2013高中数学备忘录1——集合与命题

高中数学备忘录——集合与命题
1． 区分集合中元素的形式：
例1．集合R x x y y M ∈==,，R x x y y N ∈+-==,1，则=N M
例2．集合{}R x x y y x M ∈==,),(2
，{}
R x x
y y x N ∈+-==,1),(2
，=N M
例3．集合()(){}R M ∈+==λλ,4,32,1，集合()(){}
R N ∈+==λλ,5,43,2，则=N M
2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。

例4．已知集合{},,lg()A x xy xy =，集合{}y x B ,||,0=，且B A =，则=+y x
3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ⊆。

② 空集是任何集合P 的子集，记为P ⊆∅。

③ 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ≠
⊂∅。

注意：若条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了∅=A 的情况。

例5．集合}012|{2=--=x ax x A ，如果∅=+
R A ，实数a 的取值范围 集合的运算：④ ()()C B A C B A =、()()C B A C B A =； ()()()U U U C A
B C A C B =、()()
()U U U C A B C A C B =。

⑤
∅=⇔⊆⇔⊆⇔=⇔=B C A A C B C B A B B A A B A U U U 。

⑥ 对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
依次为：012
2n
n n n n n C C C C +++
+=、12-n 、12-n 、22-n 。

例6．满足条件{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊂≠
A 的集合A 共有 个。

4．研究集合之间的关系，当判断不清时，建议通过“具体化．．．”的思想进行研究。

例7．已知{}N k k x x M ∈+==,12，{}
N k k x x N ∈±==,14，则N M _____。

5．补集思想．．．．
常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

例8．设函数()()122242
2
+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-上至少存在一个实数C ，
使()0>c f ，求实数p 的取值范围
6．命题是表达判断的语句。

判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题。

① 命题的四种形式及其内在联系： 原命题：如果α，那么β；
逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β； 逆否命题：如果β，那么α；
② 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲⇔乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题。

③ 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题。

④ 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑。

例9．“βαs i n s i n
≠”是“βα≠”的 条件。

⑤ 注意命题“如果α，那么β”的否定与它的否命题的区别：
命题“如果α，那么β”的否定是“如果α，那么β”；否命题是“如果α，那么β”。

*例10．“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是 否定是
7．常见结论的否定形式：
8．充要条件：
首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果。

一般地，充要条件的范围具有如下的包含关系 例题答案
1．[]1,0 2. ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,22,21,22 3. (){}2,2-- 4. 2- 5. 0≤a 6. 7 7. N M ≠
⊂ 8. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-23,3 9. 充分非必要条件 10. 否命题是“若a 和b 不都是偶数，则
b a +是奇数”；否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”。

充分条
件
充要条件
必要条件。