2017-2018学年高中数学(人教B版)必修1导学案：3.2.3《指数函数与对数函数的关系》 Word版缺答案

合集下载

人教B版数学高一版必修1同步训练指数函数与对数函数的关系

3.2.3 指数函数与对数函数的关系5分钟训练1.下表给出了函数y=a x (a ＞0,a≠1)的一部分自变量与函数值,那么其反函数是X -2 -1 0 12Y93131 91 A.y=log 3x B.y=log x 3 C.y=x 31log D.y=log x31 答案：C解析：由x=1时,y=31,得a=31,从而其反函数为y=x 31log ,x ＞0. 2.函数y=21-x +3(x ∈R )的反函数的解析式为( )A.y=log 232-x B.y=23log 2-xC.y=log 223x- D.y=log 2x -32答案：A 解析：y=x-12+3⇒y-3=21-x ,∴log 2(y-3)=1-x,即x=1-log 2(y-3). ∴x=32log 2-y ,交换x 、y 知y=log 232-x . 3.如图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )答案：A解析：首先把y=a -x 化为y=(a1)x， ∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=(a1)x ，即y=a -x 的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的.4.若函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=_________. 答案：21解析：由互为反函数关系,知f(x)过点(-1,2),代入得a -1=2,a=21. 10分钟训练1.已知f （x ）=10x-1-2，则f -1（8）的值是( )A.1B.2C.3D.4 答案：B解析：根据互为反函数的两个函数的关系，f -1(8)的值就是原函数函数值为8时对应的自变量x 的值.由8=10x-1-2,解得x=2，即f -1(8)=2. 2.函数y=xx-1(x≠0)的反函数的图象大致是( )答案：B 解析：由y=xx-1(x≠0),得xy=1-x, ∴x=y+11. ∴反函数为y=11+x ,其图象由y=x1图象向左平移一个单位可得. 3.若log 2［21log (log 2x)］=log 3［31log (log 3y)］=log 5［51log (log 5z)］=0,则x 、y 、z 的大小关系是( )A.z ＜x ＜yB.x ＜y ＜zC.y ＜z ＜xD.z ＜y ＜x 答案：D解析：由log 5［51log (log 5z)］=0,可知)(log log 551z =1,log 5z=51,可得z=515.同理可得x=212,y=313.∵1021)2(=25=32,1051)5(=52=25,∴1021)2(＞1051)5(,∴x ＞y.同理可得y ＞z.综上可知x ＞y ＞z.4.设函数f(x)=log a (x+b)(a ＞0,a≠1)的图象过点(0,0),其反函数的图象过点(1,2),则a+b 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案：C解析：函数f(x)=log a (x+b)(a ＞0,a≠1)的图象过点(0,0),其反函数的图象过点(1,2),则⎩⎨⎧=+=+,1)2(log ,0)0(log b b a a ∴⎩⎨⎧=+=.2,1a b b a=3,则a+b=4. 5.已知a ＞0,且10x =lg(10a)+lga -1,则x=____________. 答案：0解析：∵10x =1+lga-lga,∴x=0.6.已知函数f （x ）=1+a -x ，其中a ＞0，a≠1. （1）求f （x ）的反函数f -1（x ）；（2）判断函数f -1（x ）的单调性，并加以证明. 解：(1)由y=1+a -x ，得a -x =y-1. ∴-x=log a (y-1).∴x=-log a (y-1)，即x=log a 11-y . 又由y=1+a -x 知y ＞1.∴函数f(x)的反函数为f -1(x)=log a11-x (x ＞1). (2)设1＜x 1＜x 2，f -1(x 1)-f -1(x 2)=log a 11log 11log 11log 1221--=---x x x x a a a . ∵1＜x 1＜x 2， ∴0＜x 1-1＜x 2-1.∴1112--x x ＞1. ∴当a ＞1时，11log 12--x x a＞0，即f -1(x 1)-f -1(x 2)＞0，f -1(x 1)＞f -1(x 2).∴f -1(x)为减函数. 当0＜a ＜1时，11log 12--x x a＜0，f -1(x 1)-f -1(x 2)＜0，f -1(x 1)＜f -1(x 2)， ∴f -1(x)为增函数.总之，当a ＞1时，f -1(x)在(1，+∞)上单调递减；当0＜a ＜1时，f -1(x)在(1，+∞)上单调递增. 30分钟训练1.设函数f(x)=log 3x 的反函数为y=f -1(x),则f -1(-log 92)的值是( )A.2B.2C.22D.log 32 答案：C解析：因为互为反函数的定义域与值域是互相对称的,所以,令log 3x=-log 92=21-log 32=log 3212-,得x=212-=22.2.(创新题)若f(x)=log a x(a ＞0且a≠1),且反函数值f -1(2)＜1,则f(x)的图象是( )答案：B解析：因为f -1(x)=a x ,f -1(2)＜1,可知0＜a ＜1. 3.已知3a =5b =A,ba 11+=2,则A 等于( ) A.15 B.15 C.±15 D.225 答案：B解析：∵3a =5b =A ＞0, ∴a=log 3A,b=log 5A. 由15log 5log 3log 11A A A ba =+=+=2,得A 2=15,A=15. T1.993.04.05.16.12 V 1.5 4.047.5 1218.01现准备了如下四个答案,哪个函数最接近这组数据?( ) A.v=log 2t B.v=t 21logC.v=212-t D.v=2t-2答案：C解析：依据数据的变化规律,可知该函数是增函数,从而B 错误.由于函数值的变化越来越快,知A 、D 错误.5.如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2,21)中,“好点”的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案：D解析：∵log a 1=0,∴M 、N 一定不是“好点”. 6.图中三条对数函数图象，若321x x x c b a==＞1,则x 1,x 2,x 3的大小关系是( )A.x 1＞x 2＞x 3B.x 3＞x 2＞x 1C.x 3＞x 1＞x 2D.x 2＞x 1＞x 3 答案：B解析：由图知0＜b ＜a ＜1>c,再根据指数函数的图象可知x 1＜x 2＜0,x 3>0,从而x 1＜x 2＜x 3.7.设g(x)=⎩⎨⎧>≤,0,ln ,0,x x x e x 则g ［g(21)］=_________________.答案：21解析：g ［g(21)］=g(ln 21)=2121ln =e .8.若0＜a ＜1,则下列不等式中一定成立的是_______________.①0.8a ＜0.7a ;②a 0.8＜a 0.9;③log a 0.8＜log a 0.9;④0.8lga ＜0.7lga . 答案：④解析：∵aaa )78(7.08.0=＞1,∴0.8a ＞0.7a ,因此①不成立.由指数函数y=a x (0＜a ＜1)和对数函数y=log a x(0＜a ＜1)的单调性,知②③不成立.∵0＜a ＜1,∴lga ＜0,aaa lg lg lg )78(7.08.0=＜1, ∴④成立.9.已知函数f(x)=a mx (a ＞0,且a≠1)(m ∈R ,m≠0), 求f -1［f(-x)］的表达式.解：令f(x)=a mx =y,f(-x)=a -mx ,mx=log a y,∴x=m 1log a y.∴f -1(x)=m1log a x. ∴f -1［f(-x)］=m 1log a a -mx =m1·(-mx)=-x.10.函数f(x)与g(x)=(21)x 的图象关于直线y=x 对称,求f(4-x 2)的单调递增区间.解：∵函数f(x)与g(x)=(21)x的图象关于直线y=x 对称, ∴函数f(x)与g(x)互为反函数. ∴f(x)=x 21log .∴f(4-x 2)=)4(log 221x ,这又是复合函数的单调性问题,其中内函数t=4-x 2,由4-x 2＞0得函数定义域为(-2,2),而t 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),与定义域的交集为(-2,0),(0,2). 由复合函数单调性的判断方法可得,所求单调递增区间为(0,2).。

人教B版高中数学必修一教案：3.1.2《指数函数》

《指数函数》教案教学目标1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念；2.掌握指数函数的图象及性质；3.初步学会运用指数函数来解决问题.4.通过了解指数函数的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；通过展示函数图象，用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.教学重难点1.指数函数的定义:一般地，函数y＝a x (a>0，a≠1，x∈R)叫做指数函数.2.指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的图象过定点(0，1).3.指数函数y＝a x (a>0，a≠1，x∈R)，当a>1时，在(－∞，＋∞)上是单调增函数当0<a<1时在(－∞，＋∞)上是单调减函数.教学过程[问题情境]印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍. 直到摆满棋盘上64格”，国王说:“你的要求不高，会如愿以偿的”.于是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想，共需要多少粒麦子？探究点一指数函数的概念问题1某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为y，则y与x的函数关系是什么呢？答：x＝0，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝2×2＝4；x＝3，y＝22×2＝8，…，y＝2x.问题2一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%.这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系是怎样的？答：设最初的质量为1，时间变化量用x表示，剩留量用y表示，则经过x年，y＝0.84x.问题3在上述两问题关系式中，如果用字母a代替2和0.84，那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式？答：表示成y＝a x的形式.小结：指数函数的定义:一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈R)叫做指数函数.问题4 指数函数的定义中为什么规定了a>0且a≠1?答：将a 如数轴所示分为:a<0，a ＝0，0<a<1，a ＝1和a>1五部分进行讨论:(1)如果a<0，比如y ＝(－4)x ，这时对于x ＝14，x ＝12等，在实数范围内函数值不存在； (2)如果a ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧当x>0时，a x ＝0，当x≤0时，a x 无意义； (3)如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是个常值函数，没有研究的必要；(4)如果0<a<1或a>1即a>0且a≠1，x 可以是任意实数.例1 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1) y ＝2x ＋2； (2)y ＝(－2)x ； (3)y ＝－2x ； (4)y ＝πx ； (5)y ＝x 2； (6)y ＝(a －1)x (a>1，且a≠2).解：只有(4)，(6)是指数函数，因为它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b>0且b≠1，所以是.小结：根据指数函数的定义， a 是一个常数，a x 的系数为1，且a ＞0，a≠1.指数位置是x ，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数.跟踪训练1 指出下列函数哪些是指数函数:(1)y ＝4x ； (2)y ＝x 4； (3)y ＝(－4)x ； (4)y ＝x x ； (5)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a>12，且a≠1. 解：(1)、(5)为指数函数； (2)自变量在底数上，所以不是；(3)底数－4<0，所以不是； (4)底数x 不是常数，所以不是.探究点二指数函数的图象与性质导引为了研究指数函数的图象，我们来看下面两组指数函数的图象，第一组y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象；第二组y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象. 问题1 图象分别在哪几个象限？这说明了什么？答：图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}.问题2 图象有什么特征？猜想图象的上升、下降与底数a 有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？答：它们的图象都在x 轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x 轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数.问题3 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？答：不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0，1).问题4 函数图象有什么关系？可否利用y ＝2x 或y ＝3x 的图象画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 或y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象？答：通过图象看出y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象关于y 轴对称，y ＝3x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象也关于y 轴对称.所以能利用y ＝2x 或y ＝3x 的图象通过对称性画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 或y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象. 问题5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y ＝a x 的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)答：定义域为R ，值域为{y|y>0}，过(0，1)点，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数.小结：指数函数的图象与性质: 例2 已知指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)的图象过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.解：将点(3，π)，代入f(x)＝a x ，得到f(3)＝π，即a 3＝π，解得:a ＝π13 ，于是f(x)＝πx3，所以f(0)＝π0＝1，f(1)＝π ＝3π，f(－3)＝π－1＝1π. 小结：要求指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)的解析式，只需要求出 a 的值，要求a 的值，只需一个已知条件即可.跟踪训练2 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1，2)，求a ，b 的值.解：由于函数y ＝(2b －3)a x 是指数函数，所以2b －3＝1，即b ＝2.将点(1，2)代入y ＝a x ，得a ＝2. (1)(2)值域∞)(3)过点(0，时，y ＝1例3 求下列函数的定义域与值域:(1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋1. 解：(1)令x －4≠0，得x≠4.∴定义域为{x|x ∈R ，且x≠4}.∵1x －4≠0， ∴21x －4≠1，∴y ＝21x －4的值域为{y|y>0，且y≠1}. (2)定义域为x ∈R.∵|x|≥0，∴y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|＝⎝⎛⎭⎫32|x|≥⎝⎛⎭⎫320＝1，故y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|的值域为{y|y≥1}. (3)定义域为x ∈R.由y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，且2x >0，∴y>1.故y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为{y|y>1}. 小结：函数y ＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.求与指数函数有关的函数的值域时，要利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域:(1)y ＝0.31x －1 ；(2)y ＝35x －1.解：(1)由x －1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}.由1x －1≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}. (2)由5x －1≥0得x≥15，所以函数定义域为{x|x≥15}. 由5x －1≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列各函数中，是指数函数的是( D ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x －1 D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x解析：只有y ＝(13)x 符合指数函数y ＝a x (a ＞0且a≠1)的形式. 2.函数f(x)＝1－2x 的定义域是( A ) A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，＋∞)解析：由1－2x ≥0得2x ≤1，根据y ＝2x 的图象可得x≤0，选A.3.函数f(x)＝xa x |x|(a>1)的图象的大致形状是 ( )解析：当x>0时，f(x)＝a x ，由于a>1，函数是增函数；当x<0时，f(x)＝－a x ，与f(x)＝a x (x<0)关于x 轴对称，只有选项C 符合.课堂小结：1.判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a>0且a≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2.指数函数y ＝a x (a>0且a≠1)的性质分底数a>1，0<a<1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.3.由于指数函数y ＝a x (a>0且a≠1)的定义域是R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.4.求函数y ＝a f(x)(a>0且a≠1)的值域的方法如下:(1)换元，令t ＝f(x)，并求出函数t ＝f(x)的定义域；(2)求t ＝f(x)的值域t ∈M ；(3)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域.。

高中数学新人教版B版精品教案《3.1.2 指数函数》

指数函数（第一课时）教学设计西宁市第五高级中学马栋一、教材分析：1在教材中的地位和作用：本节课是人教B版数学必修一第三章《指数函数》第一课时。

函数的思想贯穿于整个高中数学之中。

指数函数是继研究了函数的概念和性质之后在高中阶段研究的第一个基本初等函数。

对指数函数及图象与性质的研究，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，初步培养学生的函数应用意识，同时也为今后学习其它的初等函数奠定了基础，起到承上启下的作用。

本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了函数图象在研究函数性质时的重要作用。

2学情分析：学生已有了一定的函数基础知识，会建立简单的函数关系式，能用“描点法”画图，这使学生的自主探究活动具备了良好的基础，但是学生思维的全面性、深刻性，以及数形结合的思想有待进一步培养和加强。

二、教学目标（1）知识与技能目标：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；（2）过程与方法目标：通过观察，分析、讨论、归纳指数函数的概念和性质，体会从具体到一般的认知规律和数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力；（3）情感态度与价值观目标：体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系，增强学生对实际生活问题“数学化”的处理能力。

三、教学重、难点：教学重点：指数函数的概念和性质。

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数概念和的性质。

突破难点的关键：寻找新知生长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。

四、教法设计我采用“诱思探究”教学模式和“情景式”教学模式，主要突出了几个方面：（1）创设问题情景充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理，顺利引入课题；（2）强化“指数函数”概念的形成让学生经历从特殊到一般的抽象概括指数函数模型、建立指数函数概念的过程，并讨论底数a的取值范围，学生自主建构概念。

2017-2018学年北师大版高中数学必修1全册导学案含解析

2017-2018学年北师大版高中数学必修1全册导学案目录1.1 集合的含义与表示 (1)1.2 集合的基本关系 (6)1.3.1交集与并集问题导学 (11)1.3.2全集与补集 (15)2.1生活中的变量关系 (19)2.2 函数的表示法 (22)2.3 函数的单调性 (28)2.4.1 二次函数的图像 (34)2.4.2 二次函数的性质 (37)2.5 简单的幂函数 (43)3.1 正整数指数函数 (49)3.2.1 指数概念的扩充 (53)3.2.2 指数运算的性质 (57)3.3 指数函数 (61)3.4.1 对数及其运算 (67)3.4.2 换底公式 (72)3.5 对数函数 (76)3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 (82)4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 (86)4.1.2 利用二分法求方程的近似解 (91)4.2 实际问题的函数建模 (93)1.1 集合的含义与表示问题导学一、对集合概念的理解活动与探究1考察下列每组对象能否构成一个集合：①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的正数；④直角坐标系中，第一象限内的点．迁移与应用1．考察下列每组对象能否构成一个集合：(1)2010年上海世博会上展出的所有展馆；(2)2013年安徽高考数学试卷中所有的难题；(3)北京大学2013级的新生；(4)接近0的数的全体；(5)比较小的正整数的全体；(6)平面上到坐标原点O 的距离等于1的点的全体．2．判断下列对象能否构成集合？若能构成，则集合中有多少个元素？(1)所有的等腰梯形；(2)英语单词book 中的字母；(3)方程x 2－6x ＋9＝0的根．(1)判断一组对象能否构成集合，关键看这组对象是否具有确定性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．(2)判断集合中元素的个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算一个元素，即集合中元素是互不相同的．二、用列举法表示集合活动与探究2用列举法表示下列集合：(1)不大于11的非负偶数组成的集合；(2)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合；(4)方程x (x 2－1)＝0的所有实数根组成的集合．迁移与应用1．将集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1用列举法表示，正确的是( )． A ．{2,3} B ．{(2,3)}C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2,3)2．用列举法表示“所有非负奇数组成的集合”．(1)列举法表示集合的关键是先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素，另外还要弄清元素的个数．(2)当集合中元素的个数较少时，可采用列举法；当集合中的元素较多或无限，且有一定规律时，也可用列举法表示，但必须把元素间的规律呈现清楚，才能用省略号．(3)用列举法表示集合时还要注意三点：①元素间用逗号“，”隔开，不能用“；”或“、”，最后一个元素后没有“，”；②元素之间无顺序要求，但不能重复；③元素不能有遗漏．三、用描述法表示集合活动与探究3用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数组成的集合；(2)坐标平面内坐标轴上的点集；(3)使y ＝2－x x有意义的实数x 的集合； (4)200以内的正奇数；(5)方程x 2－5x －6＝0的解的集合．迁移与应用1．用描述法表示所有偶数的集合为____________，3和4的所有正的公倍数的集合为__________．2．用适当的方法表示下列集合：(1){15的正因数}；(2)三角形的全体构成的集合；(3)A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋}；(4)满足不等式3x ＋1≤0的所有实数的集合．对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，可采用描述法：(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集，还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．四、集合中元素互异性的应用活动与探究4已知集合A 由3个元素：a 2，a ＋1,0构成，且1∈A ，试求实数a 的取值．迁移与应用由m,2－m,4组成一个集合M ，且集合M 中含有3个元素，则实数m 的取值范围是__________．(1)集合中元素的互异性是指一个集合中不能有两个相同的元素，根据这一性质，可以确定集合中字母的取值及取值范围，通常的解法是先利用集合中元素的确定性求出字母的所有可能的取值或范围，再根据互异性对集合中的元素进行检验，从而求出字母的取值或范围．(2)利用互异性求参数的值或范围时，要注意分类讨论思想方法的运用．当堂检测1．下列各组对象中不能构成集合的是( )．A ．某教育集团的全体员工B ．2012年伦敦奥运会的所有参赛国家C ．北京大学建校以来毕业的所有学生D ．美国NBA 的篮球明星2．所给下列关系正确的个数是( )．①－12∈R ；②2Q ；③0∈N ＋；④|－3|N ＋. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．集合{x ∈N |x ＜5}的另一种表示法是( )．A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4．已知集合A ＝{1，m ＋1}，则实数m 满足的条件是________．∉∉5．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：(1)由平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；(2)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合；(3)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合；(4)集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }；(5)方程(x －2)2(x ＋2)(x －3)＝0的解集．答案：课前预习导学【预习导引】1．全体对象2．(1)属于不属于 (2)∈预习交流1 提示：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个性质通常被用来判断一组对象能否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．这一性质是用来检验某个参数值是否是某个集合问题的解的依据．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a ，b ，c }与{b ，a ，c }是相等的集合．3．(1)数 (2)N N ＋或N * Z Q R预习交流2 提示：a 等于0.4．(1)一一列举大括号 (2)确定的条件预习交流 3 提示：不一定，如果一个集合中，元素的个数是无限的，但它们是有规律的，也可以用列举法来表示，例如所有正偶数组成的集合可以表示为{2,4,6,8，…}．预习交流4 提示：是．5．有限集无限集预习交流5 提示：不是空集；有一个元素．课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 思路分析：要判断每组对象能否构成集合，关键是分析各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否则不能构成集合．解：①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；②中的对象可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．迁移与应用 1．解：(1)，(3)，(6)的对象都是确定的，因而能构成集合．“难题”“接近0的数”“比较小的正整数”标准不明确，所以(2)，(4)，(5)不能构成集合．2．解：(1)能构成集合，集合中有无限多个元素．∉∅(2)能构成集合，集合中有三个元素，即b ，o ，k.(3)能构成集合，集合中只有一个元素，即3.活动与探究 2 思路分析：题目中要求用列举法表示集合，需先辨析集合中元素的属性及满足的性质，再一一列举出满足条件的元素．解：(1)集合为{0,2,4,6,8,10}．(2)满足条件的数有3,5,7，故所求集合为{3,5,7}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．故所求集合为{(1,1)}．(4)由x (x 2－1)＝0，得x ＝0,1，－1.故所求集合为{0,1，－1}．迁移与应用 1．B2．{1,3,5,7,9，…}活动与探究 3 思路分析：用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x ∈N ”等小条件．解：(1)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x |x ＝5n ＋1，n ∈N }．(2)由于坐标轴上的点的横坐标x 与纵坐标y 满足xy ＝0，故此集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(3)要使该式有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ≠0，解得x ≤2，且x ≠0.故此集合可表示为{x |x ≤2，且x ≠0}．(4){x |x ＝2k ＋1，x ＜200，k ∈N }．(5){x |x 2－5x －6＝0}．迁移与应用 1．{x |x ＝2n ，n ∈Z } {x |x ＝12k ，k ∈N ＋}2．解：(1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}．(2){x |x 是三角形}或{三角形}．(3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}．(4){x |3x ＋1≤0}．活动与探究4 思路分析：由1∈A 知，要么a 2＝1，要么a ＋1＝1，由此求得a 的取值，然后再根据元素的互异性进行检验，最后确定a 的值．解：由于1∈A ，所以a 2＝1或a ＋1＝1.若a 2＝1，则a ＝±1.当a ＝1时，集合A 中的元素是1,2,0，符合要求；当a ＝－1时，集合A 中的元素是1,0,0，不符合元素的互异性；若a ＋1＝1，则a ＝0，集合A 中的元素是0,1,0，不符合元素的互异性．综上，实数a 的值为1.迁移与应用 m ≠1且m ≠4且m ≠－2 解析：由于M 中含有3个元素，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2－m ，m ≠4，2－m ≠4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠1，m ≠4，m ≠－2，所以实数m 的取值范围是m ≠1且m ≠4且m ≠－2.【当堂检测】1．D 解析：根据集合中元素的确定性来判断涉及对象是否构成集合．因为选项A，B，C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA篮球运动员是否为篮球明星，所以不能构成集合．2．B 解析：①②正确，③④错误．3．A4．m≠0解析：由集合中的元素满足互异性，知m＋1≠1，即m≠0.5．解：(1)所求集合可表示为{(x，y)|x＜0，且y＜0}，它是无限集．(2)因为方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＜0，故该方程无实根．所以由方程x2＋x＋1＝0的实根组成的集合为，它是有限集．(3)所求集合可表示为{x|x是周长等于10 cm的三角形}，它是无限集．(4)P＝{0,2,4}，它是有限集．(5)集合可表示为{－2,2,3}，它是有限集．1.2 集合的基本关系问题导学一、判断集合间的关系活动与探究1请判断以下给出的各对集合之间的关系：(1)P ＝{x ||x |＝x ，x ∈N 且x ＜2}，Q ＝{x ∈Z |－2＜x ＜2}；(2)A ＝{x |x 是等腰三角形}，B ＝{x |x 是等腰直角三角形}；(3)M ＝{1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}；(4)C ＝{x |0＜x ＜1}，D ＝{x |0＜x ＜2}．迁移与应用判断下列各对集合间的关系：(1)A ＝{x |x 是偶数}，B ＝{x |x 是整数}；(2)A ＝{x |x 2＝4}，B ＝{x |x 2＝－4}；(3)A ＝{(x ，y )|xy ＜0}，B ＝{(x ，y )|x ＞0，y ＜0或x ＜0，y ＞0}．(1)判断两个集合之间的关系的方法有：①将元素一一列举出来再判断；②从集合中的元素入手，观察两个集合的特征性质能否相互推出；③集合中的元素为不等式的解集时，可借助数轴判断．(2)集合中关系的描述原则：①当A ⊆B 和A B 均成立时，A B 更准确的反映了集合A ，B 的关系；②当A ⊆B 和A ＝B 均成立时，A ＝B 更准确的反映了集合A ，B 的关系．(3)注意空集的特殊性：①是任何集合的子集；②是任何非空集合的真子集．二、子集、真子集的确定问题活动与探究2写出集合M ＝{x |x (x －1)2(x －2)＝0}的所有子集，并指明哪些是M 的真子集．迁移与应用1．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C ，则集合A 的个数是( )．A ．8B ．3C ．4D ．12．已知{1,2}⊆A {1,2,3,4}，写出满足条件的所有的集合A .(1)求给定集合的子集(真子集)时，一般按照子集所含的元素个数分类，再依次写出符合要求的子集(真子集)．在写子集时注意不要忘记空集和集合本身．(2)假设集合A 中含有n 个元素，则有：①A 的子集的个数为2n ；②A 的真子集的个数为2n －1；③A 的非空子集的个数为2n －1；④A 的非空真子集的个数为2n －2.以上结论在求解时可以直接应用．三、两个集合相等及其应用活动与探究3设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．∅∅迁移与应用1．已知集合A ＝{1,2，x 2－1}，集合B ＝{x,2,0}，若A ＝B ，则x ＝__________.2．已知集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈Z }，试判断集合P 与Q 的关系，并证明．由于集合中的元素可能有多个，所以利用集合相等解题时，需要注意分类讨论，还要注意检验所得结果是否满足元素的互异性．四、已知两个集合间的关系求参数的值(范围)活动与探究4已知集合A ＝{x |1≤x ＜4}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．迁移与应用1．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值．2．已知集合A ＝{x |－2＜x ≤5}，B ＝{x |－m ＋1≤x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．(1)已知两个集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，把这两个集合中元素的关系转化为解方程或解不等式(组)．(2)对于给定的集合中的元素是用不等式来表示的，这类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然地认为是非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的．当堂检测1．若集合A ＝{x |－2＜x ≤2，x ∈N }，则A 的子集的个数是( )．A ．2B ．4C ．8D ．162．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜1}，则( )．A ．A ＞B B ．A BC ．B AD ．A ⊆B3．如果A ＝{x |x ＞－1}，那么正确的结论是( )．A ．0⊆AB ．{0}AC ．{0}∈AD ．∈A4．设a ∈R ，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a ＝__________.5．已知集合A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |x ＜a }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是__________；若B A ，则实数a 的取值范围是__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．包含于包含 ⊆ ⊇ 子集预习交流1 提示：(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N ，－1N.∅∉(2)“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N ⊆R ，{1,2,3}⊆{3,2,1}．(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．预习交流2 提示：集合之间的包含关系也具有这种传递性，即：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .2．封闭曲线的内部3．任何一个元素集合A预习交流3 提示：(1)对于元素个数较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合中的元素完全相同即可；对于无限集，常用的方法是证明两个集合互为子集，即A ⊆B ，且B ⊆A .(2)集合的相等具有传递性．即若A ＝B ，B ＝C ，则有A ＝C .4．A ≠B预习交流4 提示：(1)A ⊆B 指的是集合A 是集合B 的子集，这时可能有A ＝B ；而AB 指的是集合A 是集合B 的真子集，这时不存在A ＝B 的情况．因此A ⊆B 包含两种情况：A B 和A ＝B .(2)A B 时，可以理解为集合A 中的所有元素都是集合B 中的元素，但集合B 中至少有一个元素不是A 中的元素．5．(1)任何集合 ⊆ (2)任何非空集合(3)子集预习交流5 提示：是空集，不含任何元素；{}是集合，且此集合中含有一个元素；存在子集，是其本身，但没有真子集．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：对于(1)，先将两个集合分别化简，用列举法将元素一一写出来再判断其关系；对于(2)，可根据等腰三角形和等腰直角三角形的关系直接进行判断；对于(3)，应先将集合N 化简再判断；对于(4)，可借助数轴进行判断．解：(1)由于P ＝{0,1}，Q ＝{－1,0,1}，所以由真子集的定义可知P Q .(2)由于等腰直角三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等腰直角三角形，因此由真子集的定义可知A B .(3)由于N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，而M ＝{1,2}，所以M ＝N .(4)由数轴(如下图)可知C D .迁移与应用解：(1)由于偶数一定是整数，但整数不一定是偶数，故AB . (2)由于A ＝{x |x 2＝4}＝{2，－2}，B ＝{x |x 2＝－4}＝，故B A .(3)集合A 中的元素是第二、四象限中的点，集合B 中的元素也是第二、四象限中的点，故A ＝B .活动与探究2 思路分析：先解方程x (x －1)2(x －2)＝0，求出其所有的根，从而确定集合M 中的元素，然后按照子集、真子集的定义写出子集，并判断哪些是真子集．解：解方程x (x －1)2(x －2)＝0可得x ＝0或x ＝1或x ＝2，故集合M ＝{0,1,2}．由0个元素构成的子集为：；由1个元素构成的子集为：{0}，{1}，{2}；由2个元素构成的子集为：{0,1}，{0,2}，{1,2}；由3个元素构成的子集为：{0,1,2}．因此集合M 的所有子集为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除集合{0,1,2}以外，其余的子集全是M 的真子集．迁移与应用 1．C 解析：若A ＝，则满足A ⊆B ，A ⊆C ；∅∅∅∅∅∅∅∅∅若A ≠，由A ⊆B ，A ⊆C ，知A 是由属于B 且属于C 的元素构成，此时集合A 可能为{a }，{b }，{a ，b }．故满足条件的集合A 的个数是4.2．解：由题意可知，满足条件的所有集合A 为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．活动与探究 3 思路分析：两个集合都是用列举法给出的，可根据集合相等的定义得到元素间的关系，从而求解．解：∵A ＝B ，∴x ＝0或y ＝0.当x ＝0时，x 2＝0，则B 中的元素0重复出现，此时集合B 中的元素不满足互异性，舍去．当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝1或x ＝0(舍去)，此时A ＝{1,0}＝B ，满足条件．综上可知，x ＝1，y ＝0.迁移与应用 1．1 解析：由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2－1＝0，∴x ＝1.2．解：P ＝Q .证明如下：集合P 中：x ＝2n ，n ∈Z ，所以P 中元素都是2的倍数，亦即P 为所有偶数构成的集合．集合Q 中：x ＝2n ＋2＝2(n ＋1)，当n ∈Z 时，有n ＋1∈Z .因此Q 中元素也是2的倍数，亦即Q 为所有偶数构成的集合．故P ＝Q .活动与探究4 思路分析：两个集合均为无限集，解答时可采用数轴分析法，将集合A ，B 分别表示在数轴上，利用数轴分析a 的取值范围．解：将集合A 表示在数轴上(如图所示)，要满足A ⊆B ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a 的取值范围为a ≥4.迁移与应用 1．解：∵B ⊆A ，且m 2≥0， ∴m 2＝2m －1，即m 2－2m ＋1＝0.∴m ＝1. 2．解：∵A ⊆B ，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≥－m ＋1，－m ＋1<2m －1，∴m ≥3.5≤2m －1.【当堂检测】1．C 解析：由于A ＝{x |－2＜x ≤2，x ∈N }＝{0,1,2}，所以集合A 共有8个子集，分别为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}． 2．C 解析：利用数轴分析．3．B 解析：由于0＞－1，所以{0}A .而选项A ，C ，D 对于元素与集合、集合与集合的关系使用符号不对，故都是错误的．4．－1 解析：∵1－a ＝2，∴a ＝－1.5．{a |a ≤3} {a |a ＜3} 解析：在数轴上表示出集合A ＝{x |x ＜3}，然后分析a 的取值范围．∅∅1.3.1交集与并集问题导学一、集合的交集、并集运算活动与探究1(1)设集合M ＝{m ∈Z |－3＜m ＜2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( )． A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2} D ．{－1,0,1,2}(2)已知集合A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，求A ∩B ，A ∪B . 迁移与应用1．若集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∩N 等于( )． A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2} D ．{－1,0,1,2}2．设集合A ＝{2,4,6}，B ＝{1,3,6}，则下图中阴影部分表示的集合是( )．A ．{2,4,6}B ．{1,3,6}C ．{1,2,3,4,6}D ．{6}3．已知集合A ＝{x |1≤x ＜3}，B ＝{x |x ＞2}，试求A ∩B 和A ∪B .求集合的交集、并集运算，首先应看清集合中元素的取值范围，化简集合．若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察出结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，用“空心点”表示．二、交集、并集的简单应用活动与探究2设集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }．已知A ∩B ＝{9}，求a 的值以及A ∪B . 迁移与应用若集合M ＝{－1，a,3}，N ＝{a ＋2，a －2}，且M ∩N ＝{3}，则a ＝__________.处理集合中的参数问题时，要始终具有检验意识，除了按照条件进行检验外，还应根据集合元素的互异性进行检验．三、交集、并集性质的应用活动与探究3设集合A ＝{－2}，B ＝{x ∈R |ax 2＋x ＋1＝0，a ∈R }．若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围．迁移与应用1．设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}，且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，求a 的取值范围．2．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∪B ＝B ，A ∩B ＝A 等这类条件，解答时常借助A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 进行转化求解．(2)当集合A ，B 满足A ⊆B 时，如果集合B 是一个确定的集合，而集合A 不确定时，要考虑A ＝和A ≠两种情况，切不可漏解．(3)求解与一元二次方程的解集有关的集合问题时，要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解．当堂检测∅∅1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩B 等于( )． A ．{3,5} B ．{3,6} C ．{3,7} D ．{3,9}2．已知集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B 等于( )． A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2}C ．{x |0＜x ≤2} D．{x |－1≤x ≤2}3．已知集合A ＝{2，－3}，集合B 满足B ∩A ＝B ，那么符合条件的集合B 的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是__________．5．已知A ＝{－3，a 2，a ＋1}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求a 的值．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)A ∩B A 交B {x |x ∈A ，且x ∈B } (2)①B ∩A ②⊆ ③⊆ ④A ⑤预习交流 1 提示：这种说法不正确，两个集合没有公共元素时，它们的交集是空集，但不能说它们没有交集，任何两个集合都可以进行交集运算．预习交流 2 提示：不一定．两个非空集合的交集可能是空集，也可能是非空集合．交集是否为非空集合主要取决于它们是否有公共元素．2．(1)A ∪B A 并B {x |x ∈A ，或x ∈B } (2)①B ∪A ②⊆ ③⊆ ④A ⑤A预习交流3 (1)提示：不对．不能简单地认为A ∪B 是由A 中的所有元素和B 中的所有元素简单拼凑构成的集合．并集作为一个集合，其元素满足互异性，相同的元素只能算作一个．因此A ∪B 中，最多含有5个元素，也可能含有3个或4个元素．(2)提示：A ∪B 中的元素可以分为以下三类：①在A 中不在B 中的元素；②在B 中不在A 中的元素；③既在A 中也在B 中的元素．(3)提示：由交集、并集的定义，结合Venn 图可知，当A ∩B ＝A (或A ∪B ＝B )时，能推得A ⊆B .所以交集、并集具有以下重要的性质：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔A ∪B ＝B . 课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)首先化简M ，N ，然后再求交集． (2)集合A ，B 都是无限集，可借助数轴直观求解A ∩B ，A ∪B.(1)B 解析：由已知得M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1，2,3}，所以M ∩N ＝{－1,0,1}．故选B .(2)解：分别在数轴上表示集合A 和B ，根据交集、并集的定义，由上图知，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，A ∪B ＝{x |－4≤x ≤3}．迁移与应用 1．A2．C 解析：阴影部分表示的集合是A ∪B ＝{1,2,3,4,6}． 3．解：利用数轴易知A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |x ≥1}．活动与探究2 思路分析：由A ∩B ＝{9}知，9是集合A 和B 的公共元素且是唯一的公共元素，由此求出a 的值，确定A ，B ，然后求A ∪B ，要注意集合中的元素满足互异性．解：由于A ∩B ＝{9}，所以9是集合A 与B 的唯一的公共元素，因此9∈A ，于是2a －1＝9或a 2＝9.若2a －1＝9，得a ＝5，这时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，则A ∩B ＝{－4,9}，与已知矛盾，因此a ＝5不合题意．若a 2＝9，则a ＝±3.当a ＝3时，A ＝{－4,5,9}，B ＝{9，－2，－2}，集合B 中的元素不满足互异性，故a ＝3不合题意．当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，则A ∩B ＝{9}，故a ＝－3符合题意，这时A ∪B ＝{－4，－7,9，－8,4}．综上，实数a ＝－3，A ∪B ＝{－4，－7,9，－8,4}．迁移与应用 5 解析：由于M ∩N ＝{3}，所以3∈N .若a ＋2＝3，则a ＝1，这时M ＝{－1,1,3}，N ＝{3，－1}，不符合M ∩N ＝{3}；若a －2＝3，则a ＝5，这时M ＝{－1,5,3}，N ＝{7,3}，符合题意，故a ＝5.活动与探究3 思路分析：由条件A ∩B ＝B 知B ⊆A ，然后对B 分是否为进行讨论，求出a 的取值范围．解：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠， ∴B ＝或B ≠.当B ＝时，方程ax 2＋x ＋1＝0无实数解，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a <0.∴a ＞14.B ≠时，当a ＝0时，方程变为x ＋1＝0，即x ＝－1，∴B ＝{－1}．此时A ∩B ＝，不满足条件，舍去．当a ≠0时，依题意知方程ax 2＋x ＋1＝0有相等的实根，即Δ＝0，∴1－4a ＝0.∴a ＝14.此时方程变为14x 2＋x ＋1＝0，其解为x ＝－2，满足条件．综上可得a ≥14.迁移与应用 1．解：如图．∅∅∅∅∅∅∅由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，集合A 的右端点应介于1和3之间，可以为3但不能为－1，∴1＜a ≤3.2．解：A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .集合B 有两种情况，B ＝或B ≠.当B ＝时，方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根， ∴Δ＝16－4a ＜0.∴a ＞4.当B ≠时，若Δ＝0，则a ＝4，B ＝{2}⊆A 满足条件；若Δ＞0，则1,2是方程x 2－4x ＋a ＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解．∴a ＝4. 综上可知a 的取值范围是a ≥4. 【当堂检测】 1．D2．A 解析：借助数轴，易知A ∪B ＝{x |x ≥－1}． 3．D 解析：由B ∩A ＝B 可得B ⊆A ，因此B 就是A 的子集，所以符合条件的集合B 一共有4个：，{2}，{－3}，{2，－3}．4．a ≤15．解：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .易知a 2＋1≠－3，∴a －3＝－3或2a －1＝－3. 若a －3＝－3，即a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，则A ∩B ＝{1，－3}，这与已知矛盾．若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－4,2}，则A ∩B ＝{－3}，符合题意．综上可知a ＝－1.∅∅∅∅∅1.3.2全集与补集问题导学一、求补集的简单运算活动与探究1设全集U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1，|a －5|,9}，∁U A ＝{5,7}，则a 的值为______．迁移与应用1．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝______.2．设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{b,2}，∁U A ＝{5}．求实数a 和b 的值．1．求补集的两个步骤(1)明确全集：根据题中所研究的对象，确定全集U .(2)借助补集定义：利用∁U A ＝{x |x ∈U ，且x A }求A 的补集．2．求集合的补集时，如果集合中元素个数较少，用列举法给出，则可直接利用补集的定义，分析元素的构成，求得补集；如果集合是无限集，特别是用不等式表示的集合，则通常要借助数轴分析元素的构成，求出补集．二、交、并、补的综合运算活动与探究2已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ≤3}，求∁U A ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B .迁移与应用1．设全集为R ，A ＝{x |4≤x ＜5}，B ＝{x |3＜x ＜9}，则∁R (A ∪B )＝__________，(∁R A )∩B ＝__________.2．集合S ＝{x |x ≤10，且x ∈N ＋}，A S ，B S ，且A ∩B ＝{4,5}，(∁S B )∩A ＝{1,2,3}，(∁S A )∩(∁S B )＝{6,7,8}，求集合A 和B .集合交、并、补运算的方法三、已知集合的交集、并集、补集求参数问题活动与探究3已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ≤2 B．a ＜1 C ．a ≥2 D．a ＞2 迁移与应用1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ＜1，或x ＞3}，B ＝{x |x ＜m }，且(∁U A )∩B ＝，求实数m 的取值范围．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |－m ＜x ＜－m ＋2}，若B ⊆∁U A ，则实数m的取∉∅值范围是__________．已知集合的交集、并集、补集或集合间的关系求参数的取值范围时，可借助数轴，根据集合间的关系求解，具体操作时，要注意端点值的“取”与“不取”．另外，还要注意分类讨论思想的应用．当堂检测1．已知全集U ＝{0,1,2}，且∁U A ＝{2}，则A ＝( )． A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．2．已知U ＝{x |x 是三角形}，A ＝{x |x 是锐角三角形}，则∁U A ＝( )． A ．{x |x 是钝角三角形} B ．{x |x 是直角三角形}C ．{x |x 是钝角三角形或锐角三角形}D ．{x |x 是钝角三角形或直角三角形}3．集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,4,5}，T ＝{2,3,4}，则S ∩(∁U T )等于( )． A ．{1,4,5,6} B ．{1,5} C ．{4} D ．{1,2,3,4,5}4．已知A ＝{x |x ≤1，或x ＞3}，B ＝{x |x ＞2}，则(∁R A )∪B ＝__________.5．已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，P ＝{2，a 2－a －2}，且∁U P ＝{－1}，求实数a 的值．答案：课前预习导学【预习导引】1．给定集合给定的集合 U预习交流 1 提示：不一定，全集是一个相对的概念，不同的问题中全集可能不同，这要看题目具体的规定．例如，我们要分别统计A 班男同学和女同学的数学成绩，A 班的全体同学的数学成绩便是一个全集．同样地，我们把分析对象扩展到整个年级，则全年级同学的数学成绩便是一个全集．2．(1)U 中所有不属于A 的元素 ∁U A ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x A } (2)①U ②预习交流2 提示：正确．由补集的定义知，A 与∁U A 没有公共元素，且A 的元素与∁U A 的元素组成了全集U .预习交流3 提示：由补集的定义可知：∁U U ＝，∁U ＝U ，∁U (∁U A )＝A . 课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：本题中集合用列举法给出，元素个数较少，可利用补集的定义求解． 2或8 解析：∵∁U A ＝{5,7}，∴5A,7A . 又∵A ＝{1，|a －5|,9}， ∴|a －5|＝3，∅∉∅∅∅∉∉解得a ＝2或8.迁移与应用 1.{x |0＜x ＜1} 解析：全集U ＝R ，画出数轴由补集的定义可知∁U A ＝{x |0＜x ＜1}． 2．解：∵∁U A ＝{5}，∴5∈U,5A ，且A ⊆U . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，a 2＋2a －3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，a ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.活动与探究2 思路分析：由于U ，A ，B 均为无限集，所求问题是集合间的交、并、补运算，故考虑借助数轴求解．解：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如下：由图可知∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， A ∩B ＝{x |－2＜x ＜3}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， (∁U A )∩B ＝{x |－3＜x ≤－2，或x ＝3}．迁移与应用 1．{x |x ≤3或x ≥9} {x |3＜x ＜4或5≤x ＜9} 解析：把全集R 和集合A ，B 在数轴上表示如下：由图知，A ∪B ＝{x |3＜x ＜9}，所以∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥9}，∁R A ＝{x |x ＜4或x ≥5}， (∁R A )∩B ＝{x |3＜x ＜4或5≤x ＜9}． 2．解：S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}． ∵A ∩B ＝{4,5}，∴将4,5写在A ∩B 中． ∵(∁S B )∩A ＝{1,2,3}，∴将1,2,3写在A 中A ∩B 之外． ∵(∁S B )∩(∁S A )＝{6,7,8}，∴将6,7,8写在S 中A ∪B 之外．∵(∁S B )∩A 与(∁S B )∩(∁S A )中均无9,10， ∴9,10在B 中A ∩B 之外．如图所示．故A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5,9,10}．活动与探究3 思路分析：首先求出∁R B ，再结合A ∪(∁R B )＝R ，借助数轴列出关于a 的不等式(组)从而求出a 的取值范围．∉C 解析：∵B ＝{x |1＜x ＜2}， ∴∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}．由A ∪(∁R B )＝R ，如图所示．由图可知a ≥2.迁移与应用 1．解：∁U A ＝{x |1≤x ≤3}，用数轴表示∁U A ，B ，如图，由数轴得，要使(∁U A )∩B ＝成立，需有m ≤1.2．m ≤1 解析：由已知得∁U A ＝{x |x ≥－1}，而B 一定不是，因此，要使B ⊆∁U A ，应有－m ≥－1，解得m ≤1.【当堂检测】 1．C 2．D3．B 解析：∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，T ＝{2,3,4}． ∴∁U T ＝{1,5,6}．∴S ∩(∁U T )＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}． 4．{x |x ＞1} 解析：∵∁R A ＝{x |1＜x ≤3}， ∴(∁R A )∪B ＝{x |x ＞1}． 5．解：∵∁U P ＝{－1}， ∴－1∈U ，且－1P .∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2. 经检验，a ＝2符合题意，故实数a 的值为2.∅∅∉2.1生活中的变量关系一、教学目标:1．通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．培养广泛联想的能力和热爱数学的态度．二、教学重点：在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系教学难点：培养广泛联想的能力和热爱数学的态度三、教学方法：探究交流法四、教学过程（一）、知识探索：阅读课文P25页。

人教版高中必修1(B版)3.1.2指数函数课程设计

人教版高中必修1(B版)3.1.2指数函数课程设计一、前言指数函数是高中数学中比较重要的一部分内容，也是数学竞赛必备知识点之一。

本次课程设计旨在通过实际问题的探索，提高学生对指数函数的理解和应用能力。

二、背景在实际生活中，许多现象和问题都可以用指数函数来描述。

例如，物体的温度随时间的变化、微生物数量的增长、金融投资的收益率、人口增长的趋势等等。

指数函数在自然科学、社会科学等领域都有广泛应用。

三、目标通过本课程设计的学习，学生应能够：1.了解指数函数的概念和性质；2.掌握指数函数的运算法则；3.理解指数函数在实际问题中的应用；4.能够解决实际问题，掌握指数函数的实际应用能力；5.提高数学思维能力，培养解决问题的能力。

四、内容本次课程设计共包括以下内容：1.课前预习：了解指数函数的概念和性质；2.理论讲解：指数函数的运算法则；3.实际问题探究：应用指数函数解决实际问题；4.课堂讨论：学生分享自己的解题思路和方法；5.展示比赛：学生将自己的解题过程做成报告，展示给其他同学。

1. 课前预习在学习本课程前，请学生自行阅读教材中指数函数的相关知识点，包括指数函数的定义、指数函数的图像、指数函数的性质等。

2. 理论讲解在课堂上，老师讲解指数函数的运算法则，包括指数的加减法、乘除法等。

老师可以通过讲解白板演示或者PPT形式进行。

3. 实际问题探究老师出一些实际问题，让学生应用指数函数来解决。

例如：1.某药品的用药量每日增加10%，已知第一天用药量为5毫克，求第七天的用药量；2.假设某银行的年利率为4%，一年后本金加利息为多少；3.某城市的人口每年增长3%，已知该城市在2010年的人口为100万，求2020年该城市的人口。

在解题过程中，老师可以引导学生分析问题、列出方程和推导计算过程。

4. 课堂讨论学生分享自己的解题思路和方法，并与其他同学进行讨论和交流。

老师可以在讨论中指导学生思考，梳理解题思路。

5. 展示比赛学生将自己的解题过程做成报告，并在班级内进行展示。

【B版】人教课标版高中数学必修一《指数函数》导学案-新版

3.1.2 指数函数（一）一.学习要点:指数函数的图象及其性质二.学习过程:1.指数函数的定义：.2.指数函数的图像和性质：①通过描点画函数图像：首先我们来画y=2x的图象。

再来研究0<a<1 的情况，例如，我们来画y=2-x的图象。

可得x,y的对应值，用描点法画出图象。

也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x，如图②由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.然后总结：a>1 0<a<1图象性质(1)定义域：（2）值域：（3）值域分布:（4）单调性:3.例题:1、比较下列各组数的大小(1)和; (2)和;(3)和; (4)和,2、(1)指数函数①②满足不等式,则它们的图象是（）(2)曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是（）课堂练习：教材P92——P93的练习及习题3.1.2 指数函数（二）一.学习要点：指数函数的图象及其性质的应用二.学习过程：例1已知指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象经过点(3,)π，求(0),(1),(3)f f f -的例2比较下列各题中两个值的大小：2.53(1)1.7,1.7； 0.10.(2)0.8,0.8-- 0.33.(3)1.7,0.9 例3求下列函数的定义域、值域：（1）1218x y -=（2）11()2x y =-（3）3x y -=（4）1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+．例4已知函数()1421x x f x +=-+，求函数在[]02，上的最大值和最小值。

例5设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+，（1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。

三巩固训练：(一)选择题:1．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（C ．)()]([)(Q n x f nx f n ∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 2.若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（）A ．251+B ．251+-C ．251±D ．215± 3．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（）4．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R5．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或6．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（） A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函7.已知p >q >1,0<a <1,则下列各式中正确的是（）A ．q p a a >B ．a a q p >C ．q p a a -->D ．a a q p -->(二) 填空题8.已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 .9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 .10.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .(三) 解答题:11.已知：11a a --=，求332244()(3)a a a a a a ---++--的值． 12.求函数y xx =--1511的定义域. 13.已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.14.画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －１｜＝k 无解？有一解？有两解？。

人教B版数学高一版必修1学习导航对数函数-指数函数与对数函数的关系

3.2.2 对数函数-3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主整理1.对数函数的定义：函数y=log a x(a>0,且a≠1,x>0)称为对数函数，它的定义域为(0,+∞),值域为R.a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即当x=1时,y=0x∈(0,1)时,y<0x∈(1,+∞)时,y>0x∈(0,1)时,y>0x∈(1,+∞)时,y<0 在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数3.指数函数与对数函数的关系:名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a>0,a≠1)y=log a x(a>0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)函数值变化情况当a>1时,⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>,1,0,1,0,1xxa x当0<a<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<>==><,1,0,1,0,1xxxa x当a>1时,⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>1,0,1,0,1,0logxxxxa当0<a<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<>==><1,0,1,0,1,0xxx单调性当a>1时,a x是增函数;当0<a<1时,a x是减函数当a>1时,log a x是增函数;当0<a<1时,log a x是减函数图象y=a x的图象与y=log a x的图象关于直线y=x对称4.反函数当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x)，反函数也是函数，它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=a x（a＞0,且a≠1）和对数函数y=log a x（a＞0,且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线y=x对称.高手笔记1.解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式,但一定要注意真数大于零这一隐含条件.2.求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.3.考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义.考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.4.利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.5.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log a |x|的图象.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log a x|的图象. 名师解惑1.比较两个对数的大小，一般可采用哪些方法？剖析：两数（式）大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有：（1）直接法：由函数的单调性直接作答；（2）作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；（3）作商法：若两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定；（4）转化法：把要比较的两数适当地转化成两个新数大小的比较；（5）媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.2.对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有哪些对应关系？剖析:对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系：（1）图象都位于y 轴右侧，且以y 轴为渐近线→函数定义域为（0，+∞）. （2）图象向上、向下无限延展→函数值域为R .（3）图象恒过定点（1，0）→1的对数是零，即log a 1=0.（4）当a ＞1时，图象由左向右逐渐上升→当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，图象由左向右逐渐下降→当0＜a ＜1时，y=log a x 在（0，+∞）上是减函数. （5）当a ＞1时，在直线x=1的右侧，图象位于x 轴上方；在直线x=1与y 轴之间，图象位于x 轴下方→当a ＞1时，x ＞1，则y=log a x ＞0；0＜x ＜1，则y=log a x ＜0.当0＜a ＜1时，在直线x ＝1的右侧，图象位于x 轴下方；在直线x ＝1与y 轴之间，图象位于x 轴上方→当0＜a ＜1时，x ＞1，则y=log a x ＜0；0＜x ＜1，则y=log a x ＞0. 3.怎样把对数函数与指数函数联系起来研究?剖析：（1）对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到：这两种函数都要求底数a ＞0，且a≠1；对数函数的定义域为(0，+∞)，结合图象看，对数函数在y 轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a ＞1，或0＜a ＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，＋∞)上同时为增函数，或者同时为减函数〕.对数函数的图象都经过点（1，0），这与性质log a 1=0a 0=1是分不开的. (3)既然对数函数y=log a x 与指数函数y=a x 互为反函数，那么它们的图象关于直线y ＝x 对称.于是通过对a 分情况（约定不同的取值范围），再结合函数y=log 2x,y=log 21x 的图象来揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事. 讲练互动图3-2-2【例题1】图3-2-2是对数函数y=log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( ) A.3,34,53,101 B.3,34,101,53 C.34,3,53,101 D.34,3,101,53 解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A 绿色通道由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a 的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=a x 中，底数a 越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x 对称的，直线y=1关于直线y=x 的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=log a x ，底数a 越接近1，其图象就越接近直线x=1. 变式训练1.若log a 2<log b 2<0,则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1 解析：注意到此题两对数值底数不同真数相同,用图象法或用换底公式均可.方法一：由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y=log a x,y=log b x 图象的大致走向.再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大. 方法二：利用换底公式转化成同底的对数再进行比较. 由已知，得ba 22log 1log 1<<0,则0>log 2a>log 2b,即log 21>log 2a>log 2b.∵y=log 2x 为增函数, ∴0<b<a<1.方法三：取特殊值法. ∵log 212=-1,log 412=21-,∴log 212<log 412<0.∴可取a=21,b=41，则0<b<a<1. 答案：B【例题2】比较大小：（1）log 0.27与log 0.29；（2）log 35与log 65；（3）（lgm ）1.9与（lgm ）2.1（m ＞1）；（4）log 85与lg4.分析:（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x ，当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29. （2）考查函数y=log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1;若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9＝（lgm ）2.1.（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4. 解：（1）log 0.27＞log 0.29. （2）log 35＞log 65.（3）当m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;当m=10时，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;当1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1. （4）log 85＞lg4.绿色通道本题比较大小代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择. 变式训练2.比较下列各组数中两个值的大小: （1）log 23.4,log 28.5; （2）log 0.31.8;log 0.32.7;（3）log a 5.1,log a 5.9(a>0且a≠1); （4）log 67,log 76.分析:对于底数相同的两个对数值比较大小，可由对数的单调性确定，利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较两个数的大小.解：（1）考查对数函数y=log 2x ，因为它的底数2>1，所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log 23.4<log 28.5.（2）考查对数函数y=log 0.3x ，因为它的底数满足0<0.3<1，所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log 0.31.8>log 0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大，因此需要对底数a 进行讨论:当a>1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数，于是log a 5.1<log a 5.9；当0<a<1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数，于是log a 5.1>log a 5.9. （4）∵log 67>log 66=1，log 76<log 77=1， ∴log 67>log 76.【例题3】已知函数y=lg （12+x -x ），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 分析:注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f（-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x ∈R ，即定义域为R . 又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］ =lg （12+x +x ）=lg1112-+x=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ） =-f （x ）,∴y=lg （12+x -x ）是奇函数. 任取x 1、x 2∈（0，+∞）,且x 1＜x 2，则xx x x ++⇒++11121221＞22211x x -+，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0， ∴lg （121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数. 又f （x ）是定义在R 上的奇函数，故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数.绿色通道研究函数的性质一定得先考虑定义域.在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性. 变式训练3.(2006广东高考,1)函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(31-,+∞) B.(31-,1) C.(31-,31) D.(-∞,31-) 解析：由.13113,01<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x答案：B【例题4】(1)解不等式:log 3(4-x)>2+log 3x; (2)解方程:2lg 3-x -3lgx+4=0.分析:对于(1),将对数不等式转化为解代数不等式组,对于(2)用换元法将其转化为一元二次方程.解：(1)原不等式可化为log 3(4-x)>log 3(9x),其等价于⎪⎩⎪⎨⎧>>>0,x 0,x -49x,x -4解得0<x<52. ∴原不等式的解集为{x|0<x<52}. (2)设2-3lgx =t,则t≥0. 原方程化为-t 2+t+2=0. 解得t=2,或t=-1(舍去).由2-3lgx =2,得lgx=2.故x=100.经检验x=100是原方程的解.黑色陷阱(1)形如f(log a x)=0,f(log a x)>0的对数方程或不等式，往往令t=log a x 进行换元转化. (2)解对数方程和不等式时要注意防止定义域的扩大，处理办法为：第一，若不是同解变形，最后一定要验根；第二，解的过程中要加以限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解混合不等式组得到原不等式的解. 变式训练4.(2006陕西高考,理4)设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a+b 等于( )A.3B.4C.5D.6解析：因为函数f(x)的图象经过点（2，1），所以f(2)=1，即log a （2+b ）=1,即a=2+b. 又其反函数的图象经过点（2，8），故函数f(x)的图象经过点（8，2），有log a (8+b)=2，即a 2=8+b,解得a=-2,b=-4(舍去)，或a=3,b=1，所以a+b=4. 答案：B5.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a≠1），则f （log 2x ）的最小值为_____________.解析：由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(,4,0)1(log log 222⎩⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2.代入②得b=2.∴f （x ）=x 2-x+2.∴f （log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x 21-）2+47. ∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.答案：47。

2017-2018学年高一数学人教B版必修1课件：3-1-2指数函

y=3x
1 1 2 4 8 2 1 1 3 9 27 3
从上表中很容易发现:①当x<0时,总有2x>3x;②当x>0时,总有2x<3x; ③当x从1增加到3,y=2x的函数值从2增加到8,y=3x的函数值从3增加到27,说明当x>0时,函数y=3x的函数值比y=2x的函数值增长得快. 对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1),将底数a由2变为3,发现它们的图象发生了显著变化,在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x 轴.
再类似地列表分析函数 y=
1 �� 1 �� 和y= 2 3
的函数值的变化.
由上面的探究过程可以得出底数 a 对函数值的影响:
a>b>1 1.当 x<0 时性 2.当 x=0 时 3.当 x>0 时质 4.指数函数的底数越大总有 ax<bx<1 总有 ax=bx=1 总有 ax>bx>1 当 x>0 时 ,其函数值增长得越快 0<a<b<1 总有 ax>bx>1 总有 ax=bx=1 总有 ax<bx<1 当 x>0 时 ,其函数值减少得越慢
性质定义域值域奇偶性单调性 a>1 R [1,+∞) 偶函数在 (0,+∞)上是增函数在 (-∞,0)上是减函数在 (0,+∞)上是减函数在 (-∞,0)上是增函数 (0,1] 0<a<1
1
2
图象
1
2
【做一做2-1】函数y=2-x的图象是(
)
答案:B 【做一做2-2】在函数y=ax-1+2 016(a>0,且a≠1)中,无论a取何值恒经过一个定点,则这个定点的坐标为 . 解析:函数y=ax的图象经过一个定点(0,1),在函数y=ax-1+2 015中, 令x-1=0,即x=1,得y=2 017,则定点坐标为(1,2 017). 答案:(1,2 017)

高中数学《指数函数》导学案导学课件北师大版必修1

问题3 函数y=ax(a>0且a≠1)中,当a>1和0<a<1时,a的取值对函数图像的影响有:当a>1时,底数越大,图像上升得越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小 ,图像下降得越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴.
问题4 指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像与主要性质:
0.8-0.2;
②3.52.5 < 3.53.2.
【解析】①对于指数函数y=0.8x,在定义域R上是减函数, 又因为-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.
②对于指数函数y=3.5x,在定义域R上是增函数, 又∵2.5<3.2,∴3.52.5<3.53.2.
指数函数的应用
设函数 f(x)= 4x .
函数值不存在. ③若 a=1,y=1x=1,是一个常量,没有研究的意义,只有
满足 y=ax(a>0,且 a≠1)的形式才能称为指数函数,a 为常
��
数,像 y=2-3x,y=��,y=xx,y=3x+5,y=3x+1 等等,不符合 y=ax(a>0 且 a≠1)的形式,所以不是指数函数.
富兰克林的遗嘱
美国著名的科学家本杰明·富兰克林一生为科学和民主革命而工作,他死后留下的财产并不可观,大概只有一千英镑 ,令人惊讶的是,他竟留了一份分配几百万英镑财产的遗嘱! 这份有趣的遗嘱是这样写的:“……一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些
第3课时指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义.

人教B版必修一指数函数的复习导学案

文登一中高一数学组教学案（）课题：指数函数（）月（）日编者: 审稿人：星期授课类型：复习课 1、学习目标：掌握指数函数的图象和性质； 2、教学方法：自主探究课堂内容展示一、指数函数的定义函数2(33)x y a a a =-+为指数函数，求a 的值。

二：指数函数的图象和性质如图是指数函数：①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d =的图象，求a 、b 、c 、d 与1、0的的关系三、与指数函数相关的定义域、值域。

例1．求下列函数的定义域与值域（1）改21110x x y -+=；（2）2120.5x x y +-=四、与指数函数相关的函数的单调性讨论函数221()()3x xf x -=的单调性并求值域。

规律总结五、指数函数的应用问题某林区1999年木材蓄积量200万m 3，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%。

（1）若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万m 3，求()y f x =的表达式，并求此函数的定义域；（2）作出函数()y f x =的图象，并应用图象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万m 3？六：与指函数函数有关的奇偶性已知函数2()()12xf x a x R =-∈+是奇函数，求实数a 的值。

当堂检测1．某人2002年7月1日到银行存入一年期款a 元，若按年利率x 复利计算，则到2005年7月1日可取回元。

2．函数xy a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a = 。

3．函数2232x x y -++=的单调增区间为。

4．已知1010()1010x xx xf x ---=+f x是奇函数；（1）证明：()f x在定义域内是增函数；（2）证明：()f x的值域。

（3）求()课堂小结本节课学了哪些重要内容？试着写下吧！本节反思反思一下本节课，应该注意哪些问题呢？。

2017_2018学年高中数学3.1指数与指数函数3.1.2指数函数导学案(无答案)新人教B版必修1

3.1．2指数函数2（一）学习目标1知识与技能：在了解指数函数模型的背景，理解指数函数的概念的基础上，进一步理解指数函数的单调性与特殊点,进一步理解指数函数的概念和意义.2 过程与方法: 在能借助计算机或计算器画出具体指数函数的图像的基础上,进一步探索指数函数的单调性与特殊点3 情感、态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，进一步体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识。

（二）重点难点重点：利用指数函数的性质求指数函数的定义域、值域：难点：结合指数函数的图象性质研究相关函数的图像和性质,函数图象的变换,指数函数性质的运用（三）教学内容安排教学过程：一、复习引入：1、)10(≠>=a a a y x且的图象和性质。

2、比较下列各组数的大小(板书)(1)21)52(-与23)4.0(- (2)76.0)33(与75.0)3(- ; (3)518)21(-与548 ;(4)51)51(-与97)79(-. (5)3.008.1与1.398.0二、例题：例1.求下列函数的定义域、值域： ⑴114.0-=x y ⑵153-=x y ⑶12+=x y (4)xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=（20≤<y ）例2作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x2的图象的关系，⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .解：⑴作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12+x 、y =22+x 与y =x 2的关系：将指数函数y =x2的图象向左平行移动个单位长度，就得到函数y =12+x 的图象，将指数函数y =x2的图象向左平行移动个单位长度，就得到函数y =22+x 的图象⑵作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12-x 、y =22-x 与y =x 2的关系：将指数函数y =x2的图象向右平行移动个单位长度，就得到函数y =12-x 的图象，将指数函数y =x2的图象向右平行移动个单位长度，就得到函数y =22-x 的图象小结：⑴ y =mx -2与y =x 2的关系：当m >0时，将指数函数y =x2的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y =mx -2的图象；当m <0时，将指数函数y =x2的图象向左平行移动m 个单位长度，就得到函数y =mx -2的图象例3 ⑴已知函数 xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21图像的关系三、课堂练习:1. 求下列函数的定义域和值域：⑴xa y -=1 ⑵31)21(+=x y2.在同一坐标系中,做出函数2xy =x和函数y=3(2-1)的图象五、课后作业：教材93页练习B 3 教材94页习题3-1B 1,2,4,5教材93页习题3-1A 3。

2018版高中数学人教B版必修一学案：3-1-2 第2课时指

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.[知识链接]1.函数y＝a x(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减.2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.[预习导引]1.函数y＝a x与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.2.形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.3.形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：0.70.70.3；(1)1.9－π与1.9－3；(2)2(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.0.70.70.3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.267 9＜0.3，所以2(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较. 跟踪演练1 已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析因为函数y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因为1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c ＞a ＞b . 要点二指数型函数的单调性例2 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y ＝2213-⎛⎫⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a 的大小；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪演练2 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解函数y ＝222-+xx的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数y ＝222-+xx的单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞).要点三指数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数.(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明. (3)求f (x )的值域.(1)证明由题知f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x(3－x ＋1)·3x＝1－3x1＋3x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数.(2)解 f (x )在定义域上是增函数.证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)－f (x 1)＝32x－132x ＋1－31x－131x ＋1＝(1－232x ＋1)－(1－231x ＋1)＝2·(32x －31x)(31x＋1)(32x ＋1).∵x 1＜x 2，∴32x －31x＞0,31x＋1＞0，32x ＋1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)＞f (x 1)， ∴f (x )为R 上的增函数. (3)解 f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，∵3x ＞0⇒3x ＋1＞1⇒0＜23x ＋1＜2⇒－2＜－23x ＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1，即f (x )的值域为(－1,1).规律方法指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪演练3 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ，∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立.由此得到a －1a ＝0，即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e12x +x e 12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1)答案 A解析定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数.又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)是增函数， ∴选A.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y 1＞y 3＞y 2，故选D.4.某种细菌在培养过程中，每20 min 分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个. 答案 512解析 3 h ＝9×20 min ，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个. 5.已知函数f (x )＝a －12x＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数，定义域为R ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2.指数函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，在f (x )的单调区间[m ，n ]上，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .。

人教新课标版数学高一数学人教B版必修一指数函数学案

3.1.2指数函数自主学习学习目标1．理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数．2．掌握指数函数的图象和性质．自学导引1．指数函数的概念一般地，________________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．2．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点________，即x＝________时，y＝________ 函数值的变化单调性____________________当x>0时，________；当x<0时，________；当x>0时，________；当x<0时，________是R上的是R上的对点讲练知识点一求定义域、值域问题例1 求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－4；(2)y＝(23)－|x|；(3)y＝(12)2x－x2.规律方法 (1)由于指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的定义域是R ，所以函数y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．变式迁移1 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝3x －2； (2)y ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12x.知识点二指数函数的图象问题例2 如图所示是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c变式迁移2 若－1<x <0，则下列不等式中成立的是( )A ．5－x <5x <0.5xB ．5x <0.5x <5－xC ．5x <5－x <0.5xD ．0.5x <5－x <5x知识点三指数函数单调性的应用例3 比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移3 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．例4 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间上的最大值比最小值大a2，求a 的值；(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在上有最大值14，试求a 的值．规律方法指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移4 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间． 2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用.课时作业一、选择题1．下列函数中①y ＝2x 2；②y ＝4x ；③y ＝32x ；④y ＝3×2x ；⑤y ＝3x ＋1；⑥y ＝－3x ，一定是指数函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．值域为(0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝512－xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝1－2xD ．y ＝ ⎝⎛⎭⎫12x －1 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )4．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x >1，(4－a2)x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8)C ．(4,8)D ．，则a 的取值范围是________． 8．下列说法中正确的是________．(填序号)①任取x ∈R ，都有3x >2x ；②当a >1时，任取x ∈R ，都有a x >a －x ；③y ＝(3)－x 是增函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝5x 与y ＝5－x 的图象关于y 轴对称．三、解答题9．若函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是，求实数a 的值．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.3．1.2 指数函数答案自学导引1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2．(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数减函数对点讲练例1 解 (1)由x －4≠0，得x ≠4， ∴函数的定义域为{x ∈R |x ≠4}．∵x －4≠0，即1x －4≠0，∴21x －4≠1.故函数的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)定义域为R . ∵|x |≥0，∴y ＝(23)－|x |的值域为{y |y ≥1}．(3)显然定义域为R .∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝(12)x 为减函数，∴(12)2x －x 2≥(12)1＝12. 故函数y ＝(12)2x －x 2的值域为12，＋∞)．变式迁移1 解 (1)定义域为1，＋∞)． (2)∵1－⎝⎛⎭⎫12x≥0，∴⎝⎛⎭⎫12x ≤1，即x ≥0， ∴函数y ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为0,1)．例2 B变式迁移2 B例3 解 (1)构造函数y ＝3x . ∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵π>3.14，∴3π>33.14. (2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数． ∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11. (3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x . ∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x 在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数． ∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1. ∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，即1.40.1>0.90.3.变式迁移3 解将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：①负数⎝⎛⎭⎫－233； ②大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；③大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223. ∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 例4 解 (1)①若a >1，则f (x )在上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去).②若0<a <1，则f (x )在上递减，最大值为a ，最小值为a 2. ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，所求a 的值为12或32.(2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1. ①若a >1，∵x ∈，∵t ＝a x 在上递增，∴0<1a ≤t ≤a ；∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈1a ，a －1,1a ，1a1,20,2∵B 中定义域为R,1－x ∈R ，∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x>0.x >0时，y ＝a x 单调递增且y >1，又知y ＝a |x |为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选B.c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.0,20,2上递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2f (2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，解得a ∈∅，综上所述，a ＝ 3.10．(1)解由2x －1≠0，得x ≠0. ∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)解由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12·(－x )3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1－2x ＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )，所以f (x )为偶函数． (3)证明当x >0时，12x－1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。

高一数学人教B版必修1教学教案：指数函数(1)含解析 (2)

指数函数及其性质(一)教学设计一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。

领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。

作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础；同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。

三、学情分析：学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力。

通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。

有好奇心、好胜心、进取心，富有激情、思维活跃。

四、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。

根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。

指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

五、教学过程：（一）创设情景[师]问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗？[生]回答: y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。

人教B版高中数学必修一指数函数教案(1)

指数函数及其性质（1）教学目标：知识技能：使学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象和性质，初步学会运用指数函数解决问题。

过程方法：引入，剖析、定义指数函数的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索指数函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣.情感态度和价值观：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。

教学重难点重点：指数函数的定义、图象、性质.难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质。

教学媒体：多媒体教室教学过程：一、创设问题情境引例1：某种细胞分裂时，由1 个分裂成2个，2个分裂成4个，......,依此类推，一个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样的函数关系？引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式？引导学生分析问题通过列表寻找规律（1）动画展示细胞分裂的过程，寻找Y于X的对应关系，进而得到得到的细胞个数y与分裂次数x的函数关系。

（2）通过列表：归纳总结：函数关系：12xy=20.85xy=在12xy=和20.85xy=中，指数x是自变量，底数是一个大于0 且不等于1的常量。

我们把这种自变量在指数位置，而底数是大于0不等于1的常量的函数称为指数函数。

二、新知探究指数函数的定义：)1(≠>=aaay x且函数叫指数函数(exponential function)，其中x 是自变量。

函数定义域是R 。

探究1：为什么要规定0,1a a >≠且呢？练习1：若是指数函数，求a 的取值范围。

探究2：函数23x y =∙是指数函数吗？练习2：下列函数是否是指数函数：（1）y=0.2x (2)y=(-2)x (3)y=e x (4) 3x y -= (5)y=1x本题主要考察学生对指数函数定义的理解。

高一数学人教B版必修1教学教案：指数函数含解析

3.1.2 指数函数及其性质（1）—教学设计一、三维目标1．知识与技能掌握指数函数的概念、图象和性质.能借助计算机软件或计算器画指数函数的图象.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.2．过程与方法学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法，如具体到一般，数形结合的方法等.通过探讨理解指数函数y=a x中为什么要规定a＞0，a≠1？明确数学概念的严谨性和科学性.3．情感态度与价值观通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，逐步培养学生的应用意识.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生探究、理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.二、教学重点指数函数的概念和性质.三、教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.四、教具准备多媒体课件、投影仪、大屏幕、自制ppt课件.五、教学过程1．总体设计：引入—讲授新课—探究性质-课堂练习—课时小结—课后作业2．具体安排：以问题为载体，带领学生探求新知（一）以生活实例，引入新课(5分钟)（多媒体课件展示）在本章的开头,问题1中时间x 与GDP 值y 的对应关系y=1.073x问题（2）中时间t 和碳14含量P 的对应关系P =（21）5730t你们能从这两个解析式中发现他们有什么共同特征呢？我们发现：在关系式y=1.073x和P =（21）5730t中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式y=1.073x和P =（21）5730t都是函数关系式，且函数y=1.073x和函数P =（21）5730t =［(21)57301］t ,在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上. 师：你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？（生交流，师总结得出如下结论）生：用字母a 来代替1.073与（21）57301.结论：函数y =1.073x和函数P =（21）5730t都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数.（引入新课，书写课题）（二）讲解新课1.指数函数的概念（10分钟）（师结合引入，给出指数函数的定义）一般地，函数y =a x （a ＞0，a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .合作探究：（1）定义域为什么是实数集？（生思考，师适时点拨，给出如下解释）结论：在a ＞0的前提下，x 可以取任意的实数，所以函数的定义域是R .合作探究：（2）在函数解析式y =a x中为什么要规定a ＞0，a ≠1？（生思考，师适时点拨，给出如下解释，并明确指数函数的定义域是实数R ）结论：这是因为（ⅰ）a =0时，当x ＞0，a x 恒等于0；当x ≤0，a x 无意义.（ⅱ）a ＜0时，例如a =－41，x =－41，则a x =（－41）41无意义.（ⅲ）a =1时，a x 恒等于1，无研究价值. 所以规定a ＞0，且a ≠1.合作探究：（3）判断下列函数是否是指数函数：①y =2·3x ；②y =3x －1；③y =x 3；④y =－3x ；⑤y =（－4）x ；⑥y =πx ；.生：只有⑥为指数函数.跟踪训练1、函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，求a 的值．【方法指导】指数函数的概念是一个“形式上”的定义，也就是只有符合y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)形式的函数是指数函数．【解析】由y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，可得⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1，a ＞0，且a ≠1，解得⎩⎨⎧a ＝1或a ＝2，a ＞0，且a ≠1.∴a ＝2.方法引导：指数函数的形式就是y =a x ，a x 的系数是1，其他的位置不能有其他的系数，但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y =a x +k （a ＞0，且a ≠1，k ∈Z ）；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是指数函数，例如y =a －x （a ＞0，且a ≠1），这是因为它的解析式可以等价化归为y =a －x =（a －1）x ，其中a －1＞0，且a －1≠1.如y =23x 是指数函数，因为可以化简为y =8x .要注意幂底数的范围和自变量x 所在的部位，即指数函数的自变量在指数位置上.2.指数函数的图象和性质探究（15分钟）师：指数函数y =a x ，其中底数a 是常数，指数x 是自变量，幂y 是函数值.底数a 有无穷多个取值，不可能逐一研究，研究方法是什么呢？（生思考）师：要抓住典型的指数函数，分析典型，进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢？先来研究a ＞1的情况生：函数y =2x 的图象. 师：作图的基本方法是什么？生：列表、描点、连线.合作探究：（1）我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数y =2x 的图象生：x -3 -2.5 -2-1.5 -10 0.5 1 1.5 2 2x y 811412124借助多媒体手段画出图象.师：研究函数要考虑哪些性质?生：定义域、值域、单调性、奇偶性等.师：通过图象和解析式分析函数y =2x 的性质应该如何呢?生：图象左右延伸，说明定义域为R ；图象都分布在x 轴的上方，说明值域为R +；图象上升，说明是增函数；不关于y 轴对称也不关于原点对称，说明它既不是奇函数也不是偶函数.师：再研究0＜a ＜1的情况，类似地，从中选择一个具体函数进行研究，可选什么函数?生：我们选择函数y =（21）x 的图象作典型.合作探究：（2）用计算机完成以下表格并绘出函数y =（21）x 的图象. 生：x-3 -2 -1.5 -1 0 11.5 22.5 y =（21）x84211214作出函数y =（21）x 的图象.师：函数y =2x 的图象与函数y =（21）x 的图象有什么关系？可否利用y =2x 的图象画出函数y =（21）x 的图象？生：两个函数的图象关于y 轴对称，可以通过函数y =2x 的图象画出函数y =（21）x 的图象。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

表解指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数，特别是对数函数，是中学数学研究的重要函数，是高考的必考内容，常与其他知识相综合，对数函数是许多知识的交汇点，同时，要注意它们之间互为反函
=对称，下面对指数函数与对数函数的关系作简单的探讨. 数，它们的图象关于直线y x
一、表解指数函数、对数函数的图象及性质：
二、例分析： 1、图象的对称性：
例1、⑴（06⋅全国）已知函数x
y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则
（） A 、()()22x
f x e
x R =∈ B 、()()2ln 2ln 0f x x x =⋅> C 、()()222x
f x e
x R =∈ D 、()()2ln 2ln 0f x x x =+>
解析：由函数()y f x =，则可得()1
ln ,(0)f x x x -=>，
∴()()2ln 2ln 2ln ,0f x x x x ==+>.
⑵（07全国Ⅰ）函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =__________。

解析：由函数3log (0)y x x =>，可得()1
3()x f
x x R -=∈，
即关于直线y x =对称的()3()x
f x x R =∈.
点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称. 2、函数解析式之间的转化：
例2、⑴（06年广东）如图所示，设函数()y f x =的反函数()1
y f
x -=的图象与y 轴交于点
()0,2P ，则方程()0f x =在[]1,4上的根x 是（）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1 解析：∵()1
02f
-=，∴()20f =，即()0f x =，
在[]1,4上的根为2x =，故选C. ⑵已知函数()f x 的反函数： ①()112007log ,0m f x m m x -+⎛⎫
=+>
⎪⎝⎭
，则方程()2007f x =的解集为 .
②设函数()()log ,1a f
x x a a =>≠，满足()92f =，则()1
9log 2f -= .
)x
解析：①由()2007f x =，知1
(2007)x f -=，
又()1112007(2007)log log 112007m m f m m -++⎛⎫
=+=+=
⎪⎝⎭
，即1x =，
∴则方程()2007f x =的解集为1x =.
②由()92f =，∴log 92a =，∴29a =，即3a =， ∴()1
3x x f
x a -==，∴()9
log 219log 23f -=，
又∵293231
log 2log 2log 2log 2===
∴()log 19log 23
f -==
点评：本题考查了指数函数与对数函数互为反函数.。