2011年考研数学三真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x
时，3sin sin3f x x x 与k
cx 是等价无穷小，则
( )
(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c = 4
(C) k=3,c =4
(D ) k=3,c =
4
【答案】(C)
【详解】本题涉及到的主要知识点：
当0x
时，sin x x
在本题中，
3sin sin 3lim
k
x
x x
cx
3sin sin cos 2cos sin 2lim
k x
x
x x
x x
cx
2
si n 3c o s 22c o s
l i m
k
x
x
x x cx
2
1
3
c o s 2
2c o s
l i m
k x
x x cx
2
2
1
32cos 1
2cos lim
k x
x x
cx
22
1
1
44cos 4sin lim
lim
k k x
x
x x cx
cx
3
4
l i m 14,3
k
x c k
cx
，故选择(C).
(2) 已知函数
f x 在x=0处可导，且0f =0，则2
3
3
2lim
x
x f x
f x
x = ( )
(A) 2
f (B)
f (C) 0
f (D) 0.
【答案】(B)
【详解】本题涉及到的主要知识点：导数的定义0
000
()()
lim
()
x
f x x f x f x x
在本题中，
2
3
2
2
3
3
3
020
220
lim
lim x x x f x
f x
x f x
x f f x
f x x
3
3
00lim
2
0200
x
f x f f x
f f f f x
x
故应选(B)
(3) 设
n u 是数列，则下列命题正确的是
( )
(A)若
1
n n u 收敛，则
21
21
()n
n n u u 收敛
(B) 若
21
21
()n
n n u u 收敛，则
1
n n u 收敛
(C) 若
1
n n u 收敛，则
21
21
()n
n n u u 收敛(D) 若
21
21
()n
n n u u 收敛，则
1
n n u 收敛
【答案】(A)
【详解】本题涉及到的主要知识点：级数的基本性质
若级数
1
n n u 收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一
项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.
在本题中，由于级数
21
21
()n
n n u u 是级数
1
n n u 经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当
1
n n u 收敛时，
21
21
()n
n n u u 也收敛，故（A ）正确.
(4) 设40
ln sin I
x dx ，40
ln cot J
x dx ，40
ln cos K xdx ，则,,I J K 的大小关系是( )
(A) I
J K
(B) I K
J
(C) J
I
K
(D) K
J I
【答案】(B)
【详解】本题涉及到的主要知识点：如果在区间[,]a b 上，()
()f x g x ，则()()b b a
a
f x dx
g x dx ()
a
b 在本题中，如图所示：因为0
4
x
，所以0sin cos 1cot x x x
又因ln x 在(0,)是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x
x
(0,)4
x
4440
ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx
即I K
J .选（B ）.
(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记
1
1001100
01
P ，2100
0010
1
P ，则A = ( )
(A)
12P P (B)
1
12
P P (C)
21
P P (D)
1
21
P P 【答案】(D)
【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个
m n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的
m 阶初等矩阵；对A 施行
一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
π/4
在本题中，由于将
A 的第2列加到第1列得矩阵
B ，故1
001
10,
1
A B 即
1
1
1
,AP B A
BP 故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故
1
000010
1
B E
即
2,P B
E 故1
2
2,B
P P 因此，11
1
21
21,A P P P P 故选(D)
(6) 设A 为43矩阵，
1
2
3,
,
是非齐次线性方程组
Ax
的3个线性无关的解，
12,k k 为任意常数，则
Ax
的通解为(
)
(A) 2
3
121
()2
k (B)
23
121
()2
k (C)
2
3
121
23
1
(
)(
)
2
k k (D)
2
3
121
23
1
(
)(
)
2
k k 【答案】(C)
【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1，
2
是Ax b 的两个解，则
12
是0Ax 的解；
（2）如
n 元线性方程组Ax
b 有解，设
1
2
,
,,
t
是相应齐次方程组
0Ax
的基础解系，
是Ax b 的
某个已知解，则1
1
2
2
0t
t
k k k 是
Ax
b 的通解（或全部解），其中12,,
,t k k k 为任意常数.
在本题中，因为12
3,,
是
Ax
的3个线性无关的解，那么2
1
，
3
1是
0Ax
的2个线性无关的
解.从而()2n r A ，即3()
2()1
r A r A 显然()1r A ，因此()1
r A 由()
31
2n r A ，知（A ）（B ）均不正确. 又2
3
2
3
11
2
2
2
A
A
A
，故
23
1(
)2
是方程组Ax
的解.所以应选（C ）.
(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是
(
)
(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()
F x (C)
1()f x 2()
F x (D)
1()f x 2()F x +2()f x 1()
F x 【答案】(D)
【详解】本题涉及到的主要知识点：
连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：
()1
f x dx 在本题中，由于
1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数
1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，
应有()f x 非负，且
()1f x dx .在四个选项中，只有（
D ）选项满足
1221()()()()f x F x f x F x dx
2112()()()()
F x dF x F x dF x 121212()()
()()
()()
F x F x F x dF x F x dF x 1
故选（D ）.
(8) 设总体X 服从参数为
(
0)的泊松分布，12,,,(2)n X X X n
为来自该总体的简单随机样本，则对
于统计量1
1
1n
i i T X n
和1
2
1
111
n i
n i T X X n n
，有(
)
(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C)
1ET <2ET ,1DT >2
DT (D)
1ET <2ET ,1DT <2
DT 【答案】(D)
【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）泊松分布()X P 数学期望EX ，方差DX
（2）()E cX cEX ，()E X Y EX
EY ，2
()
D cX c DX ，()D X
Y DX
DY （X 与Y 相互独
立）
在本题中，由于
12,,
,n X X X 独立同分布，且0i
i
EX DX ，1,2,,i n ，从而
1
1
1
111(
)
(
)
n
n
i i i i E T E X E X n E X
n
n
n
，
1
1
2
1
1
1
111(
)
()
11
n n i
n
i n i
i E T E
X X E X E X n n
n n
11(1)()()
1
i n n E X E X n n
111
E X
E X n
n
故1
2
E T E T 又11
2
1(
(11)
)
n
i i D T D n D X D X
n n
X n
n
，
1
22
2
1
111(
)
(1)
1
(1)
n i
n i D T D X X n n n
n n
12
()1D T n n
n
，
故选（D ）.
二、填空题：9~14小题，每小题
4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9) 设
0lim 13x
t
t f x x t
，则
f x
.
【答案】
313x
e
x
【详解】本题涉及到的主要知识点：重要极限公式1
l i m (1)x
x
x
e
在本题中，
3130
lim 13lim
13x t x t
t
t
t
t
f x x t
x t 3x
x e
所以有
313x
f x e
x .
(10) 设函数
1
x
y
x z y
，则1,1
dz
.
【答案】
12ln 2dx dy
【详解】用对数求导法
.两边取对数得
ln ln(1
)x x z
y
y
，
故
11[ln(1
)
]z x x z x
y
y
x
y
，
2
1[ln(1
)
]
z x x x z y
y
y
x
y
令1x ，1y ，得
(1,1)
2ln 21z x ，(1,1)
(2ln 21)z y
，
从而
(1,1)
12ln 2dz dx dy
(11) 曲线
tan 4
y
x
y
e 在点0,0处的切线方程为
.
【答案】2y
x
【详解】方程变形为
arctan()4
y x y
e ，方程两边对x 求导得
211y y
e
y
y e
，
在点(0,0)处(0)
2y ，从而得到曲线在点
(0,0)处的切线方程为
2y
x .
(12) 曲线2
1y
x
，直线2x
及x 轴所围成的平面图形绕
x 轴旋转所成的旋转体的体积为
.
y
2
1
y x
【答案】
43
【详解】本题涉及到的主要知识点：设有连续曲线
()y
f x ()a
x
b ，则曲线
()y
f x 与直线x a ，x b 及x 轴围成的平面图形
绕
x 轴旋转一周产生的旋转体的体积
2
()b x
a
V f x dx
在本题中，
2
2
22
2
3
1
1
1
1
41()
.
3
3
V
y dx
x
dx
x x (13) 设二次型123,,T
f x x x x Ax 的秩为1，A 中各行元素之和为
3，则f 在正交变换x Qy 下的标准形
为.
【答案】
21
3y
【详解】本题涉及到的主要知识点：
任给二次型
,1
()n
ij i j ij
ji i j f
a x x a a ，总有正交变换x
Py ，使f 化为标准形
22211
22
n
n
f
y
y
y ，其中
12,,,
n
是f 的矩阵()ij A a 的特征值.
在本题中，A 的各行元素之和为
3，即
11121311121321222321222331
32
33
31
32
33
3,13113,131311
3
1
1
3
a a a a a a a a a a a a A a a a a a a 所以
3是A 的一个特征值.
再由二次型T
x Ax 的秩为10是A 的2重特征值.
因此，正交变换下标准形为：
213y
.
(14) 设二维随机变量,X Y 服从正态分布2
2
,;
,
;0N
，则2
E X Y
= .
【答案】
2
2
(
)
【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数
0XY
，则称X 与Y 不相关.
（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y 不相关.
（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有
()E XY EXEY
在本题中，由于
,X Y 服从正态分布2
2
,;
,
;0N
，说明X ，Y 独立同分布，故X 与2
Y 也独立.由期
望的性质有
2
2
()E XY EX EY ，又EX
，
2
2
2
2
()
EY
DY
EY ，所以
2
22
()(
)
E XY 三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
求极限0
12sin 1
lim
ln 1x
x x x x
【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x
时，ln(1)x x
在本题中，0
12sin 1lim
ln 1x
x x x x
2
12sin 1
lim x x
x x
2cos 1
cos 12sin cos 12sin 212sin lim lim lim 22212sin x x x x
x x
x x x x
x
x x
cos sin cos 112sin lim lim .
2
2212sin x x x x x x
x
(16) (本题满分10分)
已知函数
,f u v 具有连续的二阶偏导数，1,12f 是,f u v 的极值，(,,)z f x y f x y .求
2
1,1
z
x y
【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件
设(,)z
f x y 在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有
00(,)0x f x y ，00(,)
0y f x y .
在本题中，(,(,))
z f x
y f x y 121(,(,))
(,(,))(,)
z f x
y f x y f x
y f x y f x y x
2
111221(,(,))(,(,))(,)(,)
z
f x y f x y f x y f x y f x y f x y x y
21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x
y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y 1,12f 为
,f u v 的极值
121,1
1,1
f f
2
11212(1,1)
2,2(2,2)(1,1)
z f f f x y (17) (本题满分10分)
求不定积分
arcsin ln x
x
dx
x
【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）()x t ，1
()[()]()()[
()]f x dx f t t dt G t C G x C ；
（2）
udv
uv
vdu ；
（3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx . 在本题中，令
t x
,2
x
t ,2dx
tdt arcsin ln x
x
dx
x
2
arcsin ln 2t
t
tdt t 2
2arcsin ln t t dt
2
2
2
22arcsin 2
2ln 21t
t t t
dt t t
t dt
t
t
22
2
(1)2arcsin 2ln 41d t t t t t
t t
2
2
2arcsin 2ln 214t t t t
t
t C
2arcsin 2ln 214x x x x x x C ，其中C 是任意常数.
(18) (本题满分10分)
证明方程44arctan 303
x
x
恰有两个实根.
【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理
设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且
()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ），那么在开
区间(,)a b 内至少有一点，使()0
f （2）函数单调性的判定法设函数()y
f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.
①如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()y f x 在[,]a b 上单调增加；②如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()y
f x 在[,]a b 上单调减少. 在本题中，令
4()4arctan 33
f x x
x
，'
2
4()
1
1
f x x
当3x 时，'
()0f x ，()f x 单调递减；当
3x
时，
'
()
0f x ，()f x 单调递增.
4(
3)4a r c t a n (3)(
3)
30
3f .
当3x 时，()f x 单调递减,,3x
,()
0f x ；
当
3
3x
时，()f x 单调递增, 3,3x
,()
f x 3x
是函数()f x 在(
,3)上唯一的零点.
又因为48(3)4arctan
3
3
3
230
33f 且4lim lim 4arctan 3
.
3
x
x
f
x
x x
由零点定理可知，03,x ，使
0f x ,
方程44arctan 3
03
x
x
恰有两个实根.
(19)(本题满分10分)
设函数()f x 在区间
0,1具有连续导数，(0)
1f ，且满足'()()t
t
D D f x
y dxdy
f t dxdy , (,)0
,0
(0
1)t
D x y y
t x x
t t
，求()f x 的表达式.
【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程
()()dy P x y Q x dx 的通解()()(())P x dx
P x dx
y
e
Q x e
dx C .
在本题中，因为
()()t t
t x
D f x
y dxdy
dx
f x
y dy ，令x y u ，则
()()()
()
t x t x f x y dy
f u du
f t f x 0
()(()
())()
()t
t t D f x
y dxdy
f t f x dx
tf t f x dx
2
1()
()()()2
t
t D tf t f x dx
f t dxdy
t f t . 两边对
t 求导，得
2()
()02
f t f t t ,解齐次方程得2
12
()
(2)
dt t C f t Ce
t 由(0)1f ，得4C . 所以函数表达式为
2
4
()
(01)(2)
f x x x .
(20) (本题满分11分)
设向量组
1
1,0,1T
，
2
0,1,1
T
，
3
1,3,5
T
不能由向量组
1
1,1,1
T
,
2
1,2,3
T
,
3
3,4,T
a
线性表出.
(I)求
a 的值；
(II)将
1，
2，
3
用
1
，
2
，
3线性表出
.
【详解】本题涉及到的主要知识点：向量组
12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是
121212(,,,)(,,
,,,,
,)
m m l r a a a r a a a b b b (I)因为
1
2
3
1
01,
,
013101
1
5
，所以
1
2
3,
,
线性无关
.
那么
1
2
3,
,
不能由
1
2
3,
,
线性表示
1
2
3,
,
线性相关，即
1
2
3
11
3113,
,
1240115
013
2
3
a
a
a
，
所以5
a (II)
如果方程组
1
1
2
2
3
3(1,2,3)j
x x x j 都有解，即
1
2
3,
,
可
由
1
2
3,
,
线
性表示.对
1
2
3
1
2
3,
,
,
,
,（
）作初等行变换，有
1
2
3
1
2
3,
,
,
,
,（
）=1
0111
301
312411
51351011130131240
1
4
2
2
1011130131
2
40
1
10
2
1002150104
2
1000
1
10
2
故
1
1
2
3
24
，
2
1
2
2
，
3
1
2
3
5102
(21) (本题满分11分)
A 为3阶实对称矩阵，
A 的秩为2，且1
1110
0011
1
1
A (I) 求A 的所有特征值与特征向量;
(II) 求矩阵A .
【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）(0)
A
为矩阵A 的特征值，为对应的特征向量
（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交.
（I ）因()
2r A 知0A ，所以0是A 的特征值.
又1
110001
1
1
A
，110
01
1
A ，所以按定义
1是A 的特征值，
1
(1,0,1)T
是A 属于
1的特征向量；
1是A 的特征值，
2
(1,0,1)T
是A 属于1的特征向量.
设
3
123(,,)T
x x x 是A 属于特征值0的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正
交，因此
13132
3
1
3
0,0,
T T x x x x 解出
3
(0,1,0)
T
故矩阵A 的特征值为1,1,0；特征向量依次为
123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T T
k k k ，其中
123,,k k k 均是不为0的任意常数.
(II)由
1
2
3
1
2
(
,
,
)(
,
,0)A ，有
1
1
1
2
1
2
3
1
10110001(
,
,0)(
,
,
)
00000
1
0001
1
1
10
1
A . (22)(本题满分11分)
设随机变量X 与Y 的概率分布分别为
X 01
P 1/3
2/3
Y 10 1
P
1/3
1/3
1/3
且
2
2
()
1P X
Y .
(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；
(II) 求Z
XY 的概率分布；
(III) 求X 与Y 的相关系数XY
.
【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差
cov ,X Y E XY E X E Y
（2）相关系数
c o v ,
()()
XY
X Y D X D Y (I)设(,)X Y 的概率分布为
Y
X
-1
1
0 11p 12p 13p 1/3 1
21
p 22
p 23
p 2/3
1/3
1/3
1/3
根据已知条件
2
2
1P X
Y
，即
0,0
1,1
1,11P X Y P X Y
P X
Y ，
可知
1
2
21
1
p p
p ，从而
1
1
1
3
0p p
p ，12
21
23
13
p p p ，即(,)X Y 的概率分布为
(II) Z XY 的所有可能取值为-1，0，1 .
111,13
P Z P X Y 11
1,13P Z P X
Y
10
111
3P Z
P Z P Z
Z XY 的概率分布为
(3) 23
EX
，0EY ，0EXY ，故(,)
0Cov X Y EXY EX EY ，从而
0XY
.
(23)(本题满分11分)
设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y 与0y 所围成的三角
形区域.
(I) 求X 的概率密度()X f x ；(II) 求条件概率密度
|(|)X Y f x y .
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为
()(,)X f x f x y dy ，()(,)Y f y f x y dx ；
（2）在Y y 的条件下X 的条件概率密度
(,)
()
()
X Y Y f x y f x y f y ；
（3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量
(,)X Y 具有概率密度
Z -1 0 1 p
1/3
1/3
1/3
X Y -1 0 1 0 1/3 0 1
0 1/3
1/3
1
,(,),
(,)
0,
x y G f x y A 其他
则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.
(I)(,)X Y 的联合密度为
1,(,),(,)
0,(,)
.
x y G f x y x y G 当01x 时，0
()(,)1x
X f x f x y dy dy x ；当12x
时，20
()
(,)12
x X f x f x y dy
dy
x ；
当0x
或2x
时，()0X f x .
所以
, 0
1,()2, 1
2,
0,
X x x f x x x
其它.
(II)
|(,)(|)
()
X Y Y f x y f x y f y 当01y
时，2()
122y Y y
f y dx y ；当0y 或1y
时，()
0Y f y .
所以
|1
,2
,0
1,
22(|)
0,
X Y y
x
y y
y f x y 其他.。