概率论与数理统计学1至7章课后答案

第五章作业题解

5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.

解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得

)2100|7300(|)94005200(<-=<

982100

700112

222=-=-≥εσ.

5.2 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 1

{02}P X λλλ

-<<≥

. 解：因为)(~λP X ，所以λμ==)(X E 。λσ==)(2

X Var

故由切比雪夫不等式，得

)|(|)20(λλλ<-=<

λεσ1

11222-=-=-≥ 不等式得证.

5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.

解：设第i 袋大米的重量为X i ，(i =1,2,…,100)，则100袋大米的总重量为∑==

100

1

i i

X

X 。

因为 10)(=i X E ，1.0)(=i X Var ，

所以 100010100)(=⨯=X E ，101.0100)(=⨯=X Var

由中心极限定理知，

10

1000

-X 近似服从)1,0(N

故 )10|1000(|)1010990(<-=<

1)10(2)10|10

1000

(|

-Φ≈<-=X P

998.01999.021)16.3(2=-⨯=-Φ=

5.4 一加法器同时收到20个噪声电压,(1,2,

,20)i V i = ，设它们是相互独立的随机变量，

并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。记20

1

k

k V V

==∑，求(105)P V >的近似值。

解：()5,()10012(1,2,,20)k k E V D V k ===，由定理1，得

(105)P V >

P =>

)

387.020)1210(100

(

>-=V P

)

387.020

)1210

(100(

1≤--=V P

)387.0(1Φ-≈ 348.0=

即有 (105)P V >0.348≈

5.5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 为了使整个系统起作用, 至少要有85个部件正常工作. 求整个系统起作用的概率 解：设正常工作的部件数为X ，因为部件正常工作的概率为9.01.01=-=p ， 所以 )9.0,100(~B X ，有909.0100)(=⨯=X E ，91.090)(=⨯=X Var

由中心极限定理知，3

90

-X 近似服从)1,0(N 故所求的概率为

)3

5

390(

1)85(1)85(-<--=<-=≥X P X P X P 9525.0)67.1()3

5

()35(1=Φ=Φ=-Φ-≈

5.6 银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金. 这批债券共发放了500 张, 每张债券 到期之日需付本息1000元. 若持券人(一人一张) 于债券到期之日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9% 的把握满足持券人的兑换? 解：设领取本息的人数为X ，则)4.0,500(~B X 。有

2004.0500)(=⨯=X E ，1206.0200)(=⨯=X Var

由中心极限定理知，

120

200-X 近似服从)1,0(N

又设要准备现金x 元，则满足兑换的概率为

)1202001000/()1000()1000(-Φ≈≤

=≤x x X P x X P 依题意，要满足 )1.3(999.0)120200

1000/(

Φ=≥-Φx ，即要

1.3120

200

1000/≥-x

解之得 80.2339581000)2001201.3(=⨯+≥x

故应准备234000元的现金。

第五章《大数定律和中心极限定理》定义、定理、公式小结及补充：

n X 相互独立，()i Var X (1,2,i =),则对于任意的正数ε，

)(111<-∑∑=εi n i i X E n X n n X 具有相，则上式成为

.1=⎪⎪⎭

⎫

<εμ

n X 是相,μ1,2,

i =，则对于任意的正数ε有.11=⎪⎪⎭

⎫<-∑=εμn i X 设随机变量2,,n X X X 相互独立，有相同的数学期望和方差：

(02=≠k σX

Y n

k n ∑==

1