函数的概念与基本初等函数Ⅰ-高考理科数学课时训练一轮复习

第4节函数的概念及其表示
一、选择题
1．(2018山东德州模拟)设函数y＝9－x2的定义域为A，函数y ＝ln(3－x)的定义域为B，则A∩∁R B＝()
A．(－∞，3) B．(－∞，－3)
C．{3} D．[－3,3)
【答案】C
【解析】由9－x2≥0解得－3≤x≤3，可得A＝[－3,3]，由3－x>0解得x<3，可得B＝(－∞，3)，因此∁R B＝[3，＋∞)．∴A∩(∁R B)＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.
2．(2018河南三门峡一模)下列图象中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()
A B C D
【答案】C
【解析】A选项中的值域不符合，B选项中的定义域不符合，D 选项不是函数的图象，则选项C正确．
3．(2018河北荆门期末)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
【答案】B
【解析】设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，
b ＝－2，
c ＝0，
∴g (x )＝3x 2－2x .
4．(2018陕西咸阳三模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－cos πx ，x >0， f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
43＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－2
【答案】C
【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝5
2.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝12＋52＝3.
5．(2018安徽马鞍山质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x 为有理数，
0，x 为无理数，
则
f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝( )
A ．44
B ．45
C ．1 009
D ．2 018
【答案】A
【解析】由442＝1 936，452＝2 025可得1，2，3，…，2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝44.
6．(2018湖南衡阳县联考)若函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x －2a ≥0，
b －x >0，
解不等式组得
⎩⎨⎧
x ≥2a ，x <b .
∵函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝4，
∴a ＋b ＝1＋4＝5.故选B. 7．(2018福建福州八中期末)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2 x ＋a ，x >0，4x －2
－1，x ≤0，若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )
A ．－15
16 B ．3 C ．－6364或3 D ．－15
16或3
【答案】A
【解析】若a >0，则f (a )＝log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2，则f (a －2)＝f (0)＝4－2
－1＝－15
16；若a ≤0，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不合题
意．综上f (a －2)＝－15
16.故选A.
8．(2018河南南阳第一中学第一次模拟)设函数f (x )＝lg 3＋x
3－x
，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x 的定义域为( )
A ．(－9,0)∪(0,9)
B ．(－9，－1)∪(1,9)
C ．(－3，－1)∪(1,3)
D ．(－9，－3)∪(3,9) 【答案】B
【解析】因为函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，所以3＋x
3－x
>0，解得－3<x <3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－3<x 3<3，
－3<3
x <3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－9<x <9，
x >1或x <－1，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x 的定义域为(－9，－1)∪(1,9)．故选B.
二、填空题
9．(2019湖北黄冈浠水县实验高中模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．
【答案】⎝
⎛
⎭
⎪⎫－1，－12
【解析】∵函数f (x )的定义域为(－1,0)， ∴由－1＜2x ＋1＜0，解得－1<x <－1
2. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－12.
10．(2019山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)
－x 2
－3x ＋4
的定义域是________． 【答案】(－1,1)
【解析】∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x >－1，－4<x <1，
即－1＜x ＜1，
∴所求函数的定义域是(－1,1)．
11．(2018广西桂林调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.
若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝
4，则b ＝________.
【答案】1
2
【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b .若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫52－b －
b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝1
2，满足题意．
12．(2018浙江台州一模)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，有f (x ＋1 001)＝2
f (x )＋1
.若f (15)＝1，则f (2 017)＝________.
【答案】1
【解析】根据题意， f (2 017)＝f (1 016＋1 001)＝2
f (1 016)＋1
，
f (1 016)＝f (15＋1 001)＝2f (15)＋1
，而f (15)＝1，所以f (1 016)＝
2
1＋1＝1，则f (2 017)＝
2f (1 016)＋1
＝2
1＋1＝1.
三、解答题
13．(2018湖南永州模拟)已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.
(1)求f (－1)和f (1.5)的值；
(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．
【解】(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.
(2)当x ∈[0,1]时， f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1], f (x )＝－12f (x －1)＝－1
2(x －1)2；
当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1), f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0), f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，
－2(x ＋1)2
，x ∈[－1，0)，x 2
，x ∈[0，1]，
－12
(x －1)2
，x ∈(1，2].。