2012年中考数学总复习重点知识专题讲解《几何图形的归纳,猜(精)
2012年中考数学一轮复习精品讲义 三角形
第七章三角形本章小结小结1 本章概述三角形是几何知识中的重要内容，也是几何学的基础．本章从三角形出发，先学习与三角形有关的线段和角再到多边形，其中包括三角形的内角和、外角和及多边形的内角和等知识，最后到多边形的实际应用．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)；会画出任意三角形的角平分线、中线和高．【本章难点】通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．【学习本章应注意的问题】正确理解三角形的有关概念，掌握有关性质．在学习中，要注意观察，搜集资料，多交流，注重新旧知识的联系，学会将新知识转化到已学的知识上去，再进行归纳、整理、分析，要深刻理解并掌握归纳、类比的方法．学习中，还要多注意结合图形，理解用多边形镶嵌图案的道理，欣赏丰富多彩的图案，体验数学美，提高审美情趣．小结3 中考透视本章知识在中考中所占比重较大，一方面以填空题、选择题形式出现，以考查对基本概念、基本定理的理解为主；另一方面以综合题形式出现，主要考查对知识的灵活运用及综合运用的能力，利用本章知识解决实际问题的题目也越来越多地出现在中考试题中，还有平面图形的镶嵌内容也是近年来的热点考题，备受关注．由于镶嵌问题具有较强的实用性，对知识的运用要求灵活性较高，所以要得到这类问题的分数也不是太容易的，分值占3～4分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 三角形的三条重要线段【专题解读】三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段，它们具有十分重要的性质，三角形的高构造了垂直的条件，三角形的中线隐含线段相等，通过三角形的中线可以把三角形的面积分成相等的两部分，三角形的角平分线提供了角相等的条件.掌握这些概念,对解与三角形有关的问题十分重要.例1 如图7-64所示,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,求EB.分析已知△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,在图形中, △DEC与△ABC既不同底也不等高,因此需寻找桥梁△AEC来建立二者之间的关系,因为△AEC既与△DEC等高也与△ABC等高.解:作EF⊥AC于F,则122132DECAECDC EFS DCS ACAC EF===,作CG⊥AB于点G,则12142AECABCAE CGS AE AES ABAB CG===,∴234DEC AECAEC ABCS S AES S=⨯,即6DECABCS AES=.又∵12DECABCSS=,∴162AE=,∴AE=3,∴BE=AB-AE=1,即BE的长为1.【解题策略】等高的两个三角形的面积比等于底边长的比,它是面积问题中常用的解题策略.专题2 多边形的内角和及外角和【专题解读】用三角形的内角和定理可以推出多边形的内角和定理及外角和定理,在推导的过程中体现了转化思想,在解有关多边形的问题时,如求多边形的内角、外角、边数及对角线等问题，这两个定理都很重要.例2 已知一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350°,求这个多边形的边数.分析应充分利用多边形每个外角在0°～180°间和等式的性质巧解此题.解:设这个多边形的这个外角为x,它的边数为n,则(n-2)·180°+x=1350°, ∴(n-2) ·180°=8×180°-(90°+x),由此可得90°+x是180°的倍数. ∵0°＜x＜180°,∴x=180°-90°=90°,∴(n-2) ·180°=7×180°,∴n=9.【解题策略】灵活运用多边形的内角和定理及外角和定理是解决此类问题的关键.二、规律方法专题专题3 用公式法解有关对角线的条数问题【专题解读】用n边形的对角线有(3)2n n-条来解决相关问题.例3 若一个多边形有77条对角线,求它的内角和.分析由(3)2n n-=77,求n.解:设这个多边形的边数为n,由题意,得(3)2n n-=77.解得n=14,即这个多边形是十四边形,十四边形的内角和为(14-2) ×180°=2160°,即内角和为2160°.【解题策略】根据对角线条数的公式(3)2n n -,即已知边数可求对角线的条数,反之已知对角线的条数,可求出边数.三、思想方法专题 专题4 转化思想 【专题解读】转化思想在本章中有很多的应用,主要体现在探索有关多边形的问题时经常转化为三角形的问题进行解决.例4 填表.分析 先由三角形的内角和为180°及外角和为360°逐一推广,将4,5,…,n 边形分割成若干个三角形,易得答案.解:填表如下.2011中考真题精选（2011陕西，12，3分）如图，AC ∥BD ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若︒=∠641， 则=∠2 ．考点：平行线的性质。
中考重点几何知识点总结
中考重点几何知识点总结一、直线和角1. 直线的性质直线是没有端点的、无限延伸的点集合。
直线上的任意两点可以确定唯一的一条直线。
2. 线段和角的概念线段是两个端点和它们之间的点所组成的线的部分。
角是由两条射线共同端点组成的几何图形。
3. 角的度量角的度量可以用角度、弧度、梯度等单位进行表示。
一般来说，我们使用角度作为角的度量单位。
一个完整的圆是360度。
4. 角的分类根据角的大小，可以将角分为锐角、直角、钝角和平角。
其中，直角为90度，平角为180度，锐角小于90度，钝角大于90度。
二、平面图形1. 点、线、面的概念点是没有大小的，表示位置，线是由无数个点组成的，面是由无数个线组成的。
2. 多边形的概念多边形是由三条或者三条以上的线段所组成的封闭图形，其中的每一条线段都称为多边形的边。
3. 多边形的性质多边形的性质有很多，比如所有角的和、外角、内角等等。
正多边形的每个角都相等，每一边也都相等。
4. 圆的概念圆是一种特殊的多边形，它由无数条相等的弧所组成。
圆的周长称为圆周，圆的内部称为圆的内部。
三、三角形和四边形1. 三角形的分类三角形根据边长和角度的大小可以进行分类。
根据边长，可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角度，可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
2. 三角形的性质三角形的性质很多，比如角的和等于180度、内角的性质、外角的性质等等。
3. 四边形的分类和性质四边形根据边的性质和角的大小可以进行分类。
比如平行四边形、矩形、正方形、菱形等。
每个四边形都有各自的性质，比如对角线相等、对角线互相垂直等等。
四、平行关系和相似关系1. 平行线和平行四边形平行线是在同一个平面内，并且永远不会相交的两条直线。
平行四边形是有两对对边平行的四边形。
2. 三角形的相似两个三角形中，如果它们的对应角相等，对应边成比例，则称这两个三角形相似。
相似三角形有很多性质，比如对应边成比例、角对应相等等等。
2012年904班中考数学总复习讲义02：空间与图形
空间与图形部分考点总结第一章：线段、角、相交线、平行线考点1 三种基本图形—直线、射线、线段：1、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两边无限延伸”。
直线公理：经过两点有且只有 一 条直线。
注：两直线相交，只有一个交点。
2、射线：直线上一点和它的一旁的部分叫做射线。
射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。
”两条射线为同一射线必须同时具备：①端点是同一点 ；②延伸方向相同；3、线段：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。
线段公理：两点之间，线段最短；说明：两个点之间连线有很多条，但只有线段最短，这条线段的长度，就叫做这两点之间的距离。
线段的中点：①定义：如图1一1中，点B 把线段AC 分成两条相等的线段，点B 叫做线段AC 的中点。
②表示法：∵AB ＝BC ∴点 B 为 AC 的中点 或∵ AB ＝21MAC ∴点 B 为AC 的中点，或∵AC ＝2AB ，∴点B 为AC 的中点反之也成立∵点 B 为AC 的中点，∴AB ＝BC 或∵点B 为AC 的中点， ∴AB=21AC 或∵点B 为AC 的中点， ∴AC=2BC考点2 角：1）角的两种定义：① 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点 ，这两条射线叫做角的边。
注：角是由两条射线组成的图形；这两条射线必须有一个公共端点。
② 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
注：起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。
2）角的度量与角的分类：角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。
把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。
1度=60分；1分=60秒。
角的分类：（1）锐角：小于直角的角叫做锐角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）钝角：大于直角而小于平角的角（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。
2012中考数学热点知识归纳61【4】
2012中考数学热点知识归纳61【4】2．4数形结合思想（用好几何性质）代表性题型：函数与几何综合题。
例4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）+c（a ＞0）与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。
⑴求次抛物线的函数表达式。
(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?解析：⑴由直线y=kx－3与y轴交点坐标为C（0，－3）抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）开口向上，过C（0，－3）∴A、B在y轴两侧，B在y轴右侧。
如图。
Rt△AOC中，OC=3，cos∠BCO=∴BC=，OB=1∴B（1，0）又B（1，0），C（0，－3）在y=a（x+1）+c上∴抛物线解析式y=x+2x－3⑵由⑴抛物线顶点M（－1，－4），直线y=kx－3过M，∴直线解析式y=x－3∴N（3，0）∴△NOC为等腰直角三角形假设抛物线上存在点P使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。
①PC为另一条直角边。
PC⊥CN，而A与N关于y轴对称在抛物线上。
∴存在P1（－3，0）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形②PN为另一条直角边。
PN⊥CN，则∠PNO=45°设PN交y轴于点D，则D（0，3）PN所在直线y=－x+3由解得∴存在P2（，），P3（，）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。
满足条件的点有P1（－3，0），P2（，），P3（，）⑶①若抛物线沿对称轴向上平移。
设向上平移b个单位（b＞0）。
此时抛物线的解析式为：y=x+2x－3+b抛物线与线段NQ总有交点，即由抛物线解析式、直线MC所在直线解析式组成的方程组有解。
中考数学风向标 专题一 归纳与猜想
2
1 1 n1 1 1 π 8 ＝4.第 n 个半圆的面积为 π 2 ＝π22n－5. 2 2 2 2
答案：4 p22n－5 小结与反思：对于图形找规律的题目，首先应找出哪些部
分发生了变化，再探索变化的部分是按照什么规律变化的．
a)， ∴左边＝右边，原等式成立． 小结与反思：解这类数字猜想题，最好在草稿纸上按顺序
排好每个数字，然后写多几个，找到规律就可以了.
几何图形中的猜想
例题：(2012 年广东广州)如图 Z1－1，在标有刻度的直线 l 上，从点 A 开始，以 AB＝1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆； 以 BC＝2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD＝4 为直径 画半圆，记为第 3 个半圆；以 DE＝8 为直径画半圆，记为第 4
个半圆„„按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第
3 个半圆面积的 _____ 倍 ， 第 n 个 半 圆 的 面 积 为_______ (结果保留p)．
图 Z1－1
解析：根据规律找出每个半圆的半径，第 n 个半圆的直径 为 2n 1.
－
1 1 π 16 : 第 4 个半圆的面积∶第 3 个半圆面积＝ 2 2
第四部分 中考专题突破
专题一 归纳与猜想
归纳与猜想问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、
图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜
想，得出结论，进而加以验证的数学探索题．
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综
合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生
思维的深刻性和创造性．
式为“数字对称等式”． (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称
2012年重庆市中考数学知识点总复习以及大题分解
试卷结构1、内容结构与比例：数与代数 50% 空间与图形 35% 统计与概率 15%二、一、有理数1、有理数有理数的意义，会比较有理数的大小2、借助数轴理解相反数绝对值的意义，会求相反数与绝对值3、掌握有理数的加、减、乘、除、乘方以及简单的混合运算4、运用有理数运算律简化运算，并解决简单问题二、实数1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根2、了解开方与乘方互为逆运算，知道实数与数轴上的点一一对应3、用有理数估计一个无理数的大致范围4、了解近似数的概念并会进行近似数的运算5、了解二次根式的概念及其加减乘除运算法则，会用它们进行有关的实数的简单四则运算（不要求分母有理化）三、代数式1、能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示2、会求代数式的值，能根据简单的实际问题，探索所需的公式，并会进行计算四、整式与分式1、了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学计数法表示数2、了解正式的概念，会进行简单的正式加减运算，会进行简单的整式乘法运算3、会推导乘法公式：（a+b）（a—b）=a2-b2 （a+b）2=a2+2ab+b2，并能进行简单计算4、会提公因式、分式法进行因式分解5、了解分式的概念，会运用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加减乘除运算1、能够用等式表示具体问题中的数量关系2、用观察、画图等的手段估计方程解的过程3、会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程4、理解配方法5、根据具体问题实际意义，检验结果是否合理6、能用不等式表示具体问题中的大小关系7、会解简单的一元一次方程不等式（不等式组），并能在数轴上表示出解集8、能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题1、了解函数的概念和3中表示方法2、结合图像，对简单实际问题中的函数关系进行分析3、能确定自变量的取值范围，并求出函数值4、结核函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测5、根据已知条件确定函数的表达式6、会画一次函数的图像并理解kx+b=y（k不等于0）的性质7、理解正比例函数8、用一次函数结局实际问题9、会用描点法画出二次函数的图像，并从图像上认识二次函数的性质1、会比较角的大小，认识度分秒，并进行简单换算2、了解平行线及其性质3、了解补角、余角对顶角4、了解垂线、垂线段的概念5、会做垂线6、了解垂直平分线及其性质7、了解三角形的有关性质（内角、外角、中线、高、角平分线），了解三角形的稳定性质8、了解全等三角形的概念9、了解等腰三角形的相关概念10、了解直角三角形的概念11、会用勾股定理解决问题12、了解四边形的概念13、等腰梯形14、圆（弧、玄、圆心角），了解点与圆、直线与圆的位置关系15、圆心角、圆周角16、三角形的内心与外心17、了解切线18、计算弧长和扇形面积、圆锥的侧面积和全面积19、会做线段、角、角平分线、线段垂直平分线20、做三角形21、作圆22、判断简单物体的三视图及其侧面展开图23、轴对称24、作轴对称25、图形的平移26、图形的旋转27、图形的相似28、图形与坐标29、证明1、统计：个体、样本2、扇形统计图表示数据3、加权平均数4、会计算极差、方差，并明确其意义5、计算简单事件发生的频率第一章 数与代数第二章 方程与不等式第三章 函数第四章 空间与图形第五章 概率与统计考点一、有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (pq 为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.（相反数的证明） 4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2)绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (aa 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3)0a 1aa >⇔=；0a 1aa <⇔-=； (4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0=5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0. 6.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 7．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 8．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.9.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 10.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .11．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .12．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时:(-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n,当n 为正偶数时:(-a)n=a n或(a-b)n =(b-a)n.13．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0⇔a=0,b=0；14.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.15.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 考点二、实数1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
2012年中考数学复习资料(直线型、全等、相似)
第一节相交线、平行线[知识要点]一、相交线1.线段的垂直平分线：（1）定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。
2.角（1）定义（2）角的分类：平角、周角、直角、锐角、钝角（3）角的度量：1°=60' 1'=60"（4）相关的角：对顶角、余角、补角、邻补角（5）角的平分线1）定义2）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
二、平行线1.定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫平行线。
2.性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补（4）平行线间的距离相等（5）平行线截相交两条直线，对应线段成比例。
3.判定：（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行（4）平行于同一直线的两直线平行。
（5）垂直于同一直线的两直线平行。
第二节三角形[知识要点]一、三角形的分类二、三角形的边角关系1.边与边的关系（1）△两边之和大于第三边（2）△两边之差小于第三边2.角与角关系（1）△三个内角的和等于180°（2）△的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和（3）△的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三、△的主要线段（1）角平分线（2）中线（3）高线（4）中位线四、△的重要的点（1）内心：内心到三边距离相等。
（2）重心：重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍（3）垂心（4）外心：外心到三个顶点的距离相等。
五、特殊三角形1.等腰△（1）性质：1）两腰相等2）两个底角相等3）底边上“三线合一”4）轴对称图形（1条对称轴）（2）判定：1）两边相等的三角形是等腰△2）两个角相等的三角形是等腰△2.等边△性质：1）三边相等2）三个角相等，都等于60°3）三边上都有“三线合一”4）轴对称图形（3条对称轴）3.Rt△（1）性质：1）两个锐角互余2）勾股定理3）斜边上中线等于斜边的一半4）30°角所对的直角边等于斜边的一半（2）判定：1）有一个角是直角的三角形2）勾股定理逆定理第三节全等三角形[知识要点]一、定义：二、性质：1.对应边相等2.对应角相等3.对应线段（高线、中线、角平分线）相等4.全等三角形面积相等三、判定：（SAS）（AAS）（ASA）（SSS）（HL）第四节四边形[知识要点]一、特殊四边形二、平行四边形（1）性质：1）边：对边平行且相等2）角：对角相等，邻角互补3）对角线：互相平分4）对称性：中心对称图形（2）判定：1）边：两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等2）对角线：对角线互相平分3）角：两组对角分别相等。
2012年中考数学 高分攻略之几何部分
2012年中考数学高分攻略之几何部分专题一：正方形知识考点：理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。
精典例题：【例1】如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。
求证：AH ＝AD 。
分析：因为A 是DG 的中点，故在△DGH 中，若AH ＝AD ，当且仅当△DGH 为直角三角形，所以只须证明△DGH 为直角三角形（证明略）。
评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。
本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。
例1图例2图【例2】如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ ＝450，求证：PB ＋DQ ＝PQ 。
分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。
变式：若条件改为PQ ＝PB ＋DQ ，那么∠PAQ ＝？你还能得到哪些结论？ 探索与创新：【问题一】如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。
问题一图1 O F G EDBA 问题一图2分析：对于图1通过全等三角形证明OE ＝OF ，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。
结论：（2）的结论“OE ＝OF ”仍然成立。
提示：只须证明△AOF ≌△BOE 即可。
评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。
【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。
中考数学图形知识点总结
中考数学图形知识点总结一、几何图形的基本概念1.点线面点是几何图形的最基本元素，点不占据空间、没有长宽高和大小，用大写字母标记。
线是由无数点构成的，线不占据空间、有方向、长度、没有宽度，用小写字母表示、或两点之间的线段表示。
面是由无数条线构成的，面占据空间、有形状、大小，用大写字母标记。
2.图形的分类图形主要可以分为几何图形和非几何图形两大类。
几何图形主要包括点、线、面三个基本要素构成的几何图形、立体几何图形、曲线等。
非几何图形主要包括文字图形、符号图形等。
3.图形的名称直线、射线、线段、角、平行线、垂直线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、以及梯形、长方形、正方形、等等。
二、平面图形的性质1.平行线及其性质平行线是在同一个平面上，且永不相交的两条直线。
平行线的性质包括平行线的定义、平行线的判定、平行线的性质等。
2.相交线及其性质相交线是在同一个平面上，并在某一点相交的两条直线。
相交线的性质包括相交线的性质、相邻角、对顶角、同位角、内角与外角等。
3.多边形及其性质多边形是由至少三条直线段构成的封闭图形。
多边形的性质包括多边形的定义、多边形的边和角、正多边形的边和角、多边形内角和外角的关系等。
4.相似图形相似图形是指在平面上的两个图形，其形状相同但大小不同。
相似图形的性质包括相似图形的判定、相似三角形的性质等。
全等图形是指在平面上的两个图形，其形状和大小完全相同。
全等图形的性质包括全等图形的判定、全等三角形的性质、全等四边形的性质等。
6.圆及其性质圆是平面上距离同一点距离相等的所有点的集合。
圆的性质包括圆的性质、圆的切线、圆的切线与切点等。
7.正多边形及其性质正多边形是指边相等、角相等的多边形。
正多边形的性质包括正多边形的定义、正多边形的性质、正多边形的内角和外角等。
8.曲线曲线是指中间的非直线部分，端点是曲线的两端。
曲线的性质包括曲线的定义、曲线的简单性质、曲线的切线等。
三、空间图形的性质1.立体图形及其性质立体图形是平面外的几何图形。
2012中考数学考点几何图形
2012中考数学考点几何图形帮你揭开几何图形的面纱山东省惠民县皂户李乡中学康风星本章主要介绍了学习几何图形与实物的关系，图形的基本要素（点、线、面），借助平面图形认识几何体的三种手段（将几何体表面展开，从不同的方向看几何体、用平面去截几何体）。
现与同学们共同归纳总结一下：一、知识结构图二、知识归纳1．几何体是从实物中抽象出的数学模型。
识别几何体，应以直观观察为主，常见几何体的基本特征长方体：有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是长方形.想一想：正方体呢？棱柱：上下两个面为棱柱的底面（它们的大小与形状完全相同），其它各个面为棱柱的侧面，且每个侧面都是长方形.圆柱：上下两个底面是半径相同的两个圆，侧面是由一个曲面围成.想一想：圆锥和球各有什么特征？如圆柱：特征如两个底面是相等的圆等。
圆锥：特征如象锥子，底面是个圆等。
棱柱：特征如底边是多边形，侧面是长方形等。
但这类特征并非是要做出严密的、科学的结论，可因观察者的视角变化而变化。
2．生活中的立体图形都是由最基本几何图形组成的，其中线是由点组成的，面是由线构成的，体是由面围成的。
用运动的观点看，即“点动成线、线动成面、面动成体”。
3．几何体与其表面展开图之间的互相关系，即折叠与展开关系，不仅是一个思考过程，也是一个实际操作过程。
几何体展开得到的平面图形不是唯一的，剪开的方式不同，得到的平面展开图是不一样的。
因此考虑问题必须要周全，否则，容易在解题时因考虑不周而导致出错。
4．在观察过程中，从不同方向观察同一物体可能看到不同的结果，所以一般要从正面、左面、上面三个不同的方向进行观察，才能描述出正确的几何体。
5．同一个几何体，可以有不同的截面，反过来，同一个截面，可存在于不同的几何体中。
仅凭一个截面，往往是推不出原来的几何体的。
如用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是圆锥、三棱柱、正方体或长方体，而一个圆柱可截出圆、长方形或正方形等。
2012年中考数学总复习重点知识专题讲解《动态几何与函数问题》
解： （1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。
∴PM＝DC＝12
∵QB＝16－t，∴S＝ ×12×(16－t)＝96－t
（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点
为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。
①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中， ，由PQ2＝BQ2
（2）求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH的长度实际上就是后面PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下.
方法二、由 ，得 ，进而可得
，得 ，∴ ．∴ ．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
，
【例5】
如图，在 中， ， ， ， 分别是边 的中点，点 从点 出发沿 方向运动，过点 作 于 ，过点 作 交 于
，当点 与点 重合时，点 停止运动．设 ， ．
（1）求点 到 的距离 的长；
【解析】
（1）证明：设 ， ， 与 的面积分别为 ， ，
由题意得 ， ．
， ．
，即 与 的面积相等．
（2）由题意知： 两点坐标分别为 ， ， (想不到这样设点也可以直接用X去代入,麻烦一点而已)
2012年中考数学二轮复习讲义专题几何图形的归纳,猜想,证明(精)
飘蓝工作室出品版权所有 @ 精英数学 (2012年中考数学二轮专题几何图形的归纳 , 猜想 , 证明问题第一部分真题精讲【例 1】 2011,海淀,一模如图, n +1个边长为 2的等边三角形有一条边在同一直线上,设211B D C ∆的面积为1S , 322B D C ∆的面积为2S , … , 1n n n B D C +∆的面积为 n S ,则 2S n S n 的式子表示 .C 5C 4C 3C 2C 1B B B 2B A【思路分析】拿到这种题型,第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。
本题还好,将阴影部分标出,不至于看错。
但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是22B AC ∆, 33B AC ∆这种的 , 第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系 . 首先 2S 所代表的三角形的底边 2C 2D 是三角形 2AC 2D 的底边 , 而这个三角形和△ 3AC 3B 是相似的 . 所以边长的比例就是2AC 与 3AC 的比值 .于是212223S = 接下来通过总结 , 我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等 ,B 点,将阴影部分放在反过来的等边三角形中看。
那么既然是求面积,高相等,剩下的自然就是底边的问题了。
我们发现所有的 B,C 点连线的边都是平行的, 于是自然可以得出 nD 自然是所在边上的 n+1等分点 . 例如 2D 就是 2B 2C 的一个三等分点 . 于是 1121n nn D C n +-=⋅+(n+1-1是什么意思 ? 为什么要减1?11122n n n B D C n n S D C +∆== 【例 2】 2011,山西,一模在平面直角坐标系中,我们称边长为 1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形,如图,菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 (80 -, , (04 , , (80 , , (04 -, ,则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 _______个;若菱形 n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为 (20 -, n , (0 , n , (20 , n , (0 -, n (n 为正整数 ,则菱形 n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为 _________(用含有 n 的式子表示 .飘蓝工作室出品版权所有 @ 精英数学 (【思路分析】此题方法比较多,例如第一空直接数格子都可以数出是 48(笑。
2012年中考数学知识点备考复习9.doc
八．几何计算题选讲几何计算题历年来是中考的热点问题。
几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。
解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。
一、三种常用解题方法举例例1． 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ，与对角线AC交于P ，PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长. 解法一：（几何法）连结OT ，则OT ⊥CD ，且OT=21AB ＝5 BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2=CP ·CA. ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54.∵PE ∥BC ∴AC AP BC PE =，PE=5554×5=4. 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件. 解法二：（代数法） ∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE =. ∴21==AB CB AE PE . 设：PE=x ，则AE=2 x ，EB=10–2 x .连结PB. ∵AB 是直径，∴∠APB=900.在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE . ∴21==AE PE EP EB .∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ）. 解得x =4. ∴PE=4.说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系. 解法三：（三角法）连结PB ，则BP ⊥AC.设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α，在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α. 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55.∴sin α=55555=, COS α=5525510=.∴PE=10×55255⨯=4. 说明：在几何计算中，必须注意以下几点：（1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.（2） 注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化. （3） 注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用. 二.其他题型举例例2.如图，ABCD 是边长为2 a 的正方形，AB 为半圆O 的直径，CE 切⊙O 于E ，与BA 的延长线交于F ，求EF 的长.分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.解：连结OE ，∵CE 切⊙O 于E ， ∴OE ⊥CF ∴△EFO ∽△BFC ，∴FB FE BC OE ，又∵OE=21AB=21BC ，∴EF=21FB 设EF=x ，则FB=2x ，FA=2x –2a∵FE 切⊙O 于E ∴FE 2=FA ·FB ，∴x 2=（2x –2a ）·2x 解得x =34a ， ∴EF=34a. 例3．已知：如图，⊙O 1 与⊙O 2相交于点A 、B ，且点O 1在⊙O 2上，连心线O 1O 2交⊙O 1于点C 、D ，交⊙O 2于点E ，过点C 作CF ⊥CE ，交EA 的延长线于点F ，若DE=2，AE=52 （1） 求证：EF 是⊙O 1的切线；（2） 求线段CF 的长； （3） 求tan ∠DAE 的值. 分析：（1）连结O 1A ，O 1E 是⊙O 2的直径，O 1A ⊥EF ，从而知 EF 是⊙O 1的切线.（2）由已知条件DE=2，AE=52，且EA 、EDC 分别是⊙O 1的切线和割线，运用切割线定理EA 2=ED ·EC ，可求得EC=10.由CF ⊥CE ，可得CF 是⊙O 1的切线，从而FC=FA.在Rt △EFC 中，设CF= x ，则FE= x +52.又CE=10，由勾股定理可得：（x +52）2= x 2+102，解得 x =54.即CF=54.（3）要求tan ∠DAE 的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE 的直角三角形；②把求tan ∠DAE 的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值. 解：（1）连结O 1A ，∵O 1E 是⊙O 2的直径，∴O 1A ⊥EF ∴EF 是⊙O 1的切线..（2）∵DE=2，AE=52，且EA 、EDC 分别是⊙O 1的切线和割线 ∴EA 2=ED ·EC ，∴EC=10由CF ⊥CE ，可得CF 是⊙O 1的切线，从而FC=FA.在Rt △EFC 中，设CF= x ，则FE= x +52.又CE=10，由勾股定理可得：（x +52）2= x 2+102，解得 x =54.即CF=54.（3）解法一：（构造含∠DAE 的直角三角形） 作DG ⊥AE 于G ，求AG 和DG 的值.分析已知条件，在Rt △A O 1E 中，三边长都已知或可求（O 1A=4，O 1E=6），又DE=2，且DG ∥A O 1（因为DG ⊥AE ），运用平行分线段成比例可求得DG=,354,34=AG 从而tan ∠DAE=55. 解法二：（等角转化）连结AC ，由EA 是⊙O 1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan ∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求AC AD 的值即可.观察和分析图形，可得△ADE ∽△CAE ，551052===CE AE AC AD .从而tan ∠ACD=55=AC AD ，即tan ∠DAE=55. 说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF 的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE 的长. （2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.例4.如图，已知矩形ABCD ，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AC 、AB 于M 、E ，CE 的延长线交⊙A 于F ，CM=2，AB=4.（1） 求⊙A 的半径；（2） 求CF 的长和△AFC 的面积. 解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB=4，在Rt △ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2，∴（2+AD ）2=42+AD 2，解得AD=3.（2） A 作AG ⊥EF 于G.∵BG=3，BE=AB ―AE=1，∴CE=10132222=+=+BEBC由CE ·CF=CD 2，得CF=105810422==CE CD .又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA ，∴△BCE∽△GAE.∴AE CE AG BC =，即,3103=AG S △AFC =21CF ·AG=536. 例5.如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=4，S △ABC =36，∠B 为锐角，且关于x 的方程x 2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D 是劣弧AC 上的任一点（点D 不与点A 、C 重合），DE 平分∠ADC ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F.（1） 求∠B 的度数；（2） 求CE 的长.分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.解：（1）∵关于x 的方程x 2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，∴Δ=（-4cosB ）2-4=0.∴cosB=21，或cosB=-21（舍去）. 又∵∠B 为锐角，∴∠B=600.（2） 点A 作AH ⊥BC ，垂足为H. S △ABC =21BC ·AH=21BC ·AB ·sin600=36，解得AB=6 在Rt △ABH 中，BH=AB ·cos600=6×21=3，AH=AB ·sin600=6×3323=，∴CH=BC-BH=4-3=1. 在Rt △ACH 中，AC 2+CH 2=27+1=28.∴AC=72±（负值舍去）.∴AC=72.连结AE ，在圆内接四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=1800，∴∠ADC=1200.又∵DE 平分∠ADC ，∴∠EDC=600=∠EAC. 又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC ，∴CE=AC=72.例6. 已知：如图，⊙O 的半径为r ，CE 切⊙O 于点C ，且与弦AB 的延长线交于点E ，CD ⊥AB 于D.如果CE=2BE ，且AC 、BC 的长是关于x 的方程x 2–3（r –2）x+ r 2–4=0的两个实数根.求（1）AC 、BC 的长；（2）CD 的长. 分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB ∽△EAC ，AC=2BC.又∵AC 、BC 是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC 、BC 的方程组求解.（2）∵CD 是Rt △CDB 的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C 作直径CF ，连结AF ，则Rt △CDB ∽Rt △CAF ，据此可列式计算.解：（1）∵CE 切⊙O 于C ，∴∠ECB=∠A.又∵∠E 是公共角，∴△ECB ∽△EAC ，21==CE BE AC BC ，∴AC=2BC.由AC 、BC 的长是关于x 的方程x 2–3（r –2）x+ r 2–4=0的两个实数根，∴AC+BC=3（r-2）；AC ·BC=r 2-4，解得r=6，∴BC=4，AC=8.（2） CO 并延长交⊙O 于F ，连结AF ，则∠CAF=900，∠CFA=∠CBD. ∵∠CDB=900=∠CAF ，∴△CAF ∽△CDB ，BC CF CD AC =.∴CD=381248=⨯=⋅CF BC AC . 说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.例7.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B. （1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=CE ∶EB=6∶5，AE ∶EB=2∶3，求AB 的长和∠FCB 的正切值. 解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=900. ∴∠CAB+∠B=900，又∠PAC=∠B ，∴∠CAB+∠PAC=900.即PA ⊥AB ，∴PA 是⊙O 的切线. （2） 设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a ，EB=3 x.由相交弦定理，得2x ·3x=5a ·6a ∴x=5a. 连结AD.由△BCE ∽△DAE ，得553==ED EB AD BC .连结BD.由△BED ∽△CEA ，得25==AE BE AC BD . ∴BD=54.由勾股定理得BC=228-AB ，AD=2)54(-AB .∴553)54(82222=--AB AB .两边平方，整理得1002=AB ，∴10=AB （负值舍去）. ∴AD=52.∵∠FCB=∠BAD ，∴tan ∠FCB= tan ∠BAD=25254==AD BD . 解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.。
2012年中考数学一轮复习精品讲义(第4章图形认识初步)
第四章 图形认识初步题型一 计算几何图形的数量1．数直线条数例1 已知n (n ≥2)个点P 1，P 2，P 3，…，P n 在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上．设S n 表示过这n 个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S 2=1，S 3＝3，S 4＝6，S 6＝10，…，由此推断，S n ＝ .答案：(1)2n n - 点拨经过第一个点可以引出(n －1)条直线，经过第二个点可以新引出(n －2)条直线，经过第三个点可以新引出(n －3)条直线，…，所以n 个点一共可以引出S n ＝ (n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋1＝(1)2n n -条直线．2．数线段条数例2 如图4—4—1所示，C 、D 为线段AB 上的任意两点，那么图中共有多少条线段?解：按照从左到右的顺序去数线段条数，以A 为一个端点的线段有3条：AC 、AD 、AB ；以C 为一个端点的新线段有2条：CD 、CB ；以D 为一个端点的新线段有1条：DB ．所以共有线段3＋2＋1＝6(条)．点拨线段的条数与线段上固定点(包括线段两个端点)的个数有密切联系，线段上有n 个点(包括线段两个端点)时，共有线段(1)2n n -条．例3 小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢?小明通过认真思考得出了答案．为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行探究：参加人数2 3 4 5 … 握手示意图握手次数 1 2＋1=3 3＋2＋1=6 4＋3＋2＋1=10 … 请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论．分析：本题研究的是握手次数问题，但可以将此问题转化成研究平面上的点构成线段的条数问题．这里把每个人看作一个点，根据图表中的信息，通过探究推理可得到问题的答案． 解：若有6人参加，则共握手15次．结论：若有n (n ≥2，且n 为整数)人参加，则共握手(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋4＋3＋2＋1＝(1)2n n - (次)．点拨解决此类问题的关键是将实际问题抽象转化为平面图形的具体计数问题。
2012中考辅导：初中几何146条实用知识
2012中考辅导：初中几何146条实用知识2012中考临近，初三生已经进入到最后的备考冲刺阶段。
那么，如何在冲刺阶段查漏补缺、夯实基础呢？为方便考生复习中考数学，整理出初中几何146条实用知识，希望考生能够及时查看。
1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c 有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=÷2S=L×h83、比例的基本性质如果a：b=c：d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a：b=c：d84、合比性质如果a/b=c/d，那么/b=/d85、等比性质如果a/b=c/d=…=m/n，那么/=a/b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三个点确定一条直线110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111、推论 1 ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118、推论2 半圆所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121、①直线L和⊙O相交d﹤r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d﹥r122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127、圆的外切四边形的两组对边的和相等128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135、①两圆外离d﹥R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r﹤d﹤R+r④两圆内切d=R-r⑤两圆内含d﹤R-r136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137、定理把圆分成n：⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139、正n边形的每个内角都等于×180°/n140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形141、正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长142、正三角形面积√3a/4a表示边长143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×180°/n=360°化为=4 144、弧长计算公式：L=n∏R/180145、扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2146、内公切线长=d-外公切线长=d-。
2012年中考数学--各年级各章节知识点梳理
各章节知识点梳理第一章 有理数1．有理数 (1) 有理数的分类 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0注：正数——比0大的数，负数——比0小的数。
(2) 用正负数表示具有相反意义的量 ①正数大于0，0大于负数，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小。
2．数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
（1）数轴的三要素：原点、正方向（一般取向右为正方向）、单位长度（要统一、恰当）； （2）实数和数轴上的点是一一对应关系，即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点。
例如，无理数2在数轴上的表示，我们可以在数轴上以一个单位作一个正方形，然后以原点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点P 就是表示无理数2，如下图所示：类似的，还可以在数轴上中找到表示,7,5,3……的点。
（3）数轴上的数越往右边的越大； （4）作用：A.直观地比较实数的大小；B.明确体现绝对值意义；C.建立点与实数的一一对应关系。
3．相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数； （2）一般地。
a 与a -互为相反数；特别地，0的相反数是0. （3）数轴上与原点等距且在原点两旁 （4）0=+b a ⇔a 与b 是互为相反数4．绝对值（1）绝对值：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(时时时a a a a a a即：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
5．运算律 （1）加法交换律：a b b a +=+ 即：两数相加，交换加数的位置，和不变；（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++即：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； （3）乘法交换律：ba ab = 即：两数相乘，交换因数的位置，积相等； （4）乘法结合律：)()(bc a c ab = 即：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等；（5）乘法分配律：ac ab c b a +=+)( 即：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
中考几何重要知识点归纳
中考几何重要知识点归纳中考几何是数学科目中的重要组成部分，涵盖了多种几何图形的属性、定理和证明方法。
以下是中考几何的重要知识点归纳：一、基本概念- 点、线、面：点是几何图形的基本元素，线是由点组成的一维图形，面是由线组成的二维图形。
- 直线、射线、线段：直线是无限延伸的线，射线有一端点，另一端无限延伸，线段是有限长度的线。
- 角度：角度是两条射线的夹角，可以是锐角、直角或钝角。
- 相似和全等：两个图形在形状和大小上完全相同称为全等，形状相同但大小不同称为相似。
二、平面几何图形- 三角形：包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形等，以及它们的内角和定理、外角定理等。
- 四边形：包括矩形、平行四边形、梯形等，以及它们的对角线性质、面积计算方法。
- 圆：涉及圆的性质、圆周角定理、弧长计算、扇形面积等。
三、立体几何图形- 棱柱、棱锥：包括正方体、长方体、金字塔等，以及它们的体积和表面积计算。
- 圆柱、圆锥、球：涉及它们的体积和表面积计算，以及圆锥的高和底面半径的关系。
四、几何证明方法- 反证法：假设结论的反面成立，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原结论的正确性。
- 归纳法：从个别事实出发，通过归纳得出一般性的结论。
- 演绎法：从已知的一般性结论出发，通过逻辑推理得出个别事实的结论。
五、几何变换- 平移、旋转、反射：这些是几何图形的基本变换，可以改变图形的位置或方向，但不改变其形状和大小。
- 相似变换：保持图形形状不变，改变图形的大小。
六、几何问题解决技巧- 画图辅助：在解决几何问题时，画图可以帮助直观理解问题，发现问题的关键点。
- 利用已知条件：在解题过程中，要充分利用题目给出的条件，进行逻辑推理。
- 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，或者将不熟悉的问题转化为熟悉的问题。
结束语：掌握中考几何的这些重要知识点，能够帮助学生在考试中迅速准确地解决问题。
通过不断的练习和思考，可以提高解决几何问题的能力，从而在中考中取得优异的成绩。
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2012年中考数学总复习重点知识专题讲解第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题【知识点诠释】实行新课标以来,中考加大了对考生归纳,总结,猜想这方面能力的考察,但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察,所以大多放在填空压轴题来出。
08年的中考填空压轴是一道代数归纳题,已经展现出了这种趋势。
09年的一模,二模也只是较少的区县出了这种归纳题,然而中考的时候就出了一道几何方面的n 等分点总结问题。
于是今年的一模二模,这种有关几何的归纳,猜想问题铺天盖地而来,这就是一个重要的风向标。
而且根据学生反映,这种问题一般较难,得分率很低,经常有同学选择+填空就只错了这一道。
对于这类归纳总结问题来说,思考的方法是最重要的,所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。
第一部分真题精讲【例1】2010,海淀,一模如图,n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设211B D C ∆的面积为1S ,322B D C ∆的面积为2S ,…,1n n n B D C +∆的面积为n S ,则2S = ;n S=____ (用含n 的式子表示.C 5C 4C 3C 2C 1B A【思路分析】拿到这种题型,第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。
本题还好,将阴影部分标出,不至于看错。
但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是22B AC ∆,33B AC ∆这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先2S 所代表的三角形的底边2C 2D 是三角形2AC 2D 的底边,而这个三角形和△3AC 3B 是相似的.所以边长的比例就是2AC 与3AC 的比值.于是212223S =接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,有的B 点,将阴影部分放在反过来的等边三角形中看。
那么既然是求面积,高相等,剩下的自然就是底边的问题了。
我们发现所有的B,C 点连线的边都是平行的,于是自然可以得出 n D 自然是所在边上的n+1等分点.例如2D 就是2B 2C 的一个三等分点.于是1121n n n D C n +-=⋅+(n+1-1是什么意思?为什么要减1?11122n n nBD C n n S D C +∆==【例2】2010,西城,一模在平面直角坐标系中,我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形,如图,菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80-,,(04,,(80,,(04-,,则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个;若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20-,n ,(0,n ,(20,n ,(0-,n (n 为正整数,则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为_________(用含有n 的式子表示.【思路分析】此题方法比较多,例如第一空直接数格子都可以数出是48(笑。
这里笔者提供一种方法,其他方法大家可以自己去想想看。
因为求的是菱形包涵的正方形个数,所以只需求出被X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数,再乘以4即可。
比如我们来看第二象限那个三角形。
第二象限菱形那条边过(-2n,0(0,n,自然可以写出直线解析式为12y x n =+, 斜率12意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n 个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是12?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB 的面积自然就是122n n ⋅⋅,所有n 个空白小三角形的面积之和为1212n ⋅⋅⋅,相减之后自然就是所有格点正方形的面积2n n -,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是244n n -.【例3】2010,平谷,一模如图,45AOB ∠=︒,过OA 上到点O 的距离分别为1357911...,,,,,的点作OA 的垂线与OB 相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为1234S S S S ,,,,.则第一个黑色梯形的面积1S = ;观察图中的规律,第n (n 为正整数个黑色梯形的面积n S = .A...1311975310【思路分析】本题方法也比较多样。
所有阴影部分都是一个直角梯形,而因为45AOB ∠=︒,所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。
第一个梯形上底是1,下底是3,所以(1113242S =⋅+⋅=.第二个梯形面积(21572122S =⋅+⋅=,第三个是(319112202S =⋅+⋅=,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。
于是第n 个梯形的上底就是1+4(n-1=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1个4.下底自然就是4n-1,于是n S 就是8n-4.【例4】2010,丰台,一模在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1,A 2B 2C 2D 2,A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有个.【思路分析】此题看似麻烦,但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。
对于A B C D来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数n n n n就是2n+1,所以四条边上整点一共有(2n+1x4-4=8n(个(要减去四个被重复算的顶点,于是10101010A B C D就是80个.【例5】2010,宣武,一模如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边做垂线,画出一个新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止,此时这个三角形的斜边长为_____.本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的【思路分析】规律联系。
关键词“中点” “垂线” “等腰直角” 。
这就意味着每个三角形的锐角都是 45 度，幵且直角边都是上一个三角形直角边的一半。
绕一圈是 360 度，包涵了 8 个 45°。
于是绕到第八次就可以和 BC 重叠了，此时边长为△ABC 的 8 ，故而得解。
1 【例6】2010，门头沟，一模如图，以等腰三角形 A O B 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 A B A ，再以等腰直角三角形 A B A 的斜边为直角边向外作第 3 个等 1 1 腰直角三角形 A B B ，……，如此作下去，若，则第 n 个等腰 1 1 直角三角形的面积（n 为正整数）. B2 A1 A O B B1 【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。
还是一样慢慢找小三角形面积的规律。
由题可得 1,2,4,8,16 这样的数列。
于是，，3 ，分子就是几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列【总结】问题，只丌过需要考生自己找出图形不图形之间的联系而已。
对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。
最后根据这些联系列出通项去求解。
在遇到具体关系很难找的问题时，丌妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例 6 就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。
这类题目计算量往往丌大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。
第二部分发散思考【思考 1】2009，西城，二模如图，在平面直角坐标系 xOy 中， B B 3 (0, 6 1 (0,1 ，B 2 (0, 3 ，，，以 B B 为对角线作第一个正方形 A B C B ，…， 1 2 1 1 1 2 B 4 (0,10 以 B2 B3 为对角线作第二个正方形 A 2 B2 C 2 B3 ，以 B 3 B4 为对角线作第三个正方形 A B C 3 3 3B4 ，…，如果所作正方形的对角线都在 n y 轴上，且的长度依次增加 1 个单位，顶点 A 都在第一象 n 1 限内（n≥1，且 n 为整数）．那么 A 的纵坐标为；用 n的代数式表示 A 的纵坐标： n ．【思考 2】2009，朝阳，二模如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点 P 处开始跳动，第一次跳到点 P 关于 x 轴的对称点P1 处，接着跳到点 P1 关于 y 轴的对称点 P2 处，第三次再跳到点 P2 关于原点的对称点处，…，如此循环下去．当跳动第 2009 次时，棋子落点处的坐标是．【思考 3】2009，昌平,一模对于大于戒等于 2 的自然数 n 的平方迚行如下“分裂” ，分裂成 n 个连续奇数的和，则自然数 72 的分裂数中最大的数是数 n 2 的分裂数中最大的数是 . ，自然 1 3 1 3 5 【思考 4】2009，延庆，一模一个质点在第一象限及 x 轴、 y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到 ( 0 1，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即，且每秒秱动一个单位，那么第 35 秒时3 2 1 … 0 1 2 3 x y (0，，，，质点所在位置的坐标是_______ 【思考5】2009，海淀，二模如图，将边长为 1 的正方形纸片从左到右顺次摆 A1 A2 A3 A4放，其对应的正方形的中心依次为A1, A2, A3, ….①若摆放前 6 个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为；②若摆放前 n（n 为大于 1 的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 . 第三部分思考题解析【思考 1 答案】2；【思考 2 答案】（3，－2）【思考 3 答案】13；2n-1 【思考 4 答案】（5，0）【思考 5 答案】10，。