2019-2020学年辽宁省六校高一下学期期中考试数学试题(解析版)

2019-2020学年辽宁省六校高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）．A ．12B ．2C ．1D【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴||2z ==．故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．不等式tan x ≥ ） A ．{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ B ．{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈ C ．{|22,}32x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈D ．{|22,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈【答案】B【解析】由函数tan y x =的图象求得x 的范围. 【详解】因为tan x ≥tan y x =的图象可得{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈，故选：B. 【点睛】本题考查三角不等式的求解，运用三角函数图象求解不等式，是常用的方法，属于基础题.3．设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ） A ．-3 B ．-1C ．1D ．3【答案】A【解析】试题分析：由tanα，tanβ是方程x 2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan （α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x 2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+=--3，故选A.【考点】两角和与差的正切函数公式点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知△ABC 的外心是边BC 的中点，AB =(k ，1)，AC =(2，3)，则k 的值为（ ） A ．5 B ．-5C ．32D ．-32【答案】D【解析】首先可判断三角形为直角三角形，再根据向量的数量积为零计算可得； 【详解】解：因为△ABC 的外心是边BC 的中点，所以△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，因为(),1AB k =，()2,3AC = 所以2130AC AB k =+⨯=，解得32k =- 故选：D 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.5．已知角θ的终边过点(4,3)(0)P k k k -<，则2sin cos θθ+的值是（ ）A ．25 B ．25-C ．25或25-D ．随着k 的取值不同其值不同 【答案】B【解析】试题分析：∵角θ的终边过点(4,3)(0)P k k k -<，∴33sin ,55k k θ===--cos θ==4455k k -=-,∴3422sin cos 2()555θθ+=⨯-+=-.【考点】任意角的三角函数值. 6．下列函数中，周期为π，且在(,)42ππ上单调递减的是（ ） A ．sin cos y x x = B ．sin cos y x x =- C ．tan()4y x π=+D ．cos2y x =【答案】A【解析】逐一考查所给的函数：1sin cos sin 22y x x x == ，其周期22T ππ== ，在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，其周期221T ππ== ，不合题意；tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，其周期1T ππ== ，在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，不合题意；cos2y x = 的图象是将函数cos y x = 的图象位于x 轴下方的图象翻折到上方得到的图象，，其周期2T π= ，不合题意；本题选择A 选项.7．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【答案】B 【解析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果． 【详解】设棱台的高为h 与截得它的棱锥的高H ，作出草图，如下图所示：由相似关系可得，111SO O C SO OC =，所以2211122S SO O C SO OC S ==上下，则249H h H ⎛⎫ ⎪⎭=⎝- 即2419h H ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-， 可得21133h H =-=. 故选：B ． 【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．8．一船沿北偏西45方向航行，正东有两个灯塔A,B, 10AB =海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船的速度是每小时 （ ） A ．5海里 B ．52海里C ．10海里D ．102海里【答案】D【解析】根据题意作出对应的三角形，结合正弦定理及三角形的边角关系即可得到结论． 【详解】如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10. △AOC 中,由正弦定理可得102sin135sin30OC=︒︒， ∴52OC =，∴12v ==∴这艘船的速度是每小时海里， 故选D. 【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.二、多选题9．以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面），其中错误的是（ ） A ．若//,,a b b α⊂则//a α B ．若//,//,a b αα则//a b C ．若//,//,a b b α则//a αD ．若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a b【答案】ABC【解析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系可知A 、B 、C 是错误的，根据直线与平面平行的性质定理可知D 是正确的. 【详解】对于A ，若//,,a b b α⊂则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ，若//,//,a b αα则//a b 或a 与b 异面或a 与b 相交；故B 错误； 对于C ，若//,//,a b b α则//a α或a α⊂，故C 错误；对于D ，根据直线与平面平行的性质定理可知，“若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a b ”是正确的，故选：ABC. 【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了直线与平面平行的性质定理，属于基础题.10．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）A ．2b =B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD【解析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确.【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误， 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=， 所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.11．关于函数2()3sin cos 1f x x x x =+-+，下列命题正确的是（ ） A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍 B ．()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图像关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图像关于直线12x π=-对称【答案】BD【解析】首先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可． 【详解】解：因为2()3sin cos 1f x x x x =+-+所以3()sin 2213sin 2123f x x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭ 解：A ．由()3sin 2113f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭得sin 203x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期T π=，则12x x -是22T π=的整数倍，故A 错误， B ．55()3sin 213cos 23cos 213cos 2132366f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确， C ．当34x π=时，3371sin 2sin sin 0432362πππππ⎛⎫⎛⎫⨯-=-==-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数关于3,14π⎛⎫⎪⎝⎭不对称，故C 错误，D ．当12x π=-时，sin 2sin sin 1123632πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是最小值，则()y f x =的图象关于直线12x π=-对称，正确，故正确的是BD ， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合函数的对称性，三角函数的诱导公式是解决本题的关键，属于中档题．三、填空题12．已知5a b ==，向量a 与b 的夹角为23π，则2a b +=___________.【答案】【解析】运用向量的数量积的定义，计算向量a ，b 的数量积，再由向量的平方即为模的平方，计算代入数据，即可得到所求值．【详解】解：||||5a b ==，向量a 与b 的夹角为23π， 则225cos32a b a b π==-，所以()2222224445a b a ba b a b +=+=++=⨯故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．13．已知ABC 中，2a c ==，，45A ︒=，则b =_________.1【解析】已知两边和其中一边的对角解三角形用余弦定理求解即可. 【详解】解：2222cos a b c bc A =+-，所以246cos 45,1b b =+-︒=，1. 【点睛】已知两边和其中一边的对角解三角形，用余弦定理求解时，只要解出的边是正数就符合题意；基础题.四、双空题14，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为______________;该四面体的体积为_____________. 【答案】3π13【解析】先求出正四面体的高，结合球心在高上及勾股定理即可求出球的半径，利用球的表面积公式和三棱锥的体积公式即可解决. 【详解】由题意可知，该四面体为正四面体，如图正四面体A BCD -,，外接球球心为O ，E 为BCD 的中心，设外接球半径为R ，则,3BE OA OB R ===,在Rt ABE △中，2222323AE AB BE =-=-=,在Rt BOE △中，()222OB BE AE R =+-,即2222333R R ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得3R =,所以此球的表面积为243R ππ=，该四面体的体积为11.33BCDSAE ⋅=故答案为：3π；13【点睛】本题主要考查正四面体的外接球问题及球的表面积、三棱锥的体积公式，属于基础题. 15．函数()2sin 26f x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()0f x ≤在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则m 的取值范围是______;若()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则m 的取值范围是_________.【答案】2m ≥ 12m ≤< 【解析】将()0f x ≤化为2sin 26m x π⎛⎫≥-⎪⎝⎭，求出当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值可得m 的取值范围，将()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，化为函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y m =的图象有两个交点，再根据函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象可得答案. 【详解】因为()0f x ≤可化为2sin 26m x π⎛⎫≥-⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为2，所以2m ≥. 因为()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，等价于函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y m =的图象有两个交点，函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象如图：由图可知，12m ≤<. 故答案为：2m ≥；12m ≤<. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了正弦型函数图象的应用，考查了由函数图象的交点个数求参数范围，属于基础题.五、解答题16．已知ABC ∆，则下列命题中，是真命题的有哪些？ （1）若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰三角形； （2）若sin cos A B =，则ABC ∆是直角三角形； （3）若cos cos cos 0A B C <，则ABC ∆是钝角三角形；（4）若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆是等边三角形. 【答案】（3）（4）为真命题【解析】（1）根据正弦函数性质及三角形内角的取值范围判断． （2）由诱导公式变形，结合正弦函数性质判断． （3）由余弦函数性质判断． （4）由余弦函数性质判断． 【详解】解：（1）若sin 2sin 2,,(0,)A B A B π=∈，22A B ∴=或22A B π+=. A B ∴=或2A B π+=.ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，故（1）为假命题.（2）若sin cos sin 2A B B π⎛⎫==-⎪⎝⎭， ,(0,)A B π∈，2A B π∴=-或2A B ππ+-=，2A B π∴+=或2A B π-=，ABC ∆为直角三角形或钝角三角形，故（2）为假命题.（3）若cos cos cos 0,,,(0,)A B C A B C π<∈，,,A B C ∴中有一个为钝角，其余两个为锐角，ABC ∆为钝角三角形，故（3）为真命题.（4）若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，cos()(1,1],cos()(1,1],cos()(1,1]A B B C C A ∴-∈--∈--∈-， cos()cos()cos()1A B B C C A ∴-=-=-=.又,,(0,)A B C π∈，0A B B C C A ∴-=-=-=，A B C ∴==，即ABC ∆为等边三角形，故（4）为真命题.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，解题是需结合三角形内角的取值范围和正弦函数、余弦函数的性质判断．17．已知22a b ==，且向量a 在向量b 的方向上的投影为1-，求： （1）a 与b 的夹角θ; （2）()2a b b -⋅. 【答案】（1）23π；（2）3-. 【解析】（1）由题知2,1,cos 1a b a θ===-，进而得出cos θ，即可求得θ.（2）根据数量积的定义cos a b a b θ⋅=⋅⋅即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意，2,1,cos 1a b a θ===-，所以1cos 2θ=-. 又因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）()2222122cos 22121332a b b a b b a b b π⎛⎫-⋅=⋅-=⋅⋅-=⨯⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题. 18．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos 2sin cos C a B B =(1)求角B ；(2)若sin 3sin A C =，求b c.【答案】(1)60；.【解析】(1)本题首先可根据正弦定理边角互化得出cos 2sin sin cos B C A B C B =，然后通过三角恒等变换化简得出sin B =，最后根据ABC 为锐角三角形即可得出结果； (2)首先可根据正弦定理边角互化得出3a c =，然后根据余弦定理得出222122a c b ac+-=，带入3a c =，通过化简即可得出结果. 【详解】(1)cos 2sin cos C a B B =，cos 2sin sin cos B C A B C B =，cos cos 2sin sin B C C B A B +=，)2sin sin B C A B +=，2sin sin A A B =，因为在ABC 中，sin 0A ≠，所以sin 2B =因为ABC 为锐角三角形，所以B 60=，(2)因为sin 3sin A C =，所以由正弦定理可得3a c =，因为B 60=，所以由余弦定理可知2221cos cos 6022a c b B ac+-=︒==，代入3a c =，得22219223c c b c c+-=⨯⨯，解得b c =【点睛】本题考查正弦定理边角互化以及余弦定理，考查余弦定理公式、两角和的正弦公式以及诱导公式，考查化归与转化思想，考查计算能力，体现了综合性，是中档题. 19．已知10,sin cos 25x x x π-<<+= （1）求sin cos x x -的值;（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.【答案】（1）75-；（2）24175-.【解析】（1）先求出2sin cos x x 的值，再求出()2sin cos x x -后可得sin cos x x -的值； （2）先求出34sin ,cos 55x x =-=，再利用二倍角公式化简三角函数式，代入前面的结果可得所求的值. 【详解】（1）对于1sin cos 5x x +=，两边平方得221sin cos +2sin cos 25x x x x +=，所以24sin 225x =-， ∴249(sin cos )1sin 225x x x -=-= ， ∵02x π-<<，cos 0,sin 0x x ∴><，sin cos 0x x -<，7sin cos 5x x ∴-=-；（2）联立1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴原式＝2343 2()2()2455531755145⨯-⨯+⨯-=---.【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于中档题题.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，作棱锥P ABCD-，其中点P在侧棱1DD 所在直线上，4PD=，3DC=，E是PC的中点.（1）证明：//PA平面BDE;（2）求PAD△以PA为轴旋转所围成的几何体体积.【答案】（1）证明见解析；（2）485π.【解析】(1)本题首先可以连接AC交BD于O并连接EO，然后根据OE是PCA的中位线得出//OE PA，即可根据线面平行的判定证得//PA平面BDE；(2)本题首先可以过D作PA的垂线并令垂足为H，然后根据题意得出几何体的形状，再然后求出PA与DH的长，最后根据圆锥的体积公式即可得出结果.【详解】(1)如图，连接AC交BD于O，连接EO，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点，因为E 为PC 的中点，所以OE 是PCA 的中位线，//OE PA ， 因为OE 包含于平面BDE ，PA 不包含于平面BDE ， 所以//PA 平面BDE ，(2)如图，过D 作PA 的垂线，垂足为H ，则PAD △以PA 为轴旋转所围成的几何体是以DH 为半径并且分别以PH 、AH 为高的两个圆锥的旋转体，因为侧棱PD ⊥底面ABCD ，AD 包含于底面ABCD ，所以PD AD ⊥， 因为4PD =，3DA DC ==，所以5PA =， 因为PD ADPA DH ，所以125DH =， 所以PAD △以PA 为轴旋转所围成的几何体体积为2148ππ35V DH PA . 【点睛】本题考查线面平行的判定以及旋转体体积的计算，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则直线与平面平行，考查推理能力与计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.21．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若3a =ABC △面积的最大值．【答案】（1）19-；（2）324【解析】(1)将2sin cos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.【详解】()2221sin cos2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+-2221cos cos 2cos 12cos 122A A A A +=+-=+- 1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A =，可得sin 3A ==， 由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=， 即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号． 则ABC △面积为119sin 22434bc A ≤⨯⨯=． 即有32b c ==时，ABC △的面积取得最大值4． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 22．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图像相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图像向右移6π个单位，所得函数()g x 为奇函数.(1)求()f x 的解析式； (2)若函数35h xf x的零点为0x ，求0cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)若对任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()20f x f x a --=有解，求a 的取值范围. 【答案】(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)35；(3)1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】(1)本题首先可通过相邻对称轴之间的距离是2π得出2ω=，然后通过图像的平移即可得出πsin 2φ3g xx，最后根据函数()g x 为奇函数即可求出ϕ的值； (2)本题首先可通过题意得出0π3sin 235x ，然后通过三角函数的诱导公式即可得出结果； (3)本题可令πsin 23tf x x，然后根据0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出01t ≤≤，最后通过求出2t t -的取值范围即可得出a 的取值范围. 【详解】(1)因为相邻对称轴之间的距离是2π， 所以22T π=，T π=，2T ππω==，解得2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+， 将()f x 的图像向右移6π个单位，可得函数ππsin 2φsin 2φ63g x xx， 因为函数()g x 为奇函数，所以π0sin φ03g ，()3k k Z πϕπ-+=∈，因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， (2)因为函数35h x f x的零点为0x ， 所以003π3sin 20535h x f x x ，0π3sin 235x ， 因为000cos 2cos 2sin 26233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以03cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， (3)令πsin 23tf x x，()()20f x f x a --=有解即2t t a -=有解， 因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，01t ≤≤， 因为221124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以当01t ≤≤时，2104t t -≤-≤，因为2t t a -=有解，所以a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数的对称性、奇函数的相关性质、三角函数的诱导公式以及三角函数的取值范围的求法，当奇函数()f x 定义域包括0时，有()00f =，考查公式π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，考查推理能力，是中档题.cos sin2x x。