概率与数理统计课件

例题（续）
[例3] 在20世纪70年代后期人们发现，酿造啤酒时，在麦芽干燥过程 中形成一种致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA）.到了20世纪80年代初期开发 了一种新的麦芽干燥过程。下面是新、老两种过程中形成的NDMA含量的 抽样（以10亿份中的份数记）：
老过程
新过程
6
2
4
1
5
2
5
2
6
1
5
0
5
3
6
2
4
解答 小结
例题详解
[例1解答]
检验包装机工作是否正常，就是要检验是否均值为 500，标准差 10 ？ （1） 设 H 0： 500 H1： 500 ；
2 由于 未知，选统计量 t
对显著性水平 0.05 ，查表得 t (n 1) t0.025 (8) 2.31.
（5）下结论：如果计算的统计量在的拒绝域内，则拒绝 H 0 ，接 受 H1 ； 如果计算的统计量不在的拒绝域内，则接受 H 0 ， 拒绝 H1 .
4.假设检验易犯的两类错误及其关系：
（1）两类错误：“弃真”错误（第一类错误，犯这类错误的概率不 超

过显著性水平 ）及“存伪”错误（第二类错误，
犯
1
6
0
7
1
4
3
设新、老两种过程中形成的NDMA含量服从正态分布，且方差相等。分别
以 x 与 y 记老、新过程的总体均值，取显著性水平 0.05 ， 检验： H ： 2；H： 2 解答 0 x y x y
[例4] 从某厂生产的产品中随机抽取200件样品进行质量检验，发现有9 件不合格品，问是否可以认为该厂产品的不合格率不大于3%？ （取显著性水平 0.05）
t t (n 1) t t (n 1)
（2）一个正态总体方差假设检验的方法：
表2 原假设 H0 已知条件 及检验法 所用统计量 及其 H 0 成立时的分布 备择假设 H1
2 2 0 2 2 0 2 2 0
H 0 的拒绝域
2 12 / 2 (n)
2
2 由样本值计算得 x 20.4, y 19.4, sx 0.8857 s y 0.8286 , 2 .
2 S x 0.8857 F 2 0.17. S y 0.8286
F1 (nx 1, ny 1) 0.20 F 4.99 F (nx 1, ny 1).
2 2
2 2 接受 H 0 ，认为 x y .
[例2解答（续）]
（2）设
H0：x y；H1：x y
2 x
由于 与 未知，选统计量 T
2 y
X Y ， 1 1 S nx n y
其中 S
2 2 (nx 1) S x (n y 1) S y
表4 原假设 H0 已知条件 及检验法 备择假设 所用统计量 H1 及其 H 0 成立时的分布
H 0 的拒绝域
x , y 已知
F 检验法
2 2 x y
F
(X (X
j 1 i 1 ny
nx
i
x )
2
nx
2 2 x y
F F1 (nx , ny )
或 F F (nx , n y )
T
t t / 2 (nx ny 2)
t t (nx ny 2) t t (nx ny 2)
已知
T
检验法 其中表中
~ t (nx ny 2)
S
2 2 (nx 1) S x (n y 1) S y
nx n y 2
（4）两个正态总体方差假设检验的方法：
2 2
j
y )2 ny
2 2 x y
F F1 (nx , ny )
~ F (nx , ny )
2 x 2 y
2 2 x y
F F (nx , ny )
x , y 未知
F
S F S

2 x
2 y
F F1 (nx 1, ny 1)
2
或 F F2 (nx 1, ny 1)
2 0
8 257 2 20.56 15.5 (n 1). 100
返回 所以，拒绝 H 0 ，接受 H1 .认为标准差大于10. 综上，尽管包装机没有系统误差，但是工作不够稳定，因此包装机工作不正常。
[例2解答]
设700C下的断裂强力为 X ；800C下的断裂强力为Y , 则 X ~ N (x , x2 ) ,Y ~ N ( y , y2 ). 判断这两种温度下的断裂强力有无明显差异，就是检验是否有 x y ，这
~ t (2n 2) t (22).
T
X Y ( x y ) (S S ) / n
2 x 2 y
T 在 H 0 成立时，
X Y 2 (S S ) / n
2 x 2 y
.
对显著性水平 0.05 ，查表得 t (2n 2) t0.05 (22) 1.717 .
2 或 2 / 2 (n)
已知
2
1

2 2 0
2

2 0 i 1
(X
n
i
0 ) 2
2 12 (n)
2 2 (n)
检验法
~ 2 (n)
未知
2
(n 1)S
2 0
2
2
检验法
2 2 0 或 2 2 (n 1) /2 2 2 0 2 12 (n 1) 2 2 0
nx n y 2
.
T 在 H 0 成立时， ~ t (nx ny 2) t (14).
对显著性水平 0.05 ，查表得 t (nx ny 2) t0.025 (14) 2.14. 2 由样本值计算得 T
X Y 1 1 S (nx ny n) nx n y X Y
2 12 / 2 (n 1)
~ 2 (n 1)
2 2 (n 1)
（3）两个正态总体均值假设检验的方法：
表3 原假设 H0 已知条件 及检验法 备择假设 所用统计量 H1 及其 H 0 成立时的分布
U X Y
H 0 的拒绝域
, 已知
2 x 2 y
中，如果遇到类似情况，为稳妥起见，可以重新抽样，再做一次检验。
[例3解答]
记老过程中形成的NDMA含量为 X ，新过程中形成的NDMA含量为Y . 为简化检验过程，可作检验假设 H0：x y 2；H1：x y 2
2 2 由于 x 与 y 未知，但相等及 nx
ny 记为 n。于是取统计量
2
X 0 S/ n
，在 H 0 成立时，t ~ t (n 1) t (8).
499 500 0.187 2.31 t (n 1). 2 16.03 / 3
x ，2 由样本值计算得， 499 s 257，s 16.03. t
所以，接受 H 0 ，认为每袋平均重量为500.
n
这类错误的概率通常记作

）。

,则 增

（2）两类错误的关系：在样本容量
大；减小 ，则

n
.
一定时，减小
增大。要想让二者都减小，
只能增大样本容量
5. 正态总体参数假设检验的方法：
（1）一个正态总体均值假设检验的方法：
原假设 已知条件 所用统计量 H 0 及检验法 及其 H 0 成立时的分布 备择假设 H1 表1
（2） 设 H0： 10；H1： 10
由于
未知，选统计量

2
2

(n 1)S 2


2 2 对显著性水平 0.05 ，查表得 (n 1) 0.05 (8) 15.5 .
2 0
2 2 ，在 H 0 成立时， ~ (n 1) .
(n 1)S 2
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第二十三单元
假设检验习题课
第二十三单元
假设检验习题课
教学目的：通过本单元的学习，进一步理解假设检验的基本概念， 熟练掌握一个正态总体及两个正态总体参数的假设检验。 教学重点：假设检验的基本方法的总结。 教学难点：非正态总体大样本参数的假设检验。
教学时数：1学时。
教学过程： 一．基本要求
1. 理解假设检验的基本概念（包括检验假设，假设检验的原理、方法、
步骤、两类错误及其关系，显著性水平等） 2. 熟练掌握一个正态总体及两个正态总体参数的假设检验。
3.了解大样本下非正态总体参数的假设检验。
二.内容总结
1．假设检验的原理：小概率事件在一次试验中几乎不会发生。 2 ．假设检验的方法：置信区间的方法。
3 ．假设检验的步骤：
（1）根据要检验的问题提出检验假设，它包括原假设 H 0 与备择 假设 H1 . （2）根据已知条件选一个统计量，要求在成立时 H 0 ，该统计量 分布已知。 （3）根据显著性水平
，查所选统计量的分布临界值表，确定
H 0 拒绝域。 （4）根据样本观测值计算统计量，并与临界值比较。
2 2 2 2 2 2 里 x 与 y 未知，要作 x y 检验，需有 x y ，为此先作 x y 的检验。
（1）设 H ： 2 2；H ： 2 2 0 x y 1 x y
2 Sx 由于 x 与 y 未知，选统计量 F 2 . Sy
2 由样本值计算得 x 5.25 , y 1.5 , sx2 0.9318 , sy 1.