2006年中考数学第一轮复习专题训练113轴对称

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专题二次函数-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

(1)该抛物线是由抛物线y=x2_向__左__1_个__单__位__,_再__向__下__4_个__单__位___ 考点平移得到的；
真 (2)写出该抛物线关于x轴,y轴和原点对称的抛物线解析式:
题
一般式
顶点式
精
关于x轴对称：__y_=_-_x_2_-_2_x_+_3__；__y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4__。
练
关于y轴对称：__y_=__x_2_-_2_x_-_3__；__y_=__(_x_-_1_)_2_-_4__。
提
升
关于原点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3__；__y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4__。
考点4 二次函数的图象的变换
检 1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛
考交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.
点 (1)求y1的解析式；
真 (2)若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,
题
求y2的解析式.
精
练
提升
考点2 求二次函数的解析式
检 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与y 测
轴的交点是C,顶点是D.若四边形ABDC的面积是18,求抛物线的考点解析式. y=-2x2+4x+6 或 y=2x2-4x-6
精练
成立的x的取值范围是( A
)
提 A.x＜-4或x＞2 B.-4＜x＜2 C.x＜0或x＞2 D.0＜x＜2
升
考点3 二次函数与一元二次方程
检 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0)(x1 测＜x2),方程ax2+bx+c-a=0的两根为m、n(m＜n),则下列判断正

中考数学一轮复习：图形的轴对称与中心对称

A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由折叠知 BE＝EF＝3，则 EC＝5.故 CF＝ EC2－EF2＝4.设 AB＝x，则 AF＝x， AC＝x＋4，∴x2＋82＝(x＋4)2.∴x＝6.
答案：D
二、填空题 3．如图， D 是AB边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC上的F 处．若∠B＝50°，则∠BDF＝________.
解析：由题意得AD＝DF，又AD＝DB，∴DB＝DF，∴∠DBF＝∠DFB＝50°， ∴∠BDF＝80°.
答案：80°
4．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，点 A 的坐标为(－1,4)．将△ABC 沿 y 轴翻折到第一象限，则点 C 的对应点 C′的坐标是(3,1)．
三、解答题 5．如图，在 10× 10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点 △ABC(即三角形的顶点都在格点上 )．
解析：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90° .由轴对称可知：∠DBF＝∠CBF， 1 ∠ABE＝∠DBE，∴∠EBF＝ ∠ABC＝45° . 2
答案：C
一、选择题 1．如图，在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(
)
答案：B
2.如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在 F 处，折痕为 AE，且 EF＝3，则 AB 的长为( )
知识点二
中心对称图形和中心对称
1．在平面内，一个图形绕某个点旋转 180° ，能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 2．在平面内，一个图形绕某一定点旋转 180° ，它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点． 3．中心对称与中心对称图形的区别与联系区别：(1)中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指具有某种性质的一类图形；(2) 成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，而中心对称图形的对称点在同一个图形上．联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形．

中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案

中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案一、选择题1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，5）C．（﹣4，﹣5）D．（﹣5，4）3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB 的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（）条．A．2 B．3 C．5 D．64．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线AB=5cm，BC=8cm，则△ABD的周长为（）A．10cm B．13cm C．15cm D．16cm5．等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．5C．4或5D．3或56．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=12cm，则AC的长是（）A．12cm B．6cm C．4cm D．6√3cm7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=3，ED=6，则EB+DC的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，已知ΔABC是正三角形，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，ED⊥BC交AB于点E，则∠EDF等于（）A．50°B．65°C．60°D．75°二、填空题9．某车标是一个轴对称图形，有条对称轴.10．在平面直角坐标系中，点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，则a﹣b＝．11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E．若AE=3，△ADC的周长为8，则△ABC的周长为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是．13．如图，在△ABC中AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=6，BC的长是.三、解答题14．图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图．（1）在图①中，连接AC，以线段AC为腰作一个等腰直角三角形ACD；（2）在图②中确定一个格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形．使其为轴对称图形．15．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段，于点N，Q．（1）如图，当时，求的度数；（2）当时，求的度数．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点△A1B1C1的坐标．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．（1）求证：△DFE是等腰三角形；（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．18．如图，在△ABC中AB=AC，点D在△ABC内BD=BC，∠DBC=60°点E在△ABC外∠BCE=150°，∠ABE=60° .（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8求AD的长.参考答案1．B2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．310．﹣811．1412．313．1814．（1）解：如图①所示（2）解：如图②所示15．（1）解：∵、分别是的垂直平分线∴∵∴∵∴∴（2）解：∵分别是的垂直平分线∴∴∴当P点在Q点右侧时，如图：∵∴∵∴．当P点在Q点左侧时∵∴∵∴．综上或．16．（1）解：S△ABC= 12×5×3=152（或7.5）（平方单位）（2）解：如图．（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）. 17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C在△FBD与△DCE中{BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE∴△FBD≌△DCE．∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形（2）解：∵AB=AC，∠A=56°∴∠B=∠C= 12(180°−56°)＝62°．∴∠EDF=∠B=62°．18．（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°在△ADB和△ADC中{AB=ACAD=ADDB=DC∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= 12（360°﹣60°）=150°.（2）解：结论：△ABE是等边三角形.理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE在△ABD和△EBC中{AB=EB∠ADB=∠BCE=150°∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△EBC ∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形.（3）解：连接DE.∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°∴∠EDC=30°，∴EC= 12DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4.。

2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-轴对称图形

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习轴对称图形【课标要求】1.进一步认识轴对称，了解它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；2.能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.了解轴对称与轴对称图形的区别和联系；4.进一步巩固和掌握基本图形（线段.角.等腰三角形.矩形.菱形.正多边形.圆）的轴对称性及其相关性质，并能运用这些性质解决问题；5.能利用轴对称进行图案设计.【要点梳理】1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形＿＿＿＿＿，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做＿＿＿＿＿；把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么称这个图形是＿＿＿＿＿＿，这条直线就是对称轴.2.轴对称的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.线段是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.角是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5.等腰三角形是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.直角三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿7.等边三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 【规律总结】1.图形的轴对称与图形的平移.旋转是近两年的新题型.热点题型，在试题中的比重逐年上升.考查的形式以填空题.选择题为主，与其他知识如三角形.平行四边形综合的解答题也时有出现，分值在5～12分左右；2.解决与轴对称相关的问题时，一定要充分利用轴对称的性质，有时需要结合题目条件添加适当的辅助线来解决问题；3.轴对称知识的一个重要体现形式是折叠问题，此类问题常常需要联系全等三角形以及勾股定理，并结合方程思想来解题，故解题时一定要充分挖掘题目中的隐含条件；4.在解决等腰三角形的相关问题时，要运用其轴对称的本质特性来分析和解决问题. 【强化训练】一、选择题1.下列图形中，为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）3.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆4.如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．355.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点第4题第5题第6题6.如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A ．B．2 C ．D．3第7题第8题第9题8.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°, 则图中∠1的度数为（）A B C D E F A ．115° B ．120° C ．130° D ．140°9.图1为某四边形ABCD 纸片，其中∠B=70°, ∠C=80°. 若将CD 叠合在AB 上，出现折线MN, 再将纸片展开后，M.N 两点分别在AD.BC 上，如图2所示，则∠MNB 的度数为（）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°二、填空题10.等腰三角形中，有一个角是80°，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿.11.直角三角形斜边上的中线和面积分别是5cm.20cm 2，则它斜边上的高是＿＿＿cm12.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿cm 2.第12题第13题第14题13.如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，点F 是AD 上一点，将△CDF 沿CF 折叠，点D 落在点G 处，连接DG 并延长交AB 于点E ．若AE ＝5，则GE 的长． 14.如图，过边长为4的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为____________.三、解答题15.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC 和△DEF （顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l ．（1）将△ABC 向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．（2）画出△DEF 关于直线l 对称的三角形．（3）填空：∠C+∠E=________________．16.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．17.已知：如图，△ABC.△CDE都是等边三角形，AD.BE相交于点O，点M.N分别是线段AD.BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．18.一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C’的位置，BC’交AD于点G.（1）求证：AG＝C’G.（2）如图（2），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.19.如图，在矩形纸片ABCD中，点E.F分别在矩形的边AB.AD上，将矩形纸片沿CE.CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C.H.G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE ＝2，求DF的长.。

第31讲轴对称、平移、旋转(课件)-2025年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)

1
=8
= −2
= 2 2 − 2 − 6
联立
，解得： 1
， 2
（舍）．

=
10

=
0
1
2
=+2
∴此时点P的坐标为 8,10 ；
考点一轴对称
题型05 折叠问题类型四抛物线与几何图形综合
【例8】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，抛物线 = 2 + − 6与x轴正半轴交于点 6,0 ，与y轴交于点B，点
这两个图形就关于这条直线成轴对称.
性质
1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
判定
1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.
考点一轴对称
的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．
考点一轴对称
1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段.
2. 轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数
条对称轴等）.
3. 成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称
考点一轴对称
题型05 折叠问题类型二四边形折叠问题
【例6】（2019·山东菏泽·统考三模）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若
∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为(
A．102°
B．112°
C．122°

中考数学总复习-四边形专题模块-矩形的性质及判定讲义教师版

知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件时，四边形PEHF 是矩形【考点】矩形的性质和判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】2BC AB =例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质及判定【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【考点】矩形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】∵90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB ∥CD在Rt ABC ∆和Rt DCB ∆中BC CBAC BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABC ∆≌Rt DCB ∆ (HL )∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形 ∵AC BD =，∴四边形ABCD 是矩形【巩固】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【考点】矩形的性质和判定【题型】选择【难度】1星【关键词】【解析】省略【答案】A【例3】如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【考点】矩形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】∵E 、F 、G 、H 分别是四边的中点∴EF 、GH 为中位线∴EF GH BD ∥∥且12EF GH BD ==∴四边形EFGH 为平行四边形∴四边形EFGH 是矩形．【巩固】如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【考点】矩形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =， 180A D ∠+∠=︒∵M 是AD 的中点，∴AM MD =在ABM ∆和CDM ∆中AM DM MB MC AB CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABM ∆≌CDM ∆ (SSS )，∴A D ∠=∠ ∴90A ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【考点】矩形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．【例5】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【考点】矩形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2009年，安顺市中考【解析】省略【答案】⑴ ∵AF BC ∥，AFE DCE ∠=∠E 是AD 的中点，∴AE DE = ∵AFE DCE AE DE AEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF DEC ∆∆≌ ∴AF DC =，∵AF BD = ∴BD CD =（2）四边形AFBD 是矩形∵AB AC =，D 是BC 的中点（利用全等） ∴AD BC ⊥ ∴90ADB ∠=︒∵AF BD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形又90ADB ∠=︒∴四边形AFBD 是矩形．【巩固】如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【考点】矩形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】⑴证明：ED DC DF DC ==，⑵当D 为AC 的中点时，四边形AECF 为矩形【例6】如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ．⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【考点】矩形的性质和判定，菱形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2009年，襄樊市中考【解析】省略【答案】⑴ Rt DEC ∆是由Rt ABC ∆绕C 点旋转60︒得到∴AC DC =，60ACB ACD ∠=∠=︒ ∴ACD ∆是等边三角形 ∴AD DC AC ==又∵Rt ABF ∆是由Rt ABC ∆沿AB 所在直线翻转180︒得到∴AC AF =，90ABF ABC ∠=∠=︒ ∴180FBC ∠=︒∴点F 、B 、C 三点共线 ∴AFC ∆是等边三角形 ∴AF FC AC ==∴AD DC FC AF === ∴四边形AFCD 是菱形． ⑵ 四边形ABCG 是矩形．由⑴可知：ACD ∆是等边三角形，DE AC ⊥于E ∴AE EC =，又∵AG BC ∥∴EAG ECB ∠=∠，AGE EBC ∠=∠ ∴AEG CEB ∆∆≌，∴AG BC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC ∠=︒ ∴四边形ABCG 是矩形．【巩固】如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BAGMF E DC BA【考点】平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的三线五心【题型】解答【难度】6星【关键词】【解析】过C 作CG AD ⊥于G ，连接EG 、FG ．∵AE BC ⊥，FM AE ⊥，∴FM ∥EC∴四边形EMFC 为平行四边形，∴MF EC = 又∵AE BC ⊥，CG AD ⊥且BC ∥AD ∴90EAG AGC GCE AEC ∠=∠=∠=∠=︒ ∴四边形AGCE 为矩形∴EC AG =，EG AC =，∴MF AG = 又∵MF ∥AG∴四边形AGFM 为平行四边形，∴GF AM = ∵AM EF ⊥，∴GF EF ⊥，即90GFE ∠=︒∴GF =∴12AM =【答案】12【例7】已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FDBCM【考点】矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】延长BF 交AD 于M ，连结DB ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC AD BC AC BD ==∥，， ∴M EBF ∠=∠，∵F 是AE 中点，∴AF EF =，在AFM △和EFB △中， ∵M EBF MFA BFE AF EF ∠=∠∠=∠=，，∴AFM EFG ∆∆≌．∴AM BE =，MF BF =，∴AD AM BC BE CE DM +=+== ∵CE AC AC BD ==，，∴DM DB = ∵MF BF =，∴BF DF ⊥【答案】见解析板块二、矩形的性质及应用【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

中考数学第一轮复习三角形

正整数，则这样的三角形个数为( B ) A．2 B．3 C．5 D．13
类型之二三角形的重要线段的应用命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性

2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》选择题专题训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》选择题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若BC＝10，则PB+PH的最小值为（）A．B．10C．12D．132．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值是（）A．3B．C．D．3．在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝2+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（）A．2+2B．+3C．2+2D．+44．如图，菱形ABCD的边长是4，∠B＝120°，P是对角线AC上一个动点，E是CD的中点，则△PDE的周长的最小值为（）A．6B．C．8D．5．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6，动点P满足，则点P到A，B 两点距离之和最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．100°B．90°C．70°D．80°7．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）A．B．C．D．28．如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A．B．C．D．9．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC 的最小值是（）A．2+3B．2C．2D．10．如图，已知∠ACB＝30°，M为∠ACB内部任意一点，且CM＝5，E，F分别是CA，CB上的动点，则△MEF的周长的最小值为（）A．2.5B．3C．4D．511．如图所示，在四边形ABCD中．AD∥BC，AC＝1，BD＝，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点．则PC+PD的最小值为（）A．1B．C．D．312．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E在BC上，BE＝2，∠BAD＝120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（）A．6B．5C．4D．213．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点B在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9D．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE＝CG，BF＝DH，且AB＝10，BC＝5，则四边形EFGH周长的最小值等于（）A．10B．10C．5D．515．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足BE ＝CF，则AE+AF的最小值为（）A．6B．C．D．16．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．B．C．﹣2D．﹣217．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）A．3B．5C．2D．18．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE为钝角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．B．α﹣90°C．2α﹣180°D．α﹣45°19．已知三点，当MA﹣MB的值最大时，m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．220．在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点N是线段BC的中点，点E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（）A．B．C．5D．6参考答案1．解：连接AP，AH，∵MN是AB的垂直平分线，∴PB＝P A，∴PB+PH的最小值为AH的长，∵AB＝AC，点H为BC的中点，∴BH＝BC＝5，在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH＝＝＝12，∴PB+PH的最小值为12，故选：C．2．解：连接PC，PD，∵在Rt△CEF中，P为EF的中点，∴CP＝EF，在Rt△EDF中，DP＝，∴CP＝DP，∴点P在CD的垂直平分线上运动，作A关于CD垂直平分线的对称点A'，∴P A+PB的最小值为A'B，在Rt△AA'B中，A'B＝＝2，故选：C．3．解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH．∴CP+PQ＝CP+PH，∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．∵∠ABC＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝＝＝，∴CH＝＝3+．故选B．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴点B与点D关于直线AC对称，如图，连接BE与AC相交于点P，由轴对称确定最短路线问题，BE的长度即为PE+PD 的最小值，连接BD，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD的中点，∴∠CBE＝30°∠BEC＝90°，∵BC＝4，∴CE＝2，∴，即PE+PD的最小值为2，∵E为CD的中点，CD＝4，ED＝2，∴△PDE的周长的最小值为PE+PD．故选：B．5．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由题意得，h AB＝，∴h AB＝AD＝2，∴点P在距离AB两个单位且与AB平行的两条直线上，作点B关于l的对称点B′，连接AB′，在Rt△ABB′中，AB＝5，BB′＝4，∴AB′＝＝，故选：B．6．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵∠C＝40°，∴∠DAB＝140°，∴∠AA′E+∠A″＝40°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠F AD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，故选：A．7．解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2＝4，∴P′D′＝，即DQ+PQ的最小值为．故选：A．8．解：作点M关于直线m的对称点M′，连接M′N交直线m于点P，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．故选：C．9．解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴P A+PB+PC＝P A+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，P A+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝＝，故选：D．10．解：分别作点M关于CA、CB的对称点P、Q，连接PQ，分别交CA、CB于点E、F，连接CP、CQ、MP、MQ．∵点M关于CA的对称点为P，关于CB的对称点为Q，∴ME＝PE，CM＝CP，∠PCA＝∠MCA；∵点M关于OB的对称点为Q，∴ME＝QE，CM＝CQ，∠QCB＝∠MCB，∴CP＝CQ＝CP＝5，∠PCQ＝∠PCE+MCE+QCF+∠MCF＝2∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴PQ＝CP＝CQ＝5cm．∴△PMN的周长的最小值＝ME+MF+EF＝PE+EF+QF≥PQ＝5．故选：D．11．解：∵直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，∴点A与点D关于直线MN对称，∴AC与这些MN的交点即为点P，PC+PD的最小值＝AC的长度＝1，故选：A．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC＝PE+AP＝AE，根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．∵∠BAD＝120°，∴∠ABE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，又∵BE＝CE，∴AE⊥BC，∴AE＝＝2．故选：D．13．解：连接BP，BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DP＝BP，∴DP+PE＝BP+PE，∴BP+PE的最小值为BE的长，∵AB＝3，DE＝2CE，∴CE＝1，BC＝3，在Rt△BCE中，由勾股定理得，BD＝＝＝，∴PE+PD的最小值是，故选：A．14．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝＝5．∴C四边形EFGH＝2E′G＝10．故选：A．15．解：连接DE，根据正方形的性质及BE＝CF，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE＝AF，∴AE+AF＝AE+DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE＝A′E，即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′＝2AB＝6，此时，在Rt△ADA′中，DA′＝＝＝3，故AE+AF的最小值为3．故选：C．16．解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故选：A．17．解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3，故选：A．18．解：作点A关于BC对称点A'，作点A关于DE对称点A''，则A''E＝AE，A'B＝AB，连接A'A''，分别交线段BC和线段DE于点M和点N，连接AM，AN，这时候△AMN的周长取最小值．∵∠B＝∠E＝90°，∴A'M＝AM，∴AN＝A''N，∴∠AA'M＝∠A'AM，∠AA''N＝∠A''AN，∴∠AMN＝2∠A'AM，∠ANM＝2∠A''AN，∴∠MAN+∠MAB+∠NAE＝α，∠MAN+∠AMN+∠ANM＝180°，∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN＝180°，∴∠BAM+∠EAN＝180°﹣α，∴∠MAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，故选：C．19．解：如图，在平面直角坐标系中作直线：y＝x，作B（0，1）关于直线y＝x的对称点B'（1，0），则直线AB'与直线y＝x交于点M，此时MA﹣MB的值最大，∵M（m，m），∴点M在直线y＝x上，∵B（0，1），∴B（0，1）关于直线y＝x的对称点B'（1，0），∵A（2，），∴设直线AB'的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，∴，∴直线AB'的解析式为：y＝，联立得：，∴，∴M（﹣1，﹣1），∴m的值为﹣1，故选：A．20．解：如图所示，作N关于AB的对称点N'，取DC中点F，连接DM，FM，GN'．可得GN＝GN'，∵M在以DE为直径的圆上，∴DM⊥EC，∴△DMC为直角三角形，∵F为Rt△DMC斜边的中点，∴MF＝＝＝5，此时当MF，MG，GN'三边共线时，有MF+MG+GN'长度的最小值等于FN'，∵F，N分别是DC，CB的中点，∴FC＝＝5，BN'＝BN＝＝3，∴CN'＝BC+BN'＝9，∴FN'＝＝，∴MF+MG+GN'长度的最小值为，∵MF＝5，GN＝GN′∴GM+GN的最小值为﹣5，故选：A．。

中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)

MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的最小值为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y

江苏省2023年中考备考数学一轮复习轴对称图形练习题

江苏省2023年中考备考数学一轮复习轴对称图形练习题一、单选题1．（2022·江苏盐城·统考一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·江苏南通·统考中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2022·江苏连云港·统考中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 4．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在ABC 中，70B ∠=︒，沿图中虚线EF 翻折，使得点B 落在AC 上的点D 处，则12∠+∠等于（）A ．160°B ．150°C ．140°D ．110°5．（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12AD =．过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE的值为（）A B ．9 C ．6 D ．7．26．（2022·江苏盐城·统考二模）如图，AB CD ∥，AE 平分CAB ∠．下列说法错误的是（）A ．13∠=∠B ．12∠=∠C ．3=4∠∠D ．45∠=∠7．（2022·江苏连云港·统考一模）如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，ABF △为等边三角形，则AFC ∠等于（）A ．108︒B ．120︒C ．126︒D ．132︒8．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm 和5cm ，则这个等腰三角形的周长是（）A ．8cmB ．13cmC ．8cm 或13cmD ．11cm 或13cm9．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，E 为AC 的中点，若10AB =，则DE 的长是（）A ．8B ．6C ．5D ．410．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片ABCD ，5AB =，7AD =，将这张纸片折叠，使得点B 落在边AD 上，点B 的对应点为点B '，折痕为EF ，若点E 在边AB 上，则DB '长的最小值等于_________．12．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，在△ABC 中，△B =30°，△C =50°，通过观察尺规作图的痕迹，△DAE 的度数是 _____．13．（2022·江苏盐城·统考三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，,αβ是两面互相平行的平面镜，一束光线m 通过镜面α反射后的光线为n ，再通过镜面β反射后的光线为k ．光线m 与镜面α的夹角的度数为x ︒，光线n 与光线k 的夹角的度数为y ︒．则x 与y 之间的数量关系是______．14．（2022·江苏南通·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，EF 垂直平分AB ，AC=3，BC=4，则AE+CE 的最小值是________．15．（2022·江苏南通·统考二模）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：△以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；△分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠的内部交于点F ； △作射线BF ，交AC 于点G ．如果6AB =，9BC =，ABG 的面积为9，则ABC 的面积为______．16．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E ，D ，30B ∠=︒，50C ∠=︒，则△DAC 的度数是______．17．（2022·江苏苏州·统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．18．（2022·江苏南京·统考一模）如图，ABC 中，2,AB AC P ==是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，若1ABC S =△，则PE PF +=________．19．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC 中，AB=BC ，△ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若△BAE=25°，则△ACF=__________度．20．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，A 、B 、C 、D 为一个外角为40︒的正多边形的顶点．若O 为正多边形的中心，则OAD ∠=__．21．（2022·江苏常州·统考二模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，△BAC =100°，BD 平分△ABC ，且BD =AB ，连接AD 、DC ．则△BDC 的度数为__________°．三、解答题22．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．23．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．（1）依题意补全图形；（2）若ADF α∠=．△求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；△请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由．24．（2022·江苏宿迁·统考三模）如图，在ABC 中，42B ∠=︒，50C ∠=︒，通过尺规作图，得到直线DE 和射线AF ，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：(1)直线DE 是线段AB 的________线，射线AF 是EAC ∠的________线；(2)求EAF ∠的度数．25．（2022·江苏常州·统考二模）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，B D ∠=∠，连接AC ．(1)求证：AB CD =：(2)用直尺和圆规作图：过点C 作AB 的垂线，垂足为E （不写作法，保留作图痕迹），若四边形ABCD 的面积是20，5AB =，求CE 的长．26．（2022·江苏南通·统考一模）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．27．（2022·江苏徐州·一模）如图，长方形ABCD 中，AB ＞AD ，把长方形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．(1)图中有个等腰三角形；（请直接填空，不需要证明）(2)求证：△ADE △△CED ；(3)请证明点F 在线段AC 的垂直平分线上．28．（2022·江苏苏州·统考一模）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．(1)如图1，已知等腰直角△ABC，△ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；(2)理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，△ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；(3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°（0＜△BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．参考答案：1．A【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．2．D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．3．A【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．C【分析】由70B ∠=︒得110BEF BFE ∠+∠=︒，再根据翻折知BEF DEF ∠=∠，BFE DFE ∠=∠，即可求出12∠+∠的值．【详解】解：70B ∠=︒，110BEF BFE∴∠+∠=︒，翻折，BEF DEF∴∠=∠，BFE DFE∠=∠，2()2110220BED BFD BEF BFE∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，121802220140∴∠+∠=︒⨯-︒=︒，故选：C．【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键．5．B【分析】要求AEBE的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF△AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．【详解】解：作CF△AD交AD的延长线于点F，则△CFD=90°，△CE△AB，△△CEB=90°，△△CFD=△CEB=90°，△△BAC=△DAC，△AC平分△BAD，△CE=CF，△四边形ABCD对角互补，△△ABC+△ADC=180°，又△△CDF+△ADC=180°，△△CBE=△CDF，在△CBE和△CDF中，CEB CFDCBE CDFCE CF，△△CBE△△CDF（AAS），△BE =DF ，在△AEC 和△AFC 中，AECAFC EACFAC AC AC ，△△AEC △△AFC （AAS ），△AE =AF ，设BE =a ，则DF =a ，△AB =15，AD =12，△12+2a =15，得 1.5a =，△AE =12+a =13.5，BE =a =1.5， △13.591.5AE BE ==，故选B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．6．D【分析】利用平行线的性质、角平分线的性质以及对顶角相等知识对选项进行逐一判断即可．【详解】解：A ．AB CD ∥，1=3∴∠∠（两直线平行，同位角相等），选项正确，不符合题意． B ．AE 平分CAB ∠，1=2∴∠∠（角平分线的性质），选项正确，不符合题意．C ．根据对顶角相等可知3=4∠∠，选项正确，不符合题意．D ．根据题干信息无法判断45∠=∠，选项错误，符合题意．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质以及对顶角相等知识，熟知相关性质是解决本题的关键．7．C【分析】根据多边形内角和公式可求出△ABC 的度数，根据正五边形的性质可得AB =BC ，根据等边三角形的性质可得△ABF =△AFB =60°，AB =BF ，可得BF =BC ，根据角的和差关系可得出△FBC 的度数，根据等腰三角形的性质可求出△BFC 的度数，根据角的和差关系即可得答案．【详解】△ABCDE 是正五边形，△△ABC =(52)1805-⨯︒=108°，AB =BC ，△ABF △为等边三角形，△△ABF =△AFB =60°，AB =BF ，△BF =BC ，△FBC =△ABC -△ABF =48°，△△BFC =1(180)2FBC ︒-∠=66°， △AFC ∠=△AFB +△BFC =126°，故选：C ．【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．8．D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，△3＋3＞5，△3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm ），当5是腰时，△3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm ），则三角形的周长为11cm 或13cm ．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．9．C【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．【详解】△10AB AC ==，AD 平分BAC ∠，△AD BC ⊥，△90ADC ∠=︒，△E 为AC 的中点， △152DE AC ==，故选C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10．C【分析】分AB 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C 的个数．【详解】解：如下图：当AB 为腰时，分别以A 、B 点为顶点，以AB 为半径作圆，可找出格点C 的个数有2个；当AB 为底时，作AB 的垂直平分线，可找出格点C 的个数有1个，所以点C 的个数为：2+1=3．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB 为底和以AB 为腰两种情况，并画出图形是解题关键． 11．2【分析】根据题意，EB EB '=，当E 点与A 点重合时，符合题意，据此即可求解．【详解】解：△将这张纸片折叠，使得点B 落在边AD 上，点B 的对应点为点B '，△EB EB '=，而B E AE AB ''≥+,当E 点与A 点重合时，5EB AB AB ''===，此时DB '的长最小，△752DB AD AB AD AB ''=-=-=-=．故答案为：2．【点睛】本题考查了折叠的性质，理解当E 点与A 点重合时DB '的长最小是解题的关键．12．35°【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得△BAD =30°，结合三角形内角和定理求出△CAD ，根据角平分线的定义即可求出△DAE 的度数．【详解】解：△DF 垂直平分线段AB ，△DA =DB ，△△BAD =△B =30°，△△B =30°，△C =50°，△△BAC =180°-△B -△C =180°-30°-50°=100°，△△CAD =△BAC -△BAD =100°-30°=70°，△AE 平分△CAD ，△△DAE =12△CAD =12×70°=35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．13．2180x y +=【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．【详解】解：△入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，△反射后的光线n 与镜面α夹角度数为x ︒，△,αβ是两面互相平行的平面镜，△反射后的光线n 与镜面β夹角度数也为x ︒，又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，△反射后的光线k 与镜面β的夹角度数也为x ︒，180x x y ∴︒+︒+︒=︒ ，2180x y ∴+= ．故答案为：2180x y +=．【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．14．4【分析】由题意可知当点E 为BC 与EF 的交点时，AE+CE 最小，根据垂直平分线的性质得到AE=BE ，可得AE+CE 的最小值为BC ．【详解】解：△EF 垂直平分AB ，△A ，B 关于EF 对称，AE=BE ，当点E 为BC 与EF 的交点时，AE+CE 最小，此时，AE+CE=BE+CE=BC=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解此题的关键是找出符合题意的点E的位置．15．45 2【分析】过G作GH△BC于H，GM△AB于M，由作图步骤可知BG为△ABC的角平分线，可得GM=GH ,然后再结合已知条件和三角形的面积比求得求出S△BCG解答即可．【详解】解：过G作GH△BC于H，GM△AB于M，由作图作法可知：BG为△ABC的角平分线△GM=GH△162921932ABGBCG BCGAB GMS ABS BC SBC GH⋅=====⋅,272BCGS=∴△S△ABC=S△ABG+S△BCG=2745 922 +=故答案为452．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．16．70︒【分析】先由线段垂直平分线的性质及30B ∠=︒求出30BAD ∠=︒，再由三角形内角和定理得到100BAC ∠=︒，再根据DAC BAC BAD ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：DE 是线段AB 的垂直平分线，30B ∠=︒，DB DA ∴=，30BAD B ∴∠=∠=︒，50C ∠=︒，180100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，70DAC BAC BAD ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：70︒．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．17．6【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：△△ABC 是等腰三角形，底边BC =3△AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．18．1【分析】将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PE PF +的值．【详解】解：连接AP ，如下图：PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，1ABC APC APB S S S =+= 1122APC APB S S AC PF AB PE +=⋅+⋅ 2AB AC ==，1APC APB S S PF PE +=+=，1PE PF ∴+=，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和来解答．19．70【分析】先利用HL 证明△ABE△△CBF ，可证△BCF=△BAE=25°，即可求出△ACF=45°+25°=70°.【详解】△△ABC=90°，AB=AC ，△△CBF=180°-△ABC=90°，△ACB=45°，在Rt△ABE 和Rt△CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩， △Rt△ABE△Rt△CBF(HL)，△△BCF=△BAE=25°，△△ACF=△ACB+△BCF=45°+25°=70°，故答案为70.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.20．30°##30度【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360︒，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出△AOD 的度数，再由正多边形的半径OA =OD ，根据等腰三角形的性质求解即可.【详解】多边形的每个外角相等，且其和为360︒，据此可得多边形的边数为：360940， △△AOD =3×3609︒=120°， △OA =OD ，△△OAD=△ODA=1801202︒-︒=30°，故答案为：30°.【点睛】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．130【分析】延长AD到点E，使得AE=BC，证得DBC△△CAE，设△CDE=△CED=α，表示出△BDC=△ACE=100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．【详解】解：△AB=AC，△BAC=100°，△△ABC=△ACB=40°，△BD平分△ABC，△△ABD=△DBC=20°，△BD=AB，△△ADB=△DAB=80°，△△CAD=20°，△△CAD=△DBC，延长AD到点E，使得AE=BC，△BD=AB=AC，△CAD=△DBC=20°，△△DBC△△CAE，△CD=CE，△BDC=△ACE，△△CDE=△CED=α，△△ADB=80°，△△BDE=100°，△△BDC=△ACE=100°+α，△20°+100°+α+α=180°，△α=30°，△△BDC =130°．故答案为：130．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是根据题意结合等腰三角形的性质得到各个角之间的关系．22．(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；【详解】（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△BAE DCG AB CD ABE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ △()ABE CDG ASA ∆≅∆，△BE DG AEB CGD =∠=∠，，△BE DG ∥．（2）如图，作EQ BC ⊥，△ABCD 的周长为56，△28AB BC +=，△BE 平分ABC ∠，△6EQ EF ==， △()1138422ABC ABE EBC S S S EF AB EQ BC AB BC ∆∆∆=+=⋅+⋅=+=．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23．（1）补图见解析；（2）△90EDG α∠=︒-；△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析．【分析】(1)根据题意画出图形解答即可；(2) △根据轴对称的性质解答即可；△根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE GE =，进而解答即可．【详解】解：（1）补全图形，如图所示，（2）△△ADF α∠=，△180BDF α∠=︒-，由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-，△DF DE ⊥，△90EDF ∠=︒，△1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，如图,连接,GF GE ，由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠，△D 是AB 的中点，△AD BD =，△GD BD =，△AD GD =，△90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，△GDE ADE ≌，△,EGD EAD AE GE ∠=∠=，△90EAD B ∠=︒+∠，△90EGD B ∠=︒+∠，△9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒，△以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形，△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．24．(1)线段垂直平分；角平分(2)23°【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可；【详解】（1）解：根据作图痕迹可知，直线DE 是线段AB 的线段垂直平分线；射线AF 是EAC ∠的角平分线；（2）△DE 垂直平分AB△AE BE =△42BAE B ∠=∠=︒△50C ∠=︒△180180504828BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒=-︒︒△884246EAC BAC BAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒△AF 平分EAC ∠ △11462322EAF EAC ∠=∠=⨯︒=︒ 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．25．(1)见解析(2)图见解析，4【分析】（1）运用已知条件，证得ABC 和CDA 全等即可证得AB CD =．（2）运用尺规作图的方法，过点C 作AB 的垂线．由（1）中结论ABC CDA △△≌，得到1102ABC ABCDS S ==四边形△，再运用三角形面积公式，求得CE 的长． (1)证明：△AB CD ∥，△BAC DCA ∠=∠，在ABC 和CDA 中，B D BAC DCA AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CDA △△≌（AAS ）△AB CD =．(2)解：作图如下，△ABC CDA △△≌， △12ABC ABCD S S =四边形△．△四边形ABCD 的面积是20，△10ABC S =△， △1102AB CE ⋅=， △5AB =，△4CE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及尺规作图法，证明ABC CDA △△≌是解题的关键．26．（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出△ADE ，再利用平行线的性质求出△ ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠． DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．27．(1)2(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意知CE =BC =AD ，△EAC =△BAC =△DCA ，有△ACF 为等腰三角形；在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，知ADE CED △△≌，有△DEA =△EDC ，有△DEF 为等腰三角形；（2）在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可得ADE CED △△≌；（3）由于ADE CED △△≌，DEA EDC ∠=∠，DEF EDF ∠=∠，有EF DF =，AE CD =，故AE EF CD DF -=-，FA FC =进而可得出结果．(1)解：有△ACF 和△DEF 共2个等腰三角形证明如下：由折叠的性质可知CE =BC =AD ，△EAC =△BAC△AB CD△△EAC =△DCA△△ACF 为等腰三角形；在ADE 和CED △中△AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()ADE CED SSS ≌△△△△DEA =△EDC△△DEF 为等腰三角形；故答案为：2．(2)证明：△四边形ABCD 是长方形△AD CE =，AE CD =由折叠的性质可得：BC CE =，AB AE =△AD CE =，AE CD =在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()ADE CED SSS △△≌．(3)证明：由（1）得ADE CED △△≌△DEA EDC ∠=∠，即DEF EDF ∠=∠△EF DF =又△AE CD =△AE EF CD DF -=-△FA FC =△点F 在线段AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查了几何图形折叠的性质，矩形，等腰三角形的判定与性质，三角形全等，垂直平分线等知识．解题的关键在于灵活运用知识．28．(1)见解析；(2)见解析；(3)42000元.【分析】（1）如图1，作ABC ∆的中线AE ，AEC ∆与ABE ∆的面积相等（作中线BF 也可以）; （2）如图2，过点E 作EH GA ⊥交GA 的延长线于H ．证明()AHE ACB AAS ∆≅∆，推出EH BC =可得结论; （3）首先，过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆≅∆，得AM BN =，则22100ACD BCE m S S ∆∆==；其次，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆≅∆，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆≅∆，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积得12BCE S BE CF ∆=⋅，求出70()CF m =，即可求解．（1）如图1中，作ABC ∆的中线AE ，AEC ∆与ABE ∆的面积相等（作中线BF 也可以）;（2）证明：如图，过点E 作EH GA ⊥交GA 的延长线于H ;四边形ABDE ，四边形ACFG 都是正方形，AE AB ∴=，AC AG =，90EAB CAG HAC ∠=∠=∠=︒，EAH BAC ∴∠=∠，90H ACB ∠=∠=︒，()AHE ACB AAS ∴∆≅∆，EH BC ∴=，12ABC S AC BC ∆=⋅⋅，12EAG S AG EH ∆=⋅⋅， ABC EAG S S ∆∆∴=，ABC ∴∆与AEG ∆为偏等积三角形;（3）首先，过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图所示，则90AMC BNC ∠=∠=︒，ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180ACM ACD ∠+∠=︒，ACM BCN ∴∠=∠，在∆ACM 和BCN ∆中，AMC BNC ∠=∠，ACM BCN ∠=∠，AC BC =，()ACM BCN AAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=，12ACD S CD AM ∆=⋅，12BCE S CE BN ∆=⋅， 22100ACD BCE S S m ∆∆∴==，其次，如图，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，则N GCD ∠=∠， G 点为AD 的中点，AG GD ∴=，在AGN ∆和DGC ∆中，N GCD ∠=∠，AGN DGC ∠=∠，AG DG =，()AGN DGC AAS ∴∆≅∆，AN CD ∴=，CD CE =，AN CE ∴=，//AN CD ，180CAN ACD ∴∠+∠=︒，90ACB DCE ∠=∠=︒，3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，BCE CAN ∴∠=∠，在ACN ∆和CBE ∆中，AN CE =，CAN BCE ∠=∠，AC CB =，()ACN CBE SAS ∴∆≅∆，ACN CBE ∴∠=∠，1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒，90CBE BCF ∴∠+∠=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BE ∴⊥，12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， CF ∴=22210070()60BCE S m BE ∆⨯==， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元)．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明ACM BCN ∆≅∆和ACN CBE ∆≅∆是解题的关键，属于中考常考题型．。

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第7章图形的变化第28讲图形的对称、平移与旋转

经过中心对称变换后的图形
3.图形的折叠实质
图形的对称
性质
(1)位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称； (2)折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等； (3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
考点 21 图形的平移与旋转
内容图示要素
性质
作图步骤
平移
(1)确定平移方向和平移距离；
(3)旋转前后的图形点的对应点；
全等
(4)按原图形顺次连接得到
的各关键点的对应点，得
到旋转后的图形
甘肃5年中考真题及拓展命题点 1 对称图形的判断(省卷：5年2考；兰州：2022.3) 1．[2022兰州3题]下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、 1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是( D )
轴对称
中心对称
(1)确定对称轴；
(1)确定对称中心；
(2)确定图形中的关键点；
(2)确定图形中的关键点；
作图 (3)由关键点向对称轴引垂线， (3)连接关键点和对称中心，并
方法并延长相同长度，找到对应点；延长相同长度，找到对应点；
(4)连接各对应点，得到原图形 (4)连接各对应点，得到原图形
经过轴对称变换后的图形
拓展训练 6．[2024甘孜州]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为_3_．
拓展训练
7．[2024雅安]如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点 E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，则cos∠ABF的值是__2245__．

专题11 平面直角坐标系(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)

4. 与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同．位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．
知识点2：点的坐标在不同位置的特征
知识点梳理
5. 关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：
点P与点P′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．点P与点P′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．点P与点P′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数．
坐标为
．
知识点2：点的坐标在不同位置的特征
典型例题
【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化—旋转；坐标与图形变化—平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标【分析】根据变换的定义解决问题即可．【解答】解：点(0，1)经过011变换得到点(－1，－1)，点(－1，－1)经过011变换得到点(0，1)，点(0，1)经过011变换得到点(－1，－1)，故答案为：(－1，－1)．
知识点2：点的坐标在不同位置的特征
知识点梳理
1. 各象限内点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一象限 x＞0，y＞0．点P（x，y）在第二象限 x＜0，y＞0．点P（x，y）在第三象限 x＜0，y＜0．点P（x，y）在第四象限 x＞0，y＜0．
知识点2：点的坐标在不同位置的特征
知识点梳理
A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标是（）
A．（2，2）
B．（1，2）
C．（1，1）
D．（2，Leabharlann ）知识点1：平面直角坐标系及点的坐标
典型例题
【解答】解：如图所示：
点C的坐标为（2，1）．故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．
知识点1：平面直角坐标系及点的坐标

九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练

九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠ABC＝68°，求∠AED的度数；（2）若点P为直线DE上一点，AB＝8，BC＝6，求△PBC周长的最小值．2．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，3），B（﹣1，﹣2）．（1）请在x轴上画出点C，使|AC﹣BC|的值最大．（2）点C的坐标为，|AC﹣BC|的最大值为．3．探究：如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B，点D作AB⊥BD，ED⊥BD，分别连接AC，EC．已知AB＝5，ED＝1，BD＝8．设CD＝x．（1）AC+CE的值为．（用含x的代数式表示）（2）请问：当点A、C、E时，AC+CE的值最小，最小值为．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图并求出代数式+的最小值．4．在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm （a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB+BA（km）（其中BP⊥l 于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝P A+PB（km）（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）．观察计算：（1）在方案一中，d1＝km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小强为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，d2＝km（用含a的式子表示）．探索归纳：（3）①当a＝4时，比较大小：d1d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；②当a＝6时，比较大小：d1d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；（4）请你把a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，如何对这两个方案进行选择？5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）M，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，MN，求AN+MN的最小值．6．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．7．如图，等边△ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D 和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为ts，0＜t≤10，DC和BE交于点F．（1）在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由：（2）连接DE，求t为何值时，DE∥BC；（3）若BM⊥AC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短．当t＝7s时，PD+PE 的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．8．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，AC的中垂线DE交AC于D，交BC于点E．（1）如图1，连接AE，则AE＝；（2）如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长；（3）如图3，点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为．9．如图，△ABC内接于半径为2的⊙O，其中∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB 交⊙O于D，点M、N分别是线段CD、AC上的动点，求MA+MN的最小值．10．最值问题．（1）如图1，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，求AP+BP+CP 的最小值．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M在AC边上，且AM＝2，MC＝6，动点P在AB边上，连接PC、PM，能使PC+PM的长度最短．①请通过画图指出点P的位置．②求出PC+PM的最短长度．11．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C ＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．12．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．13．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．14．如图1，点P是正方形ABCD对角线BD上一点（不与B，D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接P A、EF．（1）请探究线段AP与线段EF的大小关系；（2）如图2，若AB＝4，点H是AD的中点，求AP+HP的最小值．15．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S时，求t的值．△OBG（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值．16．问题提出：（1）如图①，在△ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD＝3，则AE的最小值为；（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE＝1cm，求△ABD的周长；问题解决：（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足∠BAC＝90°，点A到BC的距离为2km．为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）．17．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．18．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为D，P为AD上的动点，Q在BA的延长线上，且∠CPQ＝60°．（1）如图，当P与A、D不重合时，PC与PQ的数量关系是什么？说明理由；（2）M为BC上的动点，N为AB上的动点，BC＝5，直接写出AM+MN的最小值．19．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．20．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四边形AECD＝，则它们满足的关系式为，经化简，可得到勾股定理．【知识运用】（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D 为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC ＝16千米，则两个村庄的距离为千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值（0＜x＜16）参考答案1．解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝68°，∴∠C＝∠ABC＝68°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣68°﹣68°＝44°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠A＝90°﹣44°＝46°；（2）当点P与点E重合时，△PBC的周长最小，理由：∵PB+PC＝P A+PC≥AC，∴当点P与点E重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝AB+BC＝8+6＝14．2．解：（1）如图所示；（2）设直线AB′的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，3），B′（﹣1，2）代入得，解得，∴直线AB′的解析式为y＝﹣x+，令y＝0，则0＝﹣x+，解得x＝5，∴C（5，0），∵AB′＝＝，∴|AC﹣BC|的最大值为，故答案为：（5，0），．3．解：（1）AC+CE＝+＝+，故答案为：+；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，连接AE．则DF＝AB＝5，AF＝BD＝8，EF＝ED+DF＝5+1＝6，所以AE＝＝＝10，则AC+CE的最小值为10．故答案为：三点共线，10；（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED ＝3，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式+的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，所以AE＝＝＝13即代数式+的最小值为13．4．解：（1）∵如图1，作A关于执行l的对称点A′，连接P A′，∵A和A'关于直线l对称，∴P A＝P A'，d1＝PB+BA＝PB+P A'＝a+2；故答案为：a+2；（2）因为BK2＝a2﹣1，A'B2＝BK2+A'K2＝a2﹣1+52＝a2+24，所以d2＝；故答案为：；（3）①当a＝4时，d1＝6，d2＝，d1＜d2；②当a＝6时，d1＝8，d2＝，d1＞d2；故答案为：＜，＞；（4）d12﹣d22＝（a+2）2﹣（）2＝4a﹣20．①当4a﹣20＞0，即a＞5时，d12﹣d22＞0，∴d1﹣d2＞0，∴d1＞d2；②当4a﹣20＝0，即a＝5时，d12﹣d22＝0，∴d1﹣d2＝0，∴d1＝d2；③当4a﹣20＜0，即a＜5时，d12﹣d22＜0，∴d1﹣d2＜0，∴d1＜d2；综上可知：当a＞5时，选方案二；当a＝5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5时，选方案一．5．（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，在△BDF与△ABC中，，∴△BDF≌△ABC（AAS）；（2）解：∵AB＝15，AC＝12，∴BC＝＝9，∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝9，BF＝AC＝12，∴FC＝BF+BC＝9+12＝21．如图，连接DN，∵顶点A与顶点D关于BE对称，∴AN＝DN．如使得AN+MN最小，只需D、N、M在一条直线上，由于点M、N分别是AC和BE上的动点，作DM1⊥AC，交BE于点N1，垂足为M1，∵DF∥AC，∴AN+MN的最小值等于DM1＝FC＝21．6．解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵MD∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵MD∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°．7．解：（1）由已知可得AD＝t，EC＝t，∴AD＝CE，∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠ACB＝60°，BC＝AC，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE＝CD，∴CD与BE始终相等；（2）∵DE∥BC，∴＝，∵AB＝AC＝10，∴AD＝AE，∴t＝10﹣t，∴t＝5；（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，∵DP＝D'P，∴DP+PE＝D'P+PE＝D'E，∵t＝7，∴AE＝BD＝3，AD＝CE＝7，∵DD'⊥BM，BM⊥AC，∴DD'∥AC，∵BD＝BD'，∠ABC＝60°，∴DD'＝3，∴四边形ADD'E是平行四边形，∴AD＝D'E＝7，∴PD+PE的最小值为7．8．解：（1）∵DE是AC的中垂线，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，即AE＝，故答案为：；（2）∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，设AF＝CF＝y，则BF＝y﹣2，在Rt△BCF中，由勾股定理得：（y﹣2）2+42＝y2，解得：y＝5，即CF的长为5；（3）方法一：连接CF，过B作BM⊥CF于M，交直线DE于P'，过P'作P'Q'⊥BF于Q'，如图3所示：∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∴∠AFD＝∠CFD，∵P'M⊥CF，P'Q'⊥BF，∴P'M＝P'Q'，则点M与Q'关于DE对称，此时BM＝BP'+P'M＝BP'+P'Q'，即BP+PQ的值最小＝BM，由（2）得：AF＝CF＝5，AB＝2，∴BF＝AF﹣AB＝3，∵∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴△BCF的面积＝CF×BM＝BF×BC∴BM＝＝＝，即BP+PQ的最小值为，故答案为：．方法二：作点B关于DE的对称点H，交DF于G，过点H作HQ⊥AB于Q，交DE于点P，如图4所示：则点P、Q就是使BP+PQ最小的点，由对称得：∠AFD＝∠CFD，∠AFD＝∠HFD，BP＝HP，FB＝FH，∴∠CFD＝∠HFD，∴点C、H、F三点共线．BP+PQ＝HP+PQ＝HQ，由“垂线段最短”得：BP+PQ的最小值为HQ．在等腰△BFH中，∵FB＝FH，HQ⊥BF过B作BM⊥CF于M，∴HQ＝BM（等腰三角形两腰上的高相等）．由方法一得：BM＝．∴BP+PQ的最小值为．故答案为：．9．解：连接OA，OC，∵∠ABC＝45°，OA＝OC＝2，∴∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝2．过点A作AE⊥AC，交CD于点E，过点E作EA′⊥BC于点A′过点A′作A′N′⊥AC于点N′，∵CD平分∠ACB交⊙O于D，∴点A与点A′关于直线CD对称，∴A′N′的长即为MA+MN的最小值，AC＝A′C＝2，∵∠ACB＝60°，∴A′N′＝A′C•sin60°＝2×＝，即MA+MN的最小值是．10．解：（1）从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP＝x，则CP＝5﹣x，在Rt△ABP中，BP2＝AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2＝BC2﹣CP2，∴AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，∴52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得x＝1.4，在Rt△ABP中，，∴AP+BP+CP＝AC+BP＝5+4.8＝9.8．故答案为：9.8﹒（2）如图，过点C作CO⊥AB于O，延长BO到C'，使OC'＝OC，连接MC'，交AB于P，则点P为所求；②此时MC′＝PM+PC'＝PM+PC的值最小，连接AC′，∵CO⊥AB，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴，∵CO＝OC'′，CO⊥AB，∴AC′＝CA＝AM+MC＝8，∴∠OC′A＝∠OCA＝45°，∴∠C'AC＝90°，∴C′A⊥AC，∴．∴PC+PM的最小值为，故答案为：．11．（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．12．解：（1）在△PCD中，PC+PD≥CD，当取等号时，P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合，此时PC+PD最小，∴AP＝AE，∵AE：BE＝1：2，AB＝12cm，∴AE＝AB＝4cm，∴t＝＝4s，故m＝4时，PC+PD有最小值；（2）当t＜m即t＜4时，点P在AE上，过点P作PH∥a，如图：又∵a∥b，∴PH∥a∥b，∴∠PCM＝∠CPH，∠PDA＝∠DPH，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPH+∠DPH，∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD，∴当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD；（3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH∥a，如图：又∵a∥b，∴PH∥a∥b，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即当12≥t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．当t＞12时，同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述，t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．13．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．14．解：（1）过点P作PG⊥AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），∴GB＝GP，同理：PE＝BE，∵AB＝BC＝GF，∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，∴AG＝PF，在△AGP和△FPE中，，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴AP＝EF；（2）取CD的中点G，连接AG，交BD于P，∵四边形ABCD是正方形，H是AD的中点，G是CD的中点，∴H、G关于BD对称，由轴对称确定最短路线问题，点P即为所求作的使AP+HP最小的点，AP+HP的最小值为AG的长度，∵AB＝4，∴AD＝4，DG＝2，∴AG＝＝＝2，∴AP+HP的最小值为2．15．解：（1）结论：四边形BOCE是矩形．理由：∵BE∥OC，EC∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形BOCE是矩形．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，∵S△ABG＝2S△OBG，∴AG＝2OG，∴2t＝2（3﹣2t）或2t＝2（2t﹣3），解得t＝1或t＝3，∴满足条件的t的值为1或3．（3）如图2中，设OG＝x，则BG+BH＝+，欲求BG+BH的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得点P（x，0）到A（0，4）和B（3，4）的距离最小，如图3中，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，连接BP，此时P A+PB的值最小，∵A（0，4），B′（3，﹣4），∴AP+PB＝AP+PB′＝AB′＝＝，∴BG+BH的最小值为．16．解：（1）∵AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，AD＝3，则AE的最小值为3，故答案为：3；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CDE中，DE＝1cm，∴AD＝CD＝2DE＝2cm，在RtABD中，BD＝2AD＝2CD＝4（cm），AB＝AD tan60°＝2（cm），∴△ABD的周长为：AD+BD+AB＝2+4+2＝6+2（cm）．（3）延长CB到点D，使得AB＝DB，延长BC到点E，使得CE＝AC，连接AD、AE，∴∠ADB＝∠DAB＝ABC，∠AEC＝∠CAE＝ACB，AB+BC+AC＝DB+BC+CE ＝DE，∴DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值．∵∠DAB+∠CAE＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝45°，∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝135°，以DE为斜边向下作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，∠EAD ＝180°﹣DOE＝135°，∴点A在弦DE所对的劣弧，过点A作AP⊥DE于P，过点O作OH⊥DE于H，连接OA，则AP＝2，设DH＝x，则DE＝2x，OH＝x，OA＝OD＝x，则AP+OH≤AO，可得2+x≤x，∴x≥．∴DE的最小值为2x＝＝4+4．∴AB+BC+AC的最小值为（4+4）km．17．解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：，∵，∴方案1更合适；（2）（方法不唯一）如图，①若AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，（或）＞4∴（不合题意，舍去）②若AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，，③当AQ3＝BQ3时，设DQ3＝x，则有x2+42＝（4﹣x）2+128x＝1∴，即：；故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．18．解：（1）PQ＝PC，理由：如图1，连接BP，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BP＝PC，∴∠BPD＝∠CPD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∴∠APQ＝180°﹣∠DAQ﹣∠BQP＝180°﹣120°﹣∠BQP＝60°﹣∠BQP，∵∠APQ+∠CPQ+∠DPC＝180°，∴∠DPC＝180°﹣∠APQ﹣∠CPQ＝180°﹣（60°﹣∠BQP）﹣60°＝60°+∠BQP，∴∠DBP＝90°﹣∠BPD＝90°﹣∠DPC＝90°﹣（60°+∠BQP）＝30°﹣∠BQP，∵∠DBP+∠PBQ＝30°，∴∠PBQ＝30°﹣∠DBP＝30°﹣（30°﹣∠BQP）＝∠BQP，∴BP＝PQ，∵BP＝PC，∴PQ＝PC；（2）如图2，作A关于BC的对称点A'，作A'N⊥AB于点N，交BC于点M，则此时AM+MN 的值最小，且AM+MN＝A'N，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°连接A'B，∴△A'BA是等边三角形，∴A'N＝BD＝，即：AM+MN的最小值是．19．解：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°；②如图1∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∵四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；∵AB＝AC，∴BD＝BC＝1；（2）∠BCE+∠BAC＝180°；理由如下：如图2，AD与CE交于F点，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD，∵∠BAC＝∠F AE，∠BCE+∠ECD＝180°，∴∠BCE+∠BAC＝180°；20．解：【小试牛刀】答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）＝b（a﹣b）+c2．【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC＝AE，CE＝AB，∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米，∴CD＝＝＝41千米，∴两个村庄相距41千米．故答案为41．（2）如图2②所示：设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242，在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，∵PC＝PD，∴x2+242＝（40﹣x）2+162，解得x＝16，即AP＝16千米．【知识迁移】：如图3，代数式+的最小值为：＝20．。

中考数学一轮复习《命题、定理与证明》知识要点及专题练习

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：命题、定理与证明（含答案）一、知识要点：1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。

命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。

“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。

定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。

其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。

如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。

2、证明:一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。

二、课标要求：1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。

2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。

会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。

4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。

三、常见考点：1、命题及命题真伪的判断。

2、命题的条件和结论的区分。

3、写出命题的逆命题。

四、专题训练：1．下列说法正确的是（）A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题D．三角形的外角大于任何一个内角2．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等3．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列说法中，不正确的个数是（）①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③三个五次多项式的和也是五次多项式；④a+b+c＜0，abc＞0，则﹣+﹣的结果有三个；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数）是关于x的一元一次方程．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．写出“对顶角相等”的逆命题．8．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为．（按一、二、三、四的名次排序）9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第二象限图象上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，在点P的运动过程中，线段MN长度的最小值是．10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，点C的运动路径为．当点B'落在CD上时，图中阴影部分的面积为．11．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A 到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为．13．如图，▱ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：①BO＝DO；②EO＝FO；③AE＝CF，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为．14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为．15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．①弦AB的长度为；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为．16．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其短边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其短边恰好落在水平桌面上，则长方形木板顶点A在滚动过程中所经过的路径长为．17．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少次操作后所有纸牌全部正面向上；（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．18．阅读下面内容，并解答问题．在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：．（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF 的度数为．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为．19．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．20．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC 的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；；②任意的三角形都存在等角点；；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．参考答案1．解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；故选：A．2．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．3．解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；②∵（﹣4）2的平方根是±4，∴本小题说法是假命题；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；④∵两直线平行，同旁内角互补，∴本小题说法是假命题；故选：C．4．解：①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，当a＝b＝0时，无意义，本小题说法不正确；②∵|a|＞|b|，∴a2＞b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正数，本小题说法正确；③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，则三个五次多项式的和不一定是五次多项式，本小题说法不正确；④当a+b+c＜0，abc＞0时，a、b、c两个正数、一个负数或一个正数、两个负数，则﹣+﹣的结果有两个，本小题说法不正确；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，不是关于x的一元一次方程，本小题说法不正确；故选：D．5．解：连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵旋转角为30°，∴A、B′、C共线．∴AC＝＝＝2，∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S阴＝﹣＝﹣，故选：B．6．解：①负数有立方根，原命题是假命题；②一个实数的算术平方根一定是非负数，原命题是假命题；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，原命题是真命题；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0，原命题是真命题；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1、﹣1或0，原命题是假命题；故选：B．7．解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．8．解：因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．故答案为：甲、丙、乙、丁．9．解：连接OP．∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（02），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴四边形OMPN是矩形，∴MN＝OP，∴当OP⊥AB时，MN＝OP的值最小，最小值＝OA•sin30°＝，故答案为．10．解：如图，连接AC，AC′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，∵AB＝2，BC＝，∴AC＝＝＝，∵cos∠DAB′＝，∴∠DAB′＝30°，DB′＝AB′＝1，∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，CB′＝CD﹣DB′＝2﹣1＝1，∴S阴＝S扇形CAC′﹣S△AC′B′﹣S△ACB′＝﹣×2×﹣×1×＝﹣．故答案为﹣．11．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．12．解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．故答案为：4+4．13．解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．理由：在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF（SAS），∴DE＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴AE＝FC，同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，故答案为：3．14．解：如图，连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∴∠K＝45°，∴△AKB是等腰直角三角形．∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，∴∠KAD＝∠BAE，在△ADK和△AEB中，∴△ADK≌△AEB（SAS），∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4，∵M为AB中点，∴BM＝2，∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，∴BM＞MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2．故答案为2．15．解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°＝，∵OE⊥AB，∴AE＝EB＝，∴AB＝2AE＝2，故答案为2．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝AC＝，∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，∴OF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．16．解：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角是60度所以弧AA1的长＝＝π，第二次转动是以点N为圆心，A′N为半径圆心角为90度，所以弧A′A″的长＝＝π，所以总长为π．故答案为π．17．解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，次数（至少）：14÷2＝7，故答案为：7；（2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝4，②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4，③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0，不能全正，总变化量仍为14，无法由4，﹣4，0组成，故不能所有纸牌全正；故答案为：14；（3）由题可知：0＜n≤7．①当n＝1时，由（1）可知能够做到，②当n＝2时，由（2）可知无法做到，③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2，14＝6+6+2，故n＝3可以，④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0，14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成，故＝4不可以，⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，14＝10+2+2，故n＝5可以，⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，无法组合，故n＝6不可以，⑦当n＝7时，一次全翻完，可以，故n＝1，3，5，7时，可以．18．解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴，，∴．在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为EG⊥GF．（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．19．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．20．解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；解决问题如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角的度数分别为，，。

数学中考第一轮单元讲义(含中考真题)第12章轴对称

第十二章轴对称本章小结小结1 本章概述本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定．轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容．本章内容是上一章内容的继续．又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要．本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意．小结2 本章学习重难点【本章重点】1．轴对称的概念和性质和判定．2．等腰(或等边)三角形的性质和判定．【本章难点】1．利用轴对称的性质进行图案设计．2．书写推理证明过程．小结3 学法指导1．注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体——抽象——具体的过程．2．注意知识间的联系．图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系．3．注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用．知识网络结构图轴对称轴对称图形(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴①两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等②对称轴垂直平分连接对应点的线段(2)性质(3)垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上作轴对称图形用坐标表示轴对称轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为P′(x，－y)P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为P″(－x，y) 等腰三角形定义：有两条边相等的三角形．叫做等腰三角形(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)专题总结及应用一、知识性专题专题1 轴对称及轴对称图形【专题解读】此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质．例1 如图12－112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为( )分析本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有C为轴对称图形．故选C．规律〃方法判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合．专题2 利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案【专题解读】利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等．就可以得到非常美丽的图案．例2 如图12－114①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．解：如图12－114②所示．【解题策略】先作出特殊点的对称点，然后连接即可．专题3 等腰三角形的性质和判定【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查．例3 如图12－115所示，AB＝AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD＝∠ACE．求证BF＝CF．分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定．由于AB＝AC，所以作辅助线BC，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质解决问题．证明：连接BC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等边对等角)．又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．∴BF＝CF(等角对等边)．【解题策略】本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线AF，来证明BF＝CF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦．专题4 等边三角形的性质和判定【专题解读】等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到．例4 如图12－116所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝4，若将△ADC 沿直线AD 折叠，则C 点落在点E 的位置上，求BE 的长．分析本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质．解：由折叠得∠ADE ＝∠ADC ＝60°，CD ＝DE ．又∵BD ＝DC ，∴DE ＝BD ．∵∠ADE ＝∠ADC ＝60°，∴∠BDE ＝180°－60°－60°＝60°．∴△BDE 为等边三角形．∴BE ＝BD ＝21BC ＝2．【解题策略】本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法．专题5 含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用【专题解读】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系．例5 如图12－117所示，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ．求证BE ＝3AD ．分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C (等边对等角)．又∵∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°．∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝90°．∴∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ＝120°－90°＝30°．∴∠B ＝∠BAD ． ∴BD ＝AD (等角对等边)．在Rt △ADC 中，∵∠C ＝30°，∴CD ＝2AD ．∴BC ＝BD ＋CD ＝AD ＋2AD ＝3AD ．二、规律方法专题专题6 正确作辅助线解决问题【专题解读】本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论．例6 如图12－118所示，∠B ＝90°，AD ＝AB ＝BC ，DE ⊥AC ．求证BF ＝DC ．证明：连接AE ．∵ED ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°．又∵∠B ＝90°．∴在Rt △ABE 和Rt △ADE 中，⎩⎨⎧==,,AE AE AD AB∴Rt △ABE ≌Rt △ADE (HL)，∴BE ＝ED ．∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠C ．又∵∠B ＝90°，∴∠BAC ＋∠C ＝90°．∴∠C ＝45°．∵∠EDC ＝90°，∴∠C ＝∠DEC ＝45°．∴DE ＝DC ，∴BE ＝DC ．例7 如图12－119所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使BE ＝CF ，EF 交BC 于G ．求证EG ＝FG ．证明：过E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ，则∠EMB ＝∠ACB ，∠MEG ＝∠F ．又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ．∴∠B ＝∠EMB ，∴EB ＝EM ．又∵BE ＝CF ，∴EM ＝FC ．在△MEG 和△CFG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠),()()(已证对顶角相等已证CF EM ，FGC EGM ，F MEG∴△MEG ≌△CFG (AAS)．∴EG ＝FG ．三、思想方法专题专题7 分类讨论思想【专题解读】本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论．例8 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13 cm 和15 cm 两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长．分析这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为13 cm 和15 cm 两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可．解：如图12－120所示，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，所以AD ＝CD ，由题意知⎩⎨⎧=+=+,15,13CD BC AD AB 或⎩⎨⎧=+=+,13,15CD BC AD AB 解得AB ＝AC ＝326，BC ＝332或AB ＝AC ＝10，BC ＝8．即此等腰三角形的腰长与底边长分别为326cm ，332cm 或10 cm ，8 cm ．规律〃方法本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形．也可以说是来源于题设中的“不明确”，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整．专题8 数形结合思想【专题解读】数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要．例9 (开放题) 如图12－121所示，△ABC 中，已知AB ＝AC，要使AD＝AE，需添加的条件是．分析从确定△ADE是等腰三角形着眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外还可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．例10 (探究题)如图12－122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个?分析以OP为一边画等腰三角形，要考虑OP作腰和OP作底边两种情况．解：(1)当OP作等腰三角形的腰时，分O作顶点和P作顶点两种情况．当O 作顶点，OP作腰时，则以O为圆心，OP为半径画弧，与直线a交于M1，M2两点，则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；当P作顶点，PO作腰时，则以P为圆心，PO 为半径画弧，交直线a于M3，则△POM3为等腰三角形． (2)当OP作等腰三角形的底边时，作OP的垂直平分线交直线a于M4，则△OPM4为等腰三角形．所以这样的等腰三角形能画4个．如图12－123所示．例11 (动手操作题)如图12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)．分析在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°，72°，108°，18°，144°，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形．解：如图12－124②③④⑤所示均符合要求．2011中考真题精选1.（2011江苏淮安，2，3分）下列交通标志是轴对称图形的是（）A、B、C、D、考点：轴对称图形。

中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算

中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算复习目标1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。

2.掌握圆的基本性质。

3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。

考点梳理一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.【答案】解：①半径OD经过弦AB的中点C，①半径OD①AB．(1)①AB＝3AC＝BC3①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD ＝1.(2)①OD①AB ，OA ＝OB ， ①①AOD ＝①BOD ．①①AOB ＝120°，①①AOC ＝60°． ①OC ＝OA·cos①AOC ＝OA·cos60°＝12R ， ①1122CD OD OC R R R =-=-=．二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：在图中(1)直径CD ，(2)CD①AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．①圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，①O与AB相切于点D，求证：AC与①O相切．【答案】证明：连接OD，作OE①AC，垂足为E，连结OA．①AB与①O相切于点D，①OD①AB．①AB＝AC，OB＝OC，①①1＝①2，①OE＝OD．①OD为①O半径，①AC与①O相切．三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．①过两点A、B的圆有无数个，如图所示．①经过在同一直线上的三点不能作圆．①不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．①圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是①O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过①O上的一点A；①OA①l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．3.三角形外心、内心有关知识比较4.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．①同心圆是内含的特殊情况．①圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．①“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360 n °．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n°的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．1．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】C【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】连接OA，①CD为O的直径，弦AB CD⊥，AB=3，①AE=12设OA=OC=x，则OE=x-1，①()222x x-+=，解得：x=5，13①O的半径为5．故选C．2．（2022·河南九年级期末）如图，AD为①O的直径，6cmAD=，DAC ABC∠=∠，则AC的长度为（）A．2B．22C．32D．33【答案】C【分析】连接CD，由圆周角定理可知90∠=∠可知AC CD=，由∠=︒，再根据DAC ABCACD勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：连接CD，AD是O的直径，∴∠=︒，ACD90∠=∠，DAC ABC∠=∠，ABC ADC∴∠=∠，DAC ADC∴CD AC=，∴=，AC CD又222AC CD AD+=，22∴=，2AC ADAD=，6∴=AC故选：C．3．（2022·全国九年级课时练习）O的半径为10cm，弦//AB CD．若==，则AB和CD的距离为（）AB CD12cm,16cmA．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 【答案】C【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．【详解】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，①AB①CD，①OF①CD，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=10cm，①在Rt①AOE中，由勾股定理可得；8EO cm，在Rt①COF中，由勾股定理可得：6OF===cm，①EF=OF+OE=8+6=14cm．当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，①AB①CD，①OE①AB，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=5cm，在Rt①AOE中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，1068EO OA AE在Rt①COF中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，OF OC CF1086①EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；故选C．4．（2022·全国九年级课时练习）如图，在ABC中，10,8,6===，经过AB AC BC点C且与边AB相切的动圆与,CB CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8【答案】D【分析】设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD①AB，由勾股定理逆定理知，ABC是直角三角形，OC+OD=EF，而OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．【详解】解：设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，①10,8,6===，AB AC BC①AC2+BC2=AB2，①ABC 是直角三角形，①ACB =90°， ①EF 是①O 的直径， ①OC +OD =EF ， ①①O 与边AB 相切， ①OD ①AB ， ①OC +OD ≥CD ，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上时，OC +OD =EF 有最小值，此时最小值为CD 的长， ①CD =864.810AC BC AB ⋅⨯==， ①EF 的最小值为4.8．故选D ．5．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；①等弧所对的弦相等；①圆中90°的角所对的弦是直径；①相等的圆心角对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦；①任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对①①进行判断；根据圆周角定理对①进行判断；根据垂径定理对①进行判断；根据三角形外接圆的定义对①进行判断．【详解】解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；①能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故①正确，符合题意； ①圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故①错误，不符合题意；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故①错误，不符合题意； ①平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故①错误，不符合题意； ①任意三角形一定有一个外接圆；故①正确，符合题意；其中正确的有①①①，故选：B ．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）四边形ABCD 中，ACD △是边长为6的等边三角形，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，则对角线BD 的长的取值范围是（） A ．33BD <≤+B ．36BD << C ．63BD <≤+D ．3BD <≤【答案】C 【分析】由①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形可知点B 在以AC 为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD 长度的取值范围．【详解】①①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形， ①点B 在以AC 为直径的圆上，如图中①O ，连接OD 并延长，交①O 于点E 和点B ，①等边①ACD的边长为6，①AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD①AC，①①COD=90°，①OD=2222CD OC-=-=，6333①BD=OD+OB=333+，△是边长为6的等边三角形，ACD当B与,A C重合时，BD最小6=①对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤333+．故选：C．7．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC∠=︒，30Rt△中，90ACB∠=︒，3ABCAB=，将ABCRt△绕直角顶点C顺时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边上时，停止转动，则点B经过的路径长为__．3【分析】首先根据勾股定理计算出BC 长，再根据等边三角形的判定和性质计算出60ACA ∠'=，进而可得60BCB ∠'=，然后再根据弧长公式可得答案．【详解】解：30B ∠=，3AB =，①ACB=90° ①1322AC AB ==，60A ∠=，①22332BC AB AC =-=AC A C ='，AA C ∴'是等边三角形， 60ACA ∴∠'=，60BCB ∴∠'=，∴弧长3360321802l ππ⋅⋅==，故答案为：32π． 8．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，以AC 为直径做半圆交AB 于点D ，若1BC =，则图中阴影部分的面积为__．3π+【分析】连接OD ，CD ，根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，解直角三角形求得AC =CD OC OD =，32AD =，60COD ∠=︒，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OD ，CD ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒， ①9030A B ∠=︒-∠=︒，又①1BC =， ①22BA BC ==，①AC =AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，12OA AC =，又①30A ∠=︒，12CD AC ∴==①32AD ， ①30A ∠=︒，260COD A ︒∴∠=∠=，∴阴影部分的面积()()ABC AOD AOD COD COD S S S S S S ∆∆=++--+△半圆扇形扇形 122ABC ACD COD S S S S ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭△△半圆扇形22601111321222360222ππ⎛⋅ =⨯⋅-+⨯⨯⎪⎝⎭38π+=，故答案为：38π+．9．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，AB BC =，以AB 为直径的①O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作//CE AB ，且CAD CAE ∠=∠．（1）求证：AE 是①O 的切线；（2）若5AB =，4=AD ，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明AEC △和ADC 全等即可得到结论；（2）由勾股定理求出2CD =，根据全等三角形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：AB BC =，BAC BCA ∴∠=∠，//CE AB ，BAC ACE ∴∠=∠，ACB ACE ∴∠=∠，在AEC △和ADC 中，CAD CAE AC ACACB ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADC AEC ASA ∴≅△△，ADC E ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，90E ∴∠=︒，//AB CE ，180BAE E ∴∠+∠=︒，90BAE ∴∠=︒，AE ∴是O 的切线；（2）解：90ADB ∠=︒，5AB =，4=AD ，3BD ∴==，532CD BC BD ∴=-=-=，①ADC AEC ≅△△，2CE CD ∴==．10．（2022·安庆市第四中学九年级）如图，①O 是①ABC 的外接圆，FH 是①O 的切线，切点为F ，FH ①BC ，连结AF 交BC 于E ，①ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）求证：AF平分①BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）AD =214．【分析】（1）连结OF，由FH是①O的切线，可得OF①FH，由FH∥BC，可得OF垂直平分BC，根据垂径定理可得BF FC=，根据圆周角性质可得①1=①2即可；（2）根据①ABC的平分线BD，可得①4=①3，可证①FDB=①FBD，可得BF=FD，再证①BFE①①AFB，根据性质可得BF AFFE BF=，再求BF=DF= 7，可求494FA=，即可求AD．【详解】（1）证明：连结OF，①FH是①O的切线，①OF①FH，①FH∥BC，①OF垂直平分BC，①BF FC=，①①1=①2，①AF平分①BAC，（2）解①①ABC 的平分线BD 交AF 于D ， ①①4=①3，①1=①2，①①1+①4=①2+①3，①①5=①2，①①1+①4=①5+①3 ，①①FDB =①FBD ，①BF =FD ，在①BFE 和①AFB 中，①①5=①2=①1，①AFB =①EFB ， ①①BFE ①①AFB ， ①BF AF FE BF=， ①2BF FE FA =⋅， ①2BF FA FE= ， ①BF =DF =EF +DE =7，①274944FA ==， ①AD=AF -DF =4974-=214．。

2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化(提升卷)

2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化（提升卷）(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD=C ．DE DC BC +=D ．AB CD∥【答案】D【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∵60ABC ∠<︒，∴ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意；由旋转可知CB CE =，∵120EDC ∠=︒为钝角，∴CE CD >，∴CB CD >，故B 选项错误，不符合题意；∵DE DC CE +>，∴DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意；由旋转可知DC AC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC 为等边三角形，∴60ACD ∠=︒．∴180ACD BAC ∠+∠=︒，∴//AB CD ，故D 选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．4.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为A ．10B ．6C ．3D ．2【答案】C 【解析】如图所示，n 的最小值为3，故选C ．【名师点睛】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．5.四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位【答案】C【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点A(−1，b)关于y轴对称点为B(1，b)，C(2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D(3.5，b)向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22-，()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为（）A ．(2--,或2)-B ．(2,C ．(2,-D ．(2--,或(2,【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，根据题意易得△AOB 为等边三角形，在旋转过程中，点A 有两次落在x 轴上，当点A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，易证此时C′′与点A 重合，即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则23tan AOE=2∠，，∴∠AOE=60°，∵四边形ABCD 是菱形，∴△AOB 是等边三角形，当A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，此时旋转角为60°，∵∠BOC=60°，∠COF=30°，∴∠C′OF=60°-30°=30°，∵OC′=OA=4，∴OF=C'O cos ∠，C′F=C'Osin C'OF=2∠，∴C′（2,--），当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°又∵OA=OC′′，∴此时C′′点A 重合，C C′′(2,，综上，点C 的对应点的坐标为(2--,或(2,，故答案为：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A 的运动情况，分情况讨论．8.如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B重合，则CE的长为（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴=10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=25 4，∴CE=2584-=74，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．9.在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x=0时，y=5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ⨯-=-，2510y y ⨯-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--⋅-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10.如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，B β∠=∠．当AC 平分''B AC ∠时，α∠与β∠满足的数量关系是（）A ．2αβ∠=∠B ．23αβ∠=∠C ．4180αβ∠+∠=︒D ．32180αβ∠+∠=︒【答案】C【分析】根据菱形的性质可得AB=AC ，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=α∠，根据AC 平分''B AC ∠可得∠B′AC=∠CAC=α∠，即可得出4180αβ∠+∠=︒，可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，B β∠=∠，∴AB=AC ，∴∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠=1(180)2β︒-∠，∵将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，∴∠CAC′=∠BAB′=α∠，∵AC 平分''B AC ∠，∴∠B′AC=∠CAC=α∠，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2α∠=1(180)2β︒-∠，∴4180αβ∠+∠=︒，故选；C ．【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．【答案】【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF 是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴tan 60CF AF ==︒∴AG =∴四边形ADFE 的面积为122DE AG ⋅⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．12.如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D 的位置，则阴影部分的面积是______________；【答案】2323-【分析】CD 交11B C 于点E ，连接AE ；根据全等三角形性质，通过证明1AB E ADE △≌△，得1EAB EAD ∠=∠；结合旋转的性质，得130EAB EAD ∠=∠=︒；根据三角函数的性质计算，得1EB ，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．【详解】解：如图，CD 交11B C 于点E ，连接AE根据题意，得：190AB E ADE ∠=∠=︒，11AB AD ==∵AE AE=∴1AB E ADE△≌△∴1EAB EAD∠=∠∵正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D ∴130BAB ∠=︒，90BAD ∠=︒∴119060B AD BAB ∠=︒-∠=︒∴130EAB EAD ∠=∠=︒∴111tan 3EB EAB AB =∠=∴13EB =∴111112236AB E ADE S S AB EB ==⨯=⨯=△△∴阴影部分的面积()()122AB E ADE AB BC S S =⨯-+△△23=-故答案为：23-．【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解．13.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B′处，则点B′到AC 的最短距离是_____．【答案】2【解析】【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，根据三角函数知识可得DB′+B′J≥DH，DB′＝DB＝，当D，B′，J共线时，B′J的值最小，此时求出DH，DB′，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝，∵BD，∴AD＝AB﹣BD＝，∵∠AHD＝90°，∴DH＝12AD＝332，∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB ∴B′J≥DH﹣DB′，∴B′J≥3 2，∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为3 2；故答案为2．【点睛】本题主要考查了图形的折叠，特殊锐角三角函数的知识．14.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==2222543BC OB OC =--∵''B OA BOA∠=∠∴'sin ''sin 'A P BC B OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．15.如图，将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转β（0°<β<90°）得到AF ，连接EF ．若AB=3，AC=2，且α+β=∠B ，则EF=__________．【答案】13【解析】由旋转的性质可得AE=AB=3，AC=AF=2，∵∠B+∠BAC=90°，且α+β=∠B ，∴∠BAC+α+β=90°，∴∠EAF=90°，∴22AE AF +1313【名师点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．16.如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D ''' 的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．【答案】98【分析】过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，证明ABB ADD ''∆∆∽求得53C D '=，根据AAS 证明ABB B CM ''∆≅∆可求出CM=1，再由CM//C D ''证明△CME DC E '∆∽，由相似三角形的性质查得结论．【详解】解：过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，∵平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形AB C D '''∴AB AB '=，,AD AD '=B AB C D D '''∠=∠=∠=∠，BAD B AD ''∠=∠∴BAB DAD ''∠=∠，B D '∠=∠∴ABB ADD ''∆∆∽∴3,4BB AB AB DD AD BC ''===∵1BB '=∴43DD '=∴C D C D DD ''''=-CD DD '=-AB DD '=-433=-53=AB C AB C CB M ABC BAB '''''∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠CB M BAB ''=∠∵413B C BC BB ''=-=-=∴B C AB'=∵AB AB '=∴∠AB B AB C ABB ''''=∠=∠∵//AB C D '''，//C D CM''∴//AB CM'∴∠AB C B MC'''=∠∴∠AB B B MC''=∠在ABB '∆和B MC '∆中，BAB CB M AB B B MC AB B C ∠=∠⎧⎪∠='''∠''⎨⎪=⎩∴ABB B CM''∆≅∆∴1BB CM '==∵//CM C D'∴△CME DC E'∆∽∴13553CM CE DC DE '===∴38CE CD =∴333938888CE CD AB ====故答案为：98．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．17.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C的距离分别为4则正方形ABCD 的面积为________【答案】314【解析】【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．【详解】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵2，∠PBM=90°，∴2PB=2，∵PC=4，3，∴PC2=CM2+PM2，∴∠PMC=90°，∵∠BPM=∠BMP=45°，∴∠CMB=∠APB=135°，∴∠APB+∠BPM=180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH=HM ，∴BH=PH=HM=1，∴AH=2+1，∴AB 2=AH 2+BH 2=（）2+12，∴正方形ABCD 的面积为14+4．故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．18.如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE △按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分別交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．【答案】5【分析】过点E 作EP ⊥BD 于P ，将∠EDM 构造在直角三角形DEP 中，设法求出EP 和DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，BD =．∵△DAE 绕点D 逆时针旋转得到△DCF ，∴CF=AE ，DF=DE ，∠EDF=∠ADC=90°．设AE=CF=2x ，DN=5x ，则BE=1-2x ，CN=1-5x ，BF=1+2x ．∵AB ∥DC ，∴~FNC FEB ．∴NC FC EB FB =．∴1521212x x x x -=-+．整理得，26510x x +-=．解得，116x =，21x =-（不合题意，舍去）．∴1221233AE x EB x ===-=．∴103DE ===．过点E 作EP ⊥BD 于点P ，如图所示，设DP=y ，则2BP y =．∵22222EB BP EP DE DP -==-，∴)2222210233y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得，223y =．∴222210222333EP E D DP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴在Rt △DEP 中，253sin 5103EP EDP ED ∠==．即5sin 5EDM ∠=．故答案为：55【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【详解】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB=3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x=-4，即A （-4，3），∴OB=3，AB=4，，由旋转可知：OB=O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA=O 1A=O 2A 1=…=5，AB=AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4，∴OB 1=OA+AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：387 5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【解析】（1）如下图所示，点A1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A（4，1），∴=∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：290(17)360⨯π⨯=174π．【名师点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8AA '=；（2）1511BM =；（3）存在，最小值为1【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC 长为4．再根据旋转的性质可知AB A B '=，最后由等腰三角形的性质即可求出AA '的长．（2）作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．再由平行线的性质可知CEB A BC ''∠=∠，即可推出CEB ABC ∠=∠，从而间接求出3CE BC BC '===，DE DB =．由三角形面积公式可求出125CD =．再利用勾股定理即可求出185BE =，进而求出335C E '=．最后利用平行线分线段成比例即可求出BM 的长．（3）作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．由题意易证明BCC BC C ''∠=∠，90ACP BCC '∠=︒-∠，90A C D BC C '''∠=︒-∠，即得出ACP A C D ''∠=∠．再由平行线性质可知APC A C D ''∠=∠，即得出ACP APC ∠=∠，即可证明AP AC A C ''==，由此即易证()APD A C D AAS ''≅ ，得出AD A D '=，即点D 为AA '中点．从而证明DE 为ACA ' 的中位线，即12DE A C '=．即要使DE 最小，A C '最小即可．根据三角形三边关系可得当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值即为=A C A B BC ''-，由此即可求出DE 的最小值．【详解】（1）在Rt ABC 中，4AC ==．根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形．∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥，∴4A C AC '==，∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．∵//CE A B '，∴CEB A BC ''∠=∠，∴CEB ABC ∠=∠，∴3CE BC BC '===，DE DB =．∵1122ABC S AB CD AC BC == ，即543CD ⨯=⨯，∴125CD =．在Rt BCD 中，2295DB BC CD =-=，∴185BE =．∴335C E BE BC ''=+=．∵//CE A B '，∴BM BC CE C E '='，即33335BM =，∴1511BM =．（3）如图，作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠，∵180ACP ACB BCC '∠=︒-∠-∠，即90ACP BCC '∠=︒-∠，又∵90A C D BC C '''∠=︒-∠，∴ACP A C D ''∠=∠．∵//AP A C ''，∴APC A C D ''∠=∠，∴ACP APC ∠=∠，∴AP AC =，∴AP A C ''=．∴在APD △和AC D '' 中ADP A DC APD A C D AP A C '''∠=∠⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=⎩，∴()APD A C D AAS ''≅ ，∴AD A D '=，即点D 为AA '中点．∵点E 为AC 中点，∴DE 为ACA ' 的中位线，∴12DE A C '=，即要使DE 最小，A C '最小即可．根据图可知A C A B BC ''≤-，即当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值为==53=2A C A B BC ''--．∴此时1=12DE A C '=，即DE 最小值为1．【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．23.已知在 ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将 AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当∠BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC ＝90°且AB≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．【答案】（1）AE CF =；（2）成立，证明见解析；（3）5113【分析】（1）结论AE CF =．证明()AOE COF SAS ∆≅∆，可得结论．（2）结论成立．证明方法类似（1）．（3）首先证明90AED ∠=︒，再利用相似三角形的性质求出AE ，利用勾股定理求出DE 即可．【详解】解：（1）结论：AE CF =．理由：如图1中，∠=︒，OC OB=，BAC，90=AB AC⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，90AOC EOF∴∠=∠，AOE COF，OE OFOA OC==，∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，，OC OB=，BAC∠=︒90∴==，OA OC OB，AOC EOF∠=∠∴∠=∠，AOE COFOA OC=，OE OF=，()AOE COF SAS∴∆≅∆，AE CF∴=．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OE OC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OA CF OC=，5CF OA== ，∴5 53 AE=，253 AE∴=，5113 DE∴=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接,AF CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是__________．（2）如图②，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（090a ︒<<︒）．①AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN DM =，连接CN ）②求证：AF DM ⊥；③若旋转角45α=︒，且2EDM MDC ∠=∠，求AD ED的值．（可不写过程，直接写出结果）【答案】（1）AF=2DM （2）①成立，理由见解析②见解析③622+【解析】【分析】（1）根据题意合理猜想即可；=，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明（2）①延长DM到点N，使MN DM△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．【详解】（1）猜想AF与DM的数量关系是AF=2DM，故答案为：AF=2DM；（2）①AF=2DM仍然成立，=，连接CN，理由如下：延长DM到点N，使MN DM∵M是CE中点，∴CM=EM又∠CMN=∠EMD，∴△MNC≌△MDE∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE∴CN∥DE，又AD∥BC∴∠NCB=∠EDA∴△ADF≌△DCN∴AF=DN∴AF=2DM②∵△ADF≌△DCN∴∠NDC=∠FAD，∵∠CDA=90°，∴∠NDC+∠NDA=90°∴∠FAD+∠NDA=90°∴AF ⊥DM③∵45α=︒，∴∠EDC=90°-45°=45°∵2EDM MDC ∠=∠，∴∠EDM=23∠EDC=30°，∴∠AFD=30°过A 点作AG ⊥FD 的延长线于G 点，∴∠ADG=90°-45°=45°∴△ADG 是等腰直角三角形，设AG=k,则DG=k ，k ，k ，∴故ADED 622+=．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．25.如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【答案】（1）1；（2）12π；（3）23OF =【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH=x ，则CO 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB=60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF=1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE=3，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG=3，∠ACG=∠ECF=30°，∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =()2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F=60°，EF=1，∴13,22FH EH ==，∴CH=13222-=，设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵OB=OE ，∴2234OB x =+，在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得：16x =，∴112263OF =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．26.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，BE BC =，EF CD ⊥，垂足为F ．将四边形CBEF 绕点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到四边形CB E F '''．B E ''所在的直线分别交直线BC 于点G ，交直线AD 于点P ，交CD 于点K ．E F ''所在的直线分别交直线BC 于点H ，交直线AD 于点Q ，连接B F ''交CD 于点O ．（1）如图1，求证：四边形BEFC 是正方形；（2）如图2，当点Q 和点D 重合时．①求证：GC DC =；②若1OK =，2CO =，求线段GP 的长；（3）如图3，若//BM F B ''交GP 于点M ，1tan 2G ∠=，求'GMB CF H S S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②3）125-【分析】（1）先利用三个角是直角的四边形是矩形证明，再根据BE BC =证得结论；（2）①证明''CGB CDF ≅ 即可得到结论；②方法一：设正方形边长为a ，根据'~'B KO F CO ，求出11''22B K BC a ==，利用勾股定理得到222''B K B C CK +=，求出a，得到5B C '=，5B K '=，根据B KC ' ∽△CKG ，求出KG ，再根据PKD GKC ≅ ，求出答案；方法二：过点P 作PM GH ⊥于点M ，根据CG CD =，2CD CK =求出6CG =，由26PM CK ==，12GM =，再利用勾股定理求得结果；（3）方法一：延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，证明~'GBM CRF ，求出'1'2F H CF =，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，证明'~'RB C RF H ，求得2'''22CF R CF H S S x == ，由'~'GB C GE H，求出)21GB x =-，利用~'GBM CRF ，求出'6255GMB CF R S S -= ，即可得到答案；方法二，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，求得(2'465GBN CHF S GB S CH -⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，证明~'GBN GCB，求出55GB GC =，再证明~''MBN B F C ，求出答案；方法三：设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，证明~'MBN F OC，得到(2'9620MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，根据12GBN S BG BN =⨯⨯ ，求出答案．【详解】（1）在矩形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=︒，∵EF AB ⊥，则90EFB ∠=︒，∴四边形BEFC 是矩形．∵BE BC =，∴矩形BEFC 是正方形．（2）①如图1，∵90GCK DCH ∠=∠=︒，∴'90CDF H ∠+∠=︒，90KGC H ∠+∠=︒，∴'KGC CDF ∠=∠，又∵''B C CF =，''GB C CF D ∠=∠，∴''CGB CDF ≅ ，∴CG CD =．②方法一：设正方形边长为a ，∵PG ∥CF '，∴'~'B KO F CO ，∴'1'2B K OK CF CO ==，∴11''22B K BC a ==，∴在'Rt B KC 中，222''B K B C CK +=，∴222132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴5a =．∴5B C '=，5B K '=，∵90,CB K GCK B KC GKC ''∠=∠=︒∠=∠，∴B KC ' ∽△CKG ，∴2CK B K KG '=⋅,∴KG =∵1,,2B K a KE DKE B KC DE K KB C ''''''==∠=∠∠=∠，∴△B’CK ≌△E’KD ，∴DK=KC ，又∵∠DKP=∠GKC ，∠P=∠G ，∴PKD GKC ≅ ，∴PG=KG ，∴PG =；方法二：如图2，过点P 作PM GH ⊥于点M ，由''CGB CDF ≅ ，可得：CG CD =，由方法一，可知2CD CK =，∴6CG =，由方法一，可知K 为GP 中点，从而26PM CK ==，12GM =，从而由勾股定理得PG =．（3）方法一：如图3，延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，由题意可知，'//CF GP ，'//RB BM ，∴~'GBM CRF ，'G F CR ∠=∠，∴'1tan tan ''2F HG F CH CF ∠=∠==，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，∴''''''2CB CF E F B E BC x =====，∵'//'CB HE ，∴'~'RB C RF H ，∴''1''2F H RH RF B C RC RB ===，∴CH RH =，'''B F RF =，∴2CR CH ==，2'''22CF R CF H S S x == ，∵'//'CB HE ，∴'~'GB C GE H ，∴'22'33GC B C x GH E H x ===，'2'3B C E H ==，∴)21GB x =，∵~'GBM CRF ，∴22'216255GMBCF Rx S GB S CR ⎡⎤-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∵'''2CF R CF H S S =，∴'125GMB CF HS S -= ．方法二，如图4，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．由题意可知，'//CF GP ，'//HE BN ，∴~'GBN CHF ，∴2'GBN CHF S GB S CH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵'//CF GP ，∴'NGB F CH ∠=∠，∴'1tan tan ''2CB FH G F CH GB CF ∠=∠===，设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，∴CH =，CG =，则)21GB x =，∴(22'21465GBN CHF x S GB S CH ⎛⎫--⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∵2'1'2CF H S CF FH x =⋅= ，∴(2465GBNSx -=，∵'//HE BN ，∴~'GBN GCB，∴55'5GB GC CB BN -===，∵'//CB BN ，//''BM B F ，'//'CF GB ，∴~''MBN B F C ，∴22''55625'55MBN B F C S BN S CB ⎛⎫-⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(2''26655MBNB FC SS x --==，∴(((222462626555MBGNBG MBN SS S xxx ---=-=-=，∴'12455GMB CF H S S -= ．方法三：如图5，设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，由题意可知，'//CF GP ，//''BM B F ，//BN CO ，∴~'MBN F OC ，∴2'MBN F OC S BN S CO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由方法（2）可知，)251GB x =，所以)51BN x =-，又∵22533CO CK x ==，∴(2'96520MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，∴((229625362542035BMNSxx --=⨯=，∵)(222151652GBN S BG BN x x =⨯⨯==- ，∴(((2223625262562555GBMGBN NBM SS S x xx --=-=--=，∴2'1''2CF H S CF F H x =⨯⨯= ，∴'12455GMB CF H S S -= ．【点睛】此题考查正方形的判定定理及性质定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．。

中考数学第一轮复习坐标系专题训练

中考数学第一轮复习专题训练一、填空题：（每题3分，共36分）１、点A （3，－2）关于 x 轴对称的点是＿＿＿＿＿。

２、P （2，3）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿。

３、P （－2，3）到轴的距离是＿＿＿＿＿。

４、小红坐在第 5 排 24 号用（5，24）表示，则（6，27）表示小红坐在第＿＿排＿＿＿号。

５、以坐标平面内点A （2，4），B （1，0），C （－2，0）为顶点的三角形的面积是＿＿。

６、如图１，△AOB 的顶点A 的坐标为＿＿＿＿＿。

７、如图１，△AOB 沿x 轴向右平移1个单位后，得到△A'O'B'，则点A'的坐标为＿＿＿＿。

８、如图２，矩形ABOC 的长OB ＝3，宽AB ＝2，则点A＿＿＿。

９、如图３，正方形的边为2，则顶点Ｃ的坐标为＿＿＿＿＿。

10、如图４，△AOB 和它缩小后得到的△COD 。

则△AOB 和△COD 的相似比为＿＿＿＿。

11、小东要在电话中告诉同学如图５的图形，他应当怎样描述。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、如图６，一个机器人从O 点出以，向正东方走3米到达A 点，再向正北方走6米到达A 2点，再向正西方向走9米到达A 3点，再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6点时，离Ｏ点的距离是＿＿＿＿＿米。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、若点A （m ，n ）在第三象限，则点B （－m ，n)，在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三名象限D 、第四象限２、若P （m ，2）与点Q （3，n ）关于轴的对称，则m 、n 的值是（） A 、－3，2 B 、3，－2 C 、－3，－2 D 、3，2 ３、A 在B 的北偏东30°方向，则B 在A 的（）A 、北偏东30°B 、北偏东60°C 、南偏西30°D 、南偏西60°４、下列说法正确的是（）A 、两个等腰三角形必是位似图形B 、位似图形必是全等图形C 、两个位似图形对应点连线可能无交点D 、两个位似形对应点连线只有一个交点５、将△ABC 的三个顶点的纵坐标乘以－1，横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（）yy x 东（6）x ）A 、关于 x 轴对称B 、关于轴对称C 、关于原点对称D 、原图形向轴负方向平移1个单位６、如图，每个小正方形的边长为1个单位，对于A 、B 的位置，下列说法错误的是（）A 、B 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 A 重合B 、A 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 B 重合C 、B 在 A 的东北方向且相距 22 个单位D 、若点 B 的坐标为（0，0），则点 A 的坐标为（－2，－2）三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）１、在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只子的位置分别是A （b ，3），B （d ，5），C （f ，7），D （h ，2），请在图中描出它们的位置。

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九年级数学13－1（共4页）
2006年中考数学第一轮复习专题训练(十三)
（轴对称）
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）
１、正方形是轴对称图形，它有＿＿＿＿条对称轴。

２、角是轴对称图形，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

３、汉字中，有很多字是轴对称图形，如“王”、“工”等，请你再写出三个不同的轴对称汉字＿＿＿＿＿＿＿＿。

４、已知p 点在线段AB 的垂直平分线上，且PB ＝4cm ，
则PA ＝＿＿＿＿cm 。

５、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，则∠ADB ＝＿＿＿＿。

６、补全图形，使它成对轴对称图形。

７、一枚印章上刻有，那么印在纸上的数字是＿＿＿＿。

８、如图，△ABC 中，AD 垂直平分BC 边，AB ＝5，CD ＝3，那么△ABC 周长为＿＿＿＿。

９、我国传统木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这个图案有＿＿＿＿条对称轴。

10、如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，DE ＝4cm ，则DF ＝＿＿＿＿cm 。

11、不重合的两点的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、在照镜子时，小明发现其上衣右上部有一个口袋，
则小明上衣上的口袋应在＿＿＿＿。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、下列几何图形中，①线段；②角；③圆；④等腰
三角形；⑤直角三角形；其中是轴对称图形的有（）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
２、下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）
A B C D ３、观察下图中各组图形，其中不是轴对称的是（）
A B C D ４、将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B ”，再把它铺开，你可见到（） A
B
C
537 …………………………密……………………封……………………装……………………订…………………
学校：＿＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿座号：＿＿＿＿
第６题
A D
B C
第８题
第９题 ┐ ┐ A E F D
B
C
第10题
九年级数学13－2（共4页）
D
５、下列说法错误的是（）
A 、若A ，A' 是以BC 为轴对称的点，则
AA' 垂直平分BC
B 、线段的一条对称轴是它本身所在的直线
C 、一条线段的一个端点的对称点是另一个端点
D 、等边三角形是轴对称图形
６、在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是（） A 、21:02 B 、21:05 C 、20:15 D 、20:05 三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）１、画出下列图形的对称轴。

① ② ③
２、以虚线为对称轴，画出已知图形的轴对称图形。

３、在由小正方形组成的L 形的图中，用三种不同方法添画一个小正方形，使它成为轴对称图形。

方法一方法二方法三
４、已知：在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8cm ，△ABE 的周长是14cm ，求AB 的长。

A B
∶
５、在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠BAC＝1∶3，求∠B的度数。

６、如图所示，牧童在A处放牛，他的家在B处，晚上回家时要到河边l让牛饮一次水，则饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短？
四、（10分）如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，
得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪
一条线。

①猜一猜，将纸打开后你会得到怎样的图形？
②这个图形有几条对称轴。

九年级数学13－3（共4页）
九年级数学13－4（共4页）
五、（12分）已知，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在 x 轴，轴上，点A 坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以OA 为轴对折后，使点C 落在点D 处，求
点D 坐标。

六、（14分）已知，矩形ABCD
①作出点C 关于BD 所在直线的对称点C'
②连结C'B ，C'D ，若△C'BD 与△ABD 垂叠部分的面积等于△ABD 面积的 2
3，
求∠CBD 的度数。

答案：
（十三）
一、1、4 2、角平分线所在的直线 3、日田由 4、4 5、90° 6、略 7、537 8、16
y y A C B
O x A B D C
9、210、411、这两点为端点的线段的中垂线12、左上部
二、1、D2、D3、C4、C5、A6、B
三、1－3略4、AB＝6cm5、∠B＝22.5°6、略
四、①轴对称图形三条
五、解：C（33，3）、D（－33，3）
六、①如图②∠CBD＝30°∵S△BED＝2
3
S△ABD∴S△AEB∶S△BED＝1∶2∴EB＝ED∵
AE
EB
＝1
2
∴∠ABE＝30°∠AEB＝60°∴∠EBC＝∠AEB＝60°易知BD平分∠CBE ∴∠CBD＝
1
2
∠EBC＝30°
九年级数学13－5（共4页）。