2020版高考(文)大一轮复习：第6章 3 第3讲刷好题练能力

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2020版高考英语新精准大一轮课件刷好题练(含2019届新题) (6)

栏目导引
1．___w__it_n_e_s_s ___ vt.
n. 2．___o_p_p_o_s_i_te___ prep.
adj. 3．____p_a_u__se____ vi.&n. 4．_____d_r_a_g____ vt. 5．_____u_r_g_e____ vt. 6．_r_e_la_t_io_n__sh_i_p__ n. 7．____a_w__a_re____ adj. 8．_____n_e_a_t____ adj.
栏目导引
第一部分选修7 Unit 3
witness n．目击者；证人；证据 vt.当场见到；目击 (2016·上海卷)The late twentieth century witnessed the rapid development of China’s economy. 二十世纪末中国经济迅速发展。
1．anecdote n． 2．shore n. 3．yell vi.
n. 4．dive vi.&n.
5．flee vi. vt.
第一部分选修7 Unit 3
__轶__事__；__奇__闻_______________ __岸__；__海__滨_________________ __大__叫__；__呼__喊_______________ __叫__声__；__喊__声_______________ __跳__水__(的__动__作__)_；__潜__水__(_的__动___ __作__)；__俯__冲_________________ __逃__避__；__逃__跑_______________ __逃__离_____________________
栏目导引
12．steep adj. 13．boundary n. 14．awesome adj. 15．seal n. 16．pension n.

2020版高考一轮复习：第3部分专题4 专题总结

必备知识——掌握文体知识，熟谙阅读概念一、小说基本概念和“三要素”小说是通过完整的故事情节和典型的环境描写来塑造具有典型性格的人物、多角度多层次地反映现实生活的文学体裁，是一种与诗歌、散文、戏剧并列的叙事性文学体裁。

生动的人物形象、完整的故事情节和人物活动的具体环境是小说必须具备的三要素。

在三要素中，人物是小说的核心，情节是小说的骨架，环境是小说的依托。

二、小说的种类1．按篇幅分：长篇小说(深刻广泛地反映社会生活)、中篇小说(展示人生长河中的一个片段)、短篇小说(截取一个生活片段，以小见大)和小小说(也叫微型小说，聚焦生活中的一个小“镜头”，见微知著)。

2．按题材分：历史小说、现代小说、科幻小说、推理小说、神魔小说、言情小说、侦探小说、武侠小说等。

3．按体制分：章回体小说、日记体小说、书信体小说、自传体小说。

4．按表现手法分：现实主义小说、浪漫主义小说、现代主义小说。

5．按语言形式分：文言小说、白话小说。

6．按国别分：中国小说、外国小说。

三、小说与散文的文体区别1．散文所述的事件不要求情节完整，而小说一般有相对完整的情节。

2．散文在叙事的时候饱蘸情感；而小说的情感则主要由人物体现出来，不需作者明确地抒发。

3．散文中的人物是在真人真事的基础上，进行剪裁加工，写意式的描绘；而小说要求努力塑造典型人物形象，它们往往是作者虚构出来的。

4．写景状物即运用描写、抒情、记叙等表达方式来表达作者对某些景物或事物的情感，它对于散文而言，最重要的是突出景物的特点；写景状物对于小说而言，是小说的环境描写，主要起交代时间、地点、写作背景，烘托心情，渲染气氛，推动情节发展，深化主题等作用。

四、小说的阅读要领阅读小说，要看到小说三要素之间的渗透和相互作用。

人物塑造是小说创作的核心任务。

人物在这三要素中居于第一重要的地位。

情节的设置和环境的描写，都是为塑造人物服务的。

人物常常是情节和环境的核心和主体；而情节则应该看作是人物性格的延伸和发展史；环境则是人物和情节发展的舞台。

2020版高考语文新增分大一轮复习第六章文学类阅读小说阅读微专题二小说“6+1”答题法讲义含解析.

第一单元弱电解质的电离平衡1．了解电解质的概念，了解强电解质和弱电解质的概念。

2.理解电解质在水中的电离以及电解质溶液的导电性。

3.理解弱电解质在水中的电离平衡，能利用电离平衡常数进行相关计算。

弱电解质的电离平衡[知识梳理]一、强、弱电解质1．概念2．与化合物类型的关系离子化合物及某些强电解质主要是大部分共价化合化合物；弱电解质主要是某些共价物。

3．电离方程式的书写(1)弱电解质①多元弱酸分步电离，且第一步电离程度远远大于第二步，如H2CO3电离方程式：3。

H2CO3H＋＋HCO－3，HCO－3H＋＋CO2－②多元弱碱电离方程式一步写成，如Fe(OH)3电离方程式：Fe(OH)3Fe3＋＋3OH－。

(2)酸式盐4。

①强酸的酸式盐完全电离，如NaHSO4电离方程式：NaHSO4===Na＋＋H＋＋SO2－②弱酸的酸式盐中酸式酸根不能完全电离，如NaHCO3电离方程式：NaHCO3===Na＋＋3。

HCO－3，HCO－3H＋＋CO2－二、弱电解质的电离平衡1．电离平衡的建立在一定条件下(如温度、压强等)，当弱电解质分子电离成离子的速率与离子结合成弱电解质分子的速率相等，且溶液中各分子和离子的浓度都不再发生变化时，电离过程达到了平衡。

2．电离平衡的特征3．电离平衡的影响因素(1)内因：弱电解质本身的性质。

(2)外因。

增大电离程度，移动向右电离平衡，温度：温度升高① 。

增大电离程度，移动向右电离平衡，浓度：稀释溶液②电离程，移动向左电离平衡，子的强电解质同离子效应：加入与弱电解质具有相同离③。

减小度。

增大电离程度，移动向右加入能反应的物质：电离平衡④[自我检测]1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”。

(1)强电解质溶液中不存在溶质分子，弱电解质溶液中存在溶质分子。

( )(2)氨气溶于水，当c (OH －)＝c (NH ＋4)时，表明NH 3·H 2O 电离处于平衡状态。

( )(3)强电解质溶液的导电能力一定比弱电解质溶液强。

3 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词刷好题练能力

1．命题“任意偶数是2的倍数”的否定是________．解析：根据全称命题的否定是存在性命题进行求解．答案：存在偶数不是2的倍数2．命题“∃x ∈R ，x 2＋x ≤0”的否定是________．解析：∃x ∈R ，p (x )的否定是∀x ∈R ，¬p (x )．答案：∀x ∈R ，x 2＋x >03．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知条件可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.答案：(－∞，－2]4．(2019·无锡期中)若命题p ：4是偶数，命题q ：5是8的约数．则下列命题中为真的是________．①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非p 且非q .解析：命题p 为真，命题q 为假，故②为真．答案：②5．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(¬q )”是假命题；③命题“(¬p )∨q ”是真命题；④命题“(¬p )∨(¬q )”是假命题．其中正确的序号是________．解析：命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52，错误，命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0，正确．故②③正确，答案：②③6．(2019·连云港模拟)设命题p ：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2是奇函数；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称．则p ∧q 是________命题．(填真或假) 解析：因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2cos x 是偶函数，所以命题p 是假命题，由余弦函数的性质可知命题q 是假命题．故p ∧q 是假命题．答案：假7．以下有关命题的说法错误的序号是________．①“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件；②若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③对于命题p ：∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1<0，则¬p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.解析：对于①，当x ＝1时x 2－3x ＋2＝0，但x 2－3x ＋2＝0时，x ＝1或x ＝2，所以“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件；对于②，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少一个为假命题，并非均为假命题；对于③，含量词命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再否定结论，故③正确．答案：②8．(2019·江苏省四校联考)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫56，＋∞9．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：110．已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12. 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”．故⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，即a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．答案：⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 11．(2019·南通模拟)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是________．解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x 在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)≤2，所以命题p 2是假命题，¬p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(¬p 2)是真命题．答案：q 1、q 412．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(¬q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析：①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(¬q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．答案：①③13．给出如下四个命题：①若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤ 2b －1”；③“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤1”；④在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．解析：若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 都为假命题，所以①正确；②正确；“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，根据正弦定理可得sin A ＞sin B ，所以④正确．故不正确的命题为③.答案：③14．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，则a 的取值范围为________．解析：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，所以x ＝a 2或x ＝－a ，所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2.又“只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2.所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．答案：{a |a >2或a <－2}1．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递减，q ：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a （x ≥2a ），2a （x <2a ）且y >1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．解：若p 是真命题，则0<a <1，若q 是真命题，则y >1恒成立，即y 的最小值大于1，而y 的最小值为2a ，只需2a >1，所以a >12，所以q 为真命题时，a >12. 又因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假，若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a ≤12或a ≥1. 2．(2019·常州模拟)设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2＜0(其中a ＞0)，q ：实数x 满足2＜x ≤5.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若¬q 是¬p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，x 2－5x ＋4＜0，解得1＜x ＜4.即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜4.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2，4)．(2)¬q 是¬p 的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ，由x 2－5ax ＋4a 2＜0得(x －4a )(x －a )＜0，因为a ＞0，所以A ＝(a ，4a )，又B ＝(2，5]，则a ≤2且4a ＞5，解得54＜a ≤2. 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤54，2.3．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2(x ≥0)，且函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又g (1)＝0，f (3)＝2－ 3.(1)求f (x )的表达式及值域；(2)问是否存在实数m ，使得命题p ：f (m 2－m )<f (3m －4)和q ：g ⎝⎛⎭⎫m －14>34满足复合命题p且q 为真命题？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由g (1)＝0，f (3)＝2－3可得a ＝－1，b ＝1，故f (x )＝1＋x 2－x (x ≥0)，由于f (x )＝11＋x 2＋x 在[0，＋∞)上递减，所以f (x )的值域为(0，1]．(2)存在．因为f (x )在[0，＋∞)上递减，故p 真⇒m 2－m >3m －4≥0⇒m ≥43且m ≠2；又f ⎝⎛⎭⎫34＝12，即g ⎝⎛⎭⎫12＝34，故q 真⇒0<m －14<12⇒1<m <3. 故存在m ∈⎣⎡⎭⎫43，2∪(2，3)满足复合命题p 且q 为真命题．4．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＜0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若“命题p ”是“命题q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由对数式有意义得－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52.即实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，52. (2)因为“命题p ”是“命题q ”的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |1＜t ＜52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＜0解集的真子集．法一：因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1，a ＋2，故只需a ＋2＞52，解得a ＞12. 即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 法二：令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)，因f (1)＝0，故只需f ⎝⎛⎭⎫52＜0，解得a ＞12.即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.。

2020年高考数学(文科)总复习超级详细讲解效率提分之第6章 6.5

§6.5数列求和考情考向分析本节以考查分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求数列前n项和为主，识别出等差(比)数列，直接用公式法也是考查的热点．题型以填空题为主，难度中等．解答题中一般和简单数论结合，难度较大．1．(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2；(2)等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2，推导方法：倒序相加法；(3)等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.推导方法：错位相减法． 2．常见数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.3．数列求和的常见方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(4)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．概念方法微思考请思考以下常见式子的裂项方法．(1)1n(n＋1)；(2)1(2n －1)(2n ＋1)； (3)1n ＋n ＋1；(4)1n (n ＋1)(n ＋2). 提示 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序相加法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )(5)如果数列{a n }是周期为k 的周期数列，那么S km ＝mS k (m ，k 为大于1的正整数)．( √ ) 题组二教材改编2．[P69本章测试T12]等比数列1,2,4,8，…中从第5项到第10项的和为________．答案 1 008解析由a 1＝1，a 2＝2，得q ＝2， ∴S 10＝1×(1－210)1－2＝1 023，S 4＝1×(1－24)1－2＝15，∴S 10－S 4＝1 008.3．[P68复习题T13(2)]已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9. 答案 99解析由题意知，a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝9，解得n ＝99. 4．[P62习题T12]1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝________(x ≠0且x ≠1)．答案 1－x n (1－x )2－nx n1－x解析设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，②①－②得(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝1－x n 1－x －nx n ， ∴S n ＝1－x n (1－x )2－nx n1－x .题组三易错自纠5．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是________________．答案 100＋200(1－2－9)解析第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1(1－2－9)1－2－1＝100＋200(1－2－9)． 6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案 1 008解析因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2.a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8，故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π＝1 008. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31＝______. 答案－76解析 S n＝⎩⎨⎧n2×(－4)，n 为偶数，n －12×(－4)＋4n －3，n 为奇数，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，∴S 15＝29，S 22＝－44，S 31＝61， ∴S 15＋S 22－S 31＝－76.题型一分组求和与并项求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2(n ∈N *)．引申探究本例(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.∴T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.思维升华分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．跟踪训练1 (2018·苏州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．两式相减得a n ＋2－a n ＝4，所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列．由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.①当n 为奇数时，a n ＝2n ，a n ＋1＝2n －3. S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n＝n －12×(1＋4n －11)2＋2n ＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2.所以S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2，n 为偶数.题型二错位相减法求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n . (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若a k ＋1，a 2k ，a 2k ＋3(k ∈N *)恰好依次为等比数列{b n }的第一、第二、第三项，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n b n 的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋1＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n .检验n ＝1时，上式符合， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由题意知a k ＋1，a 2k ，a 2k ＋3成等比数列， ∴a 22k ＝a k ＋1·a 2k ＋3，即(2·2k )2＝2(k ＋1)·2(2k ＋3)，解得k ＝3(负值舍去)．b 1＝a 4＝8，b 2＝a 6＝12，公比q ＝128＝32，∴b n ＝8·⎝⎛⎭⎫32n －1， ∴n b n ＝18n ·⎝⎛⎭⎫23n －1， ∴T n ＝18×⎝⎛⎭⎫230＋18×2×⎝⎛⎭⎫231＋…＋18×n ×⎝⎛⎭⎫23n －1，即T n ＝18×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫23n －1.① 上式两边乘以23，得23T n ＝18×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫231＋2×⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎦⎤(n －1)×⎝⎛⎭⎫23n －1＋n ×⎝⎛⎭⎫23n .② ①－②，得13T n ＝18×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫230＋⎝⎛⎭⎫231＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －1－18n ⎝⎛⎭⎫23n ＝38－3＋n 8⎝⎛⎭⎫23n ，则T n ＝98－9＋3n 8⎝⎛⎭⎫23n(n ∈N *)．思维升华形如{a n ·b n }(其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列)的数列可用错位相减法求和．跟踪训练2 已知数列{a n }满足a n ≠0，a 1＝13，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知可得，1a n ＋1－1a n＝2，1a 1＝3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为3，公差为2的等差数列， ∴1a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，∴a n ＝12n ＋1(n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝(2n ＋1)2n ，∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)2n －1＋(2n ＋1)2n ， 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，两式相减得，－T n ＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1. ＝6＋8－8×2n －11－2－(2n ＋1)2n ＋1＝－2－(2n －1)2n ＋1，∴T n ＝2＋(2n －1)2n ＋1(n ∈N *)．题型三裂项相消法求和例3 (2018·江苏省启东中学月考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n ＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)． (1)求a 2 019的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＝1a n a n －1＋a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a n a n ＋1＝2(S n ＋1)，所以当n ≥2时，a n －1a n ＝2(S n －1＋1)，两式相减，得a n a n ＋1－a n －1a n ＝2a n ，a n ≠0，所以a n ＋1－a n －1＝2.又a 1＝2，所以a 2 019＝2＋2 019－12×2＝2 020.(2)由a n a n ＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，当n ＝1时，a 1a 2＝2(a 1＋1)，即2a 2＝2×3，解得a 2＝3. 由a n ＋1－a n －1＝2，可得数列{a n }的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为2，所以a 2k －1＝2＋2(k －1)＝2k ，k ∈N *，a 2k ＝3＋2(k －1)＝2k ＋1，k ∈N *，所以a n ＝n ＋1.(3)因为数列{b n }满足b 1＝1，b n ＝1a n a n －1＋a n －1a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1＝(n ＋1)n －n n ＋1n (n ＋1)＝nn －n ＋1n ＋1，所以{b n }的前n 项和 T n ＝⎝⎛⎭⎫1－22＋⎝⎛⎭⎫22－33＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫nn－n ＋1n ＋1 ＝1－n ＋1n ＋1. 思维升华裂项相消法的关键是对通项拆分，要注意相消后剩余的项．跟踪训练3 已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前10项和S 10＝________. 答案1011解析由a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，得1a n ＋1－1a n＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .因为b n ＝a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1－111＝1011.1．正项等差数列{a n }满足a 1＝4，且a 2，a 4＋2,2a 7－8成等比数列，{a n }的前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，由已知得a 2(2a 7－8)＝(a 4＋2)2，化简得，d 2＋4d －12＝0，解得d ＝2或d ＝－6(舍)，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2(n ∈N *)． (2)因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋6)2＝n 2＋3n ，所以b n ＝1S n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n2n ＋4(n ∈N *)． 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *)，b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n (n ＋2)，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)(n ∈N *)．3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝0，其前n 项和为S n ，且a 2＋2，S 3，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋2)22n ＋S n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n －2n <32.(1)解由a 1＝0，得a n ＝(n －1)d ，S n ＝n (n －1)d2，因为a 2＋2，S 3，S 4成等比数列，所以S 23＝(a 2＋2)S 4，即(3d )2＝(d ＋2)·6d ，整理得3d 2－12d ＝0，即d 2－4d ＝0，因为d ≠0，所以d ＝4，所以a n ＝(n －1)d ＝4(n －1)＝4n －4(n ∈N *)． (2)证明由(1)可得S n ＋1＝2n (n ＋1)，所以b n ＝(2n ＋2)22n ＋2n (n ＋1)＝4(n ＋1)22n (n ＋2)＝2＋2n (n ＋2)＝2＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝2n ＋⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝2n ＋1＋12－1n ＋1－1n ＋2，T n －2n ＝32－1n ＋1－1n ＋2，所以T n －2n <32.4．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12，∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2，q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)∵b n ＝12log n n a a ＝2n ·12log 2n ＝－n ·2n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，① 则2S n ＝－(1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1)，②②－①，得S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，则S n ＋n ·2n ＋1＝2n ＋1－2，解2n ＋1－2>62，得n >5， ∴n 的最小值为6.5．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，(2n －1)a n ＋1＝(2n ＋3)S n (n ＝1,2,3，…)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋32n －1S n， ∴S n ＋1＝2(2n ＋1)2n －1S n ，∴S n ＋12n ＋1＝2·S n2n －1，又a 1＝1，∴S 11＝1≠0，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)知，S n 2n －1＝2n －1， ∴S n ＝(2n －1)·2n －1，∴T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1，① 2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n .② ①－②得－T n ＝1＋2×(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2×2－2n －1×21－2－(2n －1)·2n＝(3－2n )·2n －3，∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3(n ∈N *)．6．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*,2S n＝a2n＋a n.令b n＝1a n a n＋1＋a n＋1a n，设{b n}的前n项和为T n，求在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．解∵2S n＝a2n＋a n，①∴2S n＋1＝a2n＋1＋a n＋1，②②－①，得2a n＋1＝a2n＋1＋a n＋1－a2n－a n，a2n＋1－a2n－a n＋1－a n＝0，(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－1)＝0.又∵{a n}为正项数列，∴a n＋1－a n－1＝0，即a n＋1－a n＝1.在2S n＝a2n＋a n中，令n＝1，可得a1＝1.∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴a n＝n，∴b n＝1n n＋1＋(n＋1)n＝(n＋1)n－n n＋1[n n＋1＋(n＋1)n][(n＋1)n－n n＋1]＝(n＋1)n－n n＋1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴T n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝1－1n＋1，要使T n为有理数，只需1n＋1为有理数，令n＋1＝t2.∵1≤n≤100，∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数，∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.。

2020版高考语文名师大一轮(课件+讲义+对点练) (45)

第3讲强化文体意识，精解思路分析题结构思路是作者按照一定的条理表达思想的路径、脉络，是作品结构的体现，题型一般有3种：行文思路分析题，线索作用分析题，句段作用分析题。

散文的文体特点是“形散神聚”，因此，不论散文结构思路怎样变化，都要围绕散文中心主旨行文，也就意味着在分析散文结构思路时应着眼于“神聚”。

题型一分析行文思路一、什么是行文思路分析行文思路是作者按照一定的条理表达思想的路径、脉络，是作品的整体构思布局，行文思路分析就是梳理分析作者的这一构思布局。

高考设置行文思路分析题的侧重点在“梳理”上，又有两种考法：一是直接考查，梳理行文思路；二是间接考查，梳理人物心理(感情)变化。

二、怎样考行文思路分析第一步：审读题干，把握要求根据题干中的关键词，确认题目是要求直接梳理行文思路，还是要求梳理人物心理(感情)变化。

第二步：通读全文，梳理结构要根据题目要求和文本具体内容，或侧重划分层次，或侧重找寻线索，或侧重梳理心理(感情)变化。

梳理时要注意勾画圈点关键词或关键句，尤其是梳理心理(感情)变化，更要注意提炼出“心理词(感情词)”。

第三步：分条陈述，规范作答模式一(采用表次序的词语表述)：文章围绕×××(线索)，首先写了×××，其次写了×××，最后写了×××。

模式二(采用分条表述)：①写×××；②写×××；③写×××；④全文整体上写×××。

典例1(2018·浙江卷)阅读下面的文字，完成后面的问题。

汴京的星河叶文玲①孩提时，我有许多美丽的憧憬，天真的梦。

那时，我最喜欢看天上的星河。

夏夜仰望那缀满星星的夜空，我会几个小时地坐着发痴，小脑瓜里整个儿盘旋着关于星星月亮的种种神话传说。

2020高考数学培优大一轮课件新题培优练刷好题练能力 (7)

[基础题组练]1．小明同学喜欢打篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是( )A.481B.881C.427D.827解析：选D.假设小明每一次投篮投中的概率为23，满足X ～B ⎝⎛⎭⎫4，23，投篮四次，恰好两次投中的概率P ＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝827.故选D.2．(2019·石家庄摸底考试)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110 B.15 C.25D.12解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝25，故选C.3．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14B.89C.116D.532解析：选D.两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－⎝⎛⎭⎫262＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1，2)或(2，1)或(2，2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532.4．(2019·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：在30天以上的概率为( )A.1316B.2764C.2532D.2732解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝⎛⎭⎫342×14＋⎝⎛⎭⎫343＝2732. 5．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.6或p ＝0.4.由P (X ＝4)＜P (X ＝6)，得C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，即(1－p )2＜p 2，所以p ＞0.5，所以p ＝0.6.6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．解析：该同学通过测试的概率P ＝C 23×0.62×0.4＋0.63＝0.432＋0.216＝0.648.答案：0.6487．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)．甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83 乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是________．解析：由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，P (B )＝5＋420＝920，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝14920＝59.答案：14，598．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析：设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.答案：0.099．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.10．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(Air QualityIndex ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．一环保人士记录了去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图．(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，35. 所以P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125， P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫351⎝⎛⎭⎫252＝36125，P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫251＝54125， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125.ξ的分布列为1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45B.⎝⎛⎭⎫593×49 C.35×14 D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝⎛⎭⎫593×49.2．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310 B.29 C.78D.79解析：选D.设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝730310＝79.3．(2019·高考全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：记事件M 为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P (M )＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.答案：0.184．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生都有关．解析：由题意知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件， P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P (A 3)＝310，P (B |A 1)＝12×51112＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，而P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝12×511＋15×411＋310×411＝922.故正确的为②④. 答案：②④5．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A 1－为“甲连续射击4次，全部击中目标”．由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验．故P (A 1－)＝C 44⎝⎛⎭⎫234＝1681.所以P (A 1)＝1－P (A 1－)＝1－1681＝6581.所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232＝827，P (B 2)＝C 34⎝⎛⎭⎫343×⎝⎛⎭⎫1－341＝2764.由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中“为事件D i (i ＝1，2，3，4，5)，则A 3＝D 5D 4D 3－ (D 2－ D 1－∪D 2－D 1∪D 2D 1－)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3－)P (D 2－ D 1－＋D 2－D 1＋D 2D 1－) ＝14×14×34×⎝⎛⎭⎫34×34＋34×14＋14×34＝451 024.所以乙恰好射击5次后被终止射击的概率为451 024.6．(2019·安徽宿州模拟)为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．解：(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．(2)设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3，4.P (ξ＝0)＝C 04C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (ξ＝4)＝C 44C 06C 410＝1210，故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85.(3)由题意可知从全市居民中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X ～B ⎝⎛⎭⎫10，25，可知P (X ＝k )＝C k 10⎝⎛⎭⎫25k ·⎝⎛⎭⎫3510－k(k ＝0，1，2，3，…，10)．由⎩⎪⎨⎪⎧C k 10⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫3510－k≥C k ＋110⎝⎛⎭⎫25k ＋1⎝⎛⎭⎫359－k，Ck10⎝⎛⎭⎫25k⎝⎛⎭⎫3510－k≥C k －110⎝⎛⎭⎫25k －1⎝⎛⎭⎫3511－k，解得175≤k ≤225.又k ∈N *，所以当k ＝4时概率最大，故k ＝4.。

2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第六章+数列+6.4

考点自诊
2.(2018河南豫南九校联考)已知数列{an}是公比为2的等比数列, 满足a6=a2· a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn,若b9=2a7,则S17= ( D ) A.34 B.39 C.51 D.68 解析:在等比数列{an}中,由 a6=a2· a10,可得 a1· 25=(a1· 2)· (a1· 29),
答案:
Sn=1×2+2×22+…+n×2n,2Sn=1×22+…+(n-1)×2n+n×2n+1, 相减得
2(1-2 ) Sn=-(2+22+…+2n)+n×2n+1=+n×2n+1=(n-1)×2n+1+2. 1-2
��
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破关键能力·学案突破
-13-
考点1
关键能力·学案突诊
2.非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离” 的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. (2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn. (3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn. (4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. (5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.

2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第六章+数列+6.1

��+1
=1,
∴
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破关键能力·学案突破
-9-
考点1
考点2
考点3
由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…;
1 1 1 1 (2)-1×2 , 2×3,-3×4 , 4×5,…; 2 4 6 8 10 (3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…; 1 9 25 (4)2,2,2,8, 2 ,…;
2�� -1
解析:由题意 log2an+1=2log2an⇒
log2 ��+1 log2 ��
=2,
∴{log2an}是公比为 2 的等比数列, n-1 2�� -1 ∴log2an=(log2a1)· 2 ⇒an=2 .
必备知识·预案自诊必备知识·预案自诊
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破关键能力·学案突破
-18-
考点1
考点2
考点3
由递推关系式求数列的通项公式(多考向) 考向1 形如an+1=anf(n),求an 例3在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式. 解 ∵nan-1=(n+1)an(n≥2), �� ∴ �� = (n≥2).
即 2Sn+1=3Sn,
��+1 ��
= 2,
3 �� -1 . 2
3
而 S1=a1=1,所以 Sn=

2020版高考语文名师大一轮(课件+讲义+对点练) (23)

第三部分专题十三第3讲(2019·吉林长春质检)阅读下面的文字，完成1～3题。

材料一最近，《南方都市报》记者只花了700元，就买到了同事包括名下资产、乘坐航班记录、网吧上网记录等个人信息。

如果说这是当前个人信息泄露状况的极端展现的话，那么日常生活里，信息泄露使人们因处于这种“信息裸奔”之中而变得麻木。

这种“麻木”事出有因。

南都记者曾向警方求助，警方也难以给出直接的解决方案——治理个人信息贩卖的薄弱可见一斑。

除了个别引发社会高度关注的恶性案例，多数时候个人信息保护处于一种低效的窘境。

个人信息保护的缺失给整个社会的信息化进程，同样带来了诸多隐患。

有关专家在谈及国家应尽早启动个人信息保护法立法时就提出，如果没有隐私保护，人们可能就不愿意上网，也不愿意推动“互联网＋”进入各行各业，这对于国家推动“互联网＋”战略不利。

就此而言，避免“信息裸奔”理应成为实施“互联网＋”的基础。

(摘编自《个人信息裸奔的互联网社会难以走远》，2016年12月14日《中国青年报》)材料二2015－2016网站漏洞可致个人信息泄露情况对比2016年网站漏洞可能泄露个人信息规模各月分布(源自补天平台《2016年网站泄漏个人信息形势分析报告》)材料三2016年6月1日，《中华人民共和国网络安全法》正式实施，将对许多网上行为设立实名认证，旨在给网络营造一片安全、诚信的“清爽”空间。

近年来，随着网络乱象频频出现，实名制已成大势所趋，微信、微博、支付宝、铁路12 306等软件目前均已设立实名制门槛。

此次网络安全法的实施，无疑意味着实名制的全面到来。

匿名环境下，有的网友会肆无忌惮地发表言论而不担心承担后果，导致谣言、诈骗以及各种语言暴力横行。

实名制提供了基本的追溯机制，使得网络空间的行为不因技术的虚拟性而陷入无法追踪、无法追责的混沌状态。

此外，实名制也能让种种违法违规和不诚信行为付出应有代价。

(摘编自新华社《网络实名制全面到来，如何保障我们的虚拟空间更“清爽”》)材料四要结合《中华人民共和国网络安全法》对网络实名制的纲领性规定，进一步制定和完善相应的实施细则。

2020版高考(文)大一轮复习：第3章 2 第2讲刷好题练能力

[基础题组练]1．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：选A.在(0，2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0恒成立，所以f (x )在(0，2π)上单调递增． 2．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D.由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D.3．(2019·四川乐山一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a <2D ．a ≤2解析：选D.由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x ，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，因为x ∈(1，＋∞)时，2x 2＞2，所以a ≤2故选D.4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C.由条件可知当0<x <1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )<0，函数递减．当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，函数递增，所以当x ＝1时，函数取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )＞0，函数递增．当－1<x <0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )<0，函数递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C 项．5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．解析：因为f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(x )＝e x (x －2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)6．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为________(用“<”连接)．解析：由题意知，函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )<0.所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)．答案：f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫π27．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． 8．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，当a ＜0时，讨论函数f (x )的单调性．解：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －2ax ＋a －2＝（x －2）（x ＋a ）x .①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝（x －2）2x≥0，f (x )在(0，＋∞)内单调递增．②当0＜－a ＜2，即－2＜a ＜0时，因为0＜x ＜－a 或x ＞2时，f ′(x )＞0；－a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)内单调递增，在(－a ，2)内单调递减． ③当－a ＞2，即a ＜－2时，因为0＜x ＜2或x ＞－a 时，f ′(x )＞0；2＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，2)，(－a ，＋∞)内单调递增，在(2，－a )内单调递减．综上所述，当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当－2＜a ＜0时，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)内单调递增，在(－a ，2)内单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(0，2)，(－a ，＋∞)内单调递增，在(2，－a )内单调递减．[综合题组练]1．若函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(1，2)上不单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3)∪⎝⎛⎭⎫92，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤3，92 C.⎝⎛⎭⎫3，92 D ．(－∞，3]∪⎝⎛⎭⎫92，＋∞解析：选C.若f (x )在(1，2)上单调递增，则f ′(x )＝2x ＋1x －a ≥0恒成立，即a ≤2x ＋1x 恒成立，因为2x＋1x ＞3，所以a ≤3；若f (x )在(1，2)上单调递减，同理可得a ≥92.取补集得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫3，92. 2．(创新型)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )＜xf ′(x )，则下列关系成立的是( ) A ．2f (1)＜f (2) B ．2f (1)＞f (2) C ．2f (1)＝f (2)D ．f (1)＝f (2)解析：选A.设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.因为f (x )＜xf ′(x )，所以g ′(x )＞0，所以函数g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f （1）1＜f （2）2，即2f (1)＜f (2)．故选A.3．设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为____________．解析：f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a ＞1知，2a ＞2，所以当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间(2，2a )上单调递减．答案：(2，2a )4．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞) 5．已知函数g (x )＝13x 3－a2x 2＋2x ＋5.(1)若函数g (x )在(－2，－1)内为减函数，求a 的取值范围； (2)若函数g (x )在(－2，－1)内存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：因为g (x )＝13x 3－a2x 2＋2x ＋5，所以g ′(x )＝x 2－ax ＋2.(1)法一：因为g (x )在(－2，－1)内为减函数，所以g ′(x )＝x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（－2）≤0，g ′（－1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0. 解得a ≤－3.即实数a 的取值范围为(－∞，－3]．法二：由题意知x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，所以a ≤x ＋2x 在(－2，－1)内恒成立，记h (x )＝x ＋2x，则x ∈(－2，－1)时，－3<h (x )≤－22，所以a ≤－3. (2)因为函数g (x )在(－2，－1)内存在单调递减区间，所以g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0在(－2，－1)内有解，所以a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max.又x ＋2x≤－2 2.当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．6．已知函数f (x )＝x e x ＋2x ＋a ln x ，曲线y ＝f (x )在P (1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直． (1)求实数a 的值； (2)求证：f (x )>x 2＋2.解：(1)因为f ′(x )＝(x ＋1)e x ＋2＋ax，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2e ＋2＋a . 而直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，由题意可得(2e ＋2＋a )×(－12)＝－1，解得a ＝－2e.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x e x ＋2x －2eln x .不等式f (x )>x 2＋2可转化为x e x ＋2x －2eln x －x 2－2>0. 设g (x )＝x e x ＋2x －2eln x －x 2－2，则g ′(x )＝(x ＋1)e x ＋2－2ex－2x .记h (x )＝(x ＋1)e x ＋2－2e x －2x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2ex 2－2，因为x >0，所以x ＋2>2，e x >1，故(x ＋2)e x >2，又2e x 2>0，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2ex 2－2>0，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (1)＝2e ＋2－2e －2＝0，所以当x ∈(0，1)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，即g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；所以g (x )≥g (1)＝e ＋2－2eln 1－1－2＝e －1，显然e －1>0，所以g (x )>0，即x e x ＋2x －2eln x >x 2＋2，也就是f (x )>x 2＋2.。

2020版高考(文)大一轮复习：第10章 2 第2讲刷好题练能力

[基础题组练]1．(2019·黄冈质检)一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B.3卷文集随机排列，共有6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是26＝13.2．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A.34B.13C.310D.25解析：选D.用(x ，y ，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x 元、y 元、z 元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P ＝410＝25.3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A.15 B.25 C.16D.18解析：选B.如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25.4．(2019·武汉市部分学校调研)标有数字1，2，3，4，5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为( )A.12B.15C.35D.25解析：选A.5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n ＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：①第1张抽到2，第2张抽到1；②第1张抽到3，第2张抽到1或2；③第1张抽到4，第2张抽到1或2或3；④第1张抽到5，第2张抽到1或2或3或4，共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P ＝1020＝12，故选A. 5．(2019·福建市第一学期高三模拟考试)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________．解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a ，b ，c ，则并排贴的情况有abc ，acb ，bac ，bca ，cab ，cba ，共6种，其中b ，c 相邻的情况有abc ，acb ，bca ，cba ，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P ＝46＝23.答案：236．设a∈{1，2，3}，b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，4，6，则函数y ＝log b a1x 是减函数的概率为________．解析：因为f(x)＝1x 在区间(0，＋∞)上是减函数，又函数y ＝log b a1x 是减函数，所以ba＞1，因为a∈{1，2，3}，b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，4，6，则b a ＝16，14，12，43，2，3，4，6，共8个值，其中满足b a ＞1的有43，2，3，4，6，共5个值，所以函数y ＝log b a1x 是减函数的概率为58.答案：587．(2017·高考山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个．则所求事件的概率为：P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事件的概率为：P ＝29.8．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意知，(a ，b ，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.[综合题组练]1．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a>b ，b<c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析：选C.由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b ＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324，423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率是6＋224＝13.2．设f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g (x)≠0，f ′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，f(x)＝a x·g(x)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，在有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ＝1，2，…，10)中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于6364的概率是( )A.15B.25C.35D.45解析：选B.设h(x)＝f （x ）g （x ），则h′(x)＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）g 2（x ）＜0.故h(x)＝a x在R 上单调递减，所以0＜a ＜1，又f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝a ＋1a ＝52，解得a ＝12，则数列f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，其前n 项和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞6364，所以n ＞6，故P ＝410＝25.3．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是__________．解析：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，(a ，b)的所有可能结果有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种，其中log 28＝3，log 39＝2为整数，所以log a b 为整数的概率为16.答案：164．(2019·河北七校4月联考)若m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y22＝1的焦距为整数的概率为________．解析：m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，所以基本事件总数为6，又满足椭圆x2m＋y2 2＝1的焦距为整数的m的取值有1，3，11，共有3个，所以椭圆x2m＋y22＝1的焦距为整数的概率P＝36＝12.答案：125．(2019·合肥市第一次教学质量检测)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20，60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：(1)12 000人(年龄在[20，60]内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋；(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率．解：(1)由表可知，该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12，若某日该商场有12 000人(年龄在[20，60]内)购物，则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×712＝7 000.(2)由题知，抽样比为1∶15，所以应从年龄在[20，30)内的顾客中选出3人，[30，40)内的顾客中选出2人，[40，50)内的顾客中选出1人，[50，60]内的顾客中选出1人．记从年龄在[20，30)内的顾客中选出的3人分别为A，B，C，其他4人分别为a，b，c，d，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的情况有3种，所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率为321＝17.6.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y ∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．得基本事件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B ，“3＜xy ＜8”为事件C. 则事件B 包含的基本事件数共6个．即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．所以P(B)＝616＝38.事件C 包含的基本事件数共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．所以P(C)＝516.因为38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．。

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[基础题组练]1．已知{a n }为等比数列且满足a 6－a 2＝30，a 3－a 1＝3，则数列{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．15 B ．31 C ．40D ．121解析：选B.因为{a n }为等比数列且满足a 6－a 2＝30，a 3－a 1＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q ＝30，a 1q 2－a 1＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，S 5＝1－251－2＝31，数列{a n }的前5项和S 5＝31. 2．(2019·辽宁五校联考)各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，所以log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( ) A ．4 B ．7 C ．10D ．12解析：选A.因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2，a m ＝0(舍)．由等比数列的性质可知前2m －1项的积T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.选A.4．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选C.因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解得m ＝5，所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324. 所以n ＝14.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2＋a 5＝4，则a 8＝________．解析：因为S 3，S 9，S 6成等差数列，所以公比q≠1，2（1－q 9）1－q ＝1－q 31－q ＋1－q 61－q ，整理得2q 6＝1＋q 3，所以q 3＝－12，故a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝4，解得a 2＝8，故a 8＝8×14＝2.答案：26．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________．解析：法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8；当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16；当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32；所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.答案：－637．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q. 因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9. 解得q 2＝3. 所以b 2n －1＝b 1q2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.8．(2019·南昌市第一次模拟测试卷)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n (n∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4得，2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2.又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知a 1＝1，q ＝2，则 S n ＝1－2n1－2＝2n－1，所以b n ＝2n －1.T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋22＋ (2)－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n.[综合题组练]1．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0.又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0解析：选A.设等比数列的公比为q.由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，得a n (1＋2q ＋q 2)＝0.因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，解得q ＝－1，所以S 101＝a 1＝2.故选A.2．(应用型)(2019·安徽池州模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是( )A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了四十二里路解析：选C.记每天走的路程里数为a n (n ＝1，2，3，…，6)，由题意知{a n }是公比为12的等比数列，由S 6＝378，得a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 2＝192×12＝96，此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)， a 3＝192×14＝48，48378>18，前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)，则后3天走的路程为378－336＝42里，故选C.3．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________．解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100. 答案：1004．(综合型)已知a －1，a ＋1，a ＋5三个数成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{a n }的前三项，则能使不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n成立的正整数n 的最大值为________．解析：因为a －1，a ＋1，a ＋5三个数成等比数列，所以(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋5)，所以a ＝3，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n }的前三项，则{a n }的前三项为18，14，12，所以{a n }是首项为18，公比为2的等比数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以8为首项，12为公比的等比数列，则不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n 等价于18（1－2n）1－2≤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，整理得2n ≤27，所以n≤7，n ∈N *，即n 的最大值为7.答案：75．(2019·湖北省五校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6，所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，所以b 1＝1，因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列，所以b n ＝2n －1.所以b 3＝4，因为a 1b 3＝12，所以a 1＝3，因为a 2＝6，数列{a n }是等差数列，所以a n ＝3n.(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，所以C n ＋1＝(－1)n ＋12n，所以C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1，所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，所以T n ＝－1×[1－（－2）n]1＋2＝－13[1－(－2)n]．6．(2019·湖北黄冈调研)数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 解：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a nn ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n·22－n＝4n 2n .(2)证明：b n ＝a n 4n －a n ＝4n2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n∈N *，2n－1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2.。

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