第八章 静电场中的导体和电介质
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1
0S
C2
0 r S 2
t
1
S
2t
C3
0S
2d
2d t 2t 1 0S 1 C C3 S 2d C1 C2 0S
0 S 2 r d 1 r t 2d r d 1 r t
电容率
S
Q0 E dS
0 r
0 r
0 - - - - - - - - - - -
+ + + + + +
电位移矢量 D 0 r E E （均匀各向同性介质）
电位移通量
D d s Q 0
s
电位移矢量
D E
1 导体的电容
如：孤立球形导体的电容 C 4 0 R 2 电容器的电容
Q C U
Q Q C VA VB U
U AB
AB
E dl
Q
Q
VB
VA
说明：
（1）电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间 的电介质有关. 与所带电荷量无关.
C/V （2）单位 1F 1
(2) 尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强
带电导体尖端附近的电场特别大， 可使尖端附近的空气发生电离而 成为导体产生放电现象,即尖端 放电.
尖端放电现象的利与弊 尖端放电会损耗电能,还会干扰精密测量和对通讯产生 危害.然而尖端放电也有很广泛的应用.
避雷针的工作原理
+ + + + + 带电云 + +
电容率
E0 0
相对电容率
E0
r
r 1
0 r
2 电介质的极化 无极分子电介质：（氢、甲烷、石蜡等）
有极分子电介质：（水、有机玻璃等）
3 电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
E E0 E '
r r 1 E' E0 r r 1 ' 0 r
－
－－ － － －
静电感应 电晕放电 可靠接地
三 静电屏蔽
1.屏蔽外电场
E
E
外电场
空腔导体屏蔽外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电场 影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.
2.屏蔽腔内电场 接地空腔导体将使 外部空间不受空腔 内的电场影响. 接地导体电势为零 问：空间各部分的 电场强度如何分布？
C2
S
C1 S/2 ( b)
C3
d
t
例 一空气平行板电容器，空气层厚1.5cm，两极 板间电压为40kV，若空气的击穿场强为 3MV m-1 ，该 电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30cm的玻璃板插入 此电容器，并与两极板平行，若该玻璃板的相对电容率 -1 为7.0，击穿电场强度为10MV m . 则此时电容器会被 击穿吗？
i
高斯面
电荷分布在表面
S
内表面？ 外表面？
若内表面带电，必等量异号
qi SE dS ε0 0 U AB E dl 0
AB
与导体是等势体矛盾
+
+ +
+
+ +
高斯 面
+
－
A
＋
B
+ +
+ S
结论
电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
(2) 空腔内有电荷
E dS 0， qi 0
1μF 10 F 1pF 1012 F （3）击穿场强 Eb ：电容器中的电介质能承受的最大
电场强度.
击穿电压 U b：
6
U0 Eb d
（平行
1）设两极板分别带电
2）求 E ；
4）求
Q
；
3）求 U ；
C
.
例1.平板电容器. 如图所示，平板电容器由两个彼此 靠得很近的平行极板A、B 所组成，两极板的面积均为 S，两极板间距为d. 极板间充满相对电容率为 r 的电 介质.求此平板电容器的电容.
r 1 Q' Q0 r
E0
- - - - - r d E0 E ' E
+ + +
+++++++++++
-----------
+ + +
0 0 E0
E E0 / r
' ( r 1) 0 E
4 电位移矢量 有介质时的高斯定理
1 E d S ( Q Q ) 0 S 0 + + + + + + + + + + + 0 - - -S - - r 1 Q Q0 r r
d 2 d 2
1 1 1 2 r 0 S 2 r C C C 1 d 1 C0 2 r r 1
C1 C2
2） C0 C d 2 2 d 2C0
3）
C1
0S
0S
0 S 2
d t
2d t
eτ
U AB
AB
E dl 0
A
B
二 静电平衡时导体上电荷的分布
1.实心导体
E 0
q E dS 0
S
0
+
+ +
+ +
+
S
+ + +
+
q 0
结论 导体内部无电荷
2 空腔导体
(1) 空腔内无电荷时
E dS 0
S
qi 0
例 如图，“无限大”均匀带电平面A，其附近放一与 它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B．已知 A上的电荷面密度为+，则在导体板B的两个表面1和2 上的感生电荷面密度为： (A) 1 = -，2 = + (B) 1 = -/2，2 = +/2 (C) 1 = -/2，2 = -/2 (D) 1 = -，2 = 0
(r R1 )
(r R2 )
（2）由上题可知
E 0 r 2π 0 r r
D
1 ' ( r 1) 0 E1 ( r 1) 2π r R1 2 ' ( r 1) 0 E2 ( r 1) 2π r R2
一 电容器 电容
E E0 r
S
（均匀介质） （均匀介质）
电场强度
有介质时的高斯定理 电容率 注意
D d S Q 0i
i
0 r
有介质时先求
D E U
例.常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1的长直圆柱导体 和同轴的半径为 R 的薄导体圆筒组成，并在直导体与导 2 体圆筒之间充以相对电容率为 的电介质.设直导体和圆 r 筒单位长度上的电荷分别为 和 . 求（1）电介质中的电场强度和电位移； （2）电介质内、外表面的极化电荷面密度．
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
D dS l
S
D 2π rl l
D
E 0 r 2π 0 r r
D
2π r
( R1 r R2 )
r
R2
R1
E1 2π 0 r R1 E2 2π 0 r R2
讨论：当 d RB RA RA 时
l RB
-+ -+ -+ -+
RB RA d d ln ln RA RA RA
2 π 0 r lRA 0 r S C d d
l
RA
RB
平行板电 容器电容
例3.球形电容器. 球形电容器是由半径分别为 R1 和 R2 的两同心金属球壳所组成，两球壳间充满以相对电容率 为 r 的电介质. 解 设内球带正电（ Q ）
解 设空气层的厚度 d = 1.5cm，玻璃板的厚度b = 0.30cm，未插入玻璃板时，电容器内的电场强度为
感应电荷电场强度
3 静电平衡条件 （1）导体内部任何一点处的电场强度为零；
（2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.
导 体 是 等 势 体
E dl U E dl 0
导体内部电势相等
+ +
导体表面是等势面
en
+
E
d+ l
+
+
例 如图(a)，一空气平行板电容器，极板面积为S，两 极板之间距离为d．将一厚度为d/2、面积为S、相对介 电常量为εr的电介质板平行的插入电容器，忽略边缘效 应，试求：(1) 插入电介质板后的电容变为原来电容C0 的多少倍？ (2) 如果平行插入的是与介质板厚度、面 积均相同的金属板则又如何？ (3) 如果平行插入的是 厚度为t、面积为S/2的介质板，位置如图(b)所示，电 容变为多少？ 0S 0 r S C2 解: 1） C1
外球带负电（ Q ）
( R1 r R2 )
＋
R2
＋
＋
＋
4 π 0 r r R2 dr Q Q 1 1 U E dl ( ) 2 l 4 π 0 r R1 R2 4 π 0 r R1 r
2
E
Q
er
*P
＋
r
R1
＋
＋ ＋
E
Q 4 π 0 r r
2
er
( R1 r R2 )
Q 1 1 U ( ) 4π 0 r R1 R2
R1 R2 Q C 4π 0 r U R2 R1
＋
R2
＋
＋
＋
R2 , r 1,
C 4π 0 R1
*P
＋
r
R1
＋
＋ ＋
（孤立导体球电容）
+ + +
q
+ + +
q
+
q
+
例.有一外表形状不规则的带电的空腔导体，比较 A 、 B 两点的电场强度E 和电势U ，应该是：（ ） (1) (2) (3) (4)
EA EB , U A U B EA EB , U A U B
B A
EA EB , U A U B EA EB , U A U B
一 静电平衡条件
1 静电感应现象
+ +
++ ++ +
+
+
+
感应电荷
外电场中的导体平板
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E0
+
+
+
2. 静电平衡 导体内部和表面都没有电荷宏观移动的状态。
E0 ＇ E E0
+ + + + + + + +
E0
＇ E E0 E 0
导体内电场强度 外电场强度
S1
Qq
电荷分布在表面上
E dS 0， qi 0
S2
问
内表面上有电荷吗？
S2
q
q
q内 q
S1
结论 当空腔内有电荷 q 时,内表面因静电感应出 现等值异号的电荷 q，外表面增加感应电荷 q . （电荷守恒）
3 导体表面电场强度与电荷面密度的关系
S E dS
S
为表面电荷面密度
作钱币形高斯面 S
S E S 0
0
E 0
E
+ + +
+
+
E 0
+ + + + + +
表面电场强度的大小与 该表面电荷面密度成正 比
(1)导体表面电荷分布
, E ; E
+
+
+
+
+
++ ++
E 0
注意:导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.
+
1
2
1 2 E 0 2 0 2 0 2 0
A
B
1 2 0
图 1-2
E=0
四 静电场中的电介质
1 电介质对电场的影响 相对电容率
+ + + + + + + + + + +
- - -
E0 - - - -
- -
+ + + + + + + + + + + E - - - - - - - - - E
解： （1）设两导体圆柱面单位长度上
l RB
-+ -+ -+ -+
Q 1 （2 ） E 2 π 0 r r 2 π 0 r l r
（3 ） U
分别带电
l
RA
RB
R
RB
A
dr Q RB ln 2π 0 r r 2π 0 r l RA
Q RB （4）电容 C 2π 0 r l / ln U RA
（1）设两导体板分别带电 Q （2）两带电平板间的电场强度
Q E 0 r 0 r S
Q
d
+ + + + + +
（3）两带电平板间的电势差
S
A
Qd U Ed 0 r S
（4）平板电容器电容
- B
Q
Q S C 0 r U d
例2.圆柱形电容器. 如图所示，圆柱形电容器是由半 径分别为 RA 和 RB 的两同轴圆柱面 A 和 B 所构成， 且圆柱体的长度 l 比半径 RB 大的多. 两圆柱面之间 充以相对电容率为 r 的电介质. 求此圆柱形电容器的 电容.
0S
C2
0 r S 2
t
1
S
2t
C3
0S
2d
2d t 2t 1 0S 1 C C3 S 2d C1 C2 0S
0 S 2 r d 1 r t 2d r d 1 r t
电容率
S
Q0 E dS
0 r
0 r
0 - - - - - - - - - - -
+ + + + + +
电位移矢量 D 0 r E E （均匀各向同性介质）
电位移通量
D d s Q 0
s
电位移矢量
D E
1 导体的电容
如：孤立球形导体的电容 C 4 0 R 2 电容器的电容
Q C U
Q Q C VA VB U
U AB
AB
E dl
Q
Q
VB
VA
说明：
（1）电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间 的电介质有关. 与所带电荷量无关.
C/V （2）单位 1F 1
(2) 尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强
带电导体尖端附近的电场特别大， 可使尖端附近的空气发生电离而 成为导体产生放电现象,即尖端 放电.
尖端放电现象的利与弊 尖端放电会损耗电能,还会干扰精密测量和对通讯产生 危害.然而尖端放电也有很广泛的应用.
避雷针的工作原理
+ + + + + 带电云 + +
电容率
E0 0
相对电容率
E0
r
r 1
0 r
2 电介质的极化 无极分子电介质：（氢、甲烷、石蜡等）
有极分子电介质：（水、有机玻璃等）
3 电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
E E0 E '
r r 1 E' E0 r r 1 ' 0 r
－
－－ － － －
静电感应 电晕放电 可靠接地
三 静电屏蔽
1.屏蔽外电场
E
E
外电场
空腔导体屏蔽外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电场 影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.
2.屏蔽腔内电场 接地空腔导体将使 外部空间不受空腔 内的电场影响. 接地导体电势为零 问：空间各部分的 电场强度如何分布？
C2
S
C1 S/2 ( b)
C3
d
t
例 一空气平行板电容器，空气层厚1.5cm，两极 板间电压为40kV，若空气的击穿场强为 3MV m-1 ，该 电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30cm的玻璃板插入 此电容器，并与两极板平行，若该玻璃板的相对电容率 -1 为7.0，击穿电场强度为10MV m . 则此时电容器会被 击穿吗？
i
高斯面
电荷分布在表面
S
内表面？ 外表面？
若内表面带电，必等量异号
qi SE dS ε0 0 U AB E dl 0
AB
与导体是等势体矛盾
+
+ +
+
+ +
高斯 面
+
－
A
＋
B
+ +
+ S
结论
电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
(2) 空腔内有电荷
E dS 0， qi 0
1μF 10 F 1pF 1012 F （3）击穿场强 Eb ：电容器中的电介质能承受的最大
电场强度.
击穿电压 U b：
6
U0 Eb d
（平行
1）设两极板分别带电
2）求 E ；
4）求
Q
；
3）求 U ；
C
.
例1.平板电容器. 如图所示，平板电容器由两个彼此 靠得很近的平行极板A、B 所组成，两极板的面积均为 S，两极板间距为d. 极板间充满相对电容率为 r 的电 介质.求此平板电容器的电容.
r 1 Q' Q0 r
E0
- - - - - r d E0 E ' E
+ + +
+++++++++++
-----------
+ + +
0 0 E0
E E0 / r
' ( r 1) 0 E
4 电位移矢量 有介质时的高斯定理
1 E d S ( Q Q ) 0 S 0 + + + + + + + + + + + 0 - - -S - - r 1 Q Q0 r r
d 2 d 2
1 1 1 2 r 0 S 2 r C C C 1 d 1 C0 2 r r 1
C1 C2
2） C0 C d 2 2 d 2C0
3）
C1
0S
0S
0 S 2
d t
2d t
eτ
U AB
AB
E dl 0
A
B
二 静电平衡时导体上电荷的分布
1.实心导体
E 0
q E dS 0
S
0
+
+ +
+ +
+
S
+ + +
+
q 0
结论 导体内部无电荷
2 空腔导体
(1) 空腔内无电荷时
E dS 0
S
qi 0
例 如图，“无限大”均匀带电平面A，其附近放一与 它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B．已知 A上的电荷面密度为+，则在导体板B的两个表面1和2 上的感生电荷面密度为： (A) 1 = -，2 = + (B) 1 = -/2，2 = +/2 (C) 1 = -/2，2 = -/2 (D) 1 = -，2 = 0
(r R1 )
(r R2 )
（2）由上题可知
E 0 r 2π 0 r r
D
1 ' ( r 1) 0 E1 ( r 1) 2π r R1 2 ' ( r 1) 0 E2 ( r 1) 2π r R2
一 电容器 电容
E E0 r
S
（均匀介质） （均匀介质）
电场强度
有介质时的高斯定理 电容率 注意
D d S Q 0i
i
0 r
有介质时先求
D E U
例.常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1的长直圆柱导体 和同轴的半径为 R 的薄导体圆筒组成，并在直导体与导 2 体圆筒之间充以相对电容率为 的电介质.设直导体和圆 r 筒单位长度上的电荷分别为 和 . 求（1）电介质中的电场强度和电位移； （2）电介质内、外表面的极化电荷面密度．
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
D dS l
S
D 2π rl l
D
E 0 r 2π 0 r r
D
2π r
( R1 r R2 )
r
R2
R1
E1 2π 0 r R1 E2 2π 0 r R2
讨论：当 d RB RA RA 时
l RB
-+ -+ -+ -+
RB RA d d ln ln RA RA RA
2 π 0 r lRA 0 r S C d d
l
RA
RB
平行板电 容器电容
例3.球形电容器. 球形电容器是由半径分别为 R1 和 R2 的两同心金属球壳所组成，两球壳间充满以相对电容率 为 r 的电介质. 解 设内球带正电（ Q ）
解 设空气层的厚度 d = 1.5cm，玻璃板的厚度b = 0.30cm，未插入玻璃板时，电容器内的电场强度为
感应电荷电场强度
3 静电平衡条件 （1）导体内部任何一点处的电场强度为零；
（2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.
导 体 是 等 势 体
E dl U E dl 0
导体内部电势相等
+ +
导体表面是等势面
en
+
E
d+ l
+
+
例 如图(a)，一空气平行板电容器，极板面积为S，两 极板之间距离为d．将一厚度为d/2、面积为S、相对介 电常量为εr的电介质板平行的插入电容器，忽略边缘效 应，试求：(1) 插入电介质板后的电容变为原来电容C0 的多少倍？ (2) 如果平行插入的是与介质板厚度、面 积均相同的金属板则又如何？ (3) 如果平行插入的是 厚度为t、面积为S/2的介质板，位置如图(b)所示，电 容变为多少？ 0S 0 r S C2 解: 1） C1
外球带负电（ Q ）
( R1 r R2 )
＋
R2
＋
＋
＋
4 π 0 r r R2 dr Q Q 1 1 U E dl ( ) 2 l 4 π 0 r R1 R2 4 π 0 r R1 r
2
E
Q
er
*P
＋
r
R1
＋
＋ ＋
E
Q 4 π 0 r r
2
er
( R1 r R2 )
Q 1 1 U ( ) 4π 0 r R1 R2
R1 R2 Q C 4π 0 r U R2 R1
＋
R2
＋
＋
＋
R2 , r 1,
C 4π 0 R1
*P
＋
r
R1
＋
＋ ＋
（孤立导体球电容）
+ + +
q
+ + +
q
+
q
+
例.有一外表形状不规则的带电的空腔导体，比较 A 、 B 两点的电场强度E 和电势U ，应该是：（ ） (1) (2) (3) (4)
EA EB , U A U B EA EB , U A U B
B A
EA EB , U A U B EA EB , U A U B
一 静电平衡条件
1 静电感应现象
+ +
++ ++ +
+
+
+
感应电荷
外电场中的导体平板
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E0
+
+
+
2. 静电平衡 导体内部和表面都没有电荷宏观移动的状态。
E0 ＇ E E0
+ + + + + + + +
E0
＇ E E0 E 0
导体内电场强度 外电场强度
S1
电荷分布在表面上
E dS 0， qi 0
S2
问
内表面上有电荷吗？
S2
q
q
q内 q
S1
结论 当空腔内有电荷 q 时,内表面因静电感应出 现等值异号的电荷 q，外表面增加感应电荷 q . （电荷守恒）
3 导体表面电场强度与电荷面密度的关系
S E dS
S
为表面电荷面密度
作钱币形高斯面 S
S E S 0
0
E 0
E
+ + +
+
+
E 0
+ + + + + +
表面电场强度的大小与 该表面电荷面密度成正 比
(1)导体表面电荷分布
, E ; E
+
+
+
+
+
++ ++
E 0
注意:导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.
+
1
2
1 2 E 0 2 0 2 0 2 0
A
B
1 2 0
图 1-2
E=0
四 静电场中的电介质
1 电介质对电场的影响 相对电容率
+ + + + + + + + + + +
- - -
E0 - - - -
- -
+ + + + + + + + + + + E - - - - - - - - - E
解： （1）设两导体圆柱面单位长度上
l RB
-+ -+ -+ -+
Q 1 （2 ） E 2 π 0 r r 2 π 0 r l r
（3 ） U
分别带电
l
RA
RB
R
RB
A
dr Q RB ln 2π 0 r r 2π 0 r l RA
Q RB （4）电容 C 2π 0 r l / ln U RA
（1）设两导体板分别带电 Q （2）两带电平板间的电场强度
Q E 0 r 0 r S
Q
d
+ + + + + +
（3）两带电平板间的电势差
S
A
Qd U Ed 0 r S
（4）平板电容器电容
- B
Q
Q S C 0 r U d
例2.圆柱形电容器. 如图所示，圆柱形电容器是由半 径分别为 RA 和 RB 的两同轴圆柱面 A 和 B 所构成， 且圆柱体的长度 l 比半径 RB 大的多. 两圆柱面之间 充以相对电容率为 r 的电介质. 求此圆柱形电容器的 电容.