3.3.1 实数的概念第五课时
第3讲.实数
第3讲 实数⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩实数的分类实数的相关概念：平方根、算术平方根、立方根实数的运算法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数的运算律实数的相关计算实数的运算顺序实数的比较大小估算一个实数的大小1． 算术平方根、平方根及立方根的概念及表示方法是什么？2． 算术平方根、平方根及立方根之间有什么区别和联系3． 算术平方根有哪些性质？前章回顾知识网络图中考说明3.1无理数与实数一．无理数1． 概念：无限不循环的小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2． 性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a b +，a b -是无理数； 二． 实数1． 概念：有理数和无理数统称为实数． 2． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数0⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数3． 实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数a -． （2）任何非0实数a ，都有倒数1a． （3）正实数的绝对值是它本身；负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 4． 实数与数轴上的点是一一对应：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 数轴上的任意两点．概念辨析【例1】 （2013年房山期末）在0.25，，，，，0.021021021…中，无理数的个数（）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个【例2】 有下列说法中正确的说法的个数是（）（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示．【例3】 判断正误．（1） 实数是由正实数和负实数组成．（） （2）0属于正实数．（）（3） 数轴上的点和实数是一一对应的．（） （4） 若x =x =．（）2π72239121例题精讲【例4】 把下列各数填入相应的集合：1－、π、 3.14-、120.7、0． （1）有理数集合｛｝； （2）无理数集合｛｝； （3）整数集合｛｝； （4）正实数集合｛｝； （5）负实数集合｛｝．【例5】A ．B ．2E ．0，问题的答案是（只需填字母）：_________________【例6】 （2011_______；3π-= __________． 【例7】 若直径为2个单位长度的圆上的点A 的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A 2πB ．4πC 2πD 4π3.2实数的大小比较及估算一．实数大小的比较方法： 1． 正实数大于0，负实数小于0． 2． 两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的反而小．3． 数轴上的两个实数右边的实数比左边的实数大． 二． 无理数大小的比较方法： 1． 通过被开方数比较两数的大小：0a >，0b >时，若a b >；若a b < 若a b =2． 平方法：0a >，0b >时，若22>若22<； 若2＝23． 作差法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <． 4． 作商法：0a >，0b >时，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <．【例8】 把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1414．，π，0.6，34-，例题精讲概念辨析【例9】 实数2.6A．2.6< B．2.6<C2.6<D2.6【例10】化简：（1）21（2【例11】（2012的大小应在（）A ．7.0~8.0之间B ．8.0~8.5之间C ．8.5~9.0之间D ．9~10之间【例12】（2012年第44中学）已知a b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值3.3实数的综合【例13】已知m A =3n m -+的算术平方根，2m n B -=7m n +的立方根，求B A +的平方根．【例14】设x 、y 都是有理数，且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求x y -的值.试一试：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的x 、y 的值.例题精讲【例15】（2013年西城期末）阅读与思考：我们规定：用[]x 表示实数x 的整数部分，如[]3.143=，2=，在此规定下解决下列问题： （1）填空：++++ =_________； （2）求+++++ 的值．基础演练【练1】 下列说法正确的是（）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【练2】 下列说法正确是（）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【练3】 （2014杨浦区三模）点A 是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．点A 表示的数一定是正数B ．点A 表示的数一定是分数C ．点A 表示的数一定是有理数D ．点A 表示的数可能是无理数【练4】 （2012年北京四中期末）下列说法正确的是（）．A ．一个无理数不是正数就是负数B ．8的立方根是2±C ．3D【练5】 （2012年东城期末）下列实数12-，4π13，A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【练6】 写出一个有理数和无理数，是它们都是大于2-的负数：___________（答案不唯一） 【练7】 ________；的倒数是________的绝对值是________．【练8】 （2011年北师大月考）81的平方根是_________________；64-的立方根是_________．【练9】 （2012年北京四中期末）若2x -是8的立方根，则x 的平方根是___________．【练10( )A ．6-B ．6C ．6±D ．【练11】 数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是___________．全能突破【练12】 计算：（1（2【练13】 3.141π-＝______；|=______．【练14】 （2013年怀柔期末）如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点共有__________个．【练15】 （2012年北京四中期末）大于_____________【练16】 （2012年海淀期末）已知整数m满足1m m <+，则m 的值为（）A ．4B ． 5C ．6D ．7【练17】 如果a的整数部分，b的小数部分，a b -=__________．【练18】 计算下列各组算式，观，察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1； （2（3（4（5；（6(0,0)a b ≥≥．能力提升【练192___________；_________；2的绝对值是________【练20】 最大的负整数是_________，最小的正整数是_________，绝对值最小的实数是_______，不超过__________.【练21】 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a -没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10（34）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．【练22】 （2013年北大附中）求下列各题中字母的值：（1） 若24x =，求x 的值； （2） 若3a -=-，求a 的值； （3） 若a a >-，那么a 可能是什么数？【练23】 已知01x <<，则21x x x、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【练24】 计算:（12）2(2)-【练25】 （134+（2）1-+++【练26】 （2012年东城期末）估计2A ．6到7之间B ．5到6之间C ．4到5之间D ．3到4之间【练27】 【巩固】（2013年大兴期末）已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b +=____________【练28】 若a 2的整数部分，1b -是9的平方根，且||a b b a -=-，求a b +的算术平方根．【练29】 先阅读理解，再回答下列问题：，且121；23<2；=343；n 为正整数）的整数部分为______，请说明理由．【练30】 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.144=⨯=；4=4=【练31】 观；==然数()1n n ≥的等式表示出来：_____________________巅峰突破【练32】设A，B=则A、B中数值较小的是________．【练33】已知20152(4axa-=+，求x的个位数字。
《实数》教材分析
第三章《实数》教材分析一、教材地位与作用分析《实数》就是浙教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册得第三章。
本章从《数学课程标准》瞧,就是关于数得内容,初中阶段主要学习有理数与实数,就是“数与代数“得重要内容。
本章得主要内容有数得开方、平方根、立方根、无理数与实数及其运算。
经本章得学习,学生对数得认识从有理数得范围扩大到实数得范围,就是数得第二次扩展,且已全部完成了初中阶段数得扩展。
本章之前得数学内容都就是在有理数范围内讨论得。
从本章开始,除特殊说明,都将在整个实数范围内讨论。
本章避开了涉及二次根式得内容,数系进过扩展,数得运算法则与运算律都没有发生变化，所以学生学习上不会有困难。
本章就是进一步二次根式、一元二次方程以及函数等知识得基础。
因此,让学生正确而深刻地理解实数就是非常重要得。
无理数得引入,数系得扩展充满着对立与统一得辩证关系及分类思想，本章不仅仅就是完善学生得知识结构，而且还就是培养学生想象能力，渗透数学思想，感受数美得有效载体，也就是发展学生逻辑思维能力得重要内容。
二、教学目标分析１、《数学课程标准》中所提出得实数得课程目标：（１)了解平方根、算术平方根、立方根得概念,会用根号表示数得平方根、算术平方根、立方根。
(２）了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数得平方根，会用立方根运算求百以内整数(对应得负整数)得立方根,会用计算器求平方根与立方根。
(3)了解无理数与实数得概念，知道实数与数轴上得点一一对应,能求实数得相反数与绝对值。
(4)能用有理数估计一个无理数得大致范围。
(5)了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题得要求对结果取近似值。
三、教学内容分析本章得主要内容有数得开方、平方根、立方根、无理数与实数及其运算。
课本从典型得实际问题得需要,首先引出平方根得概念。
即已知正方形得面积求边长得问题,这就是一个典型得求算术平方根得问题,这与学生以前熟悉得已知边长求面积就是一个互逆得过程。
荥阳市五中八年级数学上册第3章实数3.3实数第1课时实数的概念教案新版湘教版
3.3实数 第1课时 实数的概念【知识与技能】从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系. 【过程与方法】让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系 . 【情感态度】培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点. 【教学重点】无理数、实数的概念和实数的分类. 【教学难点】无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系.一、情景导入，初步认知我们在前面学过无理数，什么样的数是无理数呢？举例说明？ 【教学说明】复习相关内容，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？2、0、1、414、9、π、-32、32、0.1010010001… （相邻两个1之间逐次增加一个0）【教学说明】学生自己回忆有理数、无理数的分类，为引入实数的概念及分类作好铺垫．【归纳结论】有理数和无理数统称为实数.2.根据实数的概念，你能对实数分类吗？【归纳结论】实数以概念可分为：【教学说明】通过对实数进行分类，让学生进一步领会分类的思想，培养学生从多角度思考问题，为他们以后更好地学习新知识作准备.同时也能使学生加深对无理数和实数的理解.3.任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢？思考：如何用数轴上的点表示无理数8和-8？我们已经知道，一个面积为8的正方形的边长是8，因此我们以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与正半轴的交点M就表示8，与负半轴的交点N就表示-8，如图所示：这样，我们就分别用数轴上唯一的一个点表示出了无理数8和-8.事实上，每一个无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.【归纳结论】每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来，数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.即：实数和数轴上的点一一对应.4.实数从正负性又如何分类呢？【归纳结论】实数分为正实数、零、负实数.5.有理数中有互为相反数的两个有理数，那么实数中有没有互为相反数的两个实数呢？举例说明.6.对于实数a的绝对值，又是什么样的呢？【归纳结论】设a表示一个实数，则：【教学说明】使学生通过类比的方式得到实数的相关知识，加深对实数的理解. 三、运用新知，深化理解1.教材P118例1.2.判断下列说法是否正确 (1)无限小数都是无理数 (2)有理数都是有限小数 (3)无理数都是无限小数 (4)带根号的数都是无理数 答案：四个全是错的.3.实数x 满足x+x 2=0,则x 是( C ) A.非零实数 B.非负数 C.零和负数 D.负数 4.当x 时，式子102+x 有意义. 答案：≥-55.如图，在数轴上表示实数14的点可能是( C )A.点MB.点NC.点PD.点Q 6.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ π、-3.1415926、113355、39、321、38、0、27、3π、0.5、3.14159、-0.020*******、13、22、3625、0.10010001…答案：略.7.求-364 、3-π的相反数和绝对值解：-364的相反数是364，绝对值是364；3-π的相反数是π-3，绝对值是π-3.【教学说明】巩固提高. 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题3.3”中第1、2 题.本次教学，我坚持从兴趣入手，从差异入手，做到了在细致处求真、求创意，真正地使学生表明自己的看法，阐述自己的观点，大胆表现自我，张扬个性，体现出他们这个年龄应有的特点，因此，我认为这节课不仅很好地实现了知识与技能目标，对于过程与方法和情感态度与价值观两个目标的实现也非常到位，是比较成功的.15.3分式方程第2课时用分式方程解决实际问题一、新课导入1.导入课题：分式方程在实际生活、生产实践中有着广泛的应用，今天我们来学习列分式方程解决实际问题.2.学习目标：（1）会找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.（2）会解含字母系数的分式方程.（3）知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.3.学习重、难点：重点：根据条件恰当设未知数列方程和解方程.难点：会从实际问题中获取有用的信息，准确找出相应的数量关系和等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第152页例3.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真阅读课本例题，按课本例题分析的思路填空，体会列方程每一步的依据.（4）自学参考提纲：①工程问题中，工作总量＝工作效率×工作时间.在没有具体的工作量时，常把总工程量看作1.②请认真读题，分析题意，完成课本分析中的填空.③问题中是用哪个等量关系来列方程的？甲队单独施工一个月完成的工程+甲乙两队共同工作半个月完成的工程=1④在例3的解答过程中的每一步骤后面标出步骤名称.2.自学：同学们结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生自学中存在的问题.②差异指导：对学生学习中存在的问题进行启发诱导.（2）生助生：将本题的分析过程讲给同桌听，帮助抓住问题关键条件.4.强化：（1）认真读题，找出相关的数量关系和等量关系，是解应用题的关键.（2）练习：某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天加工的效率是原来的2倍，结果共用了7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？解：设该厂原来每天加工x个零件，则采用新技术后，每天加工2x个零件，去分母，得200+500=14x，系数化为1，x=50.检验：x=50时，2x≠0.所以x=50是原方程的根答：该厂原来每天加工50个零件.1.自学指导：(1)自学内容：教材第153页例4.（2）自学时间：5分钟.(3)自学方法：对照自学提纲，结合例3的解题经验，总结解答列分式方程解应用题的方法与步骤.(4)自学参考提纲：①这是一类分式方程的应用，有速度、路程、时间等三个量，它们之间的关系是路程=速度×时间.②题中的v、s是已知量还是未知量？未知量是什么？v、s是已知量.未知量是提速前列车的平均速度.③认真学习例题中的分析和解答过程，字母一定是表达未知量吗？不一定，需根据具体题目来分析确定.④按例题格式完成教材第154页“练习”的分析与解答.2.自学：同学们结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生是否读懂例题的分析解答过程和归纳解题步骤是否完整.②差异指导：关注两个方面：a.等量关系；b.解字母系数的分式方程时,已知量可以是字母.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)含字母系数的分式方程，分清已知量和未知量.（2）列方程解应用题的一般步骤：①分析题意，找出相等的数量关系；②设未知数，并用未知数表示相关的量；③列出方程；④解方程；⑤验根：Ⅰ.求得的解是不是原方程的解；Ⅱ.求得的解符不符合该实际问题；⑥作答.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习热情、态度、方法、成果、不足进行归纳点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学除了在一般意义上让学生经历“提出问题——构建模型——解决问题”的过程，还应让学生特别注意分式方程根的“检验”.一、基础巩固（每题10分，共50分）1.学校用420元钱购买“84”消毒液，经过讨价还价，每瓶比原价便宜了0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出的方程是（B）2.甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30km到B地，甲比乙每小时少骑3km，结果乙早到40分钟，若设乙每小时走xkm,则可列方程（D）3.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人的工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（A）A.8B.7C.6D.54.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的b ab a+-倍.5.一个分数的分母比它的分子大5，如果这个分数的分子加上14，分母减去1，所得的分数是原分数的倒数，求这个分数.解：设分子为x，则分母为x+5,所以根据倒数关系列方程为：解得：x=4检验，x=4时，(x+5)(x+14)≠0，所以，x=4是原分式方程的根.所以这个分数为49.二、综合应用（20分）6.为了支持爱心捐款活动，某校师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款的人数比第一天捐款的人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？解：设第一天参加捐款的人数为x人，则可列方程为解得x=200（人）,检验：当x=200时，x(x+50)≠0,所以，原分式方程的解为x=200.两天共捐款人数为200+250=450（人），人均捐款为4800÷200=24（元）.答：两天共参加捐款的人数为450人，人均捐款24元.三、拓展延伸（30分）7.在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？解：（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，则根据题意可列方程为解得x=90.经检验:x=90时原方程的根.所以，乙队单独完成这项工程需要90天.（2）甲队单独做工程款：60×3.5=210(万元).乙队单独做需要90天，超过了70天.甲乙合作工程款：36×(3.5+2）=198（万元）∴甲、乙合作完该工程最省钱.抽样调查1．为了完成下列任务，你认为可采用什么调查方式？（1）了解全国八年级学生的体重，掌握学生的身体发育情况；（2）考察一批炮弹的杀伤半径；（3）了解本班同学每周的睡眠时间；（4）为了体现公平的体育精神，关爱运动员的身心健康，国际奥委会明令禁止运动员服用违禁药物．为了了解奥运会上运动员的执行情况，对运动员进行的尿样检查．2．小明、小亮和小丽想要了解他们所生活的小区里小朋友的年龄情况，小明调查了当天在院子里玩耍的小朋友，情况如图1；小亮调查了他所居住的二单元的小朋友，情况如图2；图1图2小丽调查了每个单元一楼的两家住户家中小朋友的年龄，数据（单位：岁）如下：3，16，14，15，17，8，4，6，9，7，17，12，2，13，6，5，12，14，3，15，5，16，1，1．这个小区中小朋友的年龄情况到底如何？你认为的调查方式好一些？为什么？如果你去调查的话，你有没有更好的方式？3．（1）调查全班近视同学所戴眼镜的度数，将统计的数据用适当的图表表示出来，并计算出它们的平均数、中位数和众数；（2）你认为你所做的调查能反映全国八年级学生的视力情况吗？你能用什么办法来改进这次调查的结果吗？4．同学们，相信大家在暑假一定过得很快乐，那么在假期中你最喜欢什么电视节目呢？你能对此进行一次调查吗？你打算怎样收集数据呢？请将你收集的数据进行统计（最好绘制成统计图），最后谈谈你对某些电视节目的看法．5．给别人起外号是一种不礼貌的行为，现在请同学们在全班开展一次调查，看看班里有多少学生有外号，从而估计全校百分之几的学生有外号，这些有外号的同学，他们自己是一种什么态度呢？6．就“父母回家后，你会主动倒一杯水吗？”这一问题调查全班同学，填写下表，并谈谈你对调查结果的看法．参考答案1．（1）抽样调查；（2）抽样调查；（3）普查；（4）普查．2．小明调查了当天在院子里玩耍的小朋友，一般不具有代表性；小亮调查了他所居住的二单元的小朋友，调查对象较少，不具有广泛性；一般可认为小丽的调查效果较好．3．（1）略；（2）相对全国八年级学生而言，全班同学的人数较少，且分布地区较狭窄．因而，一般认为对全班同学所做的调查不能反映全国八年级学生的视力情况，需要再进行更广泛更随机的抽样调查．4、5、6 略。
高中数学必修5目录 (3)
高中数学必修5目录第一章实数• 1.1 实数的概念• 1.2 实数的四则运算• 1.3 实数的比较大小• 1.4 实数的绝对值与范围• 1.5 实数的相反数与倒数• 1.6 实数的乘法逆元• 1.7 有理数及其性质• 1.8 无理数及其性质• 1.9 实数的分类第二章函数与方程2.1 函数的概念和性质• 2.1.1 函数的定义• 2.1.2 函数的性质• 2.1.3 函数的图像• 2.1.4 奇函数和偶函数• 2.1.5 初等函数2.2 一次函数与一次方程• 2.2.1 一次函数的性质• 2.2.2 一次方程的性质• 2.2.3 一次函数与一次方程的应用2.3 二次函数与二次方程• 2.3.1 二次函数的性质• 2.3.2 二次方程的性质• 2.3.3 二次函数与二次方程的应用2.4 幂函数与指数函数• 2.4.1 幂函数的性质• 2.4.2 指数函数的性质• 2.4.3 幂函数与指数函数的应用2.5 对数与对数函数• 2.5.1 对数的概念• 2.5.2 对数的性质• 2.5.3 对数函数的性质• 2.5.4 对数与指数的应用2.6 复合函数与反函数• 2.6.1 复合函数的概念• 2.6.2 复合函数的性质• 2.6.3 反函数的概念• 2.6.4 反函数与初等函数的关系• 2.6.5 反函数的性质第三章三角函数3.1 弧度制与角度制• 3.1.1 角的度量单位• 3.1.2 弧度制与角度制的转换3.2 三角函数的定义与性质• 3.2.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义• 3.2.2 三角函数的周期性• 3.2.3 三角函数的奇偶性• 3.2.4 三角函数的关系式3.3 三角函数的图像与性质• 3.3.1 三角函数图像的基本性质• 3.3.2 三角函数图像的变换• 3.3.3 三角函数的应用3.4 几何解析法与三角函数的应用• 3.4.1 几何解析法的基本思想• 3.4.2 几何解析法的步骤• 3.4.3 几何解析法的应用3.5 三角函数的和角与差角• 3.5.1 正弦、余弦、正切的和角公式3.6 二倍角、半角与倍角的三角函数• 3.6.1 正弦、余弦、正切的二倍角公式• 3.6.2 正弦、余弦、正切的半角公式• 3.6.3 正弦、余弦、正切的倍角公式第四章数列与数学归纳法4.1 数列的概念• 4.1.1 数列的定义• 4.1.2 数列的性质4.2 等差数列与等差数列的求和• 4.2.1 等差数列的定义与性质• 4.2.2 等差数列的求和公式• 4.2.3 等差数列的应用4.3 等比数列与等比数列的求和• 4.3.1 等比数列的定义与性质• 4.3.3 等比数列的应用4.4 数学归纳法的基本思想与步骤• 4.4.1 数学归纳法的基本思想• 4.4.2 数学归纳法的步骤• 4.4.3 数学归纳法的应用第五章平面向量5.1 平面向量的表示与概念• 5.1.1 平面向量的定义• 5.1.2 平面向量的性质• 5.1.3 平面向量的基本运算5.2 平面向量的数量积• 5.2.1 数量积的定义与性质• 5.2.2 数量积的计算及其几何意义• 5.2.3 正交向量及其判定5.3 平面向量的叉积• 5.3.1 叉积的定义与性质• 5.3.2 叉积的计算及其几何意义• 5.3.3 向量共线、平行的判定5.4 平面向量的混合积• 5.4.1 混合积的定义与性质• 5.4.2 混合积的计算及其性质5.5 平面向量的坐标表示• 5.5.1 平面向量的坐标表示• 5.5.2 平面向量的空间坐标表示第六章解析几何6.1 平面的方程• 6.1.1 平面的法线及其方程• 6.1.2 平面的点法式方程• 6.1.3 平面的一般方程• 6.1.4 平面与坐标轴的交点与平面的截距6.2 直线的方程• 6.2.1 直线的斜率与倾斜角• 6.2.2 直线的截距及其方程• 6.2.3 直线的一般方程• 6.2.4 直线与坐标轴的交点6.3 空间的平面与直线• 6.3.1 平面的方程• 6.3.2 直线的方程• 6.3.3 平面与直线的位置关系6.4 空间的平面与坐标轴• 6.4.1 空间平面与坐标轴交点的坐标第七章概率初步7.1 随机事件与随机实验•7.1.1 随机事件的概念•7.1.2 随机实验与样本空间•7.1.3 事件的关系与运算7.2 频率与概率•7.2.1 频率的定义及其性质•7.2.2 概率的定义及其性质•7.2.3 频率与概率的关系7.3 条件概率与独立性•7.3.1 条件概率的定义•7.3.2 事件的独立性7.4 排列与组合•7.4.1 排列与组合的概念•7.4.2 排列与组合的计算7.5 随机变量与概率分布•7.5.1 随机变量的概念•7.5.2 离散型随机变量的概率分布•7.5.3 随机变量的数学期望7.6 几何概率与条件概率•7.6.1 几何概率的计算•7.6.2 条件概率与事件的独立性以上是《高中数学必修5》的目录，共包括七个章节。
湘教版数学八年级上册3.3《实数的分类及性质》说课稿
湘教版数学八年级上册3.3《实数的分类及性质》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级上册3.3《实数的分类及性质》这一节主要介绍了实数的概念、分类及性质。
在教材中，学生已经学习了有理数和无理数的概念，但对实数的分类及性质的理解还不够深入。
因此，本节课旨在帮助学生建立实数的分类体系，理解实数的性质，并能够运用实数的性质解决实际问题。
教材通过举例、探究、归纳的方式，引导学生了解实数的分类，包括正实数、负实数和零。
同时，教材还介绍了实数的性质，如加法、减法、乘法、除法的运算规则，以及实数的绝对值、相反数等概念。
这些内容为学生提供了丰富的学习资源，有助于提高学生的理解能力和思维能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了有理数和无理数的概念，对数学运算有一定的基础。
但是，对于实数的分类及性质，学生可能还存在以下问题：1.对实数概念的理解不够深入，容易将实数与有理数、无理数混淆。
2.对实数分类的体系不清晰，难以区分正实数、负实数和零。
3.对实数性质的掌握不够熟练，不能灵活运用实数的性质解决实际问题。
因此，在教学过程中，我们需要针对这些问题进行引导和讲解，帮助学生建立实数的分类体系，理解实数的性质，并能够运用实数的性质解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解实数的概念，掌握实数的分类及性质，能够运用实数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过举例、探究、归纳的方式，培养学生对实数的分类及性质的理解，提高学生的思维能力和分析能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念、分类及性质。
2.教学难点：实数的分类体系的理解，实数性质的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用举例、探究、归纳的教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的思维能力和分析能力。
2.教学手段：使用多媒体课件，结合板书，进行直观、生动的讲解，帮助学生理解实数的分类及性质。
2024年数学七下浙教版精彩教案全套
2024年数学七下浙教版精彩教案全套一、教学目标1.知识与技能：掌握浙教版七年级下册数学教材中的重要知识点。
能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：培养学生的数学思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。
通过合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生热爱数学的情感。
培养学生自觉遵循数学规律，严谨治学的态度。
二、教学内容1.第一章：实数1.1实数的概念1.2实数的运算1.3实数的应用2.第二章：二元一次方程组2.1二元一次方程组的解法2.2二元一次方程组的应用2.3二元一次方程组在实际问题中的应用3.第三章：不等式与不等式组3.1一元一次不等式3.2一元一次不等式组3.3不等式的应用4.第四章：数据的收集、整理与分析4.1数据的收集4.2数据的整理4.3数据的分析5.第五章：概率初步5.1概率的定义5.2概率的计算5.3概率的应用三、教学过程1.导入新课利用生活中的实例，引发学生对实数的认识，激发学生学习实数的兴趣。
2.知识讲解（1）讲解实数的概念，让学生明确实数的分类及性质。
（2）讲解实数的运算，引导学生掌握实数的加减乘除法则。
（3）讲解实数的应用，通过实例让学生体会实数在实际问题中的运用。
3.实例分析选取典型例题，引导学生分析问题，培养学生的解题能力。
4.练习巩固设计针对性练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
5.小组讨论将学生分成小组，针对某一问题进行讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
四、教学策略1.采用启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力。
2.注重知识点的讲解与实例分析相结合，提高学生的解题能力。
3.创设生动有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣。
4.利用现代教育技术，丰富教学手段，提高教学效果。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，了解学生的学习状态。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评价学生对知识的掌握程度。
湘教版八年级数学上册3.3实数(共42张PPT)
知5－导
感悟新知
(6)(ab)c=________(乘法结合律)； (7)1·a=a·1=________；
知5－导
(8)a(b +c)=________(乘法对于加法的分配律)，
(b+c)a=________(乘法对于加法的分配律)；
(9)实数的减法运算规定为a-b=a+____；
(10)对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b=b·a=1，
知5－讲
感悟新知
知5－讲
要点精析：在实数范围内做开方运算时，要注意正
实数和零既能开平方，也能开立方，负实数
不能开平方.
(1)运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
感悟新知
知5－讲
(2)运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减同 级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括 号里面的.
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2
，0，144，
9 ，π，
2 3
，3
2 ，0.101 001 0001…(邻
两个1之间逐次增加一个0).
解：0，1.414， 9 ， 2 是有理数，
3
2 ，π，3 2，0.1010 000 1是无理数.
感悟新知
结论
知1－讲
有理数和无理数统称为实数(real number). 这样，我们可以得到：
课堂小结
实数
运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
课堂小结
实数
3.易错警示：(1)负实数只能开奇次方，不能开偶次方； (2)计算结果中如果包含开方开不尽的数，则保留根号，
湘教版数学八年级上册《3.3 实数》教案
3.3 实数3.3.1 实数的概念（第5课时）教学目标(1) 了解无理数、实数的概念和实数的分类。
(2) 让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。
重点：无理数、实数的概念和实数的分类。
难点：正确理解无理数的意义。
教学过程一、情景导入P116 说一说1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？2、实数的概念我们把无限不循环小数叫做无理数，2、3.38338333833338…、π等都是无理数。
有理数与无理数统称实数。
二、探究新知1、2的近似值，你能想象出它在数轴上的位置吗？试一试，在数轴2的点。
说明每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示唯一的一个实数。
换句话说，实数与数轴上的点一一对应。
相关的概念：正实数、零、负实数、相反数等。
2、例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？—π、—3.1415926、355113、39213、38-、0、27、3∏、5.0、3.14159、-0.000020、13、2225360.10010001…例2 判断下列说法是否正确(1) 无限小数都是无理数 (2) 有理数都是有限小数(3) 无理数都是无限小数 (4) 带根号的数都无理数例3 （1364、3—π的相反数和绝对值；（2）求满足x＜412的整数。
练习： P118 练习 1、2、3小结本节课我们学习了无理数、实数的概念、实数与数轴上的点的一一对应关系等。
作业：（1）P121 习题 3.3 A组 1、2（2）实数x满足2x则x是 ( )A. 非零实数B.非负数C. 零和负数D. 负数五、教后反思：3.3.2 实数的运算（第6课时）教学目的：1、了解有理数的运算在实数范围内仍然适用，能用有理数估计一个无理数的大致范围。
2、理解有效数字的概念，会根据要求进行近似值的运算。
3、能利用计算器比较实数的大小，进行实数的四则运算。
第一课实数的概念课件
第一课实数的概念课件教案内容：一、教学内容：本节课的主要内容是实数的概念，我们将学习实数的定义、分类以及实数与数轴的关系。
教材的章节为《数学》第一册第六章第一节。
二、教学目标：1. 了解实数的定义和分类，理解实数与数轴的关系。
2. 能够正确运用实数进行运算，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三、教学难点与重点：难点：实数与数轴的关系，实数的运算。
重点：实数的定义和分类，实数的运算规则。
四、教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、数轴模型。
学具：笔记本、尺子、铅笔。
五、教学过程：1. 实践情景引入：利用数轴模型，引导学生观察数轴上的点与实数的关系，让学生感受实数与数轴的密切联系。
2. 知识讲解：（1）实数的定义：实数是包括有理数和无理数的所有数。
（2）实数的分类：有理数和无理数。
（3）实数与数轴的关系：数轴上的每一个点都对应一个实数，实数也可以用数轴上的点来表示。
3. 例题讲解：例题：求解方程x + 2 = 5。
讲解：将方程转化为x = 5 2，得到x = 3。
4. 随堂练习：练习题：求解方程2x 3 = 7。
5. 板书设计：实数的定义、分类及与数轴的关系。
六、作业设计：1. 作业题目：（1）列举三个有理数和三个无理数。
（2）根据数轴上的点，写出对应的实数。
（3）求解方程3x + 4 = 19。
2. 答案：（1）有理数：1, 2, 3；无理数：√2, √3, π。
（2）实数：5, 0, 4。
（3）x = 19 4 / 3 = 11 / 3。
七、课后反思及拓展延伸：本节课通过数轴模型，让学生直观地理解了实数与数轴的关系，通过例题和随堂练习，巩固了实数的运算规则。
但在教学过程中，要注意引导学生积极参与，提高学生的动手操作能力。
拓展延伸：研究实数的其他性质，如实数的乘方、开方等。
重点和难点解析：一、教学内容中的重点细节1. 实数的定义和分类：实数包括有理数和无理数，这是学生理解实数系统的关键。
华东师大版八年级上册数学整册教学课件(1)
华东师大版八年级上册数学整册教学课件一、教学内容1. 第1章：实数1.1 有理数的平方1.2 无理数的平方1.3 实数的性质1.4 实数的运算2. 第2章：一元二次方程2.1 一元二次方程的定义与标准形式2.2 解一元二次方程2.3 一元二次方程的根与系数的关系2.4 一元二次方程的应用3. 第3章：平面几何3.1 两点间距离公式3.2 直线的斜率3.3 一次函数的图像与性质3.4 一次函数的应用二、教学目标1. 掌握实数的概念、性质和运算方法，能够解决实际问题。
2. 学会解一元二次方程，理解根与系数的关系，并能应用于实际问题的解决。
3. 掌握平面几何中两点间距离公式、直线的斜率等基本概念，了解一次函数的图像与性质，并能解决相关实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的运算、一元二次方程的解法、一次函数的图像与性质。
2. 教学重点：实数的概念、一元二次方程的应用、平面几何的基本概念。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、三角板、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入实数的概念，激发学生兴趣。
2. 基本概念与性质：讲解实数的定义、性质，举例说明实数的运算方法。
3. 例题讲解：选取典型例题，讲解实数的运算、一元二次方程的解法、一次函数的图像与性质。
4. 随堂练习：设计针对性练习题，让学生巩固所学知识。
6. 应用：讲解实际应用问题，让学生运用所学知识解决问题。
六、板书设计1. 实数的概念与性质2. 实数的运算方法3. 一元二次方程的解法4. 一次函数的图像与性质5. 实际应用问题七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：(3)²、√9、(2+√3)(2√3)。
（2）解一元二次方程：x²5x+6=0。
（3）已知直线y=2x+1，求点A(3,7)到该直线的距离。
2. 答案：（1）9、3、1。
（2）x1=2，x2=3。
（3）距离为3。
湘教版数学八年级上册《3.3实数》说课稿
湘教版数学八年级上册《3.3 实数》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级上册《3.3 实数》这一节的内容是在学生已经掌握了有理数和无理数的基础上，进一步引导学生理解实数的概念，明确实数的分类，以及掌握实数的运算规则。
本节内容是整个初中数学的重要基础，对于学生来说，既有熟悉的概念，又有新的知识，需要他们在已有的知识体系上，进一步拓展和提升。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，他们对于有理数和无理数已经有了初步的认识，能够进行简单的运算。
但是，他们对于实数的理解还不够深入，对于实数的分类和运算规则还不够熟悉。
因此，在教学过程中，我需要引导学生从实际问题出发，通过观察、思考、探究、交流等活动，进一步理解和掌握实数的概念和运算规则。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解实数的概念，明确实数的分类，掌握实数的运算规则。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究、交流等活动，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念，实数的分类，实数的运算规则。
2.教学难点：实数的分类，实数的运算规则。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法等，引导学生主动参与，积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等，直观形象地展示实数的概念和运算规则。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数和无理数的概念，引导学生提出问题：有理数和无理数能否统一起来？引出实数的概念。
2.探究实数的分类：让学生观察、思考、交流，引导学生发现实数可以分为整数、分数、正数、负数等类别，从而明确实数的分类。
3.学习实数的运算规则：让学生通过观察、思考、探究，发现实数的运算规则，如加法、减法、乘法、除法等。
4.巩固练习：让学生进行实际的计算练习，巩固所学知识。
5.总结提高：让学生总结实数的概念、分类和运算规则，提高他们的数学思维能力。
实数 相关概念难点及答案解析
实数1算术平方根1.1算术平方根的概念（1）一般的，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的;（2）a的算数平方根记作，读作“根号a”，其中a叫做被开方数; （3）规定：0的算数平方根是【答案】（1）x2=a，算术平方根;（2)√a（3）00的算数平方根是【答案】x，算术平方根，01.3算术平方根的性质（1）算术平方根√a的非负性：①一定是非负数，即a≥0;②(2)只有和有算术平方根，没有算术平方根【答案】(1)被开方数，√a≥0;(2) 正数，0，负数1.4算术平方根的应用算术平方根在实际生活中的应用考察形式为根据几何图形面积或体积进行方程设列，考虑到其实际意义，舍去负数根，取正数或0，该正数或0即为算术平方根。
例如：能否剪出一个长方形的长、宽之比为3:2，且面积为12平方厘米？长、宽分别是多少呢？【答案】解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，则3x·2x＝12，解得：x＝√2（负值舍去）则长为3√2cm，宽为2√2cm2 平方根2.1平方根的概念一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的或二次方根.【答案】平方根2.2开平方如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的或二次方根.也就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根，平方根2.3平方根的性质平方根的性质:（1）正数有平方根，它们互为；（2）的平方根是0；（3）没有平方根【答案】(1)两个，相反数;(2) 0;(3)负数3 立方根3.1立方根的概念（1）a的立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫做a的 .a是，3是；（2）每个数a都有立方根，记作，读作“三次根号a”【答案】（1）立方根，被开方数，根指数；（2）一个，√a33.2 开立方开立方：求一个数a的的运算，这个数a叫做 .(求一个数a的立方根的方法：找一个数x，使了x³=a)开立方是一种运算，开立方与立方互为逆运算，开立方所得的结果是立方根. 根据开立方与立方互为逆运算的关系，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.【答案】立方根，被开方数注意：（1）任何一个数都有且只有个立方根；（2）求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为，然后再求它的立方根；（3）立方根等于它本身的数有【答案】（1）1；（2）假分数；（3）0和±13.3 立方根的性质【答案】（1）正数;（2）负数;（3）0;（4）越大;（5）也同样互为相反数4无理数4.1无理数的概念无理数: 叫做无理数.如π（3.1415926······）是无理数【答案】无限不循环小数4.2常见的无理数的形式:（1）开方开不尽的数的方根;（2）π及化简后含π的数;（3）具有特殊结构的数，如0. 303 003 000 3…(两个3之间依次多一个0) 4.3无理数与有理数的区别(1)任何有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能写成分数的形式;(2)任何一个有理数都可以写成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数注意:（1）无理数都是无限小数,但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数;（2）某些数的平方根或立方根是无理数,但带根号的数不一定都是无理数 5实数5.1实数的概念与分类5.1.1实数的概念和 统称为实数【答案】有理数，无理数5.1.2实数的分类（1）按实数数的定义进行分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数0正有理数有理数实数（2）按实数的性质符号进行分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数05.2实数与数轴当数的范围从有理数扩充到实数后， 与数轴上的点是一一对应的，即每一个 都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 .与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大【答案】实数，实数，实数5.3实数的性质5.3.1相反数数a 的相反数是 ，这里a 表示任意一个【答案】-a ，实数5.3.2绝对值一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是 ；0的绝对值是 . 即⎪⎩⎪⎨⎧-==时＜，当时；，当时；＞，当0000a a a a a a【答案】它本身，它的相反数，05.3.3倒数乘积是1的两个数互为 ，一般地，a 的倒数是【答案】倒数， −1a5.4实数的运算5.4.1加法法则(1)同号两数相加，取的符号，并把相加；(2)绝对值不相等的异号两数相加，取的符号，并用减去；(3)互为相反数的两数相加得，一个数与0相加，仍得【答案】(1)相同，绝对值；(2)绝对值较大的加数，较大的绝对值，较小的绝对值；(3)0，这个数5.4.2减法法则减去一个数，等于加上这个数的______，即a-b=a+_____【答案】相反数，(-b)5.4.3乘法法则(1)两数相乘，同号得，异号得，并把绝对值;(2)任何数与0相乘，都得，互为倒数的两数相乘得【答案】(1)正，负，相乘;(2)0，15.4.4除法法则(1)除以一个不等于0的数，等于乘这个数的，即a➗b= (b≠0).(2)两数相除，同号得，异号得，并把绝对值 .0除以任何一个不等于0的数，都得【答案】(1)倒数，a·1;b(2)正，负，相除，05.4.5乘方(1)乘方的意义：求n个相同因数的积的运算叫做，乘方的结果叫做，用式子表示为个nn aaaaa⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,其中a叫做，n叫做，a n叫做;(2)乘方的法则：负数的奇次幂是；负数的偶次幂是；正数的任何次幂都是；0的任何正整数次幂都是【答案】(1)乘方，幂，底数，指数，幂;(2)负数，正数，正数，05.4.6运算规律加法交换律：a+b= ;加法结合律：(a+b)+c= ;乘法交换律：ab= ;乘法结合律：(ab)c= ;乘法分配律：a(b+c)=【答案】b+a，a+(b+c)，ba，a(bc)，ab+ac5.4.7运算顺序(1)先算，再算，最后算；(2)同级运算，进行；(3)如有括号，先做的运算，按，，依次进行【答案】(1)乘方，乘除，加减;(2)从左到右;(3)括号内，小括号，中括号，大括号5.5实数的估算5.5.1估算√a的取值范围之间(注：n为自然数）【答案】n2，(n+1)2，n，n+15.5.2无理数整数部分与小数部分的表示(2)d-√a的整数部分为，小数部分为【答案】(1)n，√a-n;(2)d-n-1，1-( √a-n)5.6实数的大小比较5.6.1数轴比较法在数轴上，右边点对应的实数比左边点对应的实数【答案】大5.6.2代数比较法正实数大于一切，0大于一切，都大于0；两个负实数比较大小，绝对值大的反而【答案】负实数，负实数，正实数，小5.6.3差值比较法-，b=0⇔ab-＜0⇔a___a___babba___a-＞，b0⇔【答案】＞，＝，＜5.6.4平方比较法若a＞0，b＞0，a2＞b2，则a b 【答案】＞。
3.3 实 数(1)
(2) 3
=3+ 2 -3+
2 3 2 = . 2 2
第3章
实数
【测控导航表】 知识点 题号
实数概念及分类
实数与数轴 实数的运算
1
2、3、5、11、13 4、6、7、8、9、10、12、14
第3章
实数
1.实数π , ,0,-1 中,无理数是( (A)π (B)
1 5
1 5
A
)
(C)0
(D)-1
1 5
第3章
实数
,倒数是
1 (a≠0). a
三、实数的有关概念及性质 1.实数 a 的相反数是 -a
a (a 0) 2.设 a 表示一个实数,则|a|= 0(a 、运算律在实数范围内仍成立.
【预习诊断】 (对的打“√”,错的打“×”)
=-3- + + =-2 .
26 1 29 1 - 3 0.008 - 3 0.000216 = 3 -(-0.2)-0.06=. 27 27 150 1 1 (3) 3 27 -| 2 - 3 |- ( 36 - 2 )+|- 3 |=3- 3 + 2 - (6- 2 )+ 3 2 2
解析:π是无限不循环小数为无理数, ,0,-1 都是有理数.故选 A.
第3章
2
实数
D
2.已知 x =3,那么在数轴上与实数 x 对应的点可能是(
)
(A)P1 (C)P2 或 P3
2
(B)P4 (D)P1 或 P4
解析:∵x =3,∴x=± 3 , 根据实数在数轴上表示的方法可得, x 对应的点可能是 P1 或 P4. 故选 D.
变式训练 2 2:|2- 5 |+|3- 5 |的值是( A (A)1 (B)-1 (C)5-2 5 (D)2 5 -5
北师大版高中数学必修第一册3.3.1指数函数的概念及其图象课件
+1.
令2x=t, 则 t ∈[1,4], 且f(t)=(t+1)²+1, ∴f(1)≤f(t)≤f(4), 即 5 ≤f(t)≤26,
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
即函数y=4x+2x+1+2 的值域为[5,26].
方法归纳 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0, 且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y= a 的单调性确定函数y=af(x)的值域；
(3)求函数y=f(a) 的定义域，需先确定y=f(u) 的定义域，即u的取值 范围，亦即u=a 的值域，由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值 范围，得y=f(a) 的定义域；
解析：f(-1)=2-(-1)=2,∴f(-1)=f(2)=a ·2²=1,∴
6. (12分)设f(x)=3x,
垂
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x) 的图象；
解析：函 数f(x)与g(x)的图象如图所示.
(2)计算f(1)与g(一1),f(π) 与g(一π),f(m) 与g(-m) 的值，从中你能得 到什么结论?
例1求下列函数的定义域和值域：
(1)y=√ 1-3×;
解析：要使函数式有意义，则1-3x≥0, 即3*≤1=30,因为函数y=3×在R上是 增函数，所以x≤0, 故函数y =√1-3 ×的定义域为(一0,0).
因为x≤0, 所以0<3x≤1, 所以0≤1-3x<1, 所以 √1-3×∈[0,1],即函数y=√1-3× 的值域为[0,1].
D.[0,1]
答案：C 解析：因为指数函数y=3x 在区间[-1,1]上是增函数，所以3-¹ ≤3×≤3¹ ,于是
实数的有关概念课件
VS
详细描述
实数的乘法运算具有结合律和分配律，即 (ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。乘法运 算在实数轴上表示为标量积，即结果向量 的长度为两个向量长度乘积的绝对值。
除法运算
总结词
实数的除法运算是将一个实数除以另一个非 零实数，得到商的操作。
详细描述
除法运算可以理解为乘上倒数，即 a/b=a*1/b。除法运算在实数轴上表示为向 量缩放，即结果向量的长度为被除数向量长 度除以除数向量的长度。
03
实数的运算
加法运算
要点一
总结词
实数的加法运算是指将两个实数相加，得到另一个实数的 操作。
要点二
详细描述
实数的加法运算具有交换律和结合律，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。加法运算在实数轴上表示为向量相加 ，即求得两个向量终点坐标的和作为结果向量的终点坐标 。
减法运算
总结词
整数与小数
整数
整数包括正整数、零和负整数，如1、0、-1、200等。整数是数学中基本的计数 系统，具有封闭性，即任意两个整数的四则运算结果仍为整数。
小数
小数是一种特殊的实数，可以表示为有限小数或无限循环小数，如0.5、0.333... 等。小数可以用来表示精确度或比例，如测量时的精确数值或价格的比例关系。
02
数轴上的点与实数一一对应，可以用实数表示点的 位置，也可以用点表示实数的值。
03
数轴上的点可以按照大小关系进行排列，从而将实 数也按照大小关系进行排列。
02
实数的分类
有理数与无理数
有理数
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。有理数在数轴上表示为两点之间 的线段。
湘教版数学八年级上册3.3《实数的分类及性质》说课稿1
湘教版数学八年级上册3.3《实数的分类及性质》说课稿1一. 教材分析湘教版数学八年级上册3.3《实数的分类及性质》这一节主要介绍了实数的分类和性质。
实数是数学中的基本概念之一，它包括有理数和无理数两大类。
本节内容通过对实数的分类和性质的学习，使学生能够更好地理解和运用实数，为后续的数学学习打下坚实的基础。
教材从实数的分类入手，首先介绍了有理数和无理数的概念，并通过实例让学生理解和区分它们。
然后，教材又介绍了实数的性质，包括实数的加法、减法、乘法和除法运算的性质，以及实数的平方根、立方根等特殊运算的性质。
这些性质是学生在学习实数运算时必须掌握的知识点。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数和无理数的基础知识，对实数的概念和分类有一定的了解。
但是，学生对实数的性质的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习来加深理解和巩固知识。
学生在学习实数的性质时，可能会遇到一些困难和混淆，特别是对于一些特殊的运算性质，如平方根、立方根等。
因此，教师在教学过程中需要耐心引导学生，通过例题和练习来帮助学生理解和掌握实数的性质。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生掌握实数的分类和性质，能够运用实数的性质进行简单的运算和解决问题。
具体来说，学生需要能够：1.理解和区分有理数和无理数；2.掌握实数的加法、减法、乘法和除法运算的性质；3.掌握实数的平方根、立方根等特殊运算的性质；4.能够运用实数的性质解决一些简单的数学问题。
四. 说教学重难点本节课的教学重难点是实数的性质的理解和运用。
特别是对于一些特殊的运算性质，如平方根、立方根等，学生可能会感到困惑和难以理解。
因此，教师需要通过例题和练习，引导学生理解和掌握实数的性质，并能够运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段本节课的教学方法主要采用讲授法和练习法。
教师通过讲解实数的分类和性质，引导学生理解和掌握知识。
同时，通过布置练习题，让学生运用所学的知识进行实际操作，巩固和加深对实数的性质的理解。
《实数的概念》课件
实数在生活中的应用
温度计上的实数
温度计上的数字表示实际温 度
温度计在生活中的应用：测 量体温、监测天气等
温度计的种类：水银温度计、 电子温度计等
温度计的准确性和使用注意 事项
身高体重指数（BMI）中的实数
身高体重指数（BMI）的定义 BMI中的实数计算 BMI指数在健康生活中的应用 如何根据BMI指数调整生活方式
课堂互动环节设计
案例分析：通过分析具体案例，让 学生更好地理解实数的概念和应用
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分组讨论：将学生分成小组，让他 们讨论相关问题，提高合作能力
课堂测验：通过小测验或练习题， 检验学生对实数概念的理解和掌握 情况
练习题与答案解析
● 题目1：什么是实数？ 答案1：实数包括有理数和无理数，有理数包括整数、分数、小数等，无理数包括无限不循 环小数等。
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地图上的经纬度
经纬度定义：经度和纬度是地图上的两个基本坐标系统，用于确定地球上 任何位置的坐标。
实数与经纬度的关系：经度和纬度都是实数，可以用小数或度数表示。
经纬度在地图上的应用：通过经纬度可以确定地球上任何位置的精确位置， 从而进行导航、定位和地理信息系统的应用。
添加标题
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实数与其他数学概念的关系
总结与回顾
本节课的重点与难点总结
重点：实数的概 念、分类和性质
难点：实数的运 算规则和实际应 用
解决方法：通过 例题讲解和练习 巩固，加深对实 数概念的理解和 掌握
总结：回顾本节 课所学内容，强 调容
数
无理数与有理 数的区别：定 义、性质、运 算规则等方面
的差异
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金龙学区龙门中学八年级数学科教学设计第周年月日主备人李杰雄教者
课题3.3 实数3.3.1 实数的概念
（第5课时）
教学目标(1) 了解无理数、实数的概念和实数的分类。
(2) 让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。
教学重点难点重点：无理数、实数的概念和实数的分类。
难点：正确理解无理数的意义。
教学方法导入、探究、观察
教具
准备
小黑板
教学过程一、情景导入
P116 说一说
1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2、实数的概念
我们把无限不循环小数叫做无理数，例如：2、
3.38338333833338…、π等都是无理数。
有理数与无理数统
称实数。
二、探究新知
1、根据2的近似值，你能想象出它在数轴上的位置吗？
试一试，在数轴上找到表示2的点。
说明每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上唯一的
一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示唯一的一个实数。
换句话说，实数与数轴上的点一一对应。
相关的概念：正实数、零、负实数、相反数等。
2、例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
—π、—3.1415926、
355
113
、39、2
1
3
、38
-、0、27、
3
∏
、5.0、3.14159、-0.020*******、13、
2
2
、
25
36
、0.10010001…
个案修改
例2 判断下列说法是否正确
(1) 无限小数都是无理数
(2) 有理数都是有限小数
(3) 无理数都是无限小数
(4) 带根号的数都无理数
例3 （1）求—364、3— 的相反数和绝对值；
（2）求满足x＜41
2
的整数。
练习： P118 练习 1、2、3
小结
本节课我们学习了无理数、实数的概念、实数与数轴上的点的一一对应关系等。
作业：（1）P121 习题 3.3 A组 1、2
（2）实数x满足x+2x=0,则x是 ( )
A. 非零实数
B.非负数
C. 零和负数
D. 负数
板
书
设
计
课
堂
反
馈
作
业
情
况
教
学
反
思。