图形面积类问题2019中考数学高端精品(解析版)

（ 2）过 P 作 PC⊥ y 轴于点 C，由条件可求得∠ PAC=60°，可设 AC=m，在 Rt △ PAC 中，可表示出 PC 的长，
从而可用 m 表示出 P 点坐标，代入抛物线解析式可求得 m 的值，即可求得 P 点坐标；
（ 3）用 t 可表示出 P、M 的坐标，过 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交 AB 于点 F，则可表示出 F 的坐标，从而可
BH = 3 AH = 2 3 ，则 BC=2BH = 4 3 ，利用速度公式可得点 P 从 B 点运动到 C 需 4s， Q 点运动到 C 需 8s， 然后分类讨论：当 0≤ x≤4 时，作 QD⊥ BC 于 D，如图 1，BQ=x， BP= 3 x，DQ = 1 BQ= 1 x，利用三角形
22
拼搏的你，背影很美！
行求解．
【变式训练】 （ 2017 丽水）如图 1，在△ ABC 中，∠ A=30°，点 P 从点 A 出发以 2cm/ s 的速度沿折线 A﹣ C﹣B 运动， 点 Q 从点 A 出发以 a（ cm/ s）的速度沿 AB 运动， P，Q 两点同时出发，当某一点运动到点 B 时，两点同时 停止运动．设运动时间为 x（ s），△ APQ 的面积为 y（cm2）， y 关于 x 的函数图象由 C1，C2 两段组成，如图 2 所示．学 * 科 .. 网
t) 2 ，即 y
1 (8
t) 2（ 2＜ t≤ 4）；
2
22
3
12
12
综上所述： y
1 t2 2t
(0 t 2)
4
．
1 t2
4 t
16 (2
t
4)
12 3 3
（ 3）当点 E 在 AB 边上时， y 取最大值，连接 EM，如图 3 所示：
则 EF =BF ，EM =2CN=2CM =2t， EM =2BM，∵ BM =4﹣ t，∴ 2t=2（ 4﹣ t），解得： t=2，∴ CN=CM =2， AN=6，
于点 F ，则 EF =EB =6﹣ t，∴ F（t ， 6﹣ t），∴ FP=－ 1 t2+2t+6﹣（ 6﹣ t）=﹣ 1 t2+3t，∵点 A 到 PE 的距离竽
2
2
OE，点 B 到 PE 的距离等于
1
BE，∴ S△ PAB=
1
FP ?OE+
1
FP ?BE=
1
FP ?（OE+BE ）=
1
FP ?OB=
最大值，最大值是多少？
【答案】（1） y
1 x2
2 x 6 ，顶点坐标为（ 2，8）；（ 2）P 点坐标为（ 4
2 3 16
，
43
）；（3）
2
3 33
S= 3 t2 12t ，当 t=4 时， S 有最大值 24．学 . 科 +网 2
【分析】（1）由 A、 B 坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；
2
理求出 EB= EM
2
BM = 2
1 5 ，求出 EF = EB=
5 ，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出
2
DF 的
长，在 Rt△DEF 中，由三角函数定义即可求出 sin∠ NEF 的值．
即在点 M 的运动过程中，能使得四边形 （ 2）分两种情况：
MNEF 为正方形， t 的值为 8 ； 5
①当 0＜ t≤ 2 时， y= 1 × 1 （8﹣ t）× t= 1 t 2 2t ，即 y
2
33
﹣ t ），由三角形面积得出
y
1 (8
t) 2（ 2＜ t≤ 4）；
12
（ 3）当点 E 在 AB 边上时， y 取最大值，连接 EM，则 EF =BF， EM=2CN=2CM =2t，EM =2BM ，得出方程，
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
解方程求出 CN=CM =2， AN=6，得出 BM=2， NF= 1 AN=3，因此 EM=2BM=4，作 FD ⊥ NE 于 D，由勾股定 2
=
2
2
EF
5
= 3 10 ． 10
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
考点 3：几何面积求解问题
【典型例题】 （ 2017 江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，直线
动到点 C 停止，若△ BPQ 的面积为 y（ cm2），运动时间为 x（ s），则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图
象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D ． 【分析】 作 AH ⊥ BC 于 H ，根据等腰三角形的性质得
BH =CH ，利用∠ B=30°可计算出 AH = 1 AB=2， 2
△ BDQ 中， DQ = 1 CQ = 1 （ 8 ﹣ x），∴ y= 1 ? 1 （ 8﹣ x）？4 3 ，即 y
2
2
22
3 x2(0 x 4) y4
．故选 D．
3x 8 3(4 x 8)
3x 8 3 ，综上所述，
【方法归纳】 由图形运动产生的有关面积的函数图象问题，需要弄清楚状态变化的转折点，进而确定分段，然后进
∴ BM =4﹣ 2=2，NF = 1 AN=3，∴ EM =2BM =4，作 FD ⊥ NE 于 D ，则 EB= EM 2 BM 2 = 4 2 22 = 2 5 ， 2
1
△ DNF 是等腰直角三角形， ∴ EF = EB =
2
2 5 ，DF =
2
32
32
DF
NF =
，在 Rt△ DEF 中，sin∠ NEF =
用 t 表示出 PF 的长，从而可表示出△ PAB 的面积，利用 S 四边形 PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到 S 关于 t 的二次函
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】（ 1）根据题意， 把 A（0，6），B（ 6，0）代入抛物线解析式可得：
c6
a1
，解得：
2，
36a 12 c 0
c6
∴抛物线的表达式为 y
（ 2， 8）；
12 x 2x 6 ，∵ y
2
12
1
2
x 2x 6 = ( x 2) 8 ，∴抛物线的顶点坐标为
2
2
（ 3）当两个动点移动 t 秒时，则 P（ t，﹣ 1 t2+2t+6），M （0， 6﹣ t），如图 2，作 PE⊥ x 轴于点 E，交 AB 2
∴ y= 1 x×（ 10﹣ 2x）× 1 ，即 y
2
3
1 x2
5 x；
33
（3） 1 x2 2
1 x2
5 ，解得， x1=0， x2=2，由图象可知，当 x=2 时， y
1 x2 有最大值，最大值是
1×
33
2
2
22=2，
1 x2
5 x =2，解得， x1=3， x2=2，∴当 2＜ x＜3 时，点 P 运动到线段 BC 上某一段时△ APQ 的面
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
（ 1）求 a 的值；
（ 2）求图 2 中图象 C2 段的函数表达式；
（ 3）当点 P 运动到线段 BC 上某一段时△ APQ 的面积，大于当点 P 在线段 AC 上任意一点时△ APQ 的面积，
求 x 的取值范围．
【答案】（1） 1；（ 2） y
1 x2
【答案】（1） 8 ；（ 2） y 5
1 t 2 2t (0 t 2)
4
；（ 3） 3 10 ．
1 t2
4 t
16 (2
t
4)
10
12 3 3
【分析】（ 1）由已知得出 CN=CM =t， FN ∥ BC，得出 AN=8﹣ t，由平行线证出△ ANF ∽△ ACB，得出对应边
11
成比例求出 NF = AN= （ 8﹣ t），由对称的性质得出∠ ENF=∠ MNF =∠ NMC =45°，MN=NE，OE=OM =CN=t，
22
4
1 t 2 2t （ 0＜ t≤ 2）； 4
②当
2＜ t≤ 4 时，如图
2 所示：作
GH⊥ NF
于
H，由（ 1）得：NF= 1（ 8﹣ t），GH =NH，GH=2FH ，∴ GH= 2
1
NF =
2
33
（ 8﹣ t），∴ y= 1
1
NF ′GH =
×
1
（ 8﹣ t）×
1
（ 8﹣ t） =
1
(8
×（﹣
1
t2+3t）
2
2
2
2
2
2
× 6= ﹣ 1 t2+9t ， 且 2
1
1
S △ AMB=
AM ?OB=
× t × 6=3t ， ∴ S=S 四 边 形 PAMB=S △ PAB+S △
2
2
AMB =
3 t2
12t =
3 (t
4) 2
24 ，∴当 t =4 时， S 有最大值，最大值为
24．
2
2
【方法归纳】 由图形运动产生的求面积函数关系式问题，包括点运动和线面运动，应将重点放在运动过程的分析上，
33
积，大于当点 P 在线段 AC 上任意一点时△ APQ 的面积．
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
考点 2：面积的函数表示问题
【典型例题】 （ 2017 山东省聊城市）如图，已知抛物线
y ax2 2 x c 与 y 轴交于点 A（0， 6），与 x 轴交
于点 B（6， 0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点． （ 1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； （ 2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠ PAB=75°，求出此时点 P 的坐标； （ 3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单位 长度的速度变动，与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终 点时停止，当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时， S 有