3.1-3.2线性方程组迭代解法

（3-3） - ）
非奇异（ |≠0），且 其中 A=(aij)nn 非奇异（|A|≠0），且a ii≠0 =1,2,…, 由式（ (i=1,2, ,n), 由式（3-3）得
aii xi = bi − ∑aij x j
j ≠i
(i = 1,2,L, n)
（3-4） - ）
Jacobi iterative method
迭代公式的构造 迭代公式的收敛性
Problem:
1. How to construct iterative scheme? 2. The convergence of iterative scheme.
研究
{ x (k)
}的收敛性
x(k+1)=Bx(k)+f
引进误差向量 e(k+1) = x(k+1) -x* (k=1,2,…..) 因此 e(k+1) =B e(k) (k=1,2, ..) 所以 e(k+1) = Bk+1 e(0) 要考察 {x(k) } 的收敛性, 就要研究B在什么条件下有 的收敛性, 就要研究B 亦即要研究 B 满足什么条件时有
成立， A=D则有 A=D-L-U 成立，而式（3-4）的矩阵形式为 DX =（L+U）X+b （3-5） - ） 等式两边乘以D-1，得 X= D-1（L+U）X+ D-1b
（3-6） - ）
由此得到迭代公式( 由此得到迭代公式 The iterative scheme is :) ） ） X（k+1）= D-1（L+U）X（k）+ D-1b （3-7） ） ） (i = 1,2,L, n) 即 ( k+1) (k ) xi = (bi − ∑aij x j ) / aii ） (k = 0,1,2,L （3-8） ) j ≠i
数学问题的描述
Jacobi迭代法的主要步骤
1. The mathematical form 2. The process of Jacobi iterative method
数学问题的描述
设有线性方程组 即
Ax =b
a11x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 +L+ a2n xn = b2 M an1 x1 + an2 x2 +L+ ann xn = bn
Direct techniques are used for solving linear systems of small dimension. For large systems with high percentage of 0 entries, the direct methods are not efficient enough in term Of computer storage and computation amount. 返回节
第三章 线性方程组迭代解法
Iterative techniques for solving linear system
内容提要(content) 内容提要(content)
Introduction) 3.1 概 论(Introduction) 迭代法( iterative) 3.2(I) Jacobi 迭代法(Jacobi iterative) Gauss3.2(II) Gauss-Seidel 迭代法 (Gauss-Seidel iterative) (Gauss3.3 迭代法的收敛性 (The convergence of iterative method) 3.4 SOR法 (SOR method)) method)) 本章学习要点
若记
a11 a22 D= O ann 0 − a 0 21 L= L L − an1 − an2 L 0 0 − a12 L − a1n 0 L − a2n U= M 0
The three iterative schemes in the textbook: 1. Jacobi iteration 2. Gauss-Seidel iteration 3. SOR method
§3.2(I) Jacobi 迭代法 method） （Jacobi iterative method）
问题：如何判断可以终止迭代？ 问题：如何判断可以终止迭代？
(0) 1
x=Bx+f
(0)
(
(0)
(0) T n
)
（3-1) ∈ Rn ,按迭 （3-2)
Hale Waihona Puke For given initial vector x0, the sequence s of approximate Solutions are generated by computing (3-2)
如果按上述迭代公式所得到的向量序列 { x(k)}收敛于某个向量x* ,则x* 就是方程组 Ax =b 的解，并称此迭代法收敛。否则，就叫不 的解，并称此迭代法收敛 否则， 收敛。 收敛或发散。 收敛或发散。 (3-1)、(3-2)中的矩阵 称为迭代矩阵 迭代矩阵。 式(3-1)、(3-2)中的矩阵B ，称为迭代矩阵。
概
论
引子 迭代法的基本思想 迭代法的主要步骤
引子(Introduction) 引子(Introduction)
直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以 直接法得到的解是理论上准确的， 看得出，它们的计算量都是n 数量级，存储量为n 看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量 这在n比较小的时候还比较合适（n<400）， ），但是 级，这在n比较小的时候还比较合适（n<400），但是 对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n 对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n 的矩阵，而且这些矩阵(系数矩阵) 的矩阵，而且这些矩阵(系数矩阵)往往是含有大量的 0元素。对于这类的矩阵，再用直接法时就会耗费大 元素。对于这类的矩阵， 量的时间和存储单元。另一方面,实际计算结果精度 量的时间和存储单元。另一方面,实际计算结果精度 有时无法保证. 主要原因是在多次消去、 有时无法保证. 主要原因是在多次消去、回代过程中 四则运算的误差积累与传播无法控制. 四则运算的误差积累与传播无法控制. 因此我们有必 要引入一类新的方法：迭代法。 要引入一类新的方法：迭代法。
Ax=b
x= M-1 Nx + M-1 b B= M-1 N, f= M-1 b
的各种迭代法. 注：选取M阵，就得到解 Ax=b 的各种迭代法. 选取M
Remark: We can obtain various iterative schemes by choosing different M.
本章重点介绍三个迭代法， 本章重点介绍三个迭代法，即： 迭代法, 1）Jacobi迭代法, Gauss迭代法, 2）Gauss-Seidel 迭代法, 超松弛迭代法（ 3）超松弛迭代法（SOR法） 及其收敛性。 及其收敛性。
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这种迭代法， 这种迭代法，称为Jacobi迭代法。
Jacobi迭代的分量形式 Jacobi迭代的分量形式
a1n (k) b1 a12 (k) a13 (k ) (k+1) x1 = − a x2 − a x3 −L− a xn + a 11 11 11 11 x(k+1) = − a21 x(k ) − a23 x(k) −L− a2n x(k) + b2 a22 1 a22 3 a22 n a22 2 L an1 (k ) an2 (k ) ann−1 (k ) bn ( k+1) xn = − x1 − x2 −L− xn−1 + ann ann ann ann
The matrix A is always unchanged in the iterative process 计算过程中涉及到的中间变量 X ( K ) 及 X ( k +1) 需要两组 ,
工作单元x(n), y(n)来存储 来存储. 工作单元x(n), y(n)来存储.
Two computer storages x(n), y(n) are required.
L− a11 x1 == −−a12 x 2 −−a13 x 3 −− L −a1n x n ++b1 a11 x1= −a21 x1 a 12 x 2 a13 x 3L − a1n x n + b1 a 22 x 2 = −a x −−a 23 x 3 −− L −a 2n x n b2 21 1 a 22 x 2 a 23 x 3 a 2− x n ++ b 2 n − a 34 x 4 L a 3n x n b 3 33 x 3 = − a31 x1 − a32 x2 a − a 34 x 4 L − a 3n x n + b 3 a 33 x 3 = − a31 x1 − a32 x2 LL LL an L− n +b n n 2 n a nn x n ==−−a1 x1x−−aa2 xx −− L −aa,n−1 xx−1 a nn x n +b n n1 1 n2 2 n , n −1 n −1
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迭代法的主要步骤
The process of iterative method
解线性方程组迭代法的主要步骤是: 解线性方程组迭代法的主要步骤是: 1. 把所给的线性方程组Ax=b 化成如下形式的同解 方程组 Converting Ax=b into an equivalent form 2. 给出初始向量 X = x , x2 ,Lx 代公式 x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2,…) 进行计算,其中k 进行计算,其中k 表迭代次数。