最新【苏教版】高一数学必修一：3.2.2《对数函数第一课时》同步练习(含答案)

最新教学资料·苏教版数学2.3.2 对数函数 第一课时1．函数y ＝1－x ＋lgx 的定义域为__________．2．函数f(x)＝log (a －1)x 是减函数，则a 的取值范围是__________． 3．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b ，则f(－a)＝__________.4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是单调增函数的个数是__________． ①y ＝5x ②y ＝lgx ＋2 ③y ＝(12)x ④y ＝x 2＋1⑤y ＝log 12x5．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M ，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N ，则M ∩N ＝__________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a ＞0且a ≠1)恒过定点P ，则P 点的坐标为__________．7.下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 的值依次是__________．8．下列不等式成立的序号是__________．①log 32＜log 23＜log 25 ②log 32＜log 25＜log 23 ③log 23＜log 32＜log 25 ④log 23＜log 25＜log 329．(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ，x ≤0.若f(a)＝12，则a ＝__________；(2)若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝__________. 10．记函数f(x)＝(12)－x 的反函数为f －1(x)，则函数y ＝f －1(x －1)的图象可由函数y ＝log 2x经过向__________平移__________个单位而得到．11．(1)已知log 0.7(2m)<log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是__________；(2)已知log a 25<1，则a 的取值范围是__________．12．画出函数f(x)＝|log 2x|的图象．13．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(3x－2)x－3；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log(x＋1)(2－x)．14．已知函数y＝lg(x2＋1－x)，求其定义域，并判断函数的奇偶性、单调性．15．下列四图，当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的大致图象的序号是__________．16．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是__________．17．三个数a ＝30.7，b ＝log 30.7，c ＝0.73按从大到小的顺序排列为__________． 18．若函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.19．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≤0，log 2(x ＋2)，x ＞0，若f(x 0)≥2，则x 0的取值范围是__________．20．设a ＝log 34，b ＝log 43，c ＝log 3(log 43)，则a 、b 、c 的大小关系是__________．21．(1)已知函数f(x)＝log a x 满足f(9)＝2，则a ＝__________；(2)如果函数f(x)＝(3－a)x ，g(x)＝log a x 的单调性相同，则a 的取值范围是__________． 劲草敢做疾风，险峰只迎闯将。

——卢嘉锡22.(1)函数f(x)＝lg (4－x )x －3的定义域是__________；(2)函数y ＝log (x －1)(3－x)的定义域是__________． 23．方程log 2(x ＋4)＝3x 的实根个数为__________． 24．函数y ＝log 12(4x －x 2)的值域是__________．25．(易错题)方程log 12(3x －1)＝log 12(x －1)＋log 12(3＋x)的解集是__________．26．已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，且x>0时，f(x)＝lgx ，则f(－100)的值为__________．27．(易错题)已知0＜a ＜b ＜1，比较log a b 、log b a 、log 1a b 、log 1b a 的大小．28．已知函数f(x)＝log a 1＋x1－x (a>0且a ≠1)．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)求使f(x)>0的x 的取值范围．29．求函数f(x)＝－(log 12x)2－log 14x ＋5在2≤x ≤4范围内的最值．30．已知f(x)＝lg a －x1＋x是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f(x)在定义域上的单调性，并给出理由．答案与解析基础巩固1．0<x ≤1 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x>0，得0<x ≤1.2．(1,2) 由题意知，0＜a －1＜1， ∴1＜a ＜2.3．－b f(－a)＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a＝－f(a)＝－b.4．3 ①②④是(0，＋∞)上的增函数．5．(－1,1) ∵M ＝{x|1－x ＞0}＝{x|x ＜1}， N ＝{x|1＋x ＞0}＝{x|x ＞－1}，∴M ∩N ＝{x|－1＜x ＜1}＝(－1,1)．6．(3,1) 若x －2＝1，即x ＝3时，则不论a 为何值，只要a ＞0且a ≠1，都有y ＝1.∴函数恒过定点P(3,1)．7.3，43，35，110 ∵当a>1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴．∴C 1对应的a 值最大为3，相应于C 2的a 值为43，C 3对应的a 值为35，C 4对应的a 值最小为110.也可以作出直线y ＝1与C 1、C 2、C 3、C 4的交点分别为(a 1,1)、(a 2,1)、(a 3,1)、(a 4,1)，结合图象可知：a 1>a 2>a 3>a 4，因此C 1、C 2、C 3、C 4相应的a 值依次为3，43，35，110.8．① ∵log 32＜log 33＝1,1＝log 22＜log 23＜log 25， ∴log 32＜log 23＜log 25，故①正确． 9．(1)－1或2 (2)24 (1)令f(a)＝log 2a ＝12，得a ＝2＞0；令f(a)＝2a ＝12＝2－1，得a ＝－1＜0，均满足条件，∴a ＝－1或 2.(2)f(x)＝log a x(0＜a ＜1)在(0，＋∞)上是减函数，当x ∈[a,2a]时，f(x)max ＝f(a)＝1，f(x)min ＝f(2a)＝log a 2a.根据题意，3log a 2a ＝1，即log a 2a ＝13，所以log a 2＋1＝13，即log a 2＝－23.故由a －23＝2得a ＝2－32＝24.10．右 一 ∵f(x)＝(12)－x ＝2x ，∴f －1(x)＝log 2x. ∴f －1(x －1)＝log 2(x －1)，其图象只需将y ＝log 2x 图象向右平移一个单位长度即可得到．11．(1)(1，＋∞) (2)(0，25)∪(1，＋∞) (1)考查函数y ＝log 0.7x ，它在(0，＋∞)上是减函数，∵log 0.7(2m)＜log 0.7(m －1)， ∴2m ＞m －1＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧2m ＞m －1，m －1＞0，得m ＞1，即m 的取值范围是(1，＋∞)． (2)当a>1时，log a 25<log a a ，a>25，∴a>1.当0<a<1时，由log a 25<log a a ，得0<a<25.综上，知a 的取值范围是0<a<25或a>1，即a ∈(0，25)∪(1，＋∞)．12．解：函数f(x)＝|log 2x|的图象应是将y ＝log 2x 的图象位于x 轴下方的部分翻折到x轴上方，而原上方的不变，图象如下：13．解：(1)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，x －3≠0， 解得x>23且x ≠3.∴函数的定义域为{x|x>23，且x ≠3}．(2)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5(4x －3)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34<x ≤1.∴函数的定义域为(34，1]．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<2且x ≠0.∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2)．14．解：由题意x 2＋1－x>0，得x ∈R ，即定义域为R . 又f(－x)＝lg[(－x )2＋1－(－x)] ＝lg(x 2＋1＋x)＝lg 1x 2＋1－x＝lg(x 2＋1－x)－1＝－lg(x 2＋1－x)＝－f(x)， ∴y ＝lg(x 2＋1－x)是奇函数． 任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则x 21＋1＜x 22＋1x 21＋1＋x 1＜x 22＋1＋x 2 1x 21＋1＋x 1＞1x 22＋1＋x 2，即有x 21＋1－x 1＞x 22＋1－x 2＞0.∴lg(x 21＋1－x 1)＞lg(x 22＋1－x 2)，即f(x 1)＞f(x 2)成立． ∴f(x)在(0，＋∞)上为单调减函数．又f(x)是定义在R 上的奇函数，故f(x)在(－∞，0)上也为单调减函数．能力提升15．① 首先把y ＝a －x化为y ＝(1a)x ，∵a ＞1，∴0＜1a＜1.因此y ＝(1a )x ，即y ＝a －x 的图象是下降的，y ＝log a x 的图象是上升的．16．2 ∵x ∈[0,1]， ∴x ＋1∈[1,2]．∵log a 1＝0，∴log a 2＝1.∴a ＝2. 17．a>c>b ∵3>1,0.7>0， ∴a ＝30.7>1,0<c ＝0.73<1， b ＝log 30.7<0. ∴a>c>b.18．e 2x －2 ∵y ＝f(x)与y ＝ln x ＋1的图象关于y ＝x 对称， ∴y ＝f(x)与y ＝ln x ＋1互为反函数． ∵ln x ＝y －1，∴x ＝e y －1.∴x ＝(e y －1)2＝e 2y －2.∴f(x)＝e 2x －2.19．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 当x 0≤0时，f(x 0)＝(12)x 0≥2，∴－x 0≥1，∴x 0≤－1；当x 0＞0时，f(x 0)＝log 2(x 0＋2)≥2＝log 24.∴x 0＋2≥4.∴x 0≥2.∴x 0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．20．c ＜b ＜a ∵a ＝log 34＞log 33＝1，b ＝log 43＞log 41＝0且b ＝log 43＜log 44＝1，即0＜b ＜1，c ＝log 3(log 43)＜log 31＝0，∴c ＜b ＜a.21．(1)3 (2)(1,2) (1)由题意知log a 9＝2，∴a 2＝9. 又a ＞0，且a ≠1，∴a ＝3；(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜3－a ＜1，0＜a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1.解得1＜a ＜2. 22．(1)(－∞，3)∪(3,4) (2)(1,2)∪(2,3) (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≠0，4－x ＞0，∴x ≠3，且x ＜4，∴所求函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)；(2)要使原函数有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＞0，x －1＞0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜3，x ＞1，x ≠2，∴1＜x ＜3且x ≠2.∴原函数的定义域为(1,2)∪(2,3)．23．2 此类问题通过解方程是无法解决的，只有借助于函数图象来解决．在同一坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋4)与y ＝3x 的图象如图所示，可观察出两个函数的图象共有两个不同的交点，∴原方程有两个实根．函数y ＝log 2(x ＋4)的图象可由y ＝log 2x 的图象向左平移4个单位得到．24．[－2，＋∞) 令t ＝4x －x 2，则t ＝－(x －2)2＋4≤4，而y ＝log 12t 在(0,4]上为单调减函数，∴当t ＝4时，y 有最小值y min ＝log 124＝－2.∴y ≥－2，即值域为[－2，＋∞)(也可以认为：当x ＝2时，t 有最大值为4，而y ＝log12t 为减函数，∴y 有最小值且y min ＝log 124＝－2)．25．{2} 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＝(x －1)(3＋x )，3x －1＞0，x －1＞0，3＋x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＝0，x ＞1， ∴x ＝2.∴原方程的解集为{2}．点评：同底的对数方程可用比较真数法化为代数方程来解．若不同底，可用定义或性质转化为同底，但要注意转化的等价性．本题主要利用对数的运算性质，将方程转化为一元二次方程，同时保证各对数式有意义，即求出的根必须适合x 的范围，或求出解来后再验根．否则会因产生增根而错解．求解集要注意最后将解或根写成集合形式．26．－2 ∵y ＝f(x)是奇函数， ∴f(－100)＝－f(100)． ∵x>0时，f(x)＝lgx ， ∴f(100)＝lg100＝2. ∴f(－100)＝－2.27．解：方法一(代数法)： ∵0＜a ＜b ＜1，∴1a ＞1b ＞1，函数y ＝log a x 和y ＝log b x 都是区间(0，＋∞)上的单调减函数，y ＝log 1a x 和y ＝log 1bx 都是区间(0，＋∞)上的单调增函数．∴log a b ＞log a 1＝0，log b a ＞log b 1＝0，log 1a b ＜log 1a 1＝0，log 1b a ＜log 1b 1＝0.∵log a b ＜log a a ＝1＝log b b ＜log b a ， log 1b a ＜log 1b b ＝－1＝log 1a a ＜log 1a b ， ∴log 1b a ＜log 1a b ＜log a b ＜log b a.方法二(图象法、数形结合法)：由对数函数的性质及0＜a ＜b ＜1，可以得到函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log 1a x ，y ＝log1b x 的图象的大致位置如图所示．作直线x ＝a 和x ＝b 可以得到log a b 、log b a 、log 1a b 、log 1b a 的对应点A 、B 、C 、D.由此可以判断它们的大小关系为： log 1b a<log 1ab<log a b<log b a. 点评：比较两个对数式的值的大小，若同底可根据对数函数的单调性判断；若不是同底的对数式，一种途径是化为同底或采用放缩法借助第三个中间量来比较大小，这个中间量通常是“0”或“1”，特别是多个数式的大小比较，一般先以0与1作分界点进行分组，然后再在每组内分别比较，最后下结论(如方法一)；另一种途径是利用对数函数的图象与性质去判断(如方法二)．图象法直观形象、快捷，但需对基本函数的图象把握深、透．由于底数影响指、对数函数的单调性，因此要特别注意底数，必要时还要分类讨论．28．解：(1)由题意，知1＋x1－x＞0，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0①或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，②解①得－1＜x ＜1，解②得x ∈， ∴函数f(x)的定义域为x ∈(－1,1)． (2)由(1)知，函数定义域关于原点对称， ∵f(－x)＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x 1－x )－1＝－log a 1＋x1－x ＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数． (3)∵f(x)＞0， ∴log a 1＋x 1－x ＞0，即log a 1＋x 1－x ＞log a 1.∴当a ＞1时，有1＋x1－x ＞1.又∵－1＜x ＜1，∴1－x ＞0. ∴1＋x ＞1－x ，得x ＞0. 又∵x ＜1，∴0＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，有0＜1＋x1－x＜1.∵1－x ＞0，∴0＜1＋x ＜1－x. ∴－1＜x ＜0.综上，知当a ＞1时，f(x)＞0的x 的取值范围是(0,1)；当0＜a ＜1时，f(x)＞0的x 的取值范围是(－1,0)．29．解：f(x)＝－(log 12x)2－log(12)2x 1＋5＝－(log 12x)2－12log 12x ＋5，令t ＝log 12x ，则由于t关于x 的函数在[2,4]上是单调减函数，∴t min ＝log 124＝－2，t max ＝log 122＝－1，即t ∈[－2，－1]．∴函数y ＝g(t)＝－t 2－12t ＋5＝－(t ＋14)2＋8116.其图象对称轴t ＝－14，开口向下． ∴g(t)在[－2，－1]上为单调增函数．∴f(x)max ＝g(t)max ＝g(－1)＝92， f(x)min ＝g(t)min ＝g(－2)＝2.拓展探究30．解：(1)由f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即lg a －x 1＋x ＋lg a ＋x 1－x ＝0，a 2－x 21－x 2＝1在定义域上恒成立，解得a ＝1(或f(0)＝0得a ＝1)； (2)f(x)＝lg 1－x 1＋x ，由1－x 1＋x >0解得f(x)的定义域为(－1,1)，u ＝1－x 1＋x ＝2x ＋1－1在(－1,1)上单调递减，因为y ＝lgu 单调递增，所以f(x)在(－1,1)上单调递减．。