数学史论文函数概念的发展
数学史论文函数概念的发展
数学史论文函数概念的发展函数概念是数学史上一个重要的发展阶段。
本文将探讨函数概念的发展历程，以及这一概念的重要性。
在古希腊时期，人们通过几何学研究曲线形状，但并没有引入函数的概念。
然而，在公元前4世纪，欧多克索斯和亚历山大斯在几何方面的研究中开始使用变量和关系的概念。
他们发现，一些曲线的线段长度与曲线上的其中一点的位置有关。
这可以看作是函数的一个早期表现，但并没有引入一个明确的函数概念。
随着数学的进一步发展，莱布尼茨和牛顿在17世纪末提出了微积分学的基本概念。
他们引入了“fluxion”的概念，该概念可以表示变量随时间的变化速率。
这相当于我们现在所称的导数。
莱布尼茨还引入了“integral”的概念，表示曲线下的面积。
这些概念使得人们能够更加系统地研究曲线和变化。
在18世纪，欧拉将函数视为变量之间的关系，并开始对其进行更加深入的研究。
他引入了函数符号“f(x)”来表示变量x的函数值。
这是函数概念的一个重要发展，为后来函数概念的正式定义奠定了基础。
在19世纪，庞加莱和魏尔斯特拉斯等人对函数的连续性进行了深入研究。
他们提出了连续函数和不连续函数的概念，并给出了一些重要的性质和定理。
这为分析学的发展奠定了基础。
随着数学的发展，函数概念也在不断演变。
20世纪初，数学家们开始研究更加复杂的函数和变量之间的关系。
他们引入了概念扩展，如多变量函数，复函数和泛函等。
这些概念在实际应用中发挥了重要作用，如在物理学、经济学和工程学中的应用。
函数概念的发展对数学的其他领域也产生了重要影响。
例如，在代数学中，函数概念为多项式和方程的研究提供了基础。
在几何学中，函数概念使得我们能够更好地描述曲线和表面的性质。
在概率论和统计学中，函数概念使得我们能够研究随机变量和概率分布之间的关系。
总而言之，函数概念的发展是数学史上的一个重要阶段。
它为人们研究曲线和变化提供了新的工具和方法，并对数学的其他领域产生了深远影响。
函数概念的发展也证明了数学的不断进步和演变，为更深入的数学研究和应用奠定了基础。
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数概念的发展是数学领域的一项重要进展，经历了长时间的发展过程。
本文将从古希腊时期的初步思考开始，逐步介绍函数概念的发展历程直至现代数学的函数定义。
最早对函数的思考可以追溯到古希腊数学家们对几何曲线的研究。
古希腊的数学家们研究了一系列的曲线，如圆、椭圆和抛物线等等。
他们发现几何曲线上的每一个点都可以通过其坐标来确定，这种坐标的确定性使得数学家们开始思考是否可以将曲线上的点表示为一个或多个变量的函数关系。
直到17世纪，数学家马克思·奥雷利（Marquis de l'Hôpital）首次提出了函数这一词汇，但在这之前，欧洲数学界对于函数的定义还没有达成一致。
那时的数学家们对于函数抱有一种“坐标”的观念，即函数可以描述曲线上的点与坐标的关系。
在18世纪初，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对函数的研究做出了重要贡献。
他将函数的概念扩展到了复变函数，并系统地研究了指数函数、三角函数和对数函数等等。
他的研究成果对现代数学的发展起到了重要的推动作用。
到了19世纪，法国数学家阿道夫·科斯提（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了一种更加严格的函数定义。
科斯提提出了连续函数的严格定义，并发展了复变函数的理论基础。
威尔斯特拉斯则通过严格的极限定义来定义函数。
这些严格的函数定义使得数学研究更加系统和准确。
20世纪初，法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue）提出了测度论的概念，并将其应用于函数的理论研究中。
他提出了勒贝格积分的概念，从而为函数的积分提供了新的方法和工具。
随着数学的发展和应用的拓宽，函数的概念也得到了进一步的发展。
在现代数学中，函数被定义为将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
这是一种更加抽象和广泛的定义，使得函数的研究可以应用于各个数学领域，如代数、几何、拓扑等等。
函数的起源与发展
函数的起源与发展函数是数学领域中的重要概念，起源于古希腊数学，发展至今已经成为现代数学的基石之一。
本文将探讨函数的起源及其发展历程。
一、起源：古希腊的函数概念函数的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧多克索斯（Euclid）的著作《几何原本》中。
他在书上首次提出了“比例”这一概念，将其应用于几何学中。
比例即表示两个量之间的关系，这种关系可以表示为一个方程。
欧多克索斯认为，比例是由特定规律决定的，这种规律可以用图形表示。
此后，亚历山大的赛尼库斯（Heron of Alexandria）提出了函数的概念。
他将比例的概念扩展到变量之间的关系，提出了函数的定义：“当一个量由其他量决定时，我们称这个量是其他量的函数。
”赛尼库斯以几何图像的方式表示函数，将其作为几何问题的解决方法。
二、发展：函数的发展与数学分析的崛起函数的概念在古希腊数学时代虽然已有初步的形成，但真正的发展要追溯到十七世纪的科学革命时期。
牛顿（Isaac Newton）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）两位伟大的数学家和物理学家几乎同时独立地发展了微积分学，从而为函数的研究奠定了基础。
牛顿和莱布尼茨将函数视为一种能够以无穷小的变化率来描述的数学对象。
他们引进了导数和积分的概念，并将其作为函数变化率和面积的度量。
他们的工作将函数的研究提升到了一个新的高度，使得函数成为数学分析的核心内容。
随着数学分析的发展，函数的研究也变得更加丰富和深入。
欧拉（Leonhard Euler）提出了指数函数和对数函数的概念，并发展了复变函数的理论。
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和柯西（Augustin-Louis Cauchy）等数学家也在函数的研究方面做出了重要贡献。
函数的研究不仅局限于实数领域，还拓展到复数、向量、矩阵等多个数学领域。
三、应用：函数在科学和工程中的重要性函数作为一种描述变化规律的数学工具，在科学和工程领域具有广泛的应用。
函数概念的发展
函数概念的发展（07数教15号游榕榕）一、函数概念的萌芽在公元十六世纪之前，数学上占统治地位的是常量数学，其特点是用孤立、静止的观点去研究事物。
具体的函数在数学中比比皆是，但没有一般的函数概念。
十六世纪，随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式，迫切需要天文知识和力学原理。
当时，自然科学研究的中心转向对运动、对各种变化过程和变化着的量之间依赖关系的研究。
数学研究也从常量数学转向了变量数学。
数学的这个转折主要是由法国数学家笛卡尔完成的，他在《几何学》一文中首先引入变量思想，称为“未知和未定的量”，同时引入了两个变量之间的相依关系。
这便是函数概念的萌芽。
二、早期函数概念—几何观念下的函数十七世纪伽俐略《两门新科学》一书中，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。
牛顿十七世纪在《原理》中提出的“生成量”是雏形的函数概念,莱布尼兹首先使用了“函数”这一术语.因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
三、十八世纪函数概念─代数观念下的函数十八世纪初，贝努利最先摆脱具体的初等函数的束缚，给函数一个抽象的不用几何形式的定义：“一个变量的函数是指由这个变量和常量的任何一种方式构成的一个量。
”欧拉则更明确地说：“一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式。
”函数之间的原则区别在于构成函数的变量与常量的组合方式的不同。
欧拉最先把函数的概念写进了教科书。
在贝努利和欧拉看来，具有解析表达式是函数概念的关键所在。
1734年，欧拉用记号y=f( x)表示变量x的函数，其中的“f”取自“function”的第一个字母。
四、十九世纪函数概念──对应关系下的函数1822年傅里叶发现某些函数可以表示成三角级数,使函数的概念得以改进,发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论把对函数的认识又推进了一个新的层次。
函数的形成与发展论文500字
函数的形成与发展论文500字
在数学的发展史中,重要数学概念的形成离不开数学的发展,这些概念的形成对数学的发展有推动作用.函数概念是数学概念中的一个非常典型的数学概念.函数概念的形成,从最初的萌芽阶段到最终形成历经了一千多年.纵观数学的发展史,函数概念的每一次升华都是数学发展到一定阶段的产物,并对后面数学的发展作出推动作用.研究函数概念的发展。
最早给出函数概念的明确定义的是,1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。
”这最后一句话的意思，据他解释是“除了五种代数运算外，必须加上第六种运算即趋于极限的运算。
”
莱布尼茨首次用“function ” 一词表示幂，即。
1673年，他用“ function ” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。
记号是欧拉1743年引进的。
当时，欧拉认为函数是一条可以随意描绘出的曲线。
1748年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。
上述种种函数定义，用现在的观点看，无非是函数表示法中的解析表示法和图象表示法。
1775年欧拉又给出一个新的函数定义：
如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。
虽然18世纪对函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的。
这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象。
函数概念的发展史
函数概念的发展史
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大学生活即将结束，在此，我要感谢所有老师和一起成长的同学，是你们在我的 大学生涯给予了极大的帮助。本论文能够顺利完成，要特别感谢我的导师张老师，
感谢您的耐心指导，您辛苦了！
函数概念的发 展史
函数概念的发展史
目录
函数概念的发展史
函数概念的发展经历了漫长而曲折的过程，其根源可以追溯到古代数学中的对应和映射思 想。然而，函数概念的真正形成和完善是在17世纪到19世纪之间，经历了几个重要的里程 碑
早期函数概念：在早期数学中，人们开始使用"函数"这个词来表示解析表达式 中的项。例如，在莱布尼茨的著作中，他使用"函数"来表示一个多项式或三角 多项式。这个时期的函数概念比较模糊，没有明确的定义
函数概念的发展史
幂级数和解析几何的推动
在18世纪，数学家开始研究幂级数和解析几何，这推动了函数概念的进一步发展。这个时期，函数被视为幂级数展开中的项，或 者解析几何中的曲线。这个概念下的函数可以表示为x的任意多项式或三角多项式
函数概念的完善
在19世纪初，数学家开始对函数概念进行更深入的探讨和定义。其中，欧拉、高斯和狄利克雷等人都对函数概念的发展做出了重 要贡献。狄利克雷在1837年给出了函数的定义，即如果对于每一个x的值，都存在一个确定的y值与之对应，那么就说y是x的函数。 这个定义强调了函数的对应关系，被认为是函数概念的经典定义
函数概念的发展史
基础性
函数作为数学的基本概念之一， 是描述数学问题中变量关系的 重要工具。无论是自然科学、 社会科学还是工程领域，许多 问题都可以通过建立函数关系 来描述和解决
一般性
函数概念具有一般性，可以应 用于各种不同的问题和领域。 通过不同的函数形式和性质， 可以描述各种不同的数学问题 和物理现象
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数的概念发展是数学领域的重要进展之一，它的历史可以追溯到古希腊时期。
在古代，人们对形式和变化的研究主要集中在几何学和代数学上。
在这一过程中，函数一词逐渐从简单的代数变成了更加抽象的概念，并在经历了不断的发展和丰富之后，成为数学的一个基本概念。
古代希腊的数学家和哲学家对函数的概念有着丰富的探讨。
例如，柏拉图和柏拉图学派就对函数和其它数学对象的本质和关系进行了深刻的探讨。
在古希腊时期，函数之间的关系主要是通过几何图形来表示的。
例如，欧几里德在其著作《几何原本》中，首次提出了函数的定义，即“两个变量之间的关系若能用代数形式表达，则称为函数”。
而在亚历山大大帝时期，希腊数学家阿波罗尼乌斯对这一概念进行了更加深入的研究，并在他的著作《圆锥曲线论》中阐述了函数的多种性质和表达方法。
在此期间，数学家们开始认识到函数不仅仅是数学对象之间的关系，更是一个独立的数学概念，其本身具有一定的性质和规律。
然而，关于函数的定义和理论体系仍然存在一定的模糊和不完善。
这一情况一直持续到十七世纪，当时国际上出现了新的数学派别——分析学派，他们在函数的研究领域取得了重大的突破。
十七世纪是函数概念发展的一个重要阶段，在这一时期，牛顿和莱布尼兹分别独立地发明了微积分学，并在此过程中对函数的概念进行了深入的理论研究。
他们提出了函数的连续性和可导性等重要概念，并建立了函数的概念体系和理论框架。
牛顿和莱布尼兹所提出的微积分学是函数论的开端，它奠定了函数概念的数学基础，并具有深远的影响。
牛顿和莱布尼兹对函数的研究将函数从代数和几何的范畴中解放出来，使得函数的概念得到了更加抽象和深刻的理解。
在牛顿和莱布尼兹之后，分析学派在对函数的研究方面取得了更多的成果。
例如，庞加莱和魏尔斯特拉斯等数学家对函数的极限、连续性等性质进行了进一步的研究，奠定了现代分析学的基础。
他们提出了更加抽象和严格的理论框架，对函数的各种性质进行了深入的探讨。
关于函数的形成与发展的数学小论文
关于函数的形成与发展的数学小论文函数是数学中一个重要的概念，它的形成与发展经历了多个历史时期的探索和研究。
在这篇小论文中，我们将讨论函数的起源、发展和重要性，并介绍函数在不同数学领域中的应用。
函数的起源可以追溯到古代数学中的求解问题过程中。
古希腊数学家欧几里得就曾研究过数学中的比例关系，并通过类似于函数的概念来解决几何问题。
然而，最早明确提出函数概念的是16世纪的法国数学家维达，他将函数定义为其中一变量与它的函数值之间的关系。
此后，函数的定义与分类逐渐成为数学研究的一个重要方向。
函数的发展经历了数学分析的不同阶段。
在18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家通过研究一元函数的性质，奠定了函数分析的基础。
他们提出了函数的连续性、可微性和积分等重要概念，并发展了微积分学。
这促进了数学分析的发展，使函数成为数学研究的重点之一19世纪，高斯、傅里叶和柯西等数学家对函数进行了更深入的研究。
高斯提出了函数的整数点分布规律，傅里叶将函数展开为三角级数，柯西则建立了函数连续性的严格定义。
这些研究为后续数学家提供了更多的理论基础，推动了函数论的发展。
20世纪，数学家们对函数的研究不再局限于一元函数，而是将其推广到多元函数和无穷维函数空间中。
这为实变函数、复变函数和泛函分析等数学领域的发展提供了奠基性的工具和方法。
同时，利用计算机技术的发展，函数的数值计算和计算机图形学中的函数绘制等应用也得到了更广泛的应用。
函数在数学中的重要性不言而喻。
它不仅是数学理论研究的基础，而且在科学、工程和经济等领域中也有着广泛的应用。
例如，在物理学中，函数描述了自然界中许多现象的规律，如牛顿定律和麦克斯韦方程。
在经济学中，函数可以用来描述供需关系和效用函数等经济学模型。
在工程学中，函数可以用来解决电路设计和控制系统等问题。
因此，函数的研究不仅对数学学科本身具有重大意义，而且对其他学科的发展和应用具有重要影响。
总结起来，函数的形成与发展经历了数学史上多个阶段的演变。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程
从古代开始，人们就通过观察自然界中的现象，尝试建立数学模型来描述这些现象。
但是，在这个过程中，并没有明确提出“函数”的概念。
直到16世纪，函数的概念逐渐发展起来。
在古希腊时期，数学家们研究了直线、圆、曲线等几何图形，并对它们进行了详细的描述和分类。
然而，这种描述并没有涉及到函数的概念。
到了17世纪，代数学的发展带来了函数概念的进一步发展。
法国数学家笛卡尔首次引入了“坐标系”和“方程”的概念，通过代数方程式描述了几何图形。
这一创新为函数的形式化提供了基础。
在18世纪，欧洲数学家开始对函数进行了更加系统和正式的研究。
这一时期的代表性数学家是欧拉和拉格朗日。
欧拉在其著作中提出了对函数的定义，他认为函数是一个数与数之间的关系。
拉格朗日则进一步发展了欧拉的工作，并引入了微积分的概念，使得函数的研究得到了更深入的发展。
19世纪是函数概念发展的重要时期。
高斯、傅里叶、柯西、魏尔斯特拉斯等数学家对函数的性质进行了深入的研究，涉及到连续性、可微性、收敛性等方面。
魏尔斯特拉斯提出了连续函数的定义，并提出了魏尔斯特拉斯逼近定理，使得函数的定义更加准确和严谨。
20世纪以来，随着数学的发展和应用的广泛性，函数的概念
在各个领域得到了不断的拓展和深化。
现代数学中的函数不仅局限于实数和复数的变量，还涉及到更抽象的概念，如向量函数、矩阵函数、泛函等。
总的来说，函数概念的发展是一个从直观到形式化、从几何到代数的过程。
通过数学家们不断的研究和探索，函数的概念逐渐变得更加精确定义和完善，成为现代数学中不可或缺的基础概念之一。
函数概念的发展历史
函数概念的发展历史在数学领域，函数是描述两个变量之间关系的一个重要概念。
它的发展历史可以追溯到古希腊时期，而现代函数的概念则是在18世纪由数学家Leonhard Euler和Joseph Fourier等人逐渐发展起来的。
在古希腊数学中，人们已经开始研究图形与运动之间的关系。
例如，亚历山大大帝时期的数学家Heron给出了一个描述圆的面积与其半径关系的公式，这可以看作是一个函数关系的例子。
然而，古希腊人并没有将函数作为一个独立的数学概念进行研究，并且函数的定义和表示方式也相对简单。
随着数学的发展，人们开始研究曲线和运动的关系。
17世纪的法国数学家René Descartes发明了坐标系，为函数的研究提供了重要的工具。
这一时期的数学家还没有对函数有一个明确的定义，但是他们对函数有一种直观的认识，即函数是一个可由数值对表示的数量。
18世纪的数学家Joseph Fourier成为了函数概念发展的重要推动者之一、他的研究主要集中在热传导方程上，他发现可以将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数的和。
这一发现极大地促进了函数概念的发展，使得人们开始将函数看作是由一个或多个无限可微的数学表达式表示的。
同时，17世纪和18世纪的数学家们也对函数的相关概念进行了严格的定义和分类。
例如，约翰·贝恩霍尔茨在1748年引入了函数的连续性的概念，他提出一个函数在其中一点连续的充要条件是它在该点处的极限与函数值相等。
这一定义对于后来对函数连续性的严格研究提供了基础。
随着数学的不断发展，函数的研究范围也在不断拓展。
19世纪的数学家高斯和柯西发展了复变函数的理论，在复平面上研究了函数在无穷远处的行为和奇点。
这一研究对于现代函数理论的建立起到了重要的推动作用。
20世纪的数学家们进一步深入研究了函数的性质和特征。
例如，勒贝格和黎曼等人发展了函数的测度论和积分论。
在这一时期，函数的定义越来越抽象和严格，数学家开始关注一般情况下的函数类。
函数概念发展史
函数概念发展史
函数概念的发展史可以追溯到17世纪和18世纪。
以下是函数概念的发展历程：
- 1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。
”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做函数。
贝努利强调函数要用公式来表示。
- 1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。
- 1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
- 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着一起变化。
函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。
函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。
”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以求出每一个的对应值。
- 1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x 的函数。
”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个。
函数概念发展史1
函数概念发展史1函数概念发展史1函数是数学中一个非常重要的概念，也是数学发展过程中的一大成就。
在数学的发展历程中，函数的概念逐渐得到了明确和严谨的定义，并在各个数学分支中得到了广泛的应用和发展。
本文将从古代开始，系统地介绍函数概念的发展史。
古代函数的雏形可以追溯到古希腊数学，例如欧几里得在其著作《几何原本》中就使用了类似于函数的概念。
古希腊数学家将函数理解为一个数与另一个数的关系。
例如，将一个数的平方与这个数本身进行对应，这就是欧几里得所使用的函数概念的一个例子。
不过，在古代，函数的概念并没有得到明确的定义和证明，只是一种直观的理解，并没有得到深入的研究和应用。
17世纪函数概念的现代起源可以追溯到17世纪。
在这个时期，数学家开始探讨和研究函数的性质和性质之间的关系。
开普勒是第一个正式地使用“函数”这个术语的数学家。
他将函数定义为一个数与数的关系，并将这个关系表示为一个方程。
不过，在当时，函数的定义仍然比较模糊，没有得到严格的数学定义。
18世纪18世纪是函数概念发展的重要时期。
数学家们开始提出更加明确和严格的函数定义，并开始研究函数的性质和变化规律。
泰勒和库兹勒在18世纪提出了泰勒展开和库兹勒威亚展开，这些展开式将一个函数表示为一个无限级数，推动了函数的研究和应用的发展。
19世纪19世纪是函数概念发展的重要时期。
柯西是第一个给出函数严格的定义的数学家。
他将函数定义为一种由一个自变量和一个因变量之间的对应关系，这种对应关系可以用一个变量的值确定另一个变量的值。
柯西的函数定义是后来函数理论的基础，并被广泛接受和应用。
在19世纪，函数的研究和应用得到了飞速发展，包括连续性、可导性以及积分等概念的引入和研究。
20世纪20世纪是函数概念发展的一个重要时期。
在这个时期，函数的研究趋向于更加抽象和广泛的领域，例如函数空间、泛函分析等。
在20世纪，分析学的发展成为数学的一个重要分支，函数作为分析学的基本对象，得到了更深入的研究和应用。
函数数学史概述范文
函数数学史概述范文函数是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用和数理基础。
它是描述变量之间关系的工具，将一个输入映射到唯一的输出。
函数的研究源远流长，我们将从古代开始回顾函数数学的历史发展。
古希腊数学家柏拉图和亚里士多德是函数概念最早的提出者。
柏拉图将函数视为由输入和输出的集合构成的关系。
然而，在当时还没有明确的符号表示法，函数的研究主要是以几何和形式语言的方式进行。
到了公元3世纪，克勒之父阿波罗尼乌斯通过比较变量之间的比值，提出了论域和值域的概念来描述函数。
这一概念为后来函数的定义奠定了基础。
公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔茨哈齐提出了所谓的函数计算法则。
他在其著作《恒定土地》中详细讨论了函数的运算和求解方法。
到了16世纪，函数的研究随着代数学的发展而进一步深入。
法国数学家维埃塔提出了分析中的函数概念，并引入了坐标系统和曲线。
他还开创了函数以代数形式进行研究的先河，为后来微积分的发展奠定了基础。
17世纪的开创者牛顿和莱布尼茨发展了微积分学，为函数的研究提供了新的工具和方法。
他们首次引入了导数和积分的概念，利用这些概念解决了许多与变化和极限有关的问题。
此外，他们还提出了微分方程的概念，使函数的研究得以与物理学等其他学科相结合。
18世纪的欧拉和拉格朗日等数学家对函数理论进行了进一步的推进和完善。
欧拉在函数分析和数论方面有重要贡献，他提出了欧拉方程和欧拉函数等重要结果。
拉格朗日则提出了拉格朗日乘数法和变分法等函数极值的求解方法。
19世纪的高斯、柯西、魏尔斯特拉斯等数学家对函数理论进行了系统化的整理和拓展。
高斯在复变函数领域做出了卓越的工作，提出了复数分析的基本概念和定理。
柯西则引入了柯西序列和柯西收敛等重要概念，并运用复解析函数理论解决了许多实际问题。
魏尔斯特拉斯则致力于构造连续但无处可导的函数，进一步拓展了函数的概念和性质。
20世纪的函数数学发展如火如荼，特别是随着数学分析领域的不断深入和推广。
勒贝格和测度论的出现使函数的积分理论得到了重大的推进。
数学史论文函数概念的发展
*********大学*********专业《数学史》论文函数概念的发展：*********学号：*********专业：*********班级：*********老师：*********函数概念的发展：*********学号：*********（*********大学*********学院*********专业***级*班）摘要：函数概念是全部数学最重要的概念之一，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法论启示。
本文主要论述了函数的三种定义：变量说、对应说和关系说，以及函数的演变历史，说明函数概念的历史映射了整个数学的发展史。
关键词：函数概念；变量说；对应说；关系说；发展史一、早期的函数概念—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
十七世纪伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。
到了17 世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量”一词来表示变量之间的依赖关系，并且从运动的角度，把曲线看成是动点的轨迹。
函数概念的发展历程
笛卡尔 Descartes 1596-1650 法国数学家
1.早期函数概念——几何观念下的函数
1673年，莱布尼兹首次使用 “function”(函数)表示“幂”，后 来他用该词表示曲线上点的横坐标、 纵坐标、切线长等曲线上点的有关 莱布尼兹 几何量。与此同时，牛顿在微积分 G．W．Leibniz 的讨论中，使用 “流量”来表示 1646－1716 变量间的关系。 德国数学家
函数概念
3.十九世纪函数概念── 对应关系下的函数 1837年狄利克雷突破了这 一局限，认为怎样去建立x与y 之间的关系无关紧要，他拓广 了函数概念，指出：“对于在 某区间上的每一个确定的x值， y都有一个确定的值，那么y叫 做x的函数。”这个定义避免 了函数定义中对依赖关系的描 述，以清晰的方式被所有数学 家接受。这就是人们常说的经 典函数定义。
函数概念
4.现代函数概念── 集合论下的函数 1914年豪斯道夫在《集合 论纲要》中用不明确的概念 “序偶”来定义函数，其避开 了意义不明确的“变量”、 “对应”概念。库拉托夫斯基 (Kuratowski)于1921年用集合概 念来定义“序偶”使豪斯道夫 的定义很严谨了。
费利克斯· 豪斯道夫 Felix Hausdorff 1868—1942 德国数学家
柯西 Cauchy 1789-1857 法国科学家
函数概念
3.十九世纪函数概念── 对应关系下的函数
1822年傅里叶发现某些函数也 已用曲线表示，也可以用一个式子 表示，或用多个式子表示，从而结 束了函数概念是否以唯一一个式子 表示的争论，把对函数的认识又推 进了一个新层次。
傅里叶 Fourier 1768---1830 法国数学家
函数概念
2、十八世纪函数概念—— 代数观念下的函数
函数概念的形成与发展
18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。瑞士著名数学家 约翰· 贝努利在研究积分计算问题时，提出：积分工作的目的是在给定变量的微 分中，找出变量本身之间的关系。而在对待“找出变量本身之间的关系”的表示 上，显然用莱布尼兹定义的函数表示是很困难的。于是，在1718年约翰· 贝努利 从解析的角度，把函数定义为：“变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结 合而成的量。” 意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数。贝努利所强调的 函数要用公式来表示。后来，数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来 表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量 的关系是否要用公式来表示，则不作为判别函数的标准18世纪，瑞士数学家欧拉 在他的《无穷小分析引论》中进一步推广了他老师约翰· 贝努利的定义：“一个变 量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构造的解析式”。并且早在 1734年欧拉就已经用表示的函数，这个函数符号至今仍在沿用。1755年，欧拉 又在他的《微积分原理》的序言中把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把 前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的这个定义中，已经不强调函数要用公 式表示了。由于函数不一定用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系上的曲线也叫函 数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”欧拉用“解析表达式”代替了约翰的“ 任意形式”，明确地表达了变量之间相互依赖的变化关系，这促进我们对函数概念 的认识在严密性上前进了一大步。但是，当时有些数学家对于不用公式来表示函 数感到很不习惯，有的数学家甚至抱着怀疑的态度。他们把能用公式表示的函数 叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。
16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，发现了量的变化及 量与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想，在他的 《几何学》中指出：所谓变量是指：“不知的和未定的量”，成为数 学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了思想基础。直到17 世纪下半期，牛顿—莱布尼兹的微积分问世时，数学上还没有明 确的函数概念。把“函数”（function）一词最早用作数学术语的是 莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，如 都叫函数。后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变 动的量。例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线 的长度等等。从这个定义看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何 的范围内揭示了某些量之间的依存关系。可以说出现了函数概念 的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。原因在于：数学家 们一直在同具体的函数打交道，对具体函数或求导，或积分，讨 论各种各样的具体问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要。 \
函数概念发展史范文
函数概念发展史范文函数的概念是数学领域中的重要概念之一，它最早起源于数学分析中对曲线的研究。
本文将从古希腊时期开始，概括地介绍函数概念的发展史。
古希腊时期，人们对曲线的研究主要集中于几何学领域。
在欧几里德的《原本》中，他研究了一些特殊曲线，如直线、圆、椭圆等，并探讨了它们的性质。
然而，欧几里德并没有引入函数的概念，他主要关注的是曲线的几何性质。
19世纪，函数的概念得到了进一步的完善。
德国数学家高斯在《数论研究》一书中系统地探讨了函数的性质，提出了函数的解析性质和级数展开的概念。
他的工作奠定了函数论的基础，为后来的数学家提供了重要的参考。
20世纪初，函数的概念进一步发展。
德国数学家魏尔斯特拉斯在函数的连续性和可导性方面做出了重要的贡献，他提出了连续函数和可导函数的定义，并证明了连续函数必定可导。
他的工作对函数的研究产生了深远的影响，并直接导致了现代实分析的发展。
随着数学领域的发展，函数的概念得到了更加深入的研究和应用。
数学家们提出了一系列关于函数性质的定理和概念，如函数极限、函数导数、函数积分等。
这些重要的理论基础不仅推动了函数论的发展，也为应用数学和物理学等领域提供了重要的工具。
总结起来，函数的概念经历了漫长的发展过程。
从古希腊时期的几何研究到17世纪的代数方法，再到18世纪的微积分研究，函数的概念不断完善和丰富。
20世纪以来，函数的研究进一步深化，衍生出了实分析、复分析和泛函分析等新的领域。
函数的概念不仅在数学领域中有重要应用，也在其他科学领域中发挥着重要作用。
函数数学史范文
函数数学史范文函数是数学的一个重要概念，它在数学发展史上扮演着至关重要的角色。
函数的概念首次出现于17世纪，但它的发展历程可以追溯到古代数学。
在古代数学中，数学家们已经开始使用函数的概念，尽管当时并没有严格定义。
古希腊的数学家欧多克索斯就使用了函数的概念来描述连续函数，他将函数视为一种随着自变量变化而变化的量。
然而，古代数学家对函数概念的理解主要限于几何，局限性较大。
中世纪时期，由于宗教与哲学的影响，科学与数学的发展相对较缓。
然而，一些数学家仍然对函数进行了研究。
例如，印度数学家马哈维拉在他的《百章经》中引入了函数的概念来描述三角函数的性质。
这是在数学发展史上取得的重要成就。
随着文艺复兴时期的到来，数学和科学领域开始重新崛起。
16世纪，法国数学家维亚塞利乌斯在他的著作《算术大成》中首次引入了函数的代数表示。
他将函数锚定在代数领域，通过代数表达式来描述函数的性质。
这是函数概念发展史上一个重要的里程碑。
17世纪，函数的定义和研究有了重大突破。
当时，数学家们开始将函数视为数的操作，并且开始系统地研究函数的性质。
著名的数学家笛卡尔给出了函数的现代定义，他将函数定义为：”对于每个自变量，有一个唯一的因变量与之对应。
”这个定义大大拓展了函数的范畴，并成为了后来函数研究的基础。
随后，费马、勒内和牛顿等数学家对函数的性质和应用进行了深入的研究。
18世纪，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等杰出的数学家对函数进行了深入研究，并提出了很多函数理论。
其中，欧拉在函数的发展中做出了巨大贡献，他极大地推动了函数分析方面的研究。
拉普拉斯则将函数应用到概率论和微分方程等领域，为函数理论的应用做出了贡献。
19世纪，数学的发展步伐进一步加快。
高斯、柯西、魏尔斯特拉斯等数学家在函数的理论和分析方面做出了重大的贡献。
高斯引入了复变函数的概念，柯西则成为了复分析的奠基人。
魏尔斯特拉斯在一致收敛理论和连续函数研究中取得了重要成就。
20世纪，函数的研究逐渐发展成为一个更加广泛的领域。
函数概念发展史
附录：阅读材料引言：经过对函数概念的学习，我们已经知道，高中阶段的函数定义与实践的定义方式有所不同，这是不是说，高中函数定义是对初中函数定义的否定呢？函数定义的发展在历史上到底经历了什么？从函数定义的发展历史，我们又可以得到些什么样的思考呢？读完今天的阅读材料，写写你们的思考，说说你们的感受吧。
一、函数发展概况“function”一词从1673年首次被德国哲学家兼数学家莱布尼兹（Liebniz，1646--1716）在手稿中使用起，到现在经历了三百多年的历程，概括来说有三种定义观点，这是贯穿其发展的一根红线[1]。
“变量说”是函数发展的起点，“对应说”提示了函数的实质——对应关系，“关系说”有效解决了函数“数集”的局限性。
在“变量说”观点占统治地位的将近二百年的时间里，数学家们又有着许多不同的定义表达方式，其中就有“变量对应说”的定义方式，这种方式与现代“集合对应说”的观点已经很接近了，但是这并不能战胜“变量解析式”和“变量依赖关系”的定义方式，而没有很快得到推广，然而“集合对应说”定义使用时间才仅仅30年左右的时间，就产生了“集合关系说”。
欧拉（L.Euler，1707--1783）在 1734年引入函数符号()x f，清代数学家李善兰（1811-1882）在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中把“function”译做“函数”，“函数”一词进入中国。
杜石然认为函数概念的发展经历了六次扩张[2]，那么是什么力量推动着函数定义的发展的呢？“函数”这个中文译名又有什么样的故事呢？了解函数定义的发展对我们学习函数概念乃至数学有什么帮助吗？二、函数概念的起源在函数概念产生前，早在公元前300年左右，古巴比伦人就已经开始制作平方根表、倒数表、天文表时，就运用到数和数之间的依赖关系了，他们研究的对象是孤立的数，这在数学上叫离散的数值。
而古希腊数学家托勒密则在更大的范围内研究连续的数值的问题，他不仅把这些数值用于制作各种数表，还用于研究圆心角所对弦长、还通过经度来测量太阳的纬度。
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*********大学*********专业《数学史》论文函数概念的发展：*********学号：*********专业：*********班级：*********老师：*********函数概念的发展：*********学号：*********（*********大学*********学院*********专业***级*班）摘要：函数概念是全部数学最重要的概念之一，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法论启示。
本文主要论述了函数的三种定义：变量说、对应说和关系说，以及函数的演变历史，说明函数概念的历史映射了整个数学的发展史。
关键词：函数概念；变量说；对应说；关系说；发展史一、早期的函数概念—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
十七世纪伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。
到了17 世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量”一词来表示变量之间的依赖关系，并且从运动的角度，把曲线看成是动点的轨迹。
他在《求曲边形的面积》中说：“我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的，线(曲线)是描画出来的，因而它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动…”格雷果里在他的论文《论圆和双曲线的求积》中，给出函数这一模式的素朴描述，他定义函数是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过任何其它可以想象到的运算而得到的。
据他自己解释，这里的“可以想象到的运算，除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运算。
格雷果里给出的是函数的解析定义，由于此后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人们遗忘。
"函数"作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼兹于1673年引进的,他用"函数"一词表示任一个随着曲线上的点变动的量,并指出:"象曲线上点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等,所有与曲线上的点有关的量称为函数."除此以外,他还引进了“常量”、“变量”和“参变量”等概念,一直沿用到现在,这个定义仅是在几何围揭示某些量之问所存在的依赖关系,并无给出函数的解析定义,因此,莱布尼兹所给出的函数的定义可看成是“函数概念的几何起源"。
总之，到了17 世纪末，人们还没有从普遍意义上对函数这一概念的本质认识清楚。
二、函数概念的发展阶段—对应说正如所知,微积分是一门研究变量和函数的学科。
尽管牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但由于他们对包括函数在的一些基本概念，特别是对微积分赖以建立的基础一无穷小量的认识含混不清，出现了运算过程中的逻辑矛盾，导致了数学发展史上所谓的第二次数学危机。
从而促使了数学家进一步寻找微积分可靠的基础，在这艰苦的探索过程中，函数自然也就成为数学家必须研究的对象。
第一个在莱布尼兹工作的基础上作出函数概念推广的是约翰·贝努里。
1718年约翰·贝努利(bernoullijohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(l．euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。
欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
除此之外，欧拉还规定一个给定的函数在它的整个“定义域”是由同样一个“解析表达式"来描述的，这种观点在数学家拉格朗日的著作中也有所体现,如在他的名著《解析函数论》中,他把函数定义为在其中可以按任何形式出现并对计算有用的表达式。
他在《函数计算教程》中说：“函数代表着要得到未知量的值而对已知量要完成的那些不同运算，未知量的值本质上只是计算的最终结果。
也就是说，函数是运算的一个组合。
”尽管后来由于欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·贝努里在偏微分方程的研究中发现：整条曲线并不能用一个方程来表示，这迫使数学家修正函数的概念，但到了18 世纪，甚至19 世纪初，函数由一个解析式给出的观点仍然占统治地位，并认为连续曲线给出的连续函数一定能由一个解析表达式表示，由不连续的曲线或折线所表示的函数不可能由一个解析式表示。
由于受到多项式函数的影响，即若对于n+ 1个x 的值多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 与0111b x b x b x b n n n n ++++-- 都相等，则这两个多项式相等。
人们普遍认为，对区间][b a ，上的一切值，恒有相同函数值的两个函数是完全相同的，而对][b a ，以外的x 值，这两个函数的值也相等。
与此类似，由于受到三角函数特性的影响，许多数学家认为，只有周期性的曲线才能用周期函数来表示。
在这一时期，既没有得到任何广泛采用的定义，也没有解决什么样的函数可用三角级数来表示，所有这些表明，函数的概念还有待于继续发展。
三、十九世纪的函数概念——关系说1800年前后，数学家开始关心分析的严密化问题，函数概念自然也成为严密化的对象。
具体地表现在两个方面：一方面对原来有关函数的错误看法和片面的观点进行橙清纠正；另一方面继续探讨函数概念的本质，建立含义更广泛的函数概念第一个冲破用解析式给出函数的观点是拉克鲁瓦，他在1797 年给出的函数的定义是：每一个量，如果它依赖一个或几个别的量，不管人们知道不知道用何种必要的运算可以得到前者，就称前者为这个或这些量的函数。
拉克鲁瓦还以五次方程的根是系数的函数为例给出相应的说明，这无疑对函数的概念又作出一次扩展。
在这一时期，傅里叶对函数概念的发展做出了巨大的贡献，尽管他也支持用解析式给出函数的观点，但他更深刻地揭示了函数的本质。
1822年傅里(fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。
1823年柯西(cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，指出“人们把依次取许多互不相同的值的量叫做变量。
当变量之网这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表示的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示的其它的量就叫做这个自变量的函数。
”他同时还指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1837年，杰出数学家狄利克雷(dirichlet，德，1805－1859)突破了这一限制，他给出函数数的定义是：若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起的这种对应方式如何，都称y是x的函数。
由这个定义不难看出，狄利克雷是用对应的观点给出函数定义的，至于自变量之间的连接方式如何，即y是按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算表示，这是无关紧要的。
并且他还构造一个以他自己名字命名的著名的狄利克雷函数a x为有理数f(x)= a、b为不同的常数b x为无理数上述对应的思想是数学开始由过去研究的“算”到以后研究“观念”性质和结构的转变的标志，具有重要的理论意义。
随后的斯铎克斯、罗巴切夫斯基、黎曼等都分别给出了函数的定义。
例如，黎曼于1851 年给出这样一个定义：我们假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。
若对它的每个值都有未定量w的唯一的一个值与之对应，则w称为y的函数.黎曼指出，这个定义完全没有规定在单个的函数值之间存在一种规律，此时，如果函数在某个区问已有定义，它在该区问外的延拓方式是完全任意的，人们所定义的量w 对量z 的依赖关系是任意给定的或是由量的某种运算所确定并没有什么差异。
在分析严格化的过程中，集合论的思想逐渐形成。
皮亚诺发展了《无穷悖论》标志他第一个朝着建立集合的明确理论的方向迈出积极步伐的人。
戴德金于1887 年给出了这样一个定义：系统S 上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S 中的每一个确定的元素都对应着一个确定的对象，它称为S 的映像,记作()S Φ,我们可以说，()S Φ中对应于元素S ，()S Φ由映射中作用于s 而产生或导出，s 经映射Φ变换成()S Φ。
这里至于系统s 的对象是什么，并无限制。
这是函数概念的一次极大扩充，最终给出完善的现代函数定义的是法国的布尔巴基学派，定义如下：设E 和F 是两个集合，它们可以不同，也可以相同。
E 中的一个变元x 和F 中的变元y 之问的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x ∈E ，都存在唯一的y ∈F ，,它满足与x 的给定关系。
我们称这样的运算为函数，它以上述方式将与x 有给定关系的元素y ∈F 与每一个元素x ∈E 相联系，我们称y 是函数在元素x 处的值，函数由给定的关系所确定，两个等价的函数关系确定同一个函数。
等到康托尔 (cantor ，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(veblen ，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。