【高三数学(文)】2016遂宁二诊试题及答案

遂宁市高中2016届二诊考试2016遂宁二诊数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合}21|{≤<-=x x A ，}20|{<<=x x B ，则A B =IA ．]2,1(-B ．)2,0(C ．]2,0(D ．),1(+∞2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足31i z i=+，则z 为A ．12i + B ．12i - C ．12i -- D ．12i-+ 3．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若211x x ==，则”的否命题为：“若211x x =≠，则”； B ．“1m =”是“直线00x my x my -=+=和直线互相垂直”的充要条件C ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”； D ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A=B ，则sin sin A B =”的逆命题为真命题.4．要得到函数x y 21sin =的图象，只要将函数cos 2y x =的图象 A ．向右平移4π个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍， 纵坐标不变 B. 向左平移4π个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的41倍，纵坐标不变C. 向左平移4π个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 D. 向右平移4π个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的41，纵坐标不变5．在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56，则实数m 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．96．若),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-+≤-+022012083y x y x y x 所表示的平面区域内，则222121y x +的最大值为 A ．4 B ．5 C ．2 D ．2107．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， 则这个几何体的体积是 A ．72 B ．80 C ．120 D ．1448．执行如图所示的程序框图， 则输出的S 为 A ．31B ．2C ．21-D ．3-9．过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2F F B =A uu u r uuu r，则此双曲线的离心率为ABC ．2 D10．已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)()2(x f x f =+，且当]3,2[∈x 时，2()(2)1f x x =--+。

若函数11()()12y f x a x =--在),0(+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 A ．1(,3)3 B ．14(,)33 C ．(3,12) D ．4(,12)3第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．11．某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ▲12．已知函数122(3),0()1log [8()],04x x f x x f x e x +-->⎧⎪=⎨+⨯≤⎪⎩，则=)6(f ▲ 13．海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 ▲ 小时14．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =uu r uu u r，P 是矩形BCDE 内（含边界）的一点，且OP xOA =uu u r uu r +(,)yOB x y R ∈u uu r 。

则x y -的最大值为 ▲15．若点M 是以椭圆18922=+y x 的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M 作该圆的切线交椭圆E 于P ，Q 两点，椭圆E 的右焦点为2F ，则△Q PF 2的周长是 ▲ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知222a cb ac +-==。

（1）求角A 的大小；（2）设函数x B x x f 2cos )2cos(1)(-++=，求函数)(x f 的最大值17．（本小题满分12分）为了解我市高三学生参加体育活动的情况，市直属某校高三学生500人参加“体育基本素质技能”比赛活动，按某项比赛结果所在区间分组：第1组：[25,30)，第2组：[30,35)，第3组:其频率分布直方图为：（1）求人数统计表中的a 和b 的值；（2）根据频率分布直方图，估计该项比赛结果的中位数；（3）用分层抽样的方法从第1，2，3组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加上一级比赛活动，求参加上一级比赛活动中至少有1人的比赛结果在第3组的概率．18．（本小题满分12分）在下图所示的几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．（1）证明：NE PD ⊥； （2）求四棱锥B CEPD -的体积．19．（本小题满分12分）已知等比数列}{n a 、等差数列{}n b ， 满足11122330,1,,a b a b a b a >=-==（1）若114a =求数列}{n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列}{a 唯一，求数列{}a b +前n 项和20．（本小题满分13分）已知点F (0,1)为抛物线22x py =的焦点。

（1）求抛物线C 的方程；（2）点A 、B 、C 是抛物线上三点且0=++FC FB FA ,求ABF ∆面积的最大值21．(本小题满分14分)已知函数()1x f x me x =--.（其中e 为自然对数的底数,）（1）若曲线()y f x =过点(0,1)P ，,求曲线()y f x =在点(0,1)P 处的切线方程。

（2）若()0f x >恒成立，求m 的范围。

（3）若()f x 的两个零点为12,x x 且12x x <, 求21211()()xxx x y e e m =--的值域遂宁市高中2016届二诊考试数学（文科）试题参考答案及评分意见二、填空题（5⨯5=25分）11．80 12．8 13．3214．－1 15．6 15.根据题意作出图形如图所示，设直线PQ 的方程为)0,0(><+=m k m kx y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y 得72918)98(222=-+++m kmx x k ，有0)89(288)729)(98(4)18(22222>+-=-+-=∆m k m k km设),(11y x P ，),(22y x Q ，则2219818k kmx x +-=+，222198729k m x x +-=，∴2121x x k PQ -+=2122124)(1x x x x k -++=22222987294)9818(1km k km k+-⨯-+-+=22222)98()89(8941k m k k ++-⨯⨯+=。

∵直线PQ 与圆822=+y x 相切，∴2212=+k m ，即)1(82k m +=，∴2986k kmPQ +-=，∵21212)2(yx PF +-=)91(8)1(2121x x -+-=21)33(-=x ，301<<x ，∴3312x PF -=，同理3322x QF -=，∴PQ QF PF ++2222198636kkmx x +-+-=6986986622=+-++=k km k km 因此，△Q PF 2的周长是定值6.法二：设),(11y x P ，),(22y x Q ，则1892121=+y x ，21212)2(yx PF +-=)91(8)1(2121x x -+-=21)33(-=x ，301<<x ，∴3312x PF -=，又M 是圆O 的切点，连接OP ，OM ，∴22OMOP PM -=82121-+=y x 8)91(82121--+x x 131x =，∴331313112=+-=+x x PM PF ，同理32=+QM QF ，∴PQ QF PF ++22633=+=，因此，△Q PF 2的周长是定值6.三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．(本小题满分12分)解：（1）在△ABC 中，因为2221cos 22a c b B ac +-==，所以3π=B 。

………2分在△ABC =B C =，所以22sin =C ，320π<<C ，4π=C ，故125432πππ=-=A ………6分（2）由（1）得x x x f 2cos )32cos(1)(-++=πx x x 2cos 2sin 232cos 211--+=x x 2cos 212sin 231--= )672sin(1π++=x ………10分max ()2f x = ………12分17．(本小题满分12分)解：（1）由题设可知，a =0.08×5×500=200，b =0.02×5×500=50． ………3分 （2）根据频率分布直方图，估计的中位数为：35+0.30.08=38.75． ………6分 （3）∵第1，2，3组共有50+50+200=300人，∴利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，第1组抽取的人数为650300⨯=1，第2组抽取的人数为650300⨯=1，第3组抽取的人数为62004300⨯=． ………8分 记第1组抽取的1位同学为A ，第2组抽取的1位同学为B ，第3组抽取的4位同学为1C ，2C ，3C ，4C ．∴从6位同学中抽两位同学有：(,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ．共有15种等可能． ………10分其中2人比赛结果都不在第3组的有：（A ，B ），共1种可能．∴至少有1人比赛结果在第3组的概率为11411515-=． ………12分 18．(本小题满分12分)解：（1）连接AC ，BD ．令AC 交BD 于F ．连接NF∵四边形ABCD 是正方形，∴F 为BD 的中点． ∵N 为PB 的中点．∴//NF PD 且12NF PD =． ………2分 又∵EC ∥PD 且12EC PD =，∴NF ∥EC 且NF =EC ． ∴四边形NFCE 为平行四边形． ………3分 ∴NE ∥FC ，即NE ∥AC ．又∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ． ∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ．∵PD BD D =I ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， ………5分 ∴AC ⊥平面PBD ．∵NE ∥AC ，∴NE ⊥平面PBD ．∴NE ⊥PD ． ………6分（2）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ，∴平面PDCE ⊥平面ABCD ．∵BC ⊥CD ，平面PDCE ∩平面ABCD =CD ，且BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面PDCE ．∴BC 是四棱锥B －PDCE 的高． ………9分 ∵22PD AD EC ===，四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD =2，EC =1．………10分∵11=()(21)2322PDCE S PD EC DC +⋅=⨯+⨯=梯形， ………11分∴四棱锥B －CEPD 的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形． ……12分19．(本小题满分12分)解：（1）设}{n a 的公比为q ，则由3122b b b +=有2211111121210a q a a q a q a q a =-+⇒-+-=21211301,3424q q q q --=⇒=-= ………2分 11122131151(1),1,44424n n n q a b a b a b n -=-=-=-=-==-⇒=-当时,111221333933,1,44424n n n q a b a b a b n -===-=-==⇒=-g 当时,…6分 （2）由题意知2211111121210a q a a q a q a q a =-+⇒-+-=2111144(1)40a a a a ∆=--=>故关于q 的方程有两个不同的实根，由}{n a 唯一可知方程必有一根为0， 代入方程得11a =，从而2=q ………8分12-=∴n n a ，112210,20(1)222n b a b a b n n =-===⇒=+-⨯=-11221212()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =++++++=+++++++令）（）（L L L 21(12)(022)21122n n n nn n -+-=+=+---g ………12分 20．(本小题满分13分) 解：（1）由题意知y x p p42122=⇒=⇒=. ………4分 （2）令)4,(),4,(),4,(233222211x x C x x B x x A ，不妨设直线AB 与y 轴交于点),0(D y D4044421121122122x x y x x y x x x x DD -=⇒--=--∴ ………5分 又因为=++13444,03232221321=++=++∴x x x x x x从而23222132112,x x x x x x -=+-=+ ………7分 2222212121231232()()2126x x x x x x x x x x ∴=+-+=-⇒=-21112ABF D S y x x ∆=-- 2222222212121233311(1)(2)(46)(12212)4464ABF x x S x x x x x x x ∆=++-=+---+ 222222333313(2)(243)(2)(8)6464x x x x =--=-- 令023≥=x t23(2)(8)64y t t =-- 23'[2(2)(8)(t 2)]64y t t =---- 1202,6y t t '=⇒==令 ………10分(0,2)t t ∈∈∈∞当时函数单调递减，当t (2,6)时函数单调递增，（6，+）时函数单调递减且当t=0时y 33,t 6y 22===当时 max32y ∴=max ABF S ∆=………13分21．(本小题满分14分)解：（1）当0=x 时，211)0(=⇒=-=m m f12)(/-=x e x f ，112)0(/=-=f ，∴所求切线方程1+=x y ，即01=+-y x………3分 （2）由0)(>x f 得01>--x me x，即有x ex m 1+>令x e x x u 1)(+=，则xe x x u -=)(/， ………5分令00)(/<⇒>x x u ，00)(/>⇒<x x u11 ∴)(x u 在)0,(-∞上单调递增，在),0(+∞上单调递减。