六年级奥林匹克数学十七 容斥原理(二)
六年级数学专题详解 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素的个数。
在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。
即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。
例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。
A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。
A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。
A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。
2容斥相关
容斥原理（1）容斥原理（2）知识点-并集：A 和B 并集是有所有A 的元素和所有B 的元素，而没有其他元素的集合。
A 和B 的并集通常写作"A ∪B"。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理是公务员考试行政职业能力测验数量关系中较难的一类题，一般的解题思路有两种：1、公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目；2、文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。
一般而言，能够直接代入公式的题较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。
如果考生能够对公式中的各个要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。
例：某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。
现已知参加英语小组的有17人。
参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？A.15B.16C.17D.18对于这道题，一般思路为：将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：（13-5-x-y）+（17-5-x-y）+（30-5-x-y）+x+y+z+5=35，从而得到x+y+z=15，即为所求。
该方法是利用文氏图和列方程的方法进行解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：解法1：文氏图与三集合标准型公式相结合。
三集合标准型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。
将语文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=30。
六年下册奥数试题- 容斥原理(二) 全国通用(含答案)
第10讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1 有333个。
能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。
能被7整除的自然数有多少个？1000÷7=142……6 有142个。
六年级《容斥原理》奥数教案
星系站备课教员：第二讲容斥原理一、教学目标： 1. 理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2. 培养逻辑思维和数学思考能力。
3. 培养良好的书写习惯。
二、教学重点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。
三、教学难点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）师：一个家庭里有2个爸爸和2个儿子，同学们你们知道这个家庭有几个人吗？生1：4个啊，2+2=4啊。
生2：一个家庭怎么会有2个爸爸呢？师：这问题问的太好了，同学们，你爸爸叫你爷爷叫什么？生：爸爸啊。
师：那你爷爷管你爸爸叫什么呢？生：儿子。
师：所以这个家庭有几个人啊？生：3个。
师：也就是说爸爸既是爸爸也是儿子对吗？生：是的。
师：所以对于重复的题，我们在计算的时候要排除。
也就是我们这节课所要学习的内容。
【板书课题：容斥原理】二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
师：同学们，最后班主任问了什么问题？生：谁语文、数学作业都没有做完？师：是的，但是有没有人举手啊？生：没有。
师：那说明什么？生：全班的人都至少做完一门作业。
师：至少做完一门作业都包括什么呢？生：只做完数学作业，只做完语文作业，语文、数学作业都做完。
师：现在我把我们班分成三组，第一组代表只做完语文作业的，第二组代表语文、数学都做完的，第三组代表只做完数学作业的，都明白自己都代表什么吗？生：明白。
师：那么我们班的人数怎么求？生：就等于三个组的人数和。
师：如果我问谁做完语文作业，那么哪些人会举手？生：第一组和第二组的人。
师：这些人有多少个？生：……（根据实际情况的人数）师：那如果我问谁做完数学作业呢？生：第二组和第三组的人。
实用的计数原理之容斥原理(内含大量实例和详细分析)
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
小学数学奥林匹克辅导小升初专题容斥原理
小学奥林匹克数学辅导-----------容斥原理在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A ＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。
例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，⋯｝是一个具体有无限多个元素的集合。
例2 C=｛在1，2，3，⋯，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，⋯，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母A、B、C、⋯表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符|A| 、| B| |C|、⋯表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。
例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
下面再举例介绍补集的概念。
例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。
补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
容斥原理的三大公式
容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）是概率论和组合数学中常用的一种技巧，用于解决计数问题。
它通过对各种情况的交集和并集进行适当的计算，避免了重复计数或漏计的问题。
容斥原理的三大公式是指在应用容斥原理时常用的三个公式：
1.二项式容斥原理：
对于给定的事件A和B，二项式容斥原理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式表示，两个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们的交集概率。
2.三个事件的容斥原理：
对于给定的事件A、B和C，三个事件的容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。
这个公式表示，三个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们的三个事件的交集概率。
3.n个事件的容斥原理：
对于给定的n个事件Ai（1≤i≤n），n个事件的容斥原理可以表示为：
P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) -ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ... + (-1)^(n-1) * P(A1∩A2∩...∩An)。
这个公式表示，n个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们三个事件的交集概率之和，依此类推，最后加上或减去n 个事件的交集概率。
这些容斥原理的公式可以帮助我们在计算概率或解决组合数学问题时进行正确的计数，避免了重复计数或漏计的错误。
【精品】通用版2022年六年级奥数精品讲义易错专项高频计算题-容斥原理(含答案)
通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计数问题:容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C【经典例题】例1：聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有（）人参加聚会．A、18B、12C、10分析：由题意可知，聚会人数=喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数-既喝果汁又喝茶水的人数即可．解：5+6+4-3=12（人）答：共有12人参加聚会．故选：B点评：此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题一．选择题1．三（1）班有30人，订阅《少儿书画》的有20人，订阅《少年博览》的有25人，每人至少订阅一种刊物，两种刊物都订阅的有()人．2．某班同学积极参加跳绳比赛，参加集体比赛的有10人、参加个人比赛的有19人，两项都参加的有8人，这个班共有()人参加跳绳比赛．A．21B．27C．29D．373．同学们去秋游，休息时玩了2个游戏．玩贴鼻子的有27人，玩抢椅子的有34人，两个游戏都玩的有11人，参加秋游的同学共()人．A．72B．61C．504．一班进行语文、数学测试，得优的共30人．其中语文得优的有18人，两科全得优的有9人，数学得优的有()人．A．3B．12C．215．某单位职工24人中，有女性11人，已婚的16人．在已婚的16人中有女性6人．问这个单位的未婚男性有多少人？()A．1B．3C．9D．126．小强和小刚经常向王爷爷借书来读．已知王爷爷有100本书，其中小强读过的书有60本，小刚读过的书有50本，两人都读过的书有20本，那么() A．两人都没读过的书有20本B．小强读过但小刚没读过的书有30本C．小刚读过但小强没读过的书有40本D．只有一人读过的书有70本7．同学们去动物园游玩，参观猴馆的有31人，参观孔雀馆的有26人，参观两个馆的有20人．每位同学至少参观这两馆中的一个，则去动物园的一共有( )人8．三（1）班喜欢读书的有28人，喜欢运动的有31人，既喜欢读书又喜欢运动的有12人，三（1）班共有()人．（每人至少选一项喜欢的）A．59B．35C．479．三（1）班有学生45人，喜欢喜羊羊的有38人，喜欢美羊羊的有36人，每个学生至少喜欢喜羊羊和美羊羊中的一个，既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的有( )人．A．12B．29C．3310．下列4句话中正确的说法是哪些？()（1）步测一段距离，每步的平均长度和走的步数成反比例．（2）用4个圆心角是90 的扇形肯定可以拼成一个圆．（3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，放在一个不透明的袋子里，任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等．（4）一个班有40名学生，其中有18人参加美术组，15人参加数学组，有10人这两个小组都参加，那么这两个小组都没参加的有17人．A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）二．填空题11．三（1）班有32人订阅了《小学科学》，有24人订阅了《纸上天文馆》，有12人两种刊物都订阅了，每人至少订阅了其中的一种刊物，三（1）班共有人。
小学奥数：容斥原理之重叠问题(二).专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标 知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。
容斥原理公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
小学奥数计数问题之容斥原理知识点
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22 又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。 然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。
经典例题：
例1、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每 人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队 的有()人. 考点：重叠问题. 分析：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可. 解答：解：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理， 有20+12+10-6-2-x=30， 解得x=4. 故答案为：4. 点评：此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力. 例2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出 第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1 人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是() 解答：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2 题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……② 由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知：a1=a2+a3……④ 再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
奥数训练专题——容斥原理2
容斥原理1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人•其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人•而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人2、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好•问：既爱打篮球又爱打排球的有几人3、四年级一班有46名学生参加3项课外活动•其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3. 5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人•求参加文艺小组的人数.（6级）4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项•其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.（6级）5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42 人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人（6级）&新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出•如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人7、五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍,既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数.8、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人.问：有多少人只爱好科学和文艺两项只爱好体育的有多少人9、在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡, 6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问：三种都带了的有几人只带了一种的有几个9、盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.10、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀.若全班有6个人数学不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生有几个人既会游泳，又会滑冰11、在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓; 11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子•如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？①有______人摘了山莓；②有______ 人同时摘了三种水果；③ 有_____人只摘了山莓；④ 有_____ 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有______人只摘了草莓•12、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人•那么，参加B组的有多少人13、五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人14、某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛图形中的重叠问题1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长2、把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条. 已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长3、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米图34、如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.5、一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积. &三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是10平方 厘米•三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米•问：图中阴影部分面积之和是多少 7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于 60平方厘米•阴影部分的 面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多 少平方厘米8、如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片， 它们重叠在一起，露在外面的总面积为 38 •若A 与B 、B 与C 的公共部分的 面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3 •求A 与C 公共部 分的面积是多少容斥原理在数论问题中的应用1、在1〜100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个2、在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个3、在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个1210厘米, 10CA •B ■■■ 10'4、在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个5、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数.5、以105为分母的最简真分数共有多少个它们的和为多少7、分母是385的最简真分数有多少个并求这些真分数的和8、在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有____________ 个.9、在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个10、50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1，2，3,…，49, 50依次报数; 再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名11、有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1, 2, 3,…，2000, 然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏12、写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关, 第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏13、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券•按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支14、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________ .15、一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段.16、一根1-8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍容斥原理中的最值问题1、将1〜13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的后把13个区域中，然每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少2、如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星•如果每条线段上恰有 那么在这个五角星上红色点最少有多少个 3、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球•那么，这个 班至少有多少学生这三项运动都会4、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20 人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 _________ 人.2 3 45、60人中有3的人会打乒乓球，4的人会打羽毛球，5的人会打排球，这三项运动都会的人有 22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人& 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名.已知这 100本书中有甲、乙、丙签名的 分别有33, 44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为 中的任何一人借阅过7、甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始，按顺 序往后读.已知甲读了 75个故事，乙读了 60个故事，丙读了 52个故事.那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有多少个琢40 I 孔乙35 1 乙268、在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100盆花浇水，已知甲浇了 30盆，乙浇了75盆，丙浇了 80盆，丁浇了 90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆恰好被 1个 人浇过的花最多有多少盆1994个点被染成红色,36本.问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙 乙9、甲、乙、丙同时给100盆花浇水•已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3 人都浇过的花最少有多少盆。
6年级 奥数 容斥原理
姓名
居室
门厅
厨房
厕所
总面积
小明家
14
12
8
4
38
小龙家
20
12
8
4
44
他们住的这套房子共有多少平方米？
课后作业
1.100个小朋友做游戏，每人至少拿一面旗，其中56人拿小红旗，52人拿小黄旗。几人既拿小红旗又拿小黄旗？
容斥原理
专题解读：
在数学中，我们经常会碰到重复包含的现象。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称之为容斥原理，也称包含排除原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答血多抽象的数学问题。
例1.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑自行车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
5.某班学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试。有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的人数如下表。求这个班的学生数？
短跑
游泳
篮球
短跑、游泳
游泳、篮球
短跑、篮球
短跑、游泳、篮球
17
18
15
6
6
5
2
课堂检测
1六一班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问两项比赛都参加的有几人？
例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。
短跑
投掷
跳远
短跑、跳远
短跑、投掷
六年级奥林匹克数学十七 容斥原理(二)
十七、容斥原理（二）1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为 人.2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了 个病人.3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住(平方厘米).4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有 个.5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有 人.6.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm 2)并知A 、B两圆重叠的面积是20(cm 2),A 、C 两圆重叠的面积为45(cm 2),B 、C 两圆重叠面积为31(cm 2),三个圆共同重叠的面积为15(cm 2),求盖住桌子的总面积是 平方厘米.7.在一次考试中,100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有 人.全班45人中两科都不得100分的有 人.8.在1,2,3,…,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有 个.9.小于1000的自然数中,是完全平方数而不是完全立方数的数有 个.2 AB C10.某校有学生960人,其中有510人订阅“作文报”,有330人订阅“数学报”,有120人订阅“科学爱好者”,全校学生中有270人订阅两种报刊,有58人三种报刊都订,那么这学校中没有订阅任何报刊的有人.11.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.求(1)只得短跑奖的人数;(2)得二项奖的总人数;(3)一项奖均未得的人数.12.64人订A、B、C三种杂志.订A种杂志的28人,订B种杂志的有41人,订C种杂志的有20人, 订A、B两种杂志的有10人,订B、C两种杂志的有12人,订A、C两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?13.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.14.夏日的一天,有10个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可；有5个人要咖啡；有5个人要果汁；有3个人既要可可又要果汁；有2个人要可可又要咖啡；有3个人要咖啡又要果汁；有1个人既要可可、咖啡又要了果汁.求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要.十七、容斥原理（二）(答案）第[1]道题答案：127从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人)从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人).第[2]道题答案：224从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人).内科150人外科92人18人第[3]道题答案：10.75把两个正方形面积加起来得22+32=13,但其中多算了一块阴影部分的面积,这部分面积为1.52=2.25(平方厘米),故两个正方形盖住的总面积是22+32-1.52=13-2.25=10.75(cm 2)第[4]道题答案：15不超过30的3的倍数有10330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),不超过30的4的倍数有7430=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个);不超过30的3⨯4=12的倍数有24330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),因此不超过30的正整数中是3的倍数,或是4的倍数的数共有10+7-2=15(个).第[5]道题答案：41如图所示,易知总人数为(15+12-7)+21=41(人).第[6]道题答案：219由容斥原理知,盖住桌面的总面积为100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).第[7]道题答案：23;22至少一科得100分的有17+13-7=23(人),两科都不得100分的有45-23=22(人).第[8]道题答案： 333 在1~1000的自然数中,2的倍数有50021000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),3的倍数有33331000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),2⨯3=6的倍数共有166321000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),故是2或是3的倍数共有500+333-166=667(个),从而既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有1000-667=333(个). 数学 语文 7 17 13第[9]道题答案：28小于1000的自然数中,是完全平方数的有12、22、…,312共31个.其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方数,故符合条件的数有31-3=28(个)第[10]道题答案：121由容斥原理知,或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数为510+330+120-270+58=748(人)故三种报刊都没有订的人数为960-748=212(人).第[11]道题答案：(1)如图,用矩形表示参赛的70个学生,而用三个圆表示分别在跑、跳、投中得奖的人.设x为只得短跑奖的人数,y为只在短跑和弹跳两项得奖的人数,z为只在弹跑与投掷两项得奖的人数,u为只在投掷和短跑两项得奖的人数.则有u=12-5=7(人),z=36-15-12=9(人),y=29-5-7=8(人),x=31-12-8=11(人).即只得短跑奖的有11人.(2)得二次奖的人数为y+z+u=8+9+7=24(人).(3)因至少得一次奖的人数为x+y+z+u+5+7+15=62(人),故一项奖均未得的人数为70-62=8(人).第[12]道题答案：设三种杂志均订的人数为x,则有28+41+20-10-12-12+x=64,解得x=9,即三种杂志都订的有9人.AxB C第[13]道题答案：在1~1994中,能被5整除的个数为39851994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6整除的个数为33261994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被7整除的个数为28471994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6=30整除的个数为66301994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯7=35整除的数为56351994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6⨯7=42整除的个数为47421994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6⨯7=210整除的个数为92101994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).第[14]道题答案：要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.。
奥数容斥问题
奥数容斥问题奥数容斥问题是数学竞赛中一个经典的计数原理问题。
通过运用容斥原理，我们可以解决集合之间的重复计数问题。
本文将介绍奥数容斥问题的定义、原理和应用，并通过具体的例题进行说明。
首先，让我们来了解奥数容斥问题的定义。
在组合数学中，容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。
具体而言，在包含多个集合的问题中，容斥原理帮助我们消除了重复计数的问题。
接下来，我们将详细介绍奥数容斥问题的原理。
假设有n个集合A_1, A_2, ..., A_n，我们的目标是计算它们的并集以及交集中元素的个数。
利用容斥原理，我们可以先计算每个集合的元素个数，再根据交集的元素个数进行加减运算，以消除重复计数的影响。
具体而言，假设A表示所有集合的并集，A_1, A_2, ..., A_n 分别表示这些集合。
根据容斥原理，我们可以得出以下公式：|A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n| = |A_1| + |A_2| + ... + |A_n| - |A_1 ∩ A_2| - |A_1 ∩ A_3| - ... - |A_(n-1) ∩ A_n| + ... + (-1)^(n-1) |A_1 ∩ A_2 ∩ ... ∩A_n|其中，|X| 表示集合 X 的元素个数。
上述公式中，第一项表示每个集合的元素个数之和，第二项表示两个集合的交集元素个数之和，第三项表示三个集合的交集元素个数之和，以此类推。
交替的符号(-1)^(n-1) 用于保证加减运算的正确性。
了解了奥数容斥问题的定义和原理之后，下面我们将通过一个具体的例题来说明其应用。
例题：某班级共有60名学生，其中30人会打乒乓球，40人会弹钢琴，20人既会打乒乓球又会弹钢琴。
请问至少会其中一项技能的学生有多少人？解析：我们可以定义集合 A 表示会打乒乓球的学生，集合 B 表示会弹钢琴的学生。
根据题目给出的信息，我们有 |A| = 30，|B| = 40，|A ∩ B| = 20。
小学奥数知识点 —— 容斥原理
容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
容斥原理公式
容斥原理公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集问题。
容斥原理的应用范围非常广泛，涉及到概率论、组合数学、计算几何等多个领域。
在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算，提高问题求解的效率。
本文将介绍容斥原理的基本概念和公式推导，希望能够帮助读者更好地理解和运用容斥原理。
首先，我们来看容斥原理的基本概念。
容斥原理是指对于给定的集合A，B，C…的交集和并集问题，可以通过容斥原理来求解。
假设A，B，C…是有限集合，那么它们的交集和并集可以表示为：并集，A∪B∪C = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
交集，A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。
其中，|A|表示集合A的元素个数。
这就是容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以方便地求解集合的交集和并集问题。
接下来，我们来看容斥原理的公式推导。
首先，我们可以通过一个简单的例子来理解容斥原理的推导过程。
假设有三个集合A，B，C，我们要求它们的交集。
根据容斥原理的基本公式，交集可以表示为：A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。
这个公式的推导过程可以通过集合的特征函数来解释。
我们定义集合A，B，C的特征函数分别为χA(x)，χB(x)，χC(x)，其中χA(x)表示元素x是否属于集合A。
那么集合的交集可以表示为：A∩B∩C = ΣχA(x)χB(x)χC(x)。
通过特征函数的定义，我们可以将交集的计算转化为特征函数的计算，进而得到容斥原理的公式推导过程。
在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算。
例如，在概率论中，我们经常需要计算多个事件的交集和并集，这时容斥原理可以帮助我们简化计算过程。
在组合数学中，容斥原理也经常用于计算排列组合的问题，提高问题求解的效率。
六年级奥数专题17：容斥原理
十七容斥原理(1)年级班姓名得分一、填空题1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.9.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人. 6二、解答题11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和.13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分(阴影部分)的面积.14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.———————————————答案——————————————————————1. 26从图中可以看出全班45人,借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数71-45=26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。
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A
B C
7.在一次考试中,
100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有 人.全班45人中两科都不得100分的有 人.
8.在1,2,3,?,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有 个.
十七、容斥原理（二）
1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为 人.
2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了 个病人.
3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住
(平方厘米).
2
4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有 个.
5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有 人.
9.小于1000的自然数中,是完全平方.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm)并知A、B
222两圆重叠的面积是20(cm),A、C两圆重叠的面积为45(cm),B、C两圆重叠面积为31(cm),
2三个圆共同重叠的面积为15(cm),求盖住桌子的总面积是 平方厘米.