秋华师大版数学九上22.3《二次根式的加减法》word教案2
2020-2021学年最新华东师大版九年级数学上册《二次根式的加减》教学设计-评奖教案
华师大版九年级上册21.3二次根式的加减教案教学内容：二次根的加减教学目标：１、理解同类二次根式的条件，能够识别同类二次根式；２、理解二次根式加减法法则，会二次根式加减运算；３、通过与合并同类项类比，提高学生的迁移能力。
教学重点：二次根式加减法教学难点：二次根式加减法教学准备：课件教学方法：类比学习教学过程：一、复习与练习１、计算：２、化简：二、类比学习（一）同类二次根式１、同类二次根式的概念。
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，我们称这几个二次根式为同类二次根式。
２、例１、判断下列各组二次根式是否是同类二次根式是同类二次根式。
（二）二次根式的加减1、回顾：整式加减法——合并同类项。
例２、计算：22327531a a a a--+-+解：原式＝22352371a a a a+---+22(35)(23)(71)856a aa a=++--+-+=--２、类比。
二次根式的加减，与整式的加减类似，关键是将同类二次根式合并。
例３、计算：解：原式＝+(3(1=--=3、总结：二次根式加减法法则。
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。
解：原式＝＝例５、计算：解：（１）原式＝例６、计算- (2) 21)（１）1)解：（１）原式＝221-=2—1=1(2)原式＝22-+＝3-211练习：课后练习第１、２题三、小结１、学生小结；２、教师小结。
本节课学习了同类二次根式，二次根式的加减法。
四、作业设计课本习题21.3第１、２、３题。
五、板书设计六、教学反思。
九年级数学上册21.3二次根式的加减教案(新版)华东师大版
二次根式的加减法巒轡g颤【知识与技能】1. 掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式2. 掌握二次根式加减乘除混合运算的方法【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题•【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算一、情境导入，初步认识1. 合并同类项：2 2 2（1）2x+3x ；（2）2x-3x +5x .2解：（1）5x ；（2）4x .这几道题是你运用什么知识做的？加减法则2. 化简：⑴耳；（2）宓解爭;（2）4区3. 如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并.4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如2 .. 2与3 •. 2 ；2 ,8、3'8 与5.8.、思考探究，获取新知例1计算:(1) 2 @ + 3 医(2) 2 図一3 < + 5 艮(3) 厅+ 2 疗+3 .^77；(4) 3再一2摂+阪解：(1)5 @；(2)8 広;(3)12 疗;(4)2 区例2计算:(1) 2 皿一6 怜+3 .'48；(2) ( 712+ /20) +( J- j5).解：(1)14 饥(2)3 再+ 5【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类次根式才可合并例3计算：(1) ( 1^-5 3) - K；(2) (5+ ⑥• (5 -2-2 B)；(3) (3 J + 2 ；7) - (3 5-2 J7)j ⑷(4+3 5)2.解：(l)y- 15 氐(2)19 @；(3)17；(4) 61 +24 氐【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用三、运用新知，深化理解.1. 下列计算是否正确？为什么？⑴鸟-3= /8-3；(2) W+虫+ 9;(3) 3 J- J2=22■以下二次根式：①"2；②③④挖7中，与3是同类二次根式的是( )A.①和②②和③G①和④D③和④3 •计算：(1) M-莎+ 5；(2) 帀+(癒- V57)；I Q(3) *(広 + 3) -才(@+ ②);(4)3 ；48-9 + 34.已知w = 3+1 j二莎_ 1，求TM各式的值(1 )x2+ 2xy +y a；(2)r2—y\【答案】L解：(1)不」F确，此式结果为2 5■—3；(2)不正确爭此式结果为头(3)正确*2. C玉解：(l)3 j5；(2)10 広-3 j3；(4) 15 瓦4 解：(1)12；(2)4 瓦【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点和谓后作业1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3 ”中选取.2. 完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣。
华师大版-数学九年级上册-22.3 二次根式的加减法
7 7
18.（2006年广东）化简：
= 7 1 .
7
19. 若5+ 7的小数部分是a，5－ 7的小数部分
是b，则ab＋5b＝ 2 ．
20. 计算：( 8 2 0.25) ( 1 1 50 2 72)
8
3
解：(a 8 b 2 20.275,)ab ( 41.1 50 2 72)
8
3
式训练中讨论了有关a，b具有某种对称性并求a，b相关
值的问题，一般先求出a+b，ab的值，再整体代入求值， 可大大简化计算.
课前小测
1. 计算：2 63 －3 1 － 9 ＋ 1 45 . 5 75
2. 在下列各式中， ① a ＝a a
②5x x － x ＝4x x
③ 6a a ＝ 3a 2ab 2b b
第二十二章 二次根式
第七课 二次根式的加减法（2）
1.本课提要 2.课前小测 3.典型问题 4.技能训练 5.变式训练 6.试题链接
本课提要
本课时从课前小测开始就对含有字母以及含分母的二 次根式进行讨论，并在此基础上，将括号和乘除运算同 时引入，让同学们渐渐熟练二次根式的混合运算，在变
14. 计算： 1 1 2
3 2 2 1 31
解： 1 1 2 3 2 2 1 31
( 3 2) ( 2 1) ( 3 1) 0
15. 已知 a 7 3,b 7 3, 求 1 ＋ 1 的值． a2 b2
解： a b 2 7 ,ab 4.
原式
1 a2
1 b2
化简正确的有（
④ 24 +
）
1 =10 6
6
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 D．4个
回顾：二次根式的加减运算，强调根式的系数规范写法，强调 只有同类二次根式才可以合并.
九年级数学上册《二次根式的加减法》教案、教学设计
2.通过二次根式的学习，让学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高学生对数学价值的认识。
3.培养学生严谨、求实的科学态度，使学生形成良好的学习习惯和道德品质。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。在此基础上，结合以下教学内容，进行教学设计。
2.思维能力：九年级学生的抽象思维能力逐渐增强，但仍有部分学生依赖具体形象思维。在教学过程中，教师应注重培养学生的抽象思维能力，引导学生运用分类讨论等方法解决问题。
3.学习方法：学生在学习过程中，可能仍依赖模仿和记忆，缺乏主动探究和合作学习的能力。教师应引导学生转变学习方式，培养学生的自主学习能力和合作意识。
二、教学内容
1.二次根式的概念及性质
2.二次根式的书写与化简
3.二次根式的加减法运算
4.二次根式的实际应用
三、教学过程
1.导入：通过实际问题，引出二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.基本概念：讲解二次根式的定义，让学生理解并掌握二次根式的性质。
3.书写与化简：教授二次根式的书写方法，引导学生进行二次根式的化简。
2.应用提高题：完成课本第46页第7-10题，这些题目将考察学生对二次根式加减法的掌握程度。学生需要运用所学的运算规则，解决实际问题，提高数学应用能力。
3.拓展思维题：选择课本第47页第11题作为拓展题目，鼓励学生通过小组讨论或独立思考，解决具有一定难度的二次根式问题。这类题目旨在培养学生的逻辑思维和创新能力，激发学生对数学学习的兴趣。
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。针对以下问题进行讨论：
华师大版-数学-九年级上册-22.3二次根式的加减法(1) 教案
华师大版九年级（上）《第二十二章·二次根式》第三节22.3二次根式的加减法（1）教案【三维教学目标】知识与技能：二次根式的加减。
过程与方法：引导-自学-探究-交流-展示（探究结果确立与班级内分享）情感态度与价值观：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解。
再总结经验，用它来指导根式的计算和化简。
教学重点：二次根式化简为最简根式。
教学难点：会判定是否是最简二次根式。
【课堂导入】学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B交流：学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）老师点评：（1当成x，不就转化为上面的问题吗？=（2+3（2y；=（2-3+5（3当成z；=（1+2+3（4x看为y．=（3-2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．C 探 究：例1．计算（1（2 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1=（2+3（2（4+8例2．计算（1）2）+）+）解：（1）=（12-3+6（2））+-【课堂作业】1、1（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2、下列各式：①17=1，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3、4、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 《作业答案与解析》1、C2、A3、先化简，再求值．（+-（，其中x=32，y=27．3、原式（=（6+3-4-6当x=32，y=27时，原式－924、解：分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值。
华师大版九上22.3《二次根式的加减法》word学案
上课时间：年月日星期本组成员签字________________________备课组长签字：主管领导签字：班级______姓名_______
课题：§22.3二次根式加减法设计人：
【学习目标】1、理解同类二次根式的概念，会辨别两个根式是否是同类二次根式；
2、能熟练进行二次根式加减法运算；
3、下列各组二次根式中，同类二次根式有( )。
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4、二次根式的加减，关键是先把各个二次根式，再将（合并。
5、计算：（1）
（2）
（3）
二、合作研讨
1、若 与 是最简同类二次根式，则 =。
2、计算：（1）
（）、
3、已知 、 均为有理数，且 ，则 =、 =。
4、计算：（1）
（2）
4、本节你还有什么收获：。
五、课堂检测
1、下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
2、下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
3、计算：（1）
（2）
4、（选做题）已知 ，
求（1） ；（2）
一、预习反馈
1、计算：3ab+5ab-4ab=.所用的法则是。
2、同类二次根式是指：(1)（2）。
3、会进行简单的二次根式混合运算。
三、课堂练习
1、下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
2、已知 与 是同类二次根式，则 的值不可以是（）
A. 2 B.3C. 5 D. 10
3、计算：（1）
（2）
（3）
四、课堂小结
1、同类二次根式是指。
2、合并同类二次根式的方法是。
3、二次根式加减法计算步骤是。
华师大九年级(上)教案-第22章-二次根式(全)
22．1. 二次根式（1）教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例 x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-拓展例当x +11x +在实数范围内有意义？分析11x +0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 布置作业1． 教材P422.1 二次根式（2）教学内容1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．a ≥0）是一个非负数，用具体数据2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 ［老师点评（略）．］ 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；（2=______；2=_______；）2=_______．4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，274=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 2 ）2 （222- 四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4．2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0,2=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P教学反思：22.1 二次根式（3）教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；=________．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=0=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习 教材P ．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a ≥0； （2，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0，即使a>a 所以a 不存在；当a<0，，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2 五、归纳小结（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展． 六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教学反思：22．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．a⨯，如=或关键：要讲清（a<0,b<0）=b．教学方法：三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算（1（2（3（4分析：（a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C．D．x-=）311A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．×B．×C．×D．×二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．教后反思：22．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1；（2=_____；（3；（4=________．2．利用计算器计算填空:（1=_____，（2=_____，（3=____，（4=_____．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．合探1．计算：（1 （2 （3 （4分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1 （2 （3 （4（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计 一、选择题1÷的结果是（ ）．A ．27B ．27C D2====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）． A ．2 B ．6 C ．13D二、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）教后反思：22.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）B A C计算（1（2，（3自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=6cm，求AB的长．132====6.5（cm）因此AB的长为．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计一、选择题1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B =±12C 2D ．4的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1．（x ≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a 确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y x y -的值．教后反思：22.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）（2））+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．五、归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计 一、选择题1．以下二次根式：；；是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①；②17=1，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式-3的最后结果是________． 三、综合提高题1≈2.236）-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 教后反思：22.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学方法 三疑三探 教学过程一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP（分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到）？（分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BAC2m1m4mD解：由勾股定理，得=所需钢材长度为+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展若最简根式3a a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）A ．BC ．D ． 二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式） 三、综合提高题1与n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-2·12 反之，-1）2 ∴=-1）2-1求：（1； （2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教后反思：22.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3.计算:（1））（ （2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=（x+1） =4x+2∵x b a -=2-x a b- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业设计一、选择题1．的值是（ ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题1时，（结果用最简二次根式表示）2．当教后反思：。
九年级数学上册 21.3 二次根式的加减教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上册数
二次根式的加减
教学过程设计
教学过程设计
（3）左边式子中的字母a 、b 可以表示二次根式吗？ （4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运算？
活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤. 分析法则：
（1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先
算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）. （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法
则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。
（3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步. 练习：○
1课本例4，之后补充 （3）27)64
148(÷- ○
2课本例5，之后补充 2)5225(+ 分析说明：○
1中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。
○2中补充完全平方公式应用.
归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用 1.若x=12-,则x 2
+x+1=
23,23-=+=y x ，
求()1y
x x
y +;()22622y xy x ++的值.
3.如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC,AD ⊥AB,AB=1,BC=CD=2,求四边形ABCD 的面 积.
三、课堂训练
论.
结合探究内容师生总结
学生板演，并说明每一步的依据，然后师生订正.
引导学生先观察、分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.
更好地理解和运用法则
初步进行计算
感受二次根式混合运算的应用
熟练计算和解题
纳入知识系统
word。
21.3 二次根式的加减 华师大版数学九年级上册教案
21.3 二次根式的加减※教学目标※【知识与技能】1.知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式.2.学会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法与减法运算.3.会进行二次根式的加减混合运算.【过程与方法】1.经历探索二次根式的加减法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减法运算法则，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂.【情感态度】教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识.【教学重点】掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算.【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识及二次根式的混合运算.※教学过程※一、复习引入计算下列各式：二、探索新知1.试计算：教师点拨：（1）如果我们把当成x,不就能转化为上面的问题了吗？（2）把2.通过观察以上两道计算题，你联想到了什么？3.归纳：通过观察，启发我们，类似在整式的加减中合并“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢？（学生讨论类比同类项，得出同类二次根式的概念）4.同类二次根式的特点：①被开方数相同；②二次根式是最简二次根式；③与二次根式前面的“系数”无关.5.怎样判断两个二次根式是不是同类二次根式呢？①先将所给的二次根式化成最简二次根式;②看被开方数是否相同，相同的是同类二次根式，否则不是同类二次根式.【例1】在下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( )分析：化简各项可得显然：答案选B.6.二次根式的加减二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，合并的方法是：将同类二次根式前面的“系数”进行加减.【例2】计算：.(先让学生独立完成，教师可适当点拨)解：原式=思考：你会计算：吗？引导学生分析出先将各二次根式化成最简二次根式，再进行加减，最后学生完成解答.【例3】计算：分析：先化成最简二次根式，再进行加减运算.解：三、巩固练习计算：答案：四、应用拓展【例4】计算：教师引导学生观察，类比以前的整式乘法的运算，将整式乘法的运算方法迁移到二次根式的运算中来.解：（1）原式=(2)原式=归纳：复杂的二次根式的计算可运用整式乘法的运算法则进行.五、归纳小结1.同类二次根式的特点及判断.2.二次根式的加减的实质就是合并同类二次根式，整式的运算法则在二次根式中仍适用.※课后作业※教材习题21.3第1、2题.选作：教材习题21.3第3题.。
22.3.2二次根式的加减法 学案
22.3.2 二次根式的加减法（二）学案教学目标1.会运用二次根式的概念、性质、法则解决实际问题2.经历探究二次根式的应用过程，掌握其应用方法3.感受数学中的数感，体验过程性学习中的知识延伸和变化研讨过程一、回顾知识，复习检测计算：（1）123319483+-；（2）())512(2048-++；（3）x x x x 1246932-+ 二、复习引入二次根式的加减解题方法：第一步，先把二次根式化成 ；第二步，合并 .范例学习，拓展新知1、如图22.3-1所示的Rt △ABC 中，∠B=090，点P 从点B 开始沿BA 边以每秒1厘米的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以每秒2厘米的速度向点C 移动，请同学们探究：几秒后△PDQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）解：设x 秒钟后△PBQ 的面积为35平方厘米。
则有x BQ x BP 2,==_______35___________35___________35___________====x 所以35秒钟后△PBQ 的面积为35平方厘米。
___________________________________________====PQ 答：2．要焊接如图22.3-2所示的钢架，大约需要多少钢材？（精确到0.1m ）解：由勾股定理得)________(__________________________________________________________________________________________m BD AC BC AB ：BC AB ≈==+++=======所需要的钢材和长度为答：焊接一个如图所示的钢架，大约需要 m 的钢材。
评析：本题是勾股定理与二次根式的综合运用.三、随堂练习，加深理解1．张村有一个长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽是2倍，它的面积是1600㎡，鱼塘的宽是 m2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么这个等腰直角三角形的周长是 .（结果用二次根式）3．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长度应为（结果用最简二次根式表示）（ ） A 25 B 50 C 52 554．小刚想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 长方形木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线上又是钉上了一根木条，木条的长应为（结果用最简二次根式表示）（ ） A cm 10013 B 1300cm C 1310cm D cm 1355．设三角形三边是C a 、、b、c 周长是（1）如果C ，，c ，b a 求982724507===（2）如果b m ，m ，，c m ，，b a 求10916040===6．如图22.3-3在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，E 在AB 上，DE=AE=EB=a ，求平行四边形ABCD 的周长C.四、课堂总结，提高认识本节课主要掌握 布置作业：课本P 12习题22.3第3（1）（2）、5题课后反思：。
九年级数学上册22.3 二次根式的加减教案华东师大版
22.3二次根式的加减（1）教学内容 二次根式的加减教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法．先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知试一试计算： （1）3233-；（2）a a a 423+-老师点评： x ，不就转化为上面的问题吗？与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式．二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并．所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．（注意：1、二次根式的加减分两个步骤：①化为最简二次根式；②合并被开方数相同的二次根式；2、被开方数不相同的二次根式不能合并，并。
）例1 计算：3322323--+． 解 3322323--+)333()2223(-+-=322-=．思考 计算：12188++．分析 先将各二次根式化简：2224248=⨯=⨯=，=18______________________，=12______________________．解 12188++=+22________+___________=____________________．二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．例2 计算：（1）451227+-；（2）x x x 916425-+． 解 （1）451227+-533233+-=533+=．（2）x x x 916425-+ x x x 3425-+=x )3425(-+=x 27=． 巩固练习 教材P 12 练习1、2．3归纳小结 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．布置作业 1．教材 习题 1、2、22.3 二次根式的加减（2）教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷ xy2．计算（1）（2x+3y ）（2x-3y ） （2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立． 整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（ （ 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．）解：（1）、(2)、（32例2．计算（1））（ （2）(分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．)解：（1））（2+（2）=2-2=10-7=3 例3 计算：（1）)12)(12(-+；（2）)2)(2(b a b a -+．解 （1）)12)(12(-+1121)2(22=-=-=．（2）)2)(2(b a b a -+b a b a 2)2()(22-=-=．巩固练习 课本练习4．归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．布置作业 1．教材 习题3．4。
华师大版-数学-九年级上册-22.3二次根式的加减法(2) 教案
华师大版九年级（上）《第二十二章·二次根式》第三节22.3二次根式的加减法（2）教案【三维教学目标】知识与技能：利用二次根式化简的数学思想解应用题。
过程与方法：引导-自学-探究-交流-展示（探究结果确立与班级内分享）情感态度与价值观：通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题。
教学重点：解答应用题。
教学难点：解答应用题。
【课堂导入】上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固。
【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B交流：例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=35 x23535PBQ的面积为35平方厘米．2222245535PB BQ x x x+=+==⨯735PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为7厘米．例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．解：由勾股定理，得=所需钢材长度为≈3×2.24+7≈13.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．C探究：例3．若最简根式3a a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b．由题意得432632a b a ba b+=-+⎧⎨-=⎩∴24632a ba b+=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1【课堂作业】1、某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2、已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）3n是同类二次根式，求m、n的值．4、我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12反之，+1=-1）2∴=-1）2-1求：（1；（2（3（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由． 《作业答案与解析》1．2．3．依题意，得2223241012m m n ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩ ，2283m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，m n ⎧=±⎪⎨=⎪⎩所以m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩4．（1+1（2+1（3=（4）m n a mn b +=⎧⎨=⎩ 理由：两边平方得a ±=m+n ±所以a m n b mn=+⎧⎨=⎩【教学反思】二次根式的加减法即合并同类二次根式的实际应用中要注意化简的应用；让学生再次通过试一试、思考、概括、归纳的学习过程，有利于学生新知识的形成；同类二次根式的概念是描述性的，应让学生结合实例理解认识同类二次根式。
九年级数学上册21.3二次根式的加减法(第2课时)教案华东师大版
21.3 二次根式的加减法第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探-—解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动;同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P（分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米,那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得:12x·2x=35 x23535PBQ的面积为35平方厘米．PQ=2222245535PB BQ x x x +=+==⨯=57答：35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为57厘米．）自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0。
1m ）?（分析:此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BA C 2m1m 4mD 解:由勾股定理,得 AB=22224220AD BD +=+==25BC=222221BD CD +=+=5 所需钢材长度为AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7≈3×2。
24+7≈13.7(m ）答：要焊接一个如图所示的钢架,大约需要13.7m 的钢材．）三、质疑再探：同学们,通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若最简根式343a b a b -+与根式23226ab b b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同；•事实上，根式23226ab b b -+不是最简二次根式，因此把23226ab b b -+化简成｜b ｜·26a b -+，才由同类二次根式的定义得3a —•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．解：首先把根式23226ab b b -+化为最简二次根式：23226ab b b -+=2(216)b a -+=|b ｜·26a b -+由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1 五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、作业设计一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式)A ．52B ．50C ．25D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框,•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条,木条的长应为( ）米．（结果同最简二次根式表示）A ．13100B ．1300C ．1013D ．513二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．(结果用最简二次根式）三、综合提高题 1．若最简二次根式22323m -与212410n m --是同类二次根式,求m 、n 的值． 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=(a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=5）2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （22=（2）2—2·1·2+12=2—22+1=3-22 反之,3-22=2—22+1=（2—1)2∴3—22=21）2322-2求：（1322+； (2423+3）你会算412-?（4）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教后反思:尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
华师版九年级数学(上)教案(全册)
第22章二次根式22.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号错误!，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、错误!表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么？二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时，错误!表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数;2、当a是零时，错误!表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为:错误!（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，错误!（a≥0）是一个非负数，即错误!≥0（a≥0）。
问题2 (a）2（a≥0)等于什么？说说你的理由并举例验证.让学生小组讨论或自主探索得出结论：（ a )2=a（a≥0),如（错误!）2=4,（错误!）2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是（错误!)2=a（a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把（错误!）2＝a(a≥0)写成a=（错误!)2（a≥0）的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=(错误!)2，0。
3= （错误!)2提问：(1)0=（错误!)2对不对?（2）－5=（－5 ）2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如错误!(a≥0)的式子叫做二次根式、说明：二次根式必须具备以下特点；（1)有二次根号；（2)被开方数不能小于0.让学生举出二次根式的几个例子，并判断错误!，错误!(a<0）、错误!、错误!(a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子错误!有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子错误!改为错误!，则字母x的取值必须满足什么条件？五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了(错误!）2(a≥0)等于a，现在研究错误!等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？2、在错误!中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。
华师大版-数学-九年级上册-二次根式的加减法 学案设计
二次根式的加减法课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、同类二次根式：如果几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.注意：同类二次根式与同类项是两个相类似的概念，前者是二次根式之间的关系，后者是单项式之间的关系.判断几个二次根式是不是同类二次根式的关键在于化简，化为最简二次根式后再看被开方数是否相同；而判断几个单项式是不是同类项，则只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否也相同.2、同类二次根式的合并法则：同类二次根式相加减，被开方数不变，把系数（最简二次根式外的因子叫做二次根式的系数）相加减，用字母表示为：()c b a c b c a +=+.合并时要注意两点：①不是同类二次根式的不能合并.如23+就不能合并；②系数为1或－1的二次根式，如3的系数为1，－3的系数为－1，运算时不要漏掉.3、二次根式的加减法运算法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.4、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除及乘方这五种运算中含有两种或两种以上的运算，其运算顺序与实数的混合运算顺序、整式的混合运算顺序一样，也是先乘方、再乘除，最后算加减，如果有括号的仍然要先算括号里的（或先去掉括号）.名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：同类二次根式例1、下列二次根式中与35-是同类二次根式的是（ ）A ．18B ．3.0C ．30D ．300【解题思路】解此题首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式中哪个被开方数是3．∵2318=，10303.0=，3103007=，∴300与35-是同类二次根式．【解】选D ．【方法归纳】同类二次根式的判断方法：先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同．例2、最简根式a b b a -+234与32+a 是同类根式，求a ，b 的值．【解题思路】本题考查同类二次根式的概念，两个最简根式互为同类根式，说明根指数与被开方数的相同. 【解】∵a b b a -+234与32+a 为同类根式，∴22=-a b ，3234+=+a b a ，解方程组⎩⎨⎧+=+=-323422a b a a b 得⎩⎨⎧==10b a ，当0=a ，1=b 时，两根式都为3，符合题意．【方法归纳】这种类型的题目，求得字母的值后，要注意检查是否符合题意，这包括是否有意义，是否是最简根式等等．类型二：同类二次根式的合并例2、计算：453255---a a【解题思路】题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并.【解】原式()()=-+--42535a =-258a .【方法归纳】二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中5与a 不是同类二次根式，不能再进行加减运算.类型三：二次根式的加减运算例3、计算：1232275053127-+-. 【解题思路】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”三步曲进行计算.【解】原式=-+-22103122133331102212⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 3331225-=. 【方法归纳】二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。
九年级数学上册 21.3 二次根式的加减教案 (新版)华东师大版(2)
p =
abc 2
,
则 三 角 形 的 面 积 为 引导学生先观 察、分析，找学 生说明解题思 路，解题后养成 说明理由的反思 习惯.
S=
p p a p b p c
熟练计算和解题
公式运用：在 ABC 中，BC=4,AC=5,AB=6,求 ABC 的面积。 四、小结归纳 1.进行二次根式混合运算的一般步骤. 2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算
二次根式的加减
教学媒体 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 知识 技能 多媒体 1. 知 道 在 有 理 数 范 围 内 成 立 的 运 算 律 在 实 数 范 围 内 仍 然 成 立 . 2. 能 熟 练 将 二 次 根 式 化 简 成 最 简 二 次 根 式 . 3. 会 运 用 二 次 根 式 加减法 法 则 进 行 二 次 根 式 的 加减运 算 . 1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算. 2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程中 运算性质和运算律的一致性以及数式通性. 学生温故知新，渗透类比思想，培养自主学习意识. 二次根式加减法运算方法 二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式
x y
2
学生板演，并说 明每一步的依 据，然后师生订 正. 感受二次根式混合 运算的应用
3.如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC,AD⊥ AB,AB=1,BC=CD=2, 求四边形 ABCD 的面 积. 三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1. 海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是
a ,b,c, 设
过程 方法
情感 态度
教学重点 教学难点
教学过程设计 教学程序及教学内容 一、复习引入 导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加 减运算，这节课来学习二次根式的混合运算. 二、探究新知 (一)二次根式混合运算法则 活动 1、类比计算，说明理由 1 (2 a +3b) a ； ( 2 2 3 3) 6 ○ 2 (2 +3b)( -b) ； a ○ a 2 6 2 3 师生行为 点题，板书课题. 设计意图
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22.3 二次根式的加减法(2)
第二课时
教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题．
教学目标 运用二次根式、化简解应用题．
重难点关键
讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．
教学方法 三疑三探
教学过程
一、设疑自探——解疑合探
上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．
自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
A C
Q
P （分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式
就可以求出x 的值．
解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x
依题意，得： x ²2x=35 x 2=35
PBQ 的面积为35平方厘米．
===
PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为
自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？
（分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．
B
A C 2m
1m 4m
D
解：由勾股定理，得
=
所需钢材长度为
≈3³2.24+7≈13.7（m ）
答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．）
三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展
若最简根式3a a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式
|b|同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．
解：首先把根式
由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1
五、归纳小结（师生共同归纳）
本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
六、作业设计
一、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）
A ．
B
C ．2
D ．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）
A ．13
B
C ．
D ． 二、填空题
1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是
_______m ．（结果用最简二次根式）
2•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
三、综合提高题
1n m 、n 的值． 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，
我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，
5=（
2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： ）2=2-
2²12 反之，3-2）2 ∴1）2
求：（1） （23
（4）若
，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由． 教后反思：。