例谈中考数学能力考查

法二：可证
AOC :
COB ，得 OC 2
2
OA OB ，即 k
16,
k
4
（ 3）如图 2，由抛物线的解析式 y
1 x2
3 x
4 可得，
42
A （﹣ 2， 0）， B （ 8， 0）， C（ 4， 0）， D （3， 0），M 3 , 25 ， 4
过 C、 M 作直线，连接 CD，过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H，
主要是寻找图形的特殊位置
( 极限位置 ) 和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出
x 的值。
例 3（ 2011）如图， 正方形 ABCD 的边长为 4，P 为正方形边上一动点，运动路线是 A→D→C→B→A,
设 P 点经过的路程为 x，以点 A 、P、D 为顶点的三角形的面积是 y.则下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关
) 和求
函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，
探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形
等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系
求 x 的值等；⑥直线与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系
这些题目的特点是：注重考查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变，能够考查学生分 析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题的形式出现， 相当于几个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生发挥正常水平。
( 一 ) 函数型综合题： 压轴题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化。这类题型是先给定直角 坐标系和几何图形，求 ( 已知 ) 函数的解析式 ( 即求解前已知函数的类型 ) ，然后进行图形的研究，求点的坐 标或研究图形的某些性质。
∴ BC= 3 ，OC=AC=1 。即 B （ 3 ，1）。 （ 2）不失一般性，当点 P 在 x 轴上运动（ P 不与 O 重合）时， ∵∠ PAQ== ∠OAB=6°0 ，∴∠ PAO= ∠ QAB ， 在△ APO 和△ AQB 中，∵ AP=AQ ，∠ PAO=∠ QAB ， AO=AB ，∴△ APO ≌△ AQB 总成立。 ∴∠ ABQ= ∠ AOP=9°0 总成立。 ∴当点 P 在 x 轴上运动（ P 不与 Q 重合）时，∠ ABQ 为定值 90°。 （ 3）由（ 2）可知，点 Q 总在过点 B 且与 AB 垂直的直线上， ∴ AO 与 BQ 不平行。 ①当点 P 在 x 轴负半轴上时，点 Q 在点 B 的下方， 此时，若 AB ∥ OQ，四边形 AOQB 即是梯形， 当 AB ∥ OQ 时，∠ BQO=9°0 ，∠ BOQ= ∠ ABO=6°0 。 又 OB=OA=2 ，可求得 BQ= 3 。
例谈中考数学能力考查
南安国光初级中学 吴文献 联系：
纵观近几年的市数学中考试题和每年的各区市数学质检试卷，我们不难发现，数学综合题的重点都放 在高中继续学习的函数问题上。此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、 代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆 和三角函数相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法，如数形结合的思想、 分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。 此类题融入了动态几何的变和不变， 对给定的图形施行平移、 翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
由（ 2）可知，△ APO ≌△ AQB ，∴ OP=BQ= 2 3 ，
∴此时 பைடு நூலகம் 的坐标为（ 2 3，0 ）。
综上所述， P 的坐标为（ 3，0 ）或（ 2 3，0 ）。 变式题 4（ 2011）在平面直角坐标系 x O y 中，边长为 a （ a 为大于 0 的常数）的正方形 ABCD 的
对角线 AC 、 BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（ x 轴的正半 轴、 y 轴的正半轴都不包含原点 O），顶点 C、 D 都在第一象限。
变式题 3（ 2011）如图 2，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上的一个 动点，过点 P 垂直于 AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M 、 N 两点．设，，，△ AMN 的面积为，则关于的 函数图象大致形状是（ ）
例 4（ 2011）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（ 0，2），点 P 是 x 轴上一动点，以线段 AP 为一 边，在其一侧作等边三角线 APQ 。当点 P 运动到原点 O 处时，记 Q 的位置为 B 。
的大致图象是 （ ）
例 2（ 2011 广
西）已知二次函数 y
1 x2
3 x 的图象如图．
42
（ 1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标；
（ 2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与
x 轴， y 轴的交点分别为 A 、B、 C 三
点，若∠ ACB=90° ，求此时抛物线的解析式；
（ 3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为 M ，以 AB 为直径， D 为圆心作⊙ D ，试判断直线 CM 与⊙ D
∴ b < 0 ，由 a < 0，知 b < 0 。根据反比例函数图象的性质，当 2a
a a < 0 时，函数 y 图象在二、四象
x
限；根据正比例函数图象的性质，当 b < 0 时，函数 y bx 图象经过二、四象限。故选 B 。
变式题 1（ 2010）对于反比例函数 y k ，当 x＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大， 则二次函数 y kx2 kx x
法二：可证 COD : MHC ，得 CD⊥ CM 。
∴直线 CM 与⊙ D 相切。
变式题 2（ 2011 荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形
OABC 与 CDEF 的边 OC、 OA 所在直
线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系（ O、C、F 三点在 x 轴正半轴上） . 若⊙ P 过 A、 B、 E 三点 ( 圆心在
系的是（ ）
y
y
y
y
8
8
8
8
O4
12 16 x O 4 8 12 16 x O
A
B
8
16 x O 4
16 x
C
D
【答案】 B 。 【分析】该题主要考察动点问题的函数图象。 【解题思路】当点 P 由点 A 向点 D 运动时， y 的值为 0；当点 p 在 DC 山运动时， y 随着 x 的增大而增大； 当点 p 在 CB 上运动时， y 不变；当点 P 在 CA 上运动时， y 随 x 的增大而减小。故选 B。
则 MH=3 ，
∴ DM 2
2
25 625 ，
4
16
CM 2 MH 2 CH 2 32
2
25 4
225 。
4
16
在 Rt△ COD 中， CD 32 42 5 AD ，
∴点 C 在⊙ D 上。
∵ DM 2
2
25 625 ，
4
16
∴ DM 2=CM 2+CD 2。∴△ CDM 是直角三角形。∴ CD ⊥ CM 。
的位置关系，并说明理由．
【分析】该题通过平移抛物线，把观察、探究、计算融合在一起，将二次函数的性质，平移的性质， 待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，相似三角形的判 定和性质等初中数学的主干知识融为一体。蕴含着数形结合思想、化归的思想、方程与函数的思想、
运动变化等数学思想。
由（ 2）可知，△ APO ≌△ AQB ，∴ OP=BQ= 3 ，
∴此时 P 的坐标为（ 3，0 ）。 ②当点 P 在 x 轴正半轴上时，点 Q 在点 B 的上方， 此时，若 AQ ∥ OB，四边形 AOQB 即是梯形， 当 AQ ∥OB 时，∠ ABQ=9°0 ，∠ QAB= ∠ ABO=6°0 。 又 AB= 2 ，可求得 BQ= 2 3 ，
( 即列出含有 x、y 的方程 ) ，变形
写成 y＝ f(x) 的形式。 一般有直接法 ( 直接列出含有 x 和 y 的方程 ) 和复合法 ( 列出含有 x 和 y 和第三个变量
的方程，然后求出第三个变量和 x 之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到
y＝f(x) 的形式 ) 等。
找等量关系的途径主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等……求定义域
【答案】解： （ 1）由 y
1 x2
3 x ，得 x
42
b 3 ，∴ D（ 3， 0）。
2a
（ 2）如图 1，设平移后的抛物线的解析式为
y
1 x2
3 x k，
42
则 C（ 0， k ）， OC= k ，
令 y =0 ，即
1 x2
3 xk
0，
42
法一：得 x1 3 4k 9 , x2 3 4k 9 。 ∴ A 3 4k 9 , 0 ， B 3 4k 9 , 0 ，
初中已知函数有①一次函数
( 包括正比例函数 ) 和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函
数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是
待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法
( 图形法 ) 和代数法 ( 解析法 ) 。
例 1（ 2011 凉山）二次函数 y
（ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求证：当点 P 在 x 轴上运动 （P 不与 O 重合）时，∠ABQ 为定值； （ 3）是否存在点 P，使得以 A 、O、Q、 B为顶点的四边形是 梯形？若存在，请求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由。 【分析】本题通过“点动”带来“形动”，把观察、操作、探究、计算融合在一起，巧妙将等边三角 形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定等初中数学的主干知 识综合在一起。蕴含着数形结合思想、化归的思想、分类讨论思想、运动变化等数学思想。 【解题思路】 （ 1）根据题意作辅助线过点 B 作 BC ⊥y 轴于点 C，根据等边三角形的性质即可求出点 B 的坐标。 （ 2）根据∠ PAQ═ ∠ OAB=6°0 ，可知∠ PAO= ∠ QAB ，得出△ APO ≌△ AQB 总成立，得出当点 P 在 x 轴上运动（ P 不与 Q 重合）时，∠ ABQ 为定值 90°。 （ 3）根据点 P 在 x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。 【答案】解： （ 1）过点 B 作 BC ⊥ y 轴于点 C， ∵ A(0,2) ，△ AOB 为等边三角形， ∴ AB=OB=2 ，∠ BAO=6°0 ，