归并排序非递归算法
算法工程师面试真题单选题100道及答案解析
算法工程师面试真题单选题100道及答案解析1. 以下哪种数据结构适合用于实现快速查找最大值和最小值？A. 栈B. 队列C. 堆D. 链表答案：C解析：堆可以快速地获取最大值和最小值。
2. 快速排序在最坏情况下的时间复杂度是？A. O(nlogn)B. O(n^2)C. O(n)D. O(logn)答案：B解析：快速排序在最坏情况下，每次划分都极不均匀，时间复杂度为O(n^2)。
3. 以下哪种算法常用于在未排序的数组中查找特定元素？A. 冒泡排序B. 二分查找C. 顺序查找D. 插入排序答案：C解析：顺序查找适用于未排序的数组查找特定元素。
4. 一个有向图的邻接表存储结构中，顶点的邻接点是按照什么顺序存储的？A. 随机顺序B. 顶点编号的大小顺序C. 插入的先后顺序D. 无法确定答案：C解析：邻接表中顶点的邻接点是按照插入的先后顺序存储的。
5. 深度优先搜索遍历图的时间复杂度是？A. O(n)B. O(n + e)C. O(n^2)D. O(e)答案：B解析：深度优先搜索遍历图的时间复杂度为O(n + e)，其中n 是顶点数，e 是边数。
6. 以下哪种排序算法是稳定的排序算法？A. 快速排序B. 希尔排序C. 冒泡排序D. 选择排序答案：C解析：冒泡排序是稳定的排序算法。
7. 一个具有n 个顶点的无向完全图，其边的数量为？A. n(n - 1) / 2B. n(n - 1)C. n^2D. 2n答案：A解析：无向完全图的边数为n(n - 1) / 2 。
8. 动态规划算法的基本思想是？A. 分治法B. 贪心算法C. 把问题分解成多个子问题并保存子问题的解D. 回溯法答案：C解析：动态规划的基本思想是把问题分解成多个子问题并保存子问题的解，避免重复计算。
9. 以下关于哈希表的说法，错误的是？A. 哈希表的查找时间复杂度为O(1)B. 哈希冲突可以通过开放定址法解决C. 哈希表的空间复杂度是固定的D. 哈希函数的设计会影响哈希表的性能答案：C解析：哈希表的空间复杂度不是固定的，取决于元素数量和负载因子等。
python 归并排序详解
python 归并排序详解摘要：一、归并排序的基本概念二、归并排序的算法实现1.递归实现2.非递归实现三、归并排序的优化1.优化空间复杂度2.优化时间复杂度四、归并排序的应用与实战五、总结与拓展正文：一、归并排序的基本概念归并排序（Merge Sort）是一种分治思想的排序算法。
它将待排序的序列分成两部分，分别对这两部分进行递归排序，然后将排序好的两部分合并成一个有序序列。
这个过程一直重复，直到整个序列被排序。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
二、归并排序的算法实现1.递归实现归并排序的递归实现如下：```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]left_half = merge_sort(left_half)right_half = merge_sort(right_half)return merge(left_half, right_half) def merge(left, right):result = []i = j = 0while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1result += left[i:]result += right[j:]return resultarr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]print(merge_sort(arr))```2.非递归实现归并排序的非递归实现如下：```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]left_half = merge_sort(left_half)right_half = merge_sort(right_half)return merge(left_half, right_half) def merge(left, right):result = []i = j = 0while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1result += left[i:]result += right[j:]return resultarr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]print(merge_sort(arr))```三、归并排序的优化1.优化空间复杂度归并排序的空间复杂度为O(n)，可以通过合并过程中的数组切片实现空间优化，将空间复杂度降低到O(logn)。
多路归并排序算法的过程
多路归并排序算法的过程
多路归并排序算法的过程可以分为以下步骤：
1.分割：将待排序的数据集分割成若干个较小的子集，每个子集都可以用递归的方式进行多路归并排序，直到子集中只有一个或零个元素为止。
2.合并：将已经排好序的子集按照升序或降序的方式合并成一个更大的有序集合，直到所有子集都合并完毕为止。
这个过程大致为：首先将k个归并段中的首元素关键字依次存入b[0]--b[k-1]的叶子结点空间里，然后调用CreateLoserTree创建败者树，创建完毕之后最小的关键字
下标（即所在归并段的序号）便被存入ls[0]中。
然后不断循环：把ls[0]所存最小关键字来自于哪个归并段的序号得
到为q，将该归并段的首元素输出到有序归并段里，然后把
下一个元素关键字放入上一个元素本来所在的叶子结点
b[q]中，调用Adjust顺着b[q]这个叶子结点往上调整败者
树直到新的最小的关键字被选出来，其下标同样存在ls[0]中。
循环这个操作过程直至所有元素被写到有序归并段里。
分治法实验心得
分治法实验心得分治法实验心得分治法是一种常见的算法设计策略，它将原问题划分成若干个规模较小但结构与原问题相似的子问题，然后递归地求解这些子问题，最终将子问题的解合并得到原问题的解。
在本次实验中，我们实现了两个基于分治法的算法：归并排序和快速排序，并对它们进行了性能测试和比较。
一、归并排序1. 原理归并排序是一种典型的分治算法。
它将待排序数组不断地二分为两个子数组，直到每个子数组只剩下一个元素。
然后将相邻的两个子数组合并成一个有序数组，再将相邻的两个有序数组合并成一个更大的有序数组，直到最终合并成整个待排序数组。
2. 实现我们采用了自顶向下的递归方式实现了归并排序。
具体来说，我们定义了一个merge函数用于合并两个有序子数组，并定义了一个sort 函数用于递归地对左右两个子数组进行排序和合并。
3. 性能测试与比较我们使用Python内置的time模块对不同规模（10^2 ~ 10^6）的随机整数列表进行了性能测试，并绘制出了运行时间随数组规模增大的变化曲线。
结果表明，归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，与理论分析相符。
二、快速排序1. 原理快速排序也是一种分治算法。
它选择一个基准元素，将数组中小于等于它的元素放在其左侧，大于它的元素放在其右侧。
然后递归地对左右两个子数组进行同样的操作，直到每个子数组只剩下一个元素。
2. 实现我们实现了两个版本的快速排序：递归版本和非递归版本。
其中，递归版本采用了经典的Lomuto分区方案，而非递归版本则采用了更高效的Hoare分区方案。
3. 性能测试与比较我们同样使用Python内置的time模块对不同规模（10^2 ~ 10^6）的随机整数列表进行了性能测试，并绘制出了运行时间随数组规模增大的变化曲线。
结果表明，快速排序具有很好的平均时间复杂度（O(nlogn)），但最坏情况下时间复杂度会退化到O(n^2)。
三、总结与思考通过本次实验，我们深入理解了分治算法设计策略，并学会了如何实现归并排序和快速排序。
归并排序稳定吗
归并排序稳定吗
归并排序是稳定的排序。
1945年，约翰？冯？诺依曼发明了归并排序，这是典型的分治算法的应用。
在计算机科学中，归并排序是一种高效、通用、基于比较的排序算法。
此外，归并排序还是稳定的，因为相同元素的相对次序在排序后不会发生变化。
最开始，归并排序采用的是自顶向下的模式，后来，到了1948年，冯大神和赫尔曼？海因？戈德斯坦两人共同撰写了一篇报告，描述了归并排序的另外一种实现方式，那就是自底向上。
递归，会使得在排序过程中占用大量计算机内部的栈空间，如果线性表长度过长，那么会可能会造成栈溢出，从而使程序崩溃，而自底向上的迭代就不会出现这种问题。
所以，综合来看，在实际应用中，建议大家采用自底上的归并排序也就是迭代。
算法—4.归并排序（自顶向下）
算法—4.归并排序（⾃顶向下）1.基本思想将两个有序的数组归并成⼀个更⼤的有序数组，很快⼈们就根据这个操作发明了⼀种简单的递归排序算法：归并排序。
要将⼀个数组排序，可以先(递归地)将它分成两半分别排序，然后将结果归并起来。
你将会看到，归并排序最吸引⼈的性质是它能够保证将任意长度为N的数组排序所需时间和NlogN成正⽐；它的主要缺点则是它所需的额外空间和N成正⽐。
简单的归并排序如下图所⽰：原地归并的抽象⽅法：实现归并的⼀种直截了当的办法是将两个不同的有序数组归并到第三个数组中，实现的⽅法很简单，创建⼀个适当⼤⼩的数组然后将两个输⼊数组中的元素⼀个个从⼩到⼤放⼊这个数组中。
public void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi){int i = lo, j = mid+1;//将a[lo..hi]复制到aux[lo..hi]for (int k = lo; k <= hi; k++) {aux[k] = a[k];}//归并回到a[lo..hi]for (int k = lo; k <= hi; k++) {if(i > mid){a[k] = aux[j++];}else if(j > hi){a[k] = aux[i++];}else if(less(aux[j], aux[i])){a[k] = aux[j++];}else{a[k] = aux[i++];}}}以上⽅法会将⼦数组a[lo..mid]和a[mid+1..hi]归并成⼀个有序的数组并将结果存放在a[lo..hi]中。
在归并时（第⼆个for循环）进⾏了4个条件判断：左半边⽤尽（取右半边的元素）、右半边⽤尽（取左半边的元素）、右半边的当前元素⼩于左半边的当前元素（取右半边的元素）以及右半边的当前元素⼤于等于左半边的当前元素（取左半边的元素）。
2.具体算法/*** ⾃顶向下的归并排序* @author huazhou**/public class Merge extends Model{private Comparable[] aux; //归并所需的辅助数组public void sort(Comparable[] a){System.out.println("Merge");aux = new Comparable[a.length]; //⼀次性分配空间sort(a, 0, a.length - 1);}//将数组a[lo..hi]排序private void sort(Comparable[] a, int lo, int hi){if(hi <= lo){return;}int mid = lo + (hi - lo)/2;sort(a, lo, mid); //将左半边排序sort(a, mid+1, hi); //将右半边排序merge(a, lo, mid, hi); //归并结果}} 此算法基于原地归并的抽象实现了另⼀种递归归并，这也是应⽤⾼效算法设计中分治思想的最典型的⼀个例⼦。
算法21--内部排序--归并排序
实现这种递归调用的关键是为过程建立递归调用工作栈。通 常，在一个过程中调用另一过程时，系统需在运行被调用过 程之前先完成3件事:
（1）将所有实参指针，返回地址等信息传递给被调用过程； （2）为被调用过程的局部变量分配存储区； （3）将控制转移到被调用过程的入口。 在从被调用过程返回调用过程时，系统也相应地要完成3件事： （1）保存被调用过程的计算结果； （2）释放分配给被调用过程的数据区； （3）依照被凋用过程保存的返回地址将控制转移到调用过程.
实际的意义：可以把一个长度为n 的无序序列看成 是 n 个长度为 1 的有序子序列 ，首先做两两归 并，得到 n/2 个长度为 2 的子序列；再做两两 归并，…，如此重复，直到最后得到一个长度为 n
的有序序列。
归并排序
初始序列
[49] [38] [65] [97 [76] [13] [27]
第一步 第二步
T(1)=1 T(n)=kT(n/m)+f(n)
2019/10/20
归并排序时间复杂性分析
• 合并趟数： log2n • 每趟进行比较的代价 n • 总的代价为 T(n) = O ( nlog2n ) • 在一般情况下：
c
n=1
T(n) =
T( n/2 ) + T( n/2 ) + cn n>1
优缺点：Ω的这个定义的优点是与O的定义对称，缺点 是当 f(N) 对自然数的不同无穷子集有不同的表达式， 且有不同的阶时，未能很好地刻画出 f(N)的下界。
2019/10/20
f(n) cg(n)
n0
n
2019/10/20
代入法解递归方程
方法的关键步骤在于预先对解答作出推测，然后用 数学归纳法证明推测的正确性。
二叉树的快速排序、归并排序方法
二叉树的快速排序、归并排序方法一、快速排序快速排序采用的是分治法策略，其基本思路是先选定一个基准数（一般取第一个元素），将待排序序列抽象成两个子序列：小于基准数的子序列和大于等于基准数的子序列，然后递归地对这两个子序列排序。
1. 递归实现（1）选定基准数题目要求采用第一个元素作为基准数，因此可以直接将其取出。
（2）划分序列接下来需要将待排序序列划分成两个子序列。
我们定义两个指针 i 和 j，从待排序序列的第二个元素和最后一个元素位置开始，分别向左和向右扫描，直到 i 和 j 相遇为止。
在扫描过程中，将小于等于基准数的元素移到左边（即与左侧序列交换），将大于基准数的元素移到右边（即与右侧序列交换）。
当 i=j 时，扫描结束。
（3）递归排序子序列完成划分后，左右两个子序列就确定了下来。
接下来分别对左右两个子序列递归调用快速排序算法即可。
2. 非递归实现上述方法是快速排序的递归实现。
对于大量数据或深度递归的情况，可能会出现栈溢出等问题，因此还可以使用非递归实现。
非递归实现采用的是栈结构，将待排序序列分成若干子序列后，依次将其入栈并标注其位置信息，然后将栈中元素依次出栈并分割、排序，直至栈为空。
二、归并排序归并排序同样采用的是分治思想。
其基本思路是将待排序序列拆分成若干个子序列，直至每个子序列只有一个元素，然后将相邻的子序列两两合并，直至合并成一个有序序列。
1. 递归实现（1）拆分子序列归并排序先将待排序序列进行拆分，具体方法是将序列平分成两个子序列，然后递归地对子序列进行拆分直至每个子序列只剩下一个元素。
（2）合并有序子序列在完成子序列的拆分后，接下来需要将相邻的子序列两两合并为一个有序序列。
我们先定义三个指针 i、j 和 k，分别指向待合并的左侧子序列、右侧子序列和合并后的序列。
在进行合并时，从两个子序列的起始位置开始比较，将两个子序列中较小的元素移动到合并后的序列中。
具体操作如下：- 当左侧子序列的第一个元素小于等于右侧子序列的第一个元素时，将左侧子序列的第一个元素移动到合并后的序列中，并将指针 i 和 k 分别加 1。
算法浅谈——分治算法与归并、快速排序（附代码和动图演示）
算法浅谈——分治算法与归并、快速排序（附代码和动图演⽰）在之前的⽂章当中，我们通过海盗分⾦币问题详细讲解了递归⽅法。
我们可以认为在递归的过程当中，我们通过函数⾃⼰调⽤⾃⼰，将⼤问题转化成了⼩问题，因此简化了编码以及建模。
今天这篇⽂章呢，就正式和⼤家聊⼀聊将⼤问题简化成⼩问题的分治算法的经典使⽤场景——排序。
排序算法排序算法有很多，很多博⽂都有总结，号称有⼗⼤经典的排序算法。
我们信⼿拈来就可以说上来很多，⽐如插⼊排序、选择排序、桶排序、希尔排序、快速排序、归并排序等等。
⽼实讲这么多排序算法，但我们实际⼯作中并不会⽤到那么多，凡是⾼级语⾔都有⾃带的排序⼯具，我们直接调⽤就好。
为了应付⾯试以及提升⾃⼰算法能⼒呢，⽤到的也就那么⼏种。
今天我们来介绍⼀下利⽤分治思想实现的两种经典排序算法——归并排序与快速排序。
归并排序我们先来讲归并排序，归并排序的思路其实很简单，说⽩了只有⼀句话：两个有序数组归并的复杂度是O(n)。
我们举个例⼦：a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = []我们⽤i和j分别表⽰a和b两个数组的下标，c表⽰归并之后的数组，显然⼀开始的时候i, j = 0, 0。
我们不停地⽐较a和b数组i和j位置⼤⼩关系，将⼩的那个数填⼊c。
填⼊⼀个数之后：i = 1j = 0a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = [1]填⼊两个数之后：i = 1j = 1a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = [1, 2]我们重复以上步骤，直到a和b数组当中所有的数都填⼊c数组为⽌，我们可以很⽅便地写出以上操作的代码：def merge(a, b):i, j = 0, 0c = []while i < len(a) or j < len(b):# 判断a数组是否已经全部放⼊if i == len(a):c.append(b[j])c.append(a[i])i += 1continue# 判断⼤⼩if a[i] <= b[j]:c.append(a[i])i += 1else:c.append(b[j])j += 1return c从上⾯的代码我们也能看出来，这个过程虽然简单，但是写成代码⾮常⿇烦，因为我们需要判断数组是否已经全部填⼊的情况。
知识点归并排序和基数排序
数据结构
二、空间性能 指的是排序过程中所需的辅助空间大小
1. 所有的简单排序方法(包括：直接插入、
起泡和简单选择) 和堆排序的空间复杂度为O(1)；
2. 快速排序为O(logn)，为递归程序执行过程中，
栈所需的辅助空间；
数据结构
容易看出，对 n 个记录进行归并排序的时间 复杂度为Ο(nlogn)。即：
每一趟归并的时间复杂度为 O(n)， 总共需进行 log2n 趟。
数据结构
10.6 基 数 排 序
数据结构
基数排序是一种借助“多关键字排序” 的思想来实现“单关键字排序”的内部 排序算法。
多关键字的排序
链式基数排序
一、多关键字的排序 n 个记录的序列 { R1, R2, …，Rn} 对关键字 (Ki0, Ki1,…,Kid-1) 有序是指：
对于序列中任意两个记录 Ri 和 Rj (1≤i<j≤n) 都满足下列(词典)有序关系： (Ki0, Ki1, …,Kid-1) < (Kj0, Kj1, …,Kjd-1) 其中: K0 被称为 “最主”位关键字
数据结构
10.5 归 并 排 序（知识点三）
数据结构
归并的含义是将两个或两个以上的有序表组 合成一个新的有序表。
归并排序可分为两路归并排序,或多路归并 排序，既可用于内排序，也可用于外排序。这 里仅对内排序的两路归并方法进行讨论。
数据结构
两路归并排序算法思路：
假设初始序列含有ｎ个记录，首先把ｎ个记录 看成ｎ个长度为１的有序序列，进行两两归并， 得到 ｎ／２个长度为２的关键字有序序列， 再两两归并直到所有记录归并成一个长度为ｎ 的有序序列为止。
二路归并排序算法
⼆路归并排序算法将两个按值有序序列合并成⼀个按值有序序列，则称之为⼆路归并排序，下⾯有⾃底向上和⾃顶向下的两种排序算法，⾃顶向下的排序在本⽂末讲述，使⽤递归实现，代码较简洁，经供参考。
1. 归并⼦算法：把位置相邻的两个按值有序序列合并成⼀个按值有序序列。
例如把序列 X[s..u] = {3, 12, 23, 32}和序列 X[u+1..v] = {2, 5, 8, 99} 合并成序列Z[s..v] = {2, 3, 5, 8, 12, 23, 32, 99}, 注意合并前的元素都位于同⼀个有序序列的相邻位置，合并后的有序序列的下标与合并前的序列总的起始下标相同。
算法过程中需要三个整型变量，i ⽤来遍历归并的前⼀个有序序列，其初始位置是s；j ⽤来遍历归并的后⼀个有序序列，其初始值是u+1；q ⽤来指出归并后得到的有序序列的末尾元素的位置，其初始值是s。
当遍历完成其中的⼀个有序序列之后，只需把另⼀个未结束有序序列的剩余元素复制到合并后的有序序列的末尾。
看代码：[cpp]1. //将有序的X[s..u]和X[u+1..v]归并为有序的Z[s..v]2. void merge(int X[], int Z[], int s, int u, int v)3. {4. int i, j, q;5. i = s;6. j = u + 1;7. q = s;8.9. while( i <= u && j<= v )10. {11. if( X[i] <= X[j] )12. Z[q++] = X[i++];13. else14. Z[q++] = X[j++];15. }16.17. while( i <= u ) //将X中剩余元素X[i..u]复制到Z18. Z[q++] = X[i++];19. while( j <= v ) //将X中剩余元素X[j..v]复制到Z20. Z[q++] = X[j++];21. }2. ⼀趟归并扫描⼦算法：将参加排序的序列分成若⼲个长度为 t 的，且各⾃按值有序的⼦序列，然后多次调⽤归并⼦算法merge将所有两两相邻成对的⼦序列合并成若⼲个长度为2t 的，且各⾃按值有序的⼦序列。
归并排序详解及应用
归并排序详解及应用归并排序（Merge sort）是一种基于分治策略的经典排序算法。
它将待排序数组分成两个子数组，分别对子数组进行排序，然后将已排序的子数组合并，最终得到完整的有序数组。
归并排序的详细步骤如下：1.分解：将待排序数组不断二分，直到最小单位为单个元素，即子数组长度为1。
2.合并：逐层对已排序的子数组进行合并操作，合并过程中将两个有序子数组合并为一个有序的大数组。
合并操作的具体步骤如下： a. 创建一个辅助数组，用于存放合并后的数组。
b. 定义三个指针，分别指向两个子数组的起始位置和辅助数组的起始位置。
c. 比较两个子数组的当前元素，将较小的元素放入辅助数组，并将相应指针后移。
d. 重复上述比较和放入操作，直到一个子数组的所有元素都放入了辅助数组。
e. 将另一个子数组剩余的元素放入辅助数组。
f. 将辅助数组中的元素复制回原数组对应的位置。
3.递归：不断重复分解和合并的过程，直到最终得到完整的有序数组。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是待排序数组的长度。
由于归并排序是基于分治策略，它的稳定性和效率使其成为常用的排序算法之一。
归并排序除了基本的排序功能，还具有其他一些应用。
以下是一些常见的应用场景：1.外部排序：归并排序适用于需要对大规模数据进行排序的情况，它可以将数据分割为适合内存容量的块，分别进行排序，然后将排序好的块合并成最终的有序结果。
2.链表排序：与其他排序算法相比，归并排序对链表的排序更加适用。
由于归并排序只需要改变指针的指向来完成合并操作，对于链表而言操作较为高效。
3.并行计算：归并排序可以进行并行化处理，将待排序数组分割为多个部分，分别在不同的处理器或线程上进行排序，然后将排序好的部分合并。
4.大数据处理：在大数据处理中，归并排序可以结合MapReduce等分布式计算框架，将数据分割、排序和合并操作分布在多个计算节点上，加快处理速度。
总的来说，归并排序是一种高效、稳定的排序算法，它的优点在于适用于各种数据类型的排序，并且可以应用到一些特定的场景和算法问题中。
归并排序算法实现归并排序的原理和时间复杂度分析
归并排序算法实现归并排序的原理和时间复杂度分析归并排序是一种经典的排序算法，它采用分治策略来解决排序问题。
它的原理是将一个数组分成两个子数组，然后对每个子数组进行排序，最后再合并两个已排序的子数组。
根据分治的思想，我们可以递归地将问题分解为较小的子问题，通过解决子问题并将结果合并来解决原始问题。
1. 归并排序的原理归并排序的原理可以分为三个步骤：分解、解决和合并。
(1) 分解：首先，将待排序的数组分解为两个子数组，直到每个子数组的长度为1。
例如，对于数组[5, 2, 7, 1]，我们将其分解为[5, 2]和[7, 1]两个子数组。
(2) 解决：接下来，对每个子数组递归地应用归并排序算法，直到子数组的长度为1为止。
递归的终止条件是数组长度为1时，这时数组就是有序的。
对于[5, 2]和[7, 1]两个子数组，我们将其分别排序得到[2, 5]和[1, 7]。
(3) 合并：最后，将两个已排序的子数组合并成一个有序的数组。
合并过程中，我们比较两个子数组的第一个元素，将较小的元素放入结果数组，并移动指针，直到一个子数组已经全部放入结果数组中，然后将另一个子数组中的剩余元素放入结果数组。
对于[2, 5]和[1, 7]两个已排序的子数组，我们将其合并得到最终的排序结果[1, 2, 5, 7]。
通过不断地分解、解决和合并的步骤，归并排序算法最终能够对整个数组进行排序。
2. 时间复杂度分析归并排序算法的时间复杂度可以通过递推关系式来分析。
假设待排序的数组长度为n，则归并排序的时间复杂度可以表示为T(n)。
(1) 分解：每次分解过程将数组划分为两个子数组，所以分解过程的时间复杂度为O(log n)。
其中，log n表示以2为底n的对数。
(2) 解决：对每个子数组的解决过程需要的时间复杂度为O(n)。
因为每个子数组的长度为n/2，所以花费的时间为O(n/2)。
递归地应用归并排序算法，最后得到的时间复杂度为O(n)。
(3) 合并：在合并过程中，我们需要比较每个元素并放入结果数组中，所以合并过程的时间复杂度为O(n)。
算法分析期末考试集答案（套）
算法分析期末考试集答案（套）《算法分析与设计》⼀、解答题 1. 机器调度问题。
问题描述：现在有n 件任务和⽆限多台的机器，任务可以在机器上得到处理。
每件任务的开始时间为s i ，完成时间为f i ，s i问题实例：若任务占⽤的时间范围是{[1，4]，[2，5]，[4，5]，[2，6]，[4，7]}，则按时完成所有任务最少需要⼏台机器？（提⽰：使⽤贪⼼算法）画出⼯作在对应的机器上的分配情况。
2. 已知⾮齐次递归⽅程：f (n)bf (n 1)g(n)f (0)c =-+??=? ，其中，b 、c 是常数，g(n)是n 的某⼀个函数。
则f(n)的⾮递归表达式为：nnn i i 1f (n)cb b g(i)-==+∑。
现有Hanoi 塔问题的递归⽅程为：h(n)2h(n 1)1h(1)1=-+??=? ，求h(n)的⾮递归表达式。
解：利⽤给出的关系式，此时有：b=2, c=1, g(n)=1, 从n 递推到1，有：n 1n 1n 1i i 1n 1n 22n h(n)cbb g(i)22 (22121)----=--=+=+++++=-∑3. 单源最短路径的求解。
问题的描述：给定带权有向图（如下图所⽰）G =(V,E)，其中每条边的权是⾮负实数。
另外，还给定V 中的⼀个顶点，称为源。
现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。
这⾥路的长度是指路上各边权之和。
这个问题通常称为单源最短路径问题。
解法：现采⽤Dijkstra 算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径。
请将此过程填⼊下表中。
4. 请写出⽤回溯法解装载问题的函数。
装载问题：有⼀批共n 个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i 的重量为wi ，且121nii w c c=≤+∑。
装载问题要求确定是否有⼀个合理的装载⽅案可将这n 个集装箱装上这2艘轮船。
如果有，找出⼀种装载⽅案。
解：void backtrack (int i){// 搜索第i 层结点if (i > n) // 到达叶结点更新最优解bestx,bestw;return; r -= w[i];if (cw + w[i] <= c) {// 搜索左⼦树43 2 1 100 30 maxint10 - {1} 初始 dist[5] dist[4] dist[3] dist[2] u S 迭代x[i] = 1;cw += w[i];backtrack(i + 1);cw -= w[i]; }if (cw + r > bestw) {x[i] = 0; // 搜索右⼦树backtrack(i + 1); }r += w[i];}5. ⽤分⽀限界法解装载问题时，对算法进⾏了⼀些改进，下⾯的程序段给出了改进部分；试说明斜线部分完成什么功能，以及这样做的原因，即采⽤这样的⽅式，算法在执⾏上有什么不同。
数据结构课程设计--二路归并排序说明书
前言1.1排序的重要性生活中，无时不刻不充满这排序，比如：班级同学的成绩排名问题，公司产值高低的问题等等，解决这些问题的过程中，都涉及到了一个数据结构的构造思想过程。
数据结构中的排序，也有很多种，如：插入排序、交换排序、选择排序等等，此时我们就要注意选择具有优解的算法，将一个数据元素（或记录）的任意序列，重新排列成一个有序的排列，便于我们查找。
假设含有n个记录的序列为{R1,R2,Rn},其相应的关键字序列为{K1,K2,…,Kn}需确定1，2…n的一种排序P1,P2…Pn,使其相应的关键字满足如下的非递减的关系：Kp1≤Kp2≤…≤Kpn,即按关键字{Rp1,Rp2,…,Rpn}有序的排列，这样的一种操作称为排序。
一般情况下，排序又分为内部排序和外部排序。
而在内部排序中又含有很多排序方法，就其全面性能而言，很难提出一种被认为是最好的方法，因为每一种方法都有它的优缺点，适合在不同的环境下使用。
我们学习的排序有:直接插入排序、折半插入排序、希尔排序、快速排序、基数排序、归并排序等。
本次课题研究中，我主要进行了二路归并排序的研究和学习。
1.2设计的背景和意义排序是计算机领域的一类非常重要的问题，计算机在出来数据的过程中，有25%的时间花在了排序上，有许多的计算机设备，排序用去计算机处理数据时间的一半以上，这对于提高计算机的运行速度有一定的影响。
此时排序算法的高效率显得尤为重要。
在排序算法汇中，归并排序（Merging sort）是与插入排序、交换排序、选择排序不同的另一类排序方法。
归并的含义是将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。
归并排序可分为多路归并排序，两路归并排序，既可用于内排序，也可以用于外排序。
这里仅对内排序的两路归并排序进行讨论。
而我们这里所探究学习的二路归并排序，设计思路更加清晰、明了，程序本身也不像堆结构那样复杂，同时时间复杂度仅为0(N)，同时在处理大规模归并排序的时候，排序速度也明显优于冒泡法等一些排序算法，提高排序算法的效率。
C语言实现归并排序算法
C语言实现归并排序算法C语言实现归并排序算法归并排序是创建在归并操作上的一种有效的排序算法。
下面店铺为大家整理了C语言实现归并排序算法，希望能帮到大家！归并排序（Merge sort）是创建在归并操作上的一种有效的排序算法。
该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
一个归并排序的例子:对一个随机点的链表进行排序算法描述归并操作的过程如下：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置重复步骤3直到某一指针到达序列尾将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾特点：归并排序是稳定的`排序.即相等的元素的顺序不会改变, 速度仅次于快速排序，但较稳定。
归并操作归并操作(merge)，也叫归并算法，指的是将两个顺序序列合并成一个顺序序列的方法。
如：设有数列 [6，202，100，301，38，8，1]初始状态：6, 202, 100, 301, 38, 8, 1第一次归并后：[6, 202], [100, 301], [8, 38], [1]，比较次数：3；第二次归并后：[6, 100, 202, 301]，[1, 8, 38]，比较次数：4；第三次归并后：[1, 6, 8, 38, 100, 202, 301]，比较次数：4；总的比较次数为：3+4+4=11,；逆序数为14；算法实现// Completed on 2014.10.11 17:20// Language: C99//// 版权所有（C）codingwu (mail: ****************)// 博客地址：/archimedes/#include#includevoid merge_sort(int *list, const int first, const int last){ int len= last-first+1; int left_min,left_max; //左半区域边界 int right_min,right_max; //右半区域边界 int index; int i; int *tmp; tmp = (int *)malloc(sizeof(int)*len); if( tmp == NULL || len <= 0 ) return; for( i = 1; i < len; i *= 2 ) { for( left_min = 0; left_min < len - i; left_min = right_max) { int j; right_min = left_max = left_min + i; right_max = left_max + i; j = left_min; if ( right_max > len ) right_max = len; index = 0; while( left_min < left_max && right_min < right_max ) { tmp[index++] = (list[left_min] > list[right_min] ? list[right_min++] : list[left_min++]); } while( left_min < left_max ) { list[--right_min] = list[--left_max]; } while( index > 0 ) { list[--right_min] = tmp[--index]; } } } free(tmp);}int main(){ int a[] = {288, 52, 123, 30, 212, 23, 10, 233}; int n, mid; n = sizeof(a) / sizeof(a[0]); mid = n / 2; merge_sort(a, 0, n - 1); for(int k = 0; k < n; k++) printf("%d ", a[k]); printf("n"); return 0;}使用递归实现：// Completed on 2014.10.11 18:20// Language: C99//// 版权所有（C）codingwu (mail: ****************)// 博客地址：/archimedes/#include#includevoid merge(int *array,const int first, const int mid, const int last){ int i,index; int first1,last1; int first2,last2; int *tmp; tmp = (int *)malloc((last-first+1)*sizeof(int)); if( tmp == NULL ) return; first1 = first; last1 = mid; first2 = mid+1; last2 = last; index = 0; while( (first1 <= last1) && (first2 <= last2) ) { if( array[first1] < array[first2] ) { tmp[index++] = array[first1]; first1++; } else{ tmp[index++] = array[first2]; first2++; } } while( first1 <= last1 ) { tmp[index++]= array[first1++]; } while( first2 <= last2 ) { tmp[index++] = array[first2++]; } for( i=0; i<(last-first+1); i++) { array[first+i] = tmp[i]; } free(tmp);}void merge_sort(int *array, const int first, const int last){ int mid = 0; if(first < last) { mid = (first + last) / 2; merge_sort(array, first, mid); merge_sort(array, mid + 1, last); merge(array, first, mid, last); }}int main(){ int a[] = {288, 52, 123, 30, 212, 23, 10, 233}; int n, mid; n = sizeof(a) / sizeof(a[0]); mid = n / 2; merge_sort(a, 0, n - 1); for(int k = 0; k < n; k++) printf("%d ", a[k]); printf("n"); return 0;}【C语言实现归并排序算法】。
归并排序的优化自底向上的归并排序
归并排序的优化自底向上的归并排序归并排序是一种常用的排序算法，它的核心思想是将待排序的序列递归地分成两个子序列，然后对这两个子序列进行排序，最后将排好序的子序列再合并成一个有序的序列。
归并排序的优化方案之一是自底向上的归并排序。
自底向上的归并排序是一种非递归的归并排序算法，相对于传统的自顶向下的递归方法，它具有一定的优势。
自底向上的归并排序不需要使用递归，而是通过迭代地进行多轮合并操作，从而完成整个排序过程。
这种排序方法的关键在于确定每一轮合并操作的子序列长度。
下面将介绍自底向上的归并排序的算法过程：1. 首先，将待排序的序列按照一定的规则分割成多个子序列，每个子序列的长度为1。
2. 然后，依次对相邻的两个子序列进行合并操作，得到新的有序子序列。
3. 接着，将新的有序子序列再次两两合并，直到得到最终的有序序列。
自底向上的归并排序的关键在于确定每一轮合并操作的子序列长度。
假设待排序序列的长度为n，则初始时子序列的长度为1，然后每一轮合并操作后子序列的长度都会乘以2，直到子序列的长度大于或等于n为止。
自底向上的归并排序的优点在于它不需要额外的空间来保存递归调用时的栈空间，因此可以避免递归调用带来的额外开销。
此外，自底向上的归并排序还可以通过并行化的方式进行实现，提高排序的效率。
总结来说，自底向上的归并排序是一种非递归的归并排序算法，通过迭代地进行多轮合并操作，最终得到有序的序列。
它的优势在于不需要额外的空间和递归调用带来的开销，同时还可以通过并行化的方式提高排序的效率。
归并排序的优化方案之一，自底向上的归并排序，是一种高效的排序算法。
递归程序的非递归化研究
递归程序的非递归化研究递归程序是编程语言中一种重要的程序结构，它可以有效地实现复杂的算法和数据结构。
然而，由于它的递归特性，它的运行效率较低，在实际应用中可能会限制应用的性能。
因此，递归程序的非递归化研究变得越来越重要。
本文将介绍递归程序的非递归化研究，包括其背景、基本原理和实际应用，为今后的研究和应用提供参考。
一、递归程序的非递归化研究背景递归程序是一种编程语言中重要的程序结构，它具有简洁、优雅和可读性的特点，使用它可以有效地实现复杂的算法和数据结构，但由于它的递归特性，它的运行效率较低。
例如，在实现链表的插入操作时，递归程序会导致大量重复调用，从而导致效率低下。
因此，为了提高递归程序的运行效率，研究递归程序的非递归化变得越来越重要。
二、递归程序的非递归化研究基本原理递归程序的非递归化研究的基本原理是将递归程序转换成非递归程序。
具体来说，它的基本思想是使用循环来代替递归，以堆栈的数据结构来存储函数的参数和返回值，从而避免冗余的函数调用。
例如，在实现链表的插入操作时，可以使用堆栈来存储节点的信息，并使用循环来模拟递归调用，从而避免重复调用，提高运行效率。
三、递归程序的非递归化研究实际应用递归程序的非递归化研究在实际应用中也有很多。
例如，它可以用于优化排序算法，例如快速排序和归并排序，使用非递归算法可以提高排序的效率；它也可以用于优化图的搜索算法，例如深度优先搜索和广度优先搜索，使用非递归算法可以更快地找到结果；此外，它还可以用于优化树的搜索算法，例如二叉搜索树的搜索，使用非递归算法可以提高树的搜索效率。
四、总结本文介绍了递归程序的非递归化研究，包括其背景、基本原理和实际应用，为今后的研究和应用提供了参考。
通过将递归程序转换成非递归程序，可以有效地提高程序的运行效率，使用非递归算法可以更快地找到结果，有效地改善了程序的性能。
归并排序-PPT优秀课件
堆排序
O(1)
归并排序
O(n)
空间复杂度
30
排序方法 直接插入排序 希尔排序 冒泡排序 快速排序 简单选择排序 堆排序 归并排序
辅助空间
稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定
算法稳定性
31
10.6 内部排序方法的比较讨论
❖ 简单性
一类是简单算法，包括直接插入排序、直接 选择排序和冒泡排序，
另一类是改进后的算法，包括希尔排序、堆 排序、快速排序和归并排序，这些算法较复杂
32
10.6 内部排序方法的比较讨论
❖ 待排序记录个数比较
n越小，采用简单排序方法越合适。 n越大，采用改进的排序方法越合适。
因为n越小，O(n2)同O(nlog2n)的差距越小， 并且输入和调试简单算法比 高效算法要容易
关键码的分布情况29排序方法平均情况最好情况最坏情况时间复杂度30排序方法辅助空间空间复杂度31排序方法辅助空间稳定算法稳定性32简单性一类是简单算法包括直接插入排序直接选择排序和冒泡排序另一类是改进后的算法包括希尔排序堆排序快速排序和归并排序这些算法较复杂106内部排序方法的比较讨论33106内部排序方法的比较讨论待排序记录个数比较n越小采用简单排序方法越合适
33
10.6 内部排序方法的比较讨论
❖ 数据的信息量比较
信息量越大，移动记录所花费的时间就越多， 所以对记录的移动次数较多的算法不利。
排序方法
直接插入排序 冒泡排序
直接选择排序
最好情况 O(n) 0 0
最坏情况 O(n2) O(n2) O(n)
平均情况 O(n2) O(n2) O(n)
34
10.6 内部排序方法的比较讨论
❖ 数据的分布情况比较
归并排序的实际应用
归并排序的实际应用归并排序是一种常用的排序算法，它的实际应用非常广泛。
本文将介绍归并排序的实际应用，并探讨其在不同领域中的作用。
归并排序在计算机科学领域中得到了广泛应用。
在大规模数据处理和排序任务中，归并排序能够高效地对数据进行排序。
例如，在数据库系统中，当需要对大量数据进行排序时，归并排序可以帮助提高查询性能。
此外，归并排序还被广泛应用于外部排序算法中，用于处理无法一次性加载到内存中的大型数据集。
归并排序在信息检索领域也有重要的应用。
在搜索引擎中，需要对大量的网页进行排序，以便根据相关性返回搜索结果。
归并排序可以帮助搜索引擎对搜索结果进行排序，提高搜索结果的质量和准确性。
此外，归并排序还可以用于合并不同来源的搜索结果，以提供更全面和多样化的搜索结果。
归并排序在数据压缩和解压缩领域也有广泛应用。
在压缩算法中，归并排序可以帮助将相似的数据块合并在一起，从而提高压缩比率。
在解压缩时，归并排序可以帮助将压缩的数据块解压缩并恢复原始数据。
这种应用在文件压缩和网络传输中非常常见，可以有效地减少存储空间和传输带宽的使用。
归并排序还在并行计算领域中发挥着重要作用。
在分布式系统中，归并排序可以帮助将大规模数据集分割成多个子集，并在不同的计算节点上进行并行排序。
通过并行计算，可以大大提高排序的速度和效率。
这种应用在大数据处理和分布式计算中非常常见，可以加快数据处理和分析的速度。
归并排序作为一种常用的排序算法，在实际应用中发挥着重要作用。
无论是在计算机科学、信息检索、数据压缩还是并行计算领域，归并排序都能够提供高效、准确的排序解决方案。
通过深入理解归并排序的原理和应用，我们可以更好地应用它来解决实际问题，提高计算效率和数据处理能力。