2020.2.22三角函数和数列全国卷3(2016-2019全国3卷)答案

2020.2.22三角函数和数列全国卷3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的性质和前n 项和公式，考查方程思想，属基础题．设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，根据条件可得{a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15a 1q 4=3a 1q 2+4a 1，解方程即可． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q(q >0)， 则由前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，有{a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,∴{a 1=1q =2, ∴a 3=22=4，故选C ．2. 若sinα=13，则cos2α=( )A. 89B. 79C. −79D. −89【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题． 根据cos2α=1−2sin 2α能求出结果． 【解答】 解：∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选B ．3. ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若ΔABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C = ( )A. π2B. π3C. π4D. π6【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题． 由S △ABC =12absinC =a 2+b 2−c 24得sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC ，由此能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选C．4.函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题．解函数f(x)=2sinx−sin2x=0，在[0,2π]的解，即2sinx=sin2x令左右为新函数ℎ(x)和g(x)，作图求两函数在区间的交点即可．【解答】解：函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数，即：2sinx−sin2x=0在区间[0,2π]的根个数，即2sinx=sin2x，令左右为新函数ℎ(x)和g(x)，ℎ(x)=2sinx和g(x)=sin2x，作图求两函数在区间[0,2π]的图象可知：ℎ(x)=2sinx和g(x)=sin2x，在区间[0,2π]的图象的交点个数为3个．故选：B．5.设函数f(x)=cos(x+π3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C. f(x+π)的一个零点为x=π6D. f(x)在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A，函数的周期为2kπ，k∈Z，当k=−1时，周期T=−2π，故A正确；对于B，当x=8π3时，cos(x+π3)=cos(8π3+π3)=cosπ=−1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；对于C，因为f(x+π)=cos(x+π+π3)=−cos(x+π3)，且，则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；对于D，当π2<x<π时，5π6<x+π3<4π3，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．6.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=()A. 6425B. 4825C. 1D. 1625【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34 916+1=6425．故选A．7.若tanθ=−13，则cos2θ=()A. −45B. −15C. 15D. 45【答案】D【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数公式，解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成弦切的互化，属于基础题．利用余弦函数的二倍角公式可求得cos2θ=cos2θ−sin2θ，进而利用同角三角函数的基本关系式完成弦切的互化，然后把tanθ的值代入即可．【解答】解：由tanθ=−13，得cos2θ=cos2θ−sin2θ=cos2θ−sin2θcos2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−(−13)21+(−13)2=45，故选D．8.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sinA=()A. 310B. √1010C. √55D. 3√1010【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键，属于基础题．由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sin A．【解答】解：∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，∴AB=√23BC，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cosB=√29BC2+BC2−23BC2=√53 BC，故12BC⋅13BC=12AB⋅AC⋅sinA=12⋅√23BC⋅√53BC⋅sinA，∴sinA=3√1010，故选D．9.已知sinα−cosα=43，则sin2α=()A. −79B. −29C. 29D. 79【答案】A【解析】【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：∵sinα−cosα=43，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−sin2α=169，∴sin2α=−79，故选A．10.函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为()A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，函数的周期性，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：f(x)=tanx1+tan2x =sinxcosxcos2x+sin2x=12sin2x，∴最小正周期为2π2=π．故选C．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2=3a1，则S10S5=______．【答案】4【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a1≠0，a2=3a1可得，d=2a1，∴S10S5=10(a1+a10)5(a1+a5)=2(2a1+9d) 2a1+4d=2(2a1+18a1)2a1+8a1=4，故答案为：4．根据a2=3a1，可得公差d=2a1，然后利用等差数列的前n项和公式将S10S5用a1表示，化简即可．本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题．12.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=___________．【答案】100【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题，属基础题．由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3=5，a7=13，得d=a7−a37−3=13−54=2，∴a1=a3−2d=5−4=1．则S10=10×1+10×9×22=100．故答案为100．13.设等比数列{a n}满足a1+a2=−1，a1−a3=−3，则a4=______．【答案】−8【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=−1，a1−a3=−3，可得：a1(1+q)=−1，a1(1−q2)=−3，求解即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=−1，a1−a3=−3，∴a1(1+q)=−1，a1(1−q2)=−3，解得a1=1，q=−2．则a4=(−2)3=−8．故答案为−8．14.函数y=sinx−√3cosx的图象可由函数y=sinx+√3cosx的图象至少向右平移______个单位长度得到．【答案】2π3【解析】【分析】本题考查辅助角公式的应用和函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0)的图象，属于中档题．令f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，则f(x−φ)=2sin(x+π3−φ)，依题意可得2sin(x+π3−φ)=2sin(x−π3)，由，可得答案．【解答】解：∵y=f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∴f(x−φ)=2sin(x+π3−φ)(φ>0)，令2sin(x+π3−φ)=2sin(x−π3)，则，即，当k=0时，正数φmin=2π3，故答案为2π3．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=√6，c=3，则A=______．【答案】75°【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题．根据正弦定理和三角形的内角和计算即可． 【解答】解：根据正弦定理可得b sinB =csinC ，C =60°，b =√6，c =3， ∴sinB =√6×√323=√22， ∵b <c ， ∴B =45°，∴A =180°−B −C =180°−45°−60°=75°， 故答案为75°．16. 设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为______． 【答案】a n =6n −3【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=3，d =6，由此能求出{a n }的通项公式． 【解答】解：∵{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36， ∴{a 1=3a 1+d +a 1+4d =36， 解得a 1=3，d =6，∴a n =a 1+(n −1)d =3+(n −1)×6=6n −3． ∴{a n }的通项公式为a n =6n −3． 故答案为a n =6n −3．17. 设函数f(x)=cos(ωx −π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______． 【答案】23【解析】【分析】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可． 【解答】解：因为f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立， 所以x =π4处函数f(x)取得最大值， 所以ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ， 解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω>0． 则ω的最小值为23． 故答案为23．18.已知函数y=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π3对称，则φ的值为______．【答案】−π6【解析】解：∵y=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π3对称，∴2×π3+φ=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ−π6，∵−π2<φ<π2，∴当k=0时，φ=−π6，故答案为：−π6．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【答案】解：(1)∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×(1×q2)，解得q=±2，当q=2时，a n=2n−1，当q=−2时，a n=(−2)n−1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n−1，或a n=(−2)n−1．(2)记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=−2时，S n=a1(1−q n)1−q =1−(−2)n1−(−2)=1−(−2)n3，由S m=63，得S m=1−(−2)m3=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n=a1(1−q n)1−q =1−2n1−2=2n−1，由S m=63，得S m=2m−1=63，m∈N，解得m=6．【解析】(1)利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a n}的通项公式．(2)当a1=1，q=−2时，S n=1−(−2)n3，由S m=63，得S m=1−(−2)m3=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n=2n−1，由此能求出m．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，a =2√7，b =2．(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【答案】解：(1)∵sinA +√3cosA =0，∴tanA =−√3， ∵0<A <π，∴A =2π3．由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 即28=4+c 2−2×2c ×(−12)， 即c 2+2c −24=0，解得c =−6(舍去)或c =4， 故c =4．(2)∵c 2=b 2+a 2−2abcosC ， ∴16=28+4−2×2√7×2×cosC ， ∴cosC =√7，∴CD =AC cosC =22√7=√7，∴CD =12BC ，∴S △ABD =12S △ABC ， 又S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×4×2×√32=2√3，∴S △ABD =√3．【解析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题． (1)先根据同角的三角函数的关系求出A ，再根据余弦定理即可求出；(2)先根据夹角求出cos C ，求出CD 的长，得到S △ABD =12S △ABC ，然后求出三角形ABC 的面积从而得到三角形ABD 的面积．21. 已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0． (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．【答案】解：(1)根据题意，a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0，当n =1时，有a 12−(2a 2−1)a 1−2a 2=0，而a 1=1，则有1−(2a 2−1)−2a 2=0，解可得a 2=12，当n =2时，有a 22−(2a 3−1)a 2−2a 3=0，又由a 2=12，解可得a 3=14，故a 2=12，a 3=14；(2)根据题意，a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0，变形可得(a n −2a n+1)(a n +1)=0， 即有a n =2a n+1或a n =−1， 又由数列{a n }各项都为正数， 则有a n =2a n+1，故数列{a n }是首项为a 1=1，公比为12的等比数列， 则a n =1×(12)n−1=(12)n−1， 故a n =(12)n−1．【解析】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a n 与a n+1的关系．(1)根据题意，由数列的递推公式，令n =1可得a 12−(2a 2−1)a 1−2a 2=0，将a 1=1代入可得a 2的值，进而令n =2可得a 22−(2a 3−1)a 2−2a 3=0，将a 2=12代入计算可得a 3的值，即可得答案；(2)根据题意，将a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0变形可得(a n −2a n+1)(a n +a n+1)=0，进而分析可得a n =2a n+1或a n =−a n+1，结合数列各项为正可得a n =2a n+1，结合等比数列的性质可得{a n }是首项为a 1=1，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．22. 设数列{a n }满足a 1+3a 2+⋯+(2n −1)a n =2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{an2n+1}的前n 项和．【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1+3a 2+⋯+(2n −1)a n =2n ， n ≥2时，a 1+3a 2+⋯+(2n −3)a n−1=2(n −1)， ∴两式相减得(2n −1)a n =2， ∴a n =22n−1，当n =1时，a 1=2，上式也成立， ∴a n =22n−1；(2)a n 2n +1=2(2n −1)(2n +1)=12n −1−12n +1∴数列{an2n+1}的前项和为：S n =(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1．【解析】本题主要考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了计算能力，属于中档题． (1)利用数列递推关系即可得出；(2)a n2n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，利用裂项求和方法即可得出．23.在△ABC中，a=7，b=8，cos B=−17．(1)求∠A；(2)求AC边上的高．【答案】解：(1)∵a<b，∴A<B，即A是锐角，∵cosB=−17，∴sinB=√1−cos2B=√1−(−17)2=4√37，由正弦定理得asinA =bsinB得sinA=asinBb=7×4√378=√32，A为锐角，则A=π3;(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即64=49+c2+2×7×c×17，即c2+2c−15=0，得(c−3)(c+5)=0，得c=3或c=−5(舍)，则AC边上的高ℎ=csinA=3×√32=3√32．【解析】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．(1)由正弦定理结合大边对大角进行求解即可;(2)利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可．第11页，共11页。