝上的可能性各占50%，故B错误；C、选项中“中奖的概率是”仅仅说明这个事件发生的可能性的大小，但不代表抽奖100次就一定会中奖，故C错误；D、平行四边形的两条对角线一定相交，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查事件发生的概率，概率是指事件发生可能性的大小．5．（3分）（2009•成都）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴其面积之比为1：4．故选B．【点评】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．6．（3分）（2009•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA 绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′与点A关于原点对称，横、纵坐标都互为相反数．【解答】解：旋转后得到的点A′与点A成中心对称，旋转后A′的坐标为（﹣2，﹣3），所以在第三象限．故选C．【点评】本题考查旋转的性质，解答本题关键要理解旋转180°即成中心对称．7．（3分）（2009•成都）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k 的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．8．（3分）（2009•成都）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．40°B．80°C．120° D．150°【分析】正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面周长等于扇形的弧长．因而圆锥的侧面展开图扇形的弧长是4πcm，半径是6cm，根据扇形的弧长公式l=，就可以求出n的值．【解答】解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为6cm，弧长为4πcm，代入扇形弧长公式l=，即4π=，解得n=120，即扇形圆心角为120度．故选C．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．9．（3分）（2009•成都）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量（）A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg【分析】根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求y=0时，x对应的值即可．【解答】解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意可知，所以k=30，b=﹣600，所以函数关系式为y=30x﹣600，当y=0时，即30x﹣600=0，所以x=20．故选A．【点评】本题重点考查了一次函数的图象及一次函数的应用，是一道难度中等的题目．10．（3分）（2009•成都）为了解某小区居民的日用电情况，居住在该小区的一名同学随机抽查了15户家庭的日用电量，结果如下表：则关于这15户家庭的日用电量，下列说法错误的是（）A．众数是6度B．平均数是6.8度C．极差是5度D．中位数是6度【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数据；而中位数是指将一组数据按从小（或大）到大（或小）的顺序排列起来，位于最中间的数（或是最中间两个数的平均数）；极差是最大数与最小数的差．【解答】解：A、数据6出现了5次，出现次数最多，所以众数是6度，故选项正确；B、平均数=（5×2+6×5+7×4+8×3+10×1）÷15=6.8度，故选项正确；C、极差=10﹣5=5度，故选项正确；D、本题数据共有15个数，故中位数应取按从小到大的顺序排列后的第8个数，所以中位数为7度，故选项错误．故选D．【点评】本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及求法．解题的关键是熟记各个概念．二、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）11．（4分）（2009•成都）已知：（n=1，2，3，…），记b1=2（1﹣a1），b2=2（1﹣a1）（1﹣a 2），…，b n =2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），则通过计算推测出b n的表达式b n=．（用含n的代数式表示）【分析】根据题意按规律求解：b1=2（1﹣a1）=2×（1﹣）==，b2=2（1﹣a1）（1﹣a2）=×（1﹣）==，…．所以可得：b n的表达式b n=．【解答】解：根据以上分析b n=2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）=．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a的值，要注意a中n的取值．12．（4分）（2009•成都）如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为．【分析】此题比较复杂，考查圆周角定理及角平分线的性质．【解答】解：过P作PF⊥AB，PG⊥BD∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于点E，∠AOC=60°，BE=3∴∠CBD=∠ABC=30°∵BC为∠ABD的角平分线，PF=PG又∵PE∥AB∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°∴∠PEG=∠BPE+∠CBD=30°+30°=60°∵PG⊥BD∴∠PGE=90°∴sin∠PEG=即=∴PG=×PE=×3=，∴则点P到弦AB的距离为PF=PG=，故答案为：．【点评】此题比较复杂，考查的是平行线的性质，是中学阶段的重点．13．（4分）（2009•成都）已知M（a，b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M（a，b）在直线x+y=n上”为事件Q n（2≤n≤7，n为整数），则当Q n的概率最大时，n的所有可能的值为4或5．【分析】得到相应的情况数，进而判断n的值即可．【解答】解：a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，共12种取法，M（a，b）在直线x+y=n上，n的值也有12种情况，分别是2、3、3、4、4、4、5、5、5、6、6、7，则当Q n的概率最大时，即n的情况最多为4或5．故答案为：4或5．【点评】用到的知识点为：总数相等的情况下，出现情况数多，概率就大．14．（4分）（2009•成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y=（k＞0，x＜0）的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S=m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是或．（用含m的代数式表示）【分析】由正方形OABC的面积是4可以求出点B坐标，然后即可求出函数解析式为y=，所以可以设R的坐标为（x，）当R在点B的左边时，S=（﹣）×（﹣x﹣2）=m，由此可以求出x然后求出y；当R在点B右边时，也用同样方法求出x，y．【解答】解：∵正方形OABC的面积是4，∴AB=BC=2，∴点B坐标为（﹣2，﹣2），∴k=4，∴y=，设R的坐标为（x，），当R在点B的左边时，S=（﹣）×（﹣x﹣2）=m，解得x=，∴y=，当R在点B右边时，S=﹣x×（﹣﹣2）=m，解得x=，∴y=．故填空答案：（，）或（，）．【点评】解决本题的关键是准确找到不重合部分的矩形的长和宽，需注意应分情况讨论．15．（4分）（2009•成都）化简：=．【分析】把第二个分式的分子分母先因式分解，再把除法统一成乘法化简，最后算减法．【解答】解：=1﹣=1﹣==．【点评】此题运算顺序：先除后减，用到了分解因式、约分、合并同类项等知识点．16．（4分）（2009•成都）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=60度．【分析】由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可．【解答】解：根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，则∠BEA′=180°﹣90°﹣30°=60°．【点评】本题考查图形的轴对称．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角．17．（4分）（2009•成都）分式方程的解是x=2．【分析】观察可得最简公分母为3x（x+1），去分母化为整式方程求解．【解答】解：方程两边同乘以3x（x+1），得2（x+1）=3x，解得x=2．经检验x=2是原分式方程的解．【点评】本题考查分式方程的解法．解题思路：要按照区分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解，最后进行检验，注意解分式方程必须进行检验．18．（4分）（2009•成都）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=3．【分析】由已知可求∠ACB=30°，根据圆周角定理可证∠ADB=∠ACB=30°，∠ABD=90°，运用三角函数即可求BD的值．【解答】解：∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠ACB=30°．∴∠ADB=∠ACB=30°．∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴BD=AD•cos30°=6×=3．【点评】本题综合考查等腰三角形的性质、圆周角定理及三角函数等知识，涉及到的知识点较多，可以有效的考查学生的综合运用能力．19．（4分）（2009•成都）改革开放30年以来，成都的城市化推进一直保持着快速、稳定的发展态势．据统计，到2008年底，成都市中心五城区（不含高新区）常住人口已达到4 410 000人，对这个常住人口数有如下几种表示：①4.41×105人；②4.41×106人；③44.1×105人．其中是科学记数法表示的序号为②．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：①∵4 410 000一共有7位整数，∴n=7﹣1=6，错误；②4 410 000=4.41×106，正确；③∵44.1＞10，错误．故选②．【点评】本题利用改革开放后城市人口增长问题，重点考查了科学记数法的表示．用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．三、解答题（共9小题，满分84分）20．（8分）（2009•成都）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．注：销售利润=销售收入﹣购进成本．【分析】（1）运用营销问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×一件销售利润．一件销售利润=一件的销售价﹣一件的进价，建立函数关系式；（2）分析函数关系式的类别及自变量取值范围求最大值；其中R1是二次函数，R2是一次函数．【解答】解：（1）根据题意，得R1=P（Q1﹣20）=（﹣2x+80）[（x+30）﹣20]，=﹣x2+20x+800（1≤x≤20，且x为整数），R2=P（Q2﹣20）=（﹣2x+80）（45﹣20），=﹣50x+2000（21≤x≤30，且x为整数）；（2）在1≤x≤20，且x为整数时，∵R1=﹣（x﹣10）2+900，∴当x=10时，R1的最大值为900，在21≤x≤30，且x为整数时，∵R2=﹣50x+2000，﹣50＜0，R2随x的增大而减小，∴当x=21时，R2的最大值为950，∵950＞900，∴当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元．【点评】本题需要反复读懂题意，根据营销问题中的基本等量关系建立函数关系式，根据时间段列出分段函数，再结合自变量取值范围分别求出两个函数的最大值，并进行比较，得出结论．21．（10分）（2009•成都）已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．（1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．【分析】（1）根据两角对应相等证明Rt△ABE∽Rt△ECD，然后根据相似三角形的对应边的比相等求得CD的长，再运用勾股定理就可计算出AD的长；（2）可以证明Rt△ABE≌Rt△ECD，得到对应线段相等，根据图形就可得到线段之间的和差关系．【解答】解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，∴∠ABE=∠ECD=90°．∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，∴∠CED=90°﹣∠BEA．又∵∠BAE=90°﹣∠BEA，∴∠BAE=∠CED．∴Rt△ABE∽Rt△ECD．∴．∵BE：EC=1：3 BC=16，∴BE=4，EC=12．又∵AB=6，∴CD==8．在Rt△AED中，由勾股定理得AD==2．（2）（i）猜想：AB+CD=BC．证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°∴∠BAE=90°﹣∠AEB，又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，∴∠CED=90°﹣∠AEB．∴∠BAE=∠CED．∵DC⊥BC于点C，∴∠ECD=90°．由已知，有AE=ED，在Rt△ABE和Rt△ECD中，，∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．∴AB=EC，BE=CD．∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．（ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：AB﹣CD=BC（AB＞CD）或CD﹣AB=BC（AB＜CD）．【点评】此题考查了圆的有关知识、相似三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定．22．（12分）（2009•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c （a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx﹣3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【分析】（1）根据MC的函数式不难得出C点的坐标应该是（0，﹣3），即c=﹣3，那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标，可根据OC=3，以及∠BCO的余弦值在直角三角形BCO中运用勾股定理求出OB的长，也就得出了B的坐标，进而可求出抛物线的解析式．（2）假设存在这样的点P，那么要分两种情况进行讨论：①当PN是另外一条直角边时，可先求出直线MC的函数解析式，然后确定出N 点的坐标，如果PN与y轴的交点为N，那么直角三角形CND应该是个等腰直角三角形（∠OCN=45°），因此可求出OD的长，也就得出了D的坐标，然后可确定出直线PN的解析式，然后联立抛物线和PN所在直线的解析式即可求出此时交点P的坐标．②当PC是另外一条直角边时，连接AC可发现，AC⊥CN（∠ACO=∠NCO=45°），而C点又正好在抛物线上，因此P与A重合，那么P点的坐标就是A点的坐标．（3）①先求上移的单位，可先设出平移后的二次函数的解析式，然后联立抛物线和直线NQ即MC的解析式，然后可得出一个一元二次方程，要想使两函数有交点，那么△≥0，以此可求出平移单位的取值范围，也就可求出最大的平移值．②要求向下平移的最大单位，可求出当Q，N正好在抛物线上时，b的取值，那么根据MC的直线解析式，可得出Q，N点的坐标，那么当Q，N正好在抛物线上时，可用Q，N得出b的值，然后即可求出向下平移的最大单位．【解答】解：（1）∵直线MC的函数表达式y=kx﹣3．∴点C（0，﹣3）∴cos∠BCO==，∴可设OC=3t（t＞0），BC=t则由勾股定理，得OB=t而OC=3t=3，∴t=1∴OB=1，∴点B（1，0）∵点B（1，0）C（0，﹣3）在抛物线上∴，解得，∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3．（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形，①若PN为另一条直角边∵点M（﹣1，﹣4）在直线MC上，∴﹣4=﹣k﹣3，即k=1∴直线MC的函数表达式为y=x﹣3易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0）∵OC=ON∴∠CNO=45°∴在y轴上取点D（0，3），连接ND交抛物线于点P∵ON=OD∴∠DNO=45°设直线ND的函数表达式为y=mx+n由得∴直线ND的函数表达式为y=﹣x+3设点P（x，﹣x+3），代入抛物线的函数表达式，得﹣x+3=x2+2x﹣3，即x2+3x﹣6=0解得x1=，x2=∴y1=，y2=∴满足条件的点为P1（，），p2（，）．②若PC是另外一条直角边∵点A是抛物线与x轴的另一交点，∴点A的坐标为（﹣3，0）连接AC，∵OA=OC，∴∠OCA=45°，又∠OCN=45°∴∠ACN=90°，∴点A就是所求的点p3（﹣3，0）综上所述，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，分别为：P1（，），p2（，），p3（﹣3，0）．（3）若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移b（b＞0）个单位可设函数表达式为y=x2+2x﹣3+b由，得x2+x+b=0．∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须△=1﹣4b≥0，即b≤，∴0＜b≤∴若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度．②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b（b＞0）个单位可设函数表达式为y=x2+2x﹣3﹣b∵当x=﹣3时，y=﹣b，当x=3时，y=12﹣b易求得Q（﹣3，﹣6），又N（3，0）∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须﹣b≥﹣6或12﹣b≥0，即b≤6或b≤12∴0＜b≤12∴若抛物线沿其对称轴向下平移，最多可平移12个单位长度综上可知，若抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度．【点评】本题的关键是在于根据已知条件确定二次函数的解析式以及二次函数平移后解析式的变化情况，要注意的是（2）中要分另一条直角边的不同进行分类讨论，不要漏解．23．（10分）（2009•成都）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【分析】（1）根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；（2）先证明△ACE与△BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，。