小波分析小结

小波分析的形成
小波分析是一门数学分支，是继Fourier 变换之后新的时频域分析工具。

小波理论的形成经历了三个发展阶段：
Fourier 变换阶段：
Fourier 变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。

设信号()f t ，其Fourier 变换为：
()()i t F f t e dt ωω∞
--∞
=⎰
()F ω确定了()f t 在整个时间域上的频谱特性。

但Fourier 变换不能对信号从时域和频
域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。

例：()1,(22)f t t =-<=<=，其Fourier 变换对应图如下：
短时Fourier 变换阶段： @
短时Fourier 变换即加窗Fourier 变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier 分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。

其表达式为：
(,)(),()()()j t j t f R
G f t g t e f t g t e dt ωωωτττ-=〈-〉=-⎰
式中，()g t 为时限函数，即窗口函数，j t
e
ω-起频限作用，(,)f G ωτ大致反映了()f t 在τ时、
频率为ω的信号成分含量。

由上式，短时Fourier 变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。

小波分析阶段：
为了克服上述缺点，小波变换应运而生。

小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。

对信号可以进行概貌和细节上
的分析。

小波的定义：
设2
()()t L R ψ∈ （为能量有限的空间信号），其Fourier 变换为()ψω，若满足
容许条件：
—
2
|()|||d ψωωω∞
-∞<+∞⎰
则称()t ψ为母小波，由容许条件可得：(0)()0t dt ψψ∞
-∞
==⎰，说明()t ψ具有波动
性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.
以Marr 小波2
2
2()(1)2t t t e ψπ
-=-为例，如下图：
将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:
,()(),0b a t b t a a a
ψψ-=
>
其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。

a {
以Marr 小波为例，分别取伸缩平移因子a ，b 为、1、2、4；-1、0、1，对应
图形如下:
Daubichies小波
常见的小波有Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer小波等，其对应的图形及性质如下：
Daubechies小波是正交小波，没有解析表达式（除Haar小波外）。

其简写形式为dbN，N表示阶数，支集区间为（0，2N-1）。

：
Symlets小波与db小波的差别是sym小波有更好的对称性。

Morlet 小波不具备正交性，不存在紧支集，不能做离散小波变换，没有解析尺度函数，其小波函数为：
2
/2()cos(5)x x e x ψ-=
Mexican Hat 小波不具有正交性，不存在尺度函数，是高斯函数的二阶导数，小波函数为：
21/4/2
()3
x x e ψ--=
Meyer 小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波，不存在紧支集，但其频谱有限，
具有对称性。

！
小波函数的特点：
正交性：小波函数与自身内积为1，而与其伸缩平移后的小波系列内积为0。

正交小波的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上，并且可以进行高效的离散小波变换。

对称性：不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。

紧支性：具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的，其局部化能力强，小波变换复杂度低。

正则性：用于刻画小波函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。

消失矩：用于衡量小波逼近光滑函数时的能力。

消失矩越大，压缩比越大。

尺度函数：若函数2
()()t L R ϕ∈，其整数平移系列()()k t t k ϕϕ=-满足：
(),()k k kk t t ϕϕδ''=
则称()t ϕ为尺度函数。

对尺度函数()t ϕ进行平移和伸缩，可得一个尺度和位移均可变的函数集合：
-
/2,()2(2)(2)
j j j j k k t t k t ϕϕϕ---=-=
称每一个固定尺度j 上的平移系列(2)j k t ϕ-所张成的空间j V 为尺度j 的尺度空间：
{}(2),j j k V span t k Z ϕ-=∈
正交多分辨分析：Hilbert 空间2()L R 中，若一列闭子空间{}j j z V ∈满足如下性质：嵌套性：1,();j j V V j z -⊆∈
逼近性：2{0},();j j j z
j z
V V L R ∈∈⋂=⋃=
伸缩性：1()(2);j j f t V f t V -∈⇔∈
平移不变性：()(),;j j f t V f t k V j Z ∈⇔-∈∈
正交性（Riesz 基）：存在0()t V ϕ∈，使得{(),}t k k z ϕ-∈是0V 的标准正交基。

滤波器：在二尺度方程中，对系数系列{}k k z h ∈和1(1),k k k g h k z -=-∈作Fourier 变换得()H ω和()G ω，其中1()2ik k
k z H h e ω
ω-∈=
∑，1()2ik k k z
G g e ωω-∈=∑，称()H ω和()G ω分别为低通滤波器和高通滤波器。

称{}k k z h ∈和{}k k z g ∈分别为低通滤波器系
数和高通滤波器系数。

，
小波变换
连续小波变换：设ψ为一母小波，2
()()f t L R ∈，称
12
,()(,),||
()(
)a b t b
W f a b f a f t dt a
ψψψ∞
-
-∞
-=〈〉=⎰
为f 的连续小波变换。

离散小波变换
离散小波：通过离散化连续小波变换中的平移因子b 和尺度因子a 得到，通
常取0
00,,,m m a a b nb a m n Z ==∈. 离散小波变换：2
,000()(,),||
()()m
m a b W f a b f a f t a t nb dt ψψψ∞
-
--∞
=〈〉=-⎰
若取002,1a b ==，可以得到二进小波：/2,()2(2),,m m m n t t n m n Z ψψ--=-∈
.
信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数()t ϕ和对应的小波()t ψ与信号内积来实现，而是利用滤波器组[]h n 和[]g n 来实现，用矩阵形式表述如下：
11
1[0][0][0][1]
[]0
0[1][1]00[0][1][]0[1][]0000[0][1][1]2j j j j j j c c h h h k c c h h h k n c n h k h h c ---⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦ 11
1[0][0][0][1]
[]0
0[1][1]00[0][1][]0[1][]000
0[0][1][1]2j j j j j j d c g g g k d c g g g k n c n g k g g d ---⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
其中，设滤波器长度为k 。

并且两滤波器系数间有如下关系：
1(1),k k k g h k z -=-∈
2||2k
k z
h
∈=∑； 2k
k z
h
∈=∑；
2211k
k k z
k z
h
h +∈∈==∑∑;
202,k n k
n k z
h
h n z δ-∈=∀∈∑
)
以db5小波为例，其低通滤波器系数如下（这里取二尺度方程为
()(2)k k z
t h t k ϕϕ∈=-）所得的系数：
h[0]=0.;h[1]=;h[2]=; h[3]=0.;h[4]=;h[5]=; h[6]=;h[7]=;h[8]=; h[9]=;
变换所得系数j c 和j d 分别为离散小波变换的不同尺度下的低频和高频系数。

小波逆变换即信号的重建运算，重构是从尺度最低的近似系数j c 和细节系数j d 开始，
通过低频和高频重构滤波器恢复出上一尺度的近似信号1j c -，继续这个过程，直到恢复原始信号。

其计算公式为：
1,,,(2)(2),j m j k j k k
k
c c h m k
d g m k k Z -=-+-∈∑∑
离散小波变换与重构实例如下：
所采用的信号为添加白噪声的正弦信号，信号共1000个采样，采用db4小波做3层分解，其原始信号、低频系数、高频系数和重构信号如下图：。