等腰三角形的性质与判定

第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．93．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，413．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.516．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为cm．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE=52，则EB＝．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝cm．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．三．解答题（共3小题）10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC 的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm【分析】因为题中没有说明已知两边哪个是底，哪个是腰，所以要分情况进行讨论．【解答】解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是5+5+2＝12cm．故选：D．【点评】考查了等腰三角形的性质，此类题注意分情况讨论，还要看是否符合三角形的三边关系．2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．9【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）若3为腰长，6为底边长，由于3+3＝6，则三角形不存在；（2）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为6+6+3＝15．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．3．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠B＝∠C＝90°−12α，求得∠D＝∠B＝90°−12α，得到∠2＝90°−32α，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠A＝α，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C=12×（180°﹣α）＝90°−12α，∴∠D＝∠B＝90°−12α，∵∠AGE＝∠DGF，∴∠A+∠1＝∠D+∠2，∵∠1＝2∠2，∴α+2∠2＝90°−12α+∠2，∴∠2＝90°−32α，∴∠EGF＝∠D+∠2＝90°−12α+90°−32α＝180°﹣2α，故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是12．【分析】根据已知的两边，则第三边可能是2或5；再根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．【解答】解：根据题意，得第三边可能是2或5．根据三角形的三边关系，得当三边是2，2，5时，则2+2＜5，不能构成三角形，应舍去．当三边是2，5，5时，则2+5＞5，能构成三角形．那么它的周长是：2+5+5＝12，故答案为：12．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，用到的知识点为：等腰三角形的周长由2腰和一底边长构成，两腰相等；3条线段组成三角形的条件为：较短的两条边线段之和大于最长的一条线段．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．【分析】由三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠C＝180°，再根据∠C＝30°，∠A＝∠B即可得出结论；【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝30°，∠A＝∠B，∴2∠A+30°＝180°，∴∠A＝75°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、7，能组成三角形，周长＝4+4+7＝15；②4是底边长时，三角形的三边分别为4、7、7，能组成三角形，周长＝4+7+7＝18．综上所述，这个等腰三角形的周长是15或18．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，又∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠CBD＝15°；（2）∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴DB+DC＝DA+DC＝AC，又∵AB＝AC＝7，△CBD周长为12，∴BC＝5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝40°时，△ABC是等腰三角形．【分析】直接根据等腰三角形的两底角相等进行解答即可．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A＝100°，∴∠B=180°−100°2=40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，结合a，b是△ABC的两条边长，即可得出△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的两条边长，∴△ABC为等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非负性，利用偶次方的非负性，找出三角形的两边相等是解题的关键．10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为6cm．【分析】三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，即可求解．【解答】解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的判定及三角形三边关系，熟记三角形三边关系式解题的关键．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质即可得出∠ABC＝∠ACB，从而得证；（2）由（1）中得证△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，可知AH⊥BC，由于AD∥BC，即可得证．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠B，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）∵AB＝AC，又∵点H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵AD∥BC，∴AH⊥AD．【点评】本题考查了等腰三角形，角平分线和平行线，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决本题的关键．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，4【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义解答．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；B、∵3+4＞5，∴能组成三角形，但不是等腰三角形，故此选项不符合题意；C、∵2+2＞3，∴能组成三角形，且是等腰三角形，故此选项符合题意；D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，要注意三角形的任意两边之和大于第三边．13．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC 是等腰三角形（AB 是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】首先由勾股定理可求得AB 的长，然后分别从AB ＝BC ，AB ＝AC ，AC ＝BC 去分析求解即可求得答案．【解答】解：如图所示：由勾股定理得：AB =√12+22=√5，①若AB ＝BC ，则符合要求的有：C 1，C 2，C 3共4个点；②若AB ＝AC ，则符合要求的有：C 4，C 5共2个点；若AC ＝BC ，则不存在这样格点．∴这样的C 点有5个．故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类的数学思想．14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AC ＝20cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B →C →A 方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？（2）当点Q 在边CA 上运动时，出发几秒后，△BCQ 是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形？【分析】（1）用t 可分别表示出BP 和BQ ，根据等腰三角形的性质可得到BP ＝BQ ，可得到关于t 的方程，可求得t ；（2）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分CQ ＝BC 和BQ ＝CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【解答】解：（1）由题意可知AP ＝t ，BQ ＝2t ，∵AB ＝16，∴BP ＝AB ﹣AP ＝16﹣t ，当△PQB 为等腰三角形时，则有BP ＝BQ ，即16﹣t ＝2t ，解得t =163，∴出发163秒后△PQB 能形成等腰三角形；（2）①当△BCQ 是以BC 为底边的等腰三角形时：CQ ＝BQ ，如图1所示，则∠C ＝∠CBQ ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11（秒）．②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12（秒）．综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.5【分析】由角平分线的性质可得∠GEB＝∠GEF，由同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF，∵∠1＝∠BEF，∴CD∥AB，∴∠EGF＝∠GEB，∴∠GEF＝∠EGF，∴△EFG是等腰三角形，∴FG＝EF＝3，故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．16．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为 12 cm ．【分析】根据题意，分腰长为8cm 和底边为8cm 两种情况并结合三角形的构成条件分类讨论即可．【解答】解：若腰长为8cm ，则此三角形的另一边长为32﹣8﹣8＝16（cm ），而8+8＝16，无法构成三角形，∴此情形舍去；若底边为8cm ，则腰长为（32﹣8）÷2＝12（cm ），此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形．故答案为：12．【点评】本题考查了三角形的构成条件、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想，根据题意结合三角形构成条件进行分类讨论是解题的关键．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC 交BA 于点E ，若DE =52，则EB ＝52． 【分析】根据角平分线的定义得到∠CBD ＝∠ABC °，根据平行线的性质得到∠BDE ＝∠CBD ，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABC ，∵DE ∥BC ，∴∠BDE ＝∠CBD ，∴∠BDE ＝∠DBE ，∴BE ＝DE ，∵DE =52，∴EB =52．故答案为：52， 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，求解BE ＝DE 是解题的关键．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，且MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．求证：MN ＝BM +CN ．【分析】由∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，∠MBO ＝∠OBC ，∠OCN ＝∠OCB ，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，然后根据等角对等边得到BM＝MO，ON＝CN，再根据角的和差即可证明．【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，∴BM＝MO，ON＝CN，∴MN＝MO+ON＝BM+CN．【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO 和△CNO是等腰三角形．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC＝36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，∴BD＝AD，即△ABD是等腰三角形；（2）解：∵点E是AB的中点，∴AE＝EB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC＝36°解答．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【分析】延长DB至E，使BE＝AB，连接AE，则DE＝CD，从而可求得∠C＝∠E，再根据外角的性质即可求得∠B的度数．【解答】解：延长DB至E，使BE＝AB，连接AE，∴∠E＝∠BAE，∴∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠E＝62°，∴∠E＝31°，∵AB+BD＝CD，∴BE+BD＝CD，即DE＝CD，∵AD⊥BC，∴AD垂直平分CE，∴AC＝AE，∴∠C＝∠E＝31°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝87°，故选：A．【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理等知识点的综合运用．作出辅助线是正确解答本题的关键．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．【解答】解：①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3＝15cm；②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是15cm．故选：C．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm【分析】由于长为5cm的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（21﹣5）÷2＝8（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是21﹣5×2＝11（cm），∵5+5＝10＜11，∴不能够组成三角形．故该等腰三角形的底边长为：5cm．故选：A．【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系．3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm【分析】根据中点的定义得到DC=12BC，根据直角三角形的性质得到DE=12AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，点E为AC的中点，∴DC=12BC，DE=12AC，∵△ABC的周长为20cm，∴△CDE的周长＝DE+EC+DC=12×20＝10（cm）．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质与判定，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵BD为△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵∠CBD＝20°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝70°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，4【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义解答．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；B、∵3+4＞5，∴能组成三角形，但不是等腰三角形，故此选项不符合题意；C、∵2+2＞3，∴能组成三角形，且是等腰三角形，故此选项符合题意；D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，要注意三角形的任意两边之和大于第三边．6．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，结合a，b是△ABC的两条边长，即可得出△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的两条边长，∴△ABC为等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非负性，利用偶次方的非负性，找出三角形的两边相等是解题的关键．二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝2cm．【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，结合等腰三角形的判定可证得MO＝MC，NO＝NB，于是得到MN＝BM+CN，进而求出CN．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，∴BM＝MO，ON＝CN，∴MN＝MO+ON，即MN＝BM+CN，∵BM＝3cm，MN＝5cm，∴CN＝MN﹣BM＝5﹣3＝2（cm），故答案为：2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义即平行线的性质证得MO＝MC，NO＝NB是解决问题的关键．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是①②④⑤（直接填写序号）．【分析】根据角平分线的定义得到∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，根据垂直的定义得到CP⊥CD；故①正确；延长CB，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P=12∠A，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB∥CD，推出△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，推出∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，求得∠D＝90°−12∠A，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，求得∠EBD＝∠A，于是得到PD∥AC．故⑤正确．【解答】解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∠ACB+∠BCF）＝90°，∴CP⊥CD；故①正确；延长CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故②正确；假设BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，。