高中数学步步高大一轮复习讲义文科第一章 13 优质课件
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第一章 1.3
题型分类·深度剖析
(1)若命题 p：函数 y＝x2－2x 的单调递增区间是[1， 1 ＋∞)， 命题 q： 函数 y＝x－x的单调递增区间是[1， ＋∞)， 则( D ) 跟踪训练 2 A．p∧q 是真命题 C．綈 p 是真命题 B．p∨q 是假命题 D．綈 q 是真命题
必要不充分 条件． (2)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的___________
“綈 p”为真命题的个数是 A．1 B． 2
C．3 D．0
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 含有逻辑联结词命题的真假判断
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 2】
命题 p：将函数 y＝sin 2x π 的图像向右平移 个单位得到函数 3 π y＝sin2x－3的图像； 命题 q： 函数 π π y ＝ sin x＋6 cos 3－x 的最小正周 期为 π， 则命题“p 或 q”“p 且 q” ( )
【例 1】 写出下列命题的否定， 并判断其真假： 1 (1)p： 任意 x∈R， x －x＋ ≥0； 4
2
思维升华
(2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：存在 x0∈R，x2 0＋2x0＋劫 2≤0； (4)s：至少有一个实数 x0 ，使 x3 0＋1＝0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
真
假
假
真
假
假 假
真
真
真
真
真
真
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
【免费下载】高中数学步步高大一轮复习讲义文科第1讲 归纳与类比
第十二章推理证明、算法初步、复数第1讲归纳与类比一、选择题1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )．A．76 B．80 C．86 D．92解析 由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，a n＝a n－1＋n.∴a1＋a2＋…＋a n＝(a1＋a2＋…1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成个小正方体，接着用中心和8个角的9个小正方体，构成新；第二步，将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都(1)图的规律，第1个图有白色地砖3×3－1(块)，第2个图块)，第3个图有白色地砖3×7－3(块)，…，则第100个201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块的通项公式；的表达式．行共有1＋2＋3＋ (2)＝＋3，所以a 317×82，q ＝，131＝，2n －13n －1。
2020届【步步高】高考文科数学一轮总复习讲义
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集
符号
N
N*(或 N＋)
Z
有理数集 Q
实数集 R
答案 (1)C (2)0 或98
解析 (1)∵2－3 x∈Z，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，
又∵x∈Z，∴x 值分别为 5,3,1，－1，
故集合 A 中的元素个数为 4.
(2)若 a＝0，则 A＝23，符合题意； 若 a≠0，则由题意得 Δ＝9－8a＝0，解得 a＝98.
综上，a 的值为 0 或98. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数
2.集合间的基本关系 关系
子集
自然语言
集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即 若 x∈A，则 x∈B)
符号语言 A⊆B(或 B⊇A)
Venn 图
真子集 集合相等
集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中
集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集
A B(或 B A) A＝B
A．{－1,1,5}
B．{－1,5}
C．{1,5}
D．{－1}
答案 A
解析 ∵A＝{－1,5}，B＝{－1,1}，
∴A∪B＝{－1,1,5}．
3．已知集合 A＝{x|x2－x－2≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B 等于( )
A．{－1,0,1,2}
步步高大一轮复习讲义第课时PPT学习教案
【高考佐证2】 (2010·全国Ⅱ·20)频率
不同的两束单色光1和2以相同的入射
角从同一点射入一厚玻璃板后，其光
路如图9所示，下列说法正确的是( )
图9
A．单色光1的波长小于单色光2的波长
B．在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2的传播速度
C．单色光1通过玻璃板所需的时间小于单色光2通过玻璃板
________(填“能”、“不能”或“无法确定能否”)发生全
反射．
第20页/共49页
解析 (1)如图所示，单色光照射到EF弧面
上时刚好发生全反射，由全反射的条件得
C＝45°
①
由折射定律得
n＝ssinin9C0°
②
联立①②式得
n＝ 2.
(2)能
答案 (1) 2 (2)能
第21页/共49页
题型互动探究
第19页/共49页
【高考佐证3】 (2010·山东理综·37(2))如图10
所示，一段横截面为正方形的玻璃棒，中间
部分弯成四分之一圆弧形状，一细束单色光
由MN端面的中点垂直射入，恰好能在弧面
EF上发生全反射，然后垂直PQ端面射出．
图10
(1)求该玻璃棒的折射率．
(2)若将入射光向N端平移，当第一次射到弧面EF上时
介质射向 光疏
介质．
(2)入射角 大于
临界角．
3．临界角：折射角等于90°时的入射角．设光线从 某介质
射向 空气
时的临界角为C，则sin C＝n1.
第4页/共49页
五、棱镜 1．常用的棱镜是横截面为三角形或梯形的三棱镜，通常简
称为棱镜． 2．棱镜对光线的控制作用
让一束单色光从空气射向玻璃 棱镜的一个侧面，光线经过棱 镜两次折射从另一侧面射出时， 将向棱镜的底部方向偏折，如
【2016版】新步步高 人教A版 大一轮复习讲义 数学(文)精品课件：第一章 1.1集合的概念与运算
题型分类·深度剖析 题型一
例1
集合的基本概念
思维点拨
解析
答案
思维升华
(1)(2013· 江西 ) 若集合 A ＝
{x∈R|ax2 ＋ ax ＋ 1 ＝ 0} 中只有一 个元素，则a等于( )
A.4
C.0
B.2
D.0或4
题型分类·深度剖析 题型一
例1
集合的基本概念
思维点拨
解析
答案
思维升华
(1)(2013· 江西 ) 若集合 A ＝ 不要忽视集 合 中 元素 的 互异性.
A⊆B(或B⊇A)
真子集 集合B中至少有一个元素
A B(或 B A)
不在集合A中
基础知识·自主学习
知识梳理
集合 集合A，B中元素相同 相等 或集合A，B互为子集
A＝B
基础知识·自主学习
3.集合的运算 集合的并集 图形 符号 集合的交集
知识梳理
集合的补集
A∪B＝{x|x∈
A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈
题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华
例1 (2)设 a，b∈R，集合{1，a
b ＋b，a}＝0，a，b ，则
因 为 {1 ， a ＋ b ， a} ＝
b 0， ，b，a≠0， a
b－a＝
________.
b 所以 a＋b＝0，得a＝－1，
当 a ＝ 0 时，方程化为 1 ＝ 0 ，
无解，集合A为空集，不符
A.4
C.0
B.2
D.0或4
合题意；
当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝
0，解得a＝4.
题型分类·深度剖析 题型一
2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义
2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义第一章集合与常用逻辑用语第一节集合知识点一元素与集合1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．4．常用数集及其符号表示1．判断题(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(×)(3)任何集合都有两个子集．(×)2．(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为1或4.(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5.(3)集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为7.(4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝－2.解析：(1)∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.(2)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．(3)因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.(4)∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.知识点二集合间的基本关系3．(必修1P12习题 1.1A组第5(2)题改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是(D)A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：因为22不是自然数，所以a∉A.4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为7.解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.知识点三集合的基本运算1．集合的三种基本运算2.活用集合的三类运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝(B) A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：解法1：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.解法2：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(3，＋∞)．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∵A⊆B，B＝{x|x<a}，∴a>3.1．集合中子集的性质(1)一个集合的真子集必是其子集，一个集合的子集不一定是其真子集；(2)任何一个集合是它本身的子集；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C(真子集也满足)；(4)若A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能．2．集合子集的个数：集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集、2n －1个真子集、2n －1个非空子集、2n －2个非空真子集．3．注意补集的两个性质∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．4．在解决含参数的集合问题时，要注意分类讨论和集合的互异性的应用．考向一 集合的概念【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝{2,3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7}，B ＝{|a －2|,2}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．【解析】 (1)解法1：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为3×3＝9，故选A.解法2：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.(2)因为4∈A ，即4∈{2,3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7}， 所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4. 若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a ＋2a ＋3＝0，a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1. 故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,2}，所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．【答案】(1)A(2){4}(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.(2)依据元素与集合的关系确定参数时，往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论，并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(1)设集合A＝{－1,0,2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝(A)A．{1} B．{－2}C．{－1，－2} D．{－1,0}(2)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(C)A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A解析：(1)若x＝－1，则2－x＝3∉A，此时－x＝1；若x＝0，则2－x＝2∈A，此时不符合要求；若x＝2，则2－x＝0∈A，此时不符合要求．所以B＝{1}．(2)当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k －1，得k＝－103∉Z，所以－11∉A，所以B错误；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D错误；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确．考向二集合的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．A B B．B A C．A⊆B D．B＝A(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}．因此B A.故选B.(2)由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.【答案】(1)B(2)[2 018，＋∞)本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a 的取值范围是(－∞，1]．解析：A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)(2019·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( B )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 解析：(1)解法1：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝{x |0<x <c }．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1，故选B.解法2：A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，取c ＝1，得B ＝{x |0<x <1}，则A ⊆B 成立，可排除C 、D ；取c ＝2，得B ＝{x |0<x <2}，则A ⊆B 成立，可排除A ，故选B.(2)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ， 所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34.考向三 集合的基本运算方向1 集合的交、并、补运算【例3】 (1)(2018·天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}(2)(2019·山东临沂模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}【解析】(1)因为B＝{x|x≥1}，所以∁R B＝{x|x<1}．因为A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.(2)A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．【答案】(1)B(2)B方向2利用集合运算求参数【例4】(1)(2019·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是()A．[3,6) B．[1,2)C．[2,4) D．(2,4](2)(2019·泰安二模)设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，若(∁U A)∩B＝∅，则p应该满足的条件是()A．p>1 B．p≥1C．p<1 D．p≤1【解析】(1)集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x |4x >2m}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >m 2，∵A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2<2，解得2≤m <4，∴实数m 的取值范围是[2,4)．(2)∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |x >p }，∴∁U A ＝{x |x ≤1}，又(∁U A )∩B ＝∅，∴p ≥1.【答案】 (1)C (2)B集合的基本运算包括集合的交、并、补，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提；二是对集合进行化简，有些集合是可以化简的，利用化简，可使问题变得简单明了，易于解决；三是注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn )图.1．(方向1)(2019·江西南昌中学模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}，则(∁U B )∩A ＝( D )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1]∪(0,3)C ．[0,3)D ．(0,3)解析：集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，集合B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－1}．因为全集U ＝R ，所以∁U B ＝{x |－1<x <3}，所以(∁U B )∩A ＝(0,3)，故选D.2．(方向2)设A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为1<a ≤2.解析：依题设得：⎩⎨⎧ (2－a )2<1，(3－a )2≥1，即⎩⎨⎧ 1<a <3，a ≤2或a ≥4.所以1<a ≤2.3．(方向2)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝－1，n ＝1.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.考向四 集合的新定义问题【例5】 (2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21【解析】 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.【答案】D与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x ∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(B)A．7 B．10C．25D．52解析：因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：易错点：忽略空集是任何集合的子集出错勿忘空集和集合本身．由于∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记．典例已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()A．[－1,2)B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)【易错分析】集合B为不等式2m－1<x<m＋1的解集，但m 取值不同，解集也不同．当m＋1≤2m－1时，集合B为空集，而空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集，求解时应分B＝∅和B≠∅两种情况，结合数轴，讨论求解．【解析】由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，得－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.(1)当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，得m ≥－1.【答案】 D 易错警示 当题目中出现A ⊆B 或A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B 时，在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，并注意对端点值的检验．(2019·吉林长春检测)已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}，且A ∩B ＝A ，则a 的所有可能取值组成的集合是( D )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14 解析：由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .∵B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}＝{x |2<x ≤4，x ∈N *}＝{3,4}．当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，∴a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意；当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a .要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或14.综上所述，a的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14，故选D. 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件知识点一 命题及四种命题1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是(D)A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确解析：原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数，则函数是单调函数”，故选项A不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数”，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C 不正确． 2．“若a ，b 都是偶数，则ab 是偶数”的逆否命题为若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数．解析：“a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”．3．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是3.解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.知识点二 充分条件与必要条件1．若p ⇒q 且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充分必要条件，q 也是p 的充分必要条件．2．若A 、B 为两个集合，满足A B ，则A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件；若A ＝B ，则A 是B 的充分必要条件．4．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“|x －12|<12”是“x 3<1”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：解法1：由|x －12|<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“|x －12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A.解法2：由|x －12|<12，得0<x <1，所以0<x 3<1，所以充分性成立；取x ＝－14，则|－14－12|＝34>12，(－14)3＝－164<1，所以必要性不成立．故选A.5．(选修2－1P12A 组第3题改编)在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．若sin A >sin B ，则a 2R >b 2R ，即a >b ，所以A >B ；若A >B ，则a >b ，所以2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件．1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．3．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．考向一四种命题及其关系【例1】(1)已知x∈R，命题“若x2>0，则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”【解析】(1)命题“若x2>0，则x>0”的逆命题是“若x>0，则x2>0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上三个命题中真命题的个数是2.故选C.(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，所以C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，所以D 不正确．故选B.【答案】(1)C(2)B(1)四种命题在书写时，要注意词语的否定形式，如“都是”的否定应为“不都是”，“大于”的否定为“不大于”等．(2)命题真假的判断方法①联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．②利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．(1)命题“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题为(D)A．若x2＝4，则x≠2且x≠－2B．若x2≠4，则x＝2且x＝－2C．若x2≠4，则x＝2或x＝－2D．若x2＝4，则x＝2或x＝－2(2)下列命题的逆命题为真命题的是(B)A．若x>2，则(x－2)(x＋1)>0B．若x2＋y2≥4，则xy＝2C．若x＋y＝2，则xy≤1D．若a≥b，则ac2≥bc2解析：(1)“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题是“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”．故选D.(2)选项A，“若x>2，则(x－2)(x＋1)>0”的逆命题为“若(x－2)(x ＋1)>0，则x>2”，因为由(x－2)(x＋1)>0得到x>2或x<－1，所以是假命题；选项B，“若x2＋y2≥4，则xy＝2”的逆命题为“若xy＝2，则x2＋y2≥4”是真命题；选项C，“若x＋y＝2，则xy≤1”的逆命，满足xy≤1，但不题为“若xy≤1，则x＋y＝2”；因为x＝2，y＝12满足x＋y＝2，所以是假命题；选项D，“若a≥b，则ac2≥bc2”的逆命题为“若ac2≥bc2，则a≥b”，因为若c＝0，a＝1，b＝2，满足ac2≥bc2，但不满足a≥b，所以是假命题．故选B.考向二充分条件与必要条件的判断【例2】(1)设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)·(q2＋2)＝0，解得q ＝±1，所以“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选C.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1.因为綈q⇒綈p，但綈⇒/綈q，所以綈q 是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.(3)化简集合A＝{x|0<x<1}，若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅，反之，若A∩B≠∅，则m>0，因(1，＋∞)(0，＋∞)，故选A.【答案】(1)C(2)A(3)A充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(1)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立．故选C.(2)当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.(3)因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈p⇒/綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．考向三 充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[－1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 【解析】 (1)∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.故选A.(2)由4x －1≤－1，解得－3≤x <1；由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，其大致图象如图，则⎩⎨⎧ f (－3)＝－a 2＋a ＋6≥0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0，所以⎩⎨⎧ －2≤a ≤3，－1≤a ≤2，解得－1≤a ≤2.故选C. 【答案】 (1)A (2)C(1)求解充分、必要条件的应用问题时，一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误.(1)下面四个条件中，使a >b 成立的必要而不充分条件是( B )A ．a －1>bB ．a ＋1>bC ．|a |>|b |D ．a 3>b 3(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( C )A ．－1≤k <3B ．－1≤k ≤3C ．0<k <3D ．k <－1或k >3解析：(1)“a>b”不能推出“a－1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a＋1>b”，但“a＋1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意．故选B.(2)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|<2，解得k∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子2集，故充分不必要条件可以是“0<k<3”．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识点一简单的逻辑联结词1．命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．2．命题p且q、p或q、非p的真假判断1．(选修2－1P18B组改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．2．已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ，命题q ：复数1＋i 1＋2i的虚部为－15i ，则下面为真命题的是( C ) A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．p ∧q解析：由已知可得，复数z 满足(z －i)(－i)＝5，所以z ＝5－i＋i ＝6i ，所以命题p 为真命题；复数1＋i1＋2i ＝(1＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－i 5，其虚部为－15，故命题q 为假命题，命题綈q 为真命题．所以p ∧(綈q )为真命题，故选C.知识点二 全称量词与存在量词1．全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．4．含有一个量词的命题的否定3．命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0的否定是(C)A．∃x0∈R，x20－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，x20－x0＋1<04．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是[e,4]．解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．1．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)(2019·石家庄模拟)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．綈p(2)给定下列命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨綈p 3D ．綈p 2∧p 3 【解析】 (1)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．(2)对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p3是真命题，所以綈p2∧p3为真命题．【答案】(1)B(2)D含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．(2019·陕西质量检测)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(D)A．p∧q B．綈p∧綈q C．綈p∧q D．p∧綈q解析：由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q是假命题．由复合命题真值表可知p∧綈q是真命题，故选D.考向二 全称命题与特称命题【例2】 (1)若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0，则綈p 为( )A ．不存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1<0B ．存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1<0C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1≥0(2)下列命题中为假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点【解析】 (1)命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0的否定为綈p ：存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1≥0.故选D.(2)当α＝0，β＝π2时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 为真命题；当φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 为假命题；对于三次函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又该函数的图象在R 上连续不断，故∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 为真命题；当f (x )＝0时，(ln x )2＋ln x －a ＝0，则有a ＝(ln x )2＋ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a有零点，D为真命题．综上可知选B.【答案】(1)D(2)B全称命题与特称命题的真假判断及其否定已知f(x)＝e x－x，g(x)＝ln x＋x＋1，命题p：∀x∈R，f(x)>0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0，则下列说法正确的是(C) A．p是真命题，綈p：∃x0∈R，f(x0)<0B．p是假命题，綈p：∃x0∈R，f(x0)≤0C．q是真命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0D．q是假命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0解析：f′(x)＝e x－1，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，故当x＝0时，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值，f(0)＝e0－0＝1－0＝1>0，∴∀x∈R，f(x)>0成立，即p是真命题．g(x)＝ln x＋x＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0.综上，只有选项C 正确．考向三 根据命题的真假求参数的取值范围【例3】 已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．1．本例条件不变，若p 且q 为真，则实数m 的取值范围为(－2,0)． 解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎨⎧ m <0，－2<m <2，可得－2<m <0.2．本例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎨⎧ m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2； 当p 假q 真时⎩⎨⎧ m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．3．本例中的条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他不变，则实数m 的取值范围为[0,2]．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎨⎧ m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围是[0,2]．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题：可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题．(2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是(C)A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4)D．[－12，＋∞)解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．突破双变量任意性与存在性问题的策略典例 (1)已知函数f (x )＝2x x ＋1，g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 和g (x )＝2x ＋x ＋1，对任意x 1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________；(3)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________；(4)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2， 由题意得[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2≠∅. 若[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2＝∅， 则2－2a >1或2－3a 2<0，即a <12或a >43.故实数a 的取值范围是12≤a ≤43.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，所以f (x )∈[a －1，＋∞)．因为g (x )＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增，所以g (x )∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．(4)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故实数m 的取值范围是m ≥14.【答案】 (1)12≤a ≤43 (2)(－∞，－1](3)(－∞，0) (4)m ≥14已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围为( A )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2解析：由题意知f (x )min x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])． 因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.第二章 函数、导数及其应用第一节函数及其表示知识点一函数与映射的概念1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.2．映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(B)A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1 解析：对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．2．(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( B )解析：A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]．知识点二 函数的三要素及表示方法1．函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( C ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：由题意得⎩⎨⎧ 2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2. 4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝12. 解析：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.知识点三 分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．(2019·陕西质量检测)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( C )解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x )＝x ，故选C.6．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，|x ＋12|，－2<x ≤0，则f (f (15))2解析：因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，|x ＋12|，－2<x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f (12)＝cos π4＝22.1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点．2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的。
2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
题组二 教材改编
2.下列命题是真命题的是
√A.矩形的对角线相等
B.若a>b，c>d，则ac>bd C.若整数a是素数，则a是奇数 D.命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
3.命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是_两__直__线__不__平__行__，__同__位__角__ _不__相__等___. 4.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的_充__分__不__必__要___条件.(填“充分不必 要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
思维升华
SI WEI SHENG HUA
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意 ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写. ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需 举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性 质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条件
p是q的 充分不必要 条件
p⇒q且q⇏p
p是q的 必要不充分 条件
p⇏q且q⇒p
p是q的 充要 条件
p⇔q
p是q的 既不充分也不必要 条件
p⇏q且q⇏p
概念方法微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可 得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系. 提示 若A B，则p是q的充分不必要条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A B，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.
2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第13章 推理与证明、算法、复数 13.4
命题点2 选择结构
例2 执行如图所示的流程图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于
________.
①[－3,4]
②[－5,2]
③[－4,3]
④[－2,5]
第二十页，编辑于星期六：三解点 十析分答。 案
引申探究
若将本例中判断框的条件改为“t≥1”，则输出的s的范围是什么？
解 根据流程图可以得到，
一般形式是
.
第七页，编辑于星期六：三点 十分。答案
6.算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现
(1)当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示 “For”语句的一般形式为
说明：上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略 “Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.
第八页，编辑于星期六：三点 十分。
答案 第二十八页，编辑于星期六：三点 十分。
命题点3 辨析流程图的功能
例5 (2014·陕西改编)根据下面框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项
公式是____________.
思第维二升十九华页，编辑于星期六：解三点析十答分。案
跟踪训练2
(1)(2015·课标全国Ⅰ改编)执行如图所示的流程图，如果输入的t＝0.01， 则输出的n＝________.
解析 当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计， 本算法是求a、b、c三个数的最小值， 故输出m的值为2.
1234 5
解析答案 第十2015·陕 西 改 编 ) 根 据 如 图 所 示 的 流 程 图 ， 当 输 入 x 为 6 时 ， 输 出 的 y ＝ ___1_0____.
2.流程图是由一些图框和 流程组线成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中
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2≤0；
是真命题，需要对集合 M 中的每个元 素 x，证明 p(x)成立；要判断特称命题
(4)s：至少有一个实数 x0，使 是真命题，只要在限定集合内至少能找
x30＋1＝0.
到一个 x＝x0，使 p(x0)成立．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)已知命题 p：任意 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－
解析 (1)綈 p：存在 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
(2)命题“存在实数 x，使 x>1”的否．定．是 A．对任意实数 x，都有 x>1 B．不存在实数 x，使 x≤1 C．对任意实数 x ，都有 x≤1 D．存在实数 x，使 x≤1
数学 北（文）
§1.3 全称量词与存在量词、 逻辑联结词
第一章 集合与常用逻辑用语
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．全称量词与存在量词 (1) 常 见 的 全 称 量 词 有 “ 所 有 ”“ 每 一 个 ”“ 任 意 一 条”“一切”等． (2) 常 见 的 存 在 量 词 有 “ 有 些 ”“ 至 少 有 一 个 ”“ 有 一 个”“存在”等．
2．全称命题与特称命题 (1)含有全称 量词的命题叫全称命题． (2)含有 存在 量词的命题叫特称命题．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是 全称 命题． (2)p 或 q 的否定：非 p 且非 q；p 且 q 的否定：非p 或非q .
期为 π，则命题“p 或 q”“p 且 q”
思维启迪 解析 答案 思维升华
先判断命题 p、q 的真假， 然后利用真值表判断 p 或 q、p 且 q、綈 p 的真假．
2≤0；
(3)綈 r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真
(4)s：至少有一个实数 x0，使 命题．
x30＋1＝0.
(4)綈 s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
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题型一
全(特)称命题的否定
【例 1】 写出下列命题的否定， 思维启迪 解析 思维升华
并判断其真假：
并判断其真假： (1)p：任意 x∈R，x2－x＋14≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：存在 x0∈R，x20＋2x0＋劫 2≤0；
(4)s：至少有一个实数 x0，使 x30＋1＝0.
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题型一
全(特)称命题的否定
【例 1】 写出下列命题的否定， 思维启迪 解析 思维升华
并判断其真假： (1)p：任意 x∈R，x2－x＋14≥0； 否定量词，否定结论，写出命题 (2)q：所有的正方形都是矩形； 的否定；判断命题的真假． (3)r：存在 x0∈R，x20＋2x0＋劫 2≤0；
(4)s：至少有一个实数 x0，使 x30＋1＝0.
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4．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“ 且 ”、“ 或 ”、“ 非 ”叫作逻辑联
结词．
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要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)简单复合命题的真值表：
綈(p 綈(p 綈 p 或 綈 p 且 p q 綈p 綈q p或q p且q
或 q) 且 q) 綈 q 綈 q
真真 假 假 真 真 假 假 假 假 真假 假 真 真 假 假 真 真 假 假真 真 假 真 假 假 真 真 假 假假 真 真 假 假 真 真 真 真
(1)对全(特)称命题进行否定的方法
(1)p：任意 x∈R，x2－x＋14≥0；① 结合找命到题命的题含所义含加的上量量词词，，没再有进量行词否的定要．
(2)q：所有的正方形都是矩形；②对原命题的结论进行否定．
(3)r：存在 x0∈R，x2)”
(C)
解析 (2)利用特称命题的否定是全称命题求解．
“存在实数 x，使 x>1”的否定是“对任意实数 x，都有 x≤1”．故选 C.
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题型二
含有逻辑联结词命题的真假判断
【例 2】 命题 p：将函数 y＝sin 2x 思维启迪 解析 答案 思维升华 的图像向右平移π3个单位得到函数 y＝sin2x－π3的图像；命题 q：函数 y＝sinx＋π6 cosπ3－x的最小正周
期为 π，则命题“p 或 q”“p 且 q”
“綈 p”为真命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．0
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题型二
含有逻辑联结词命题的真假判断
【例 2】 命题 p：将函数 y＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位得到函数 y＝sin2x－π3的图像；命题 q：函数 y＝sinx＋π6 cosπ3－x的最小正周
x1)≥0，则綈 p 是
(C)
A．存在 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．任意 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．存在 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．任意 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
题型一
全(特)称命题的否定
【例 1】 写出下列命题的否定， 思维启迪 解析 思维升华
并判断其真假：
(1)綈 p：存在 x0∈R，x20－x0＋14<0，
(1)p：任意 x∈R，x2－x＋14≥0； 假命题．
(2)綈 q：至少存在一个正方形不
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：存在 x0∈R，x20＋2x0＋劫 是矩形，假命题．
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夯基释疑
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题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) √ (4) × (5) √ B D
A
[－4,0]
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全(特)称命题的否定
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