2020秋数学人教A版必修第一册课件：4.3.1对数的概念
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2019-2020学年人教A版数学必修第一册课件：4.3.1 对数的概念
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 十九分。
2．若 loga2b＝c 则( A．a2b＝c C．bc＝2a
) B．a2c＝b D．c2a＝b
解析：选 B.loga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b.
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 十九分。
3．求下列各式中 x 的值：
(1)x＝log 24； 2
第十七页，编辑于星期六：二十三点 十九分。
求下列各式的值： (1)log525；(2)log2116；(3)lg1000；(4)lg0.001. 解：(1)设 x＝log525，则 5x＝25＝52， 所以 x＝2，即 log525＝2.
第十八页，编辑于星期六：二十三点 十九分。
(2)设 x＝log2116，则 2x＝116＝2－4，所以 x＝－4， 即 log2116＝－4. (3)设 x＝lg1000，则 10x＝1000＝103， 所以 x＝3， 即 lg1000＝3. (4)设 x＝lg0.001，则 10x＝0.001＝10－3，所以 x＝－3，即 lg0.001 ＝－3.
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 十九分。
第四章 指数函数与对数函数
4．3 对 数
4．3.1 对数的概念
第一页，编辑于星期六：二十三点 十九分。
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
核心素养
对数
了解对数、常用对数、自然对数的概念， 数学抽象、
会用对数的定义进行对数式与指数式 数学运算
的互化
对数的基 理解和掌握对数的性质，会求简单的对 数学运算
本性质 数值
第二页，编辑于星期六：二十三点 十九分。
问题导学 预习教材 P122－P123，并思考以下问题： 1．对数的概念是什么？ 2．对数式中底数和真数分别有什么限制？ 3．什么是常用对数和自然对数？
人教A版数学必修第一册4.3.1对数的概念课件
[例3]
(1)设5log5
2−1
＝25，则x的值等于( B )
A．10
B．13
C．100
D．±100
10
(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．
思路点拨
(1)利用对数恒等式log ＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
多维探究
3e
变式1 若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为______．
1．思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积．( × )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( × )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( √ )
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．( √ )
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( C )
A．100＝1与lg 1＝0
2
1 −5
2= 32(3)Fra biblioteklg1000＝3；
(4) ln x＝2.
103＝1000
e2＝x
方
法
总
结
指数式与对数式互化的方法
1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，
指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，
对数作为指数，底数不变，写出指数式.
跟踪训练
A．a>5或a<0
B．0<a<1或1<a<5
C．0<a<1
D．1<a<5
5－a>0
a>0
a≠1
0<a<5且a≠1
4.3对数课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
a x N x loga N x是以a为底N的对数
一、对数的概念
对数:logarithm
1.对数的定义：一般地,若ax=N(a>0且a≠1),则数x叫做以a为底N的对数, 记作x=logaN(a>0且a≠1,N>0). 其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
如：若42=16，则2=log416，读作2是以4为底16的对数.
(2) log2(logx 16) =2 解 :log x 16 22 4, x4 16, x 2(2舍去)
[练习2]解方程: log5(2 [变式]使式子log 2 x 1 (2 [练习3]解方程: lg2 x
xx1)有 ) 意lo义g5(的x2x的 2取). 值x 范2围是_____.22x
4.3对数
4.3.1对数的概念
抽象背景，引入概念 对数：logarithm
2x 1 x 0
对数源于指数.
2x 4 x 2
——欧拉
2x 4
2
x
5 2
2x 5 x ? x log2 5 以2为底5的对数
2x 9.3 x ? x log2 9.3 以2为底9.3的对数
4x 21 x log4 21 以4为底21的对数
loga 2 loga 3 loga 6
【思考】若将题改为 am M，an N，仿照上述过程，求解 m n的值，你发现了什么？
对数的运算性质
(真数)积的对数=对数的和 (真数)商的对数=对数的差
探索发现1
1、若am M，an N，仿照上述过程，求解 m n的值，你发现了什么？ 记笔记
lg lg
c b
lg lg
a c
1
拓展3.利用换底公式证明log am
【课件】高中数学新教材人教A版必修第一册课件：第4章 4.3.1 对数的概念
B [由对数的定义可知
5－a>0，
Байду номын сангаасa>0， a≠1，
解得 0<a<5 且 a≠1，故选 B.]
合作 探究 释疑 难
指数式与对数式的互化
【例 1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数 形式：
[解] (1)由 2－7＝1218，可得 log21218＝－7.
(2)由 log1
2
32＝－5，可得12－5＝32.
1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数 a 的范围是 a>0，且a≠1 .
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质 (1)负数和零 没有对数． (2)loga 1＝0 (a>0，且 a≠1)． (3)logaa＝ 1 (a>0，且 a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0 且 a≠1)，则总有 N>0，所以 转化为对数式 x＝logaN 时，不存在 N≤0 的情况．
情景 导学 探新 知
某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，….
问题 依次类推，那么 1 个这样的细胞分裂 x 次得到细胞个数 N 是多少？分裂多少次得到细胞个数为 8 个，256 个呢？如果已知细胞 分裂后的个数 N，如何求分裂次数呢？
提示：2x 个，3 次，8 次；由 2x＝N 可知当 N 已知时，x 的值即 为分裂次数．
2．理清 1 组关系——指数式与对数式的关系 (1)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即 ab ＝N⇔logaN＝b(a>0，且 a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式： ①logaab＝b；②alogaN＝N. (2)在关系式 ax＝N 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂运算， 而如果已知 a 和 N 求 x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形 式不同，互为逆运算． 3．规避 1 个易错 注意对数式中底数与真数的范围．
高中数学人教A版必修第一册4.3对数(教学课件)
a ， log2 15
b
，则
log 5
(9
3
5) (
)
3a b A.
2b a 3a b C. 2a b
2a b B.
2b a 2a b D. 2a b
解析：由 log2 3 a ， log2 15 b 得 log2 5 b a ，
则
log 5
(9
3
5) log2 (9 log2 (5
5) 3)
2
log2
3
1 2
log2
5
log
2
5
1 2
log
2
3
2a b
1 (b a) 2 a1a
2
3a 2b
b a
.
故选 A.
CD 6.（多选）已知 ab 0 ，且 ab 1，则下列四个选项中，正确的有( )
A. lg(ab) lga lgb
B.
lg
a b
lg
a
lgb
C.
1 2
lg
2
2
B 3.若 log2 x log3 4 log5 9 8 ，则 x 等于( )
A.8
B.25
C.16
D.4
解析：
log 2
x log3 4 log 5 9
lg x lg 4 lg 9 lg 2 lg 3 lg 5
lg x 2lg 2 lg 2 lg 3
2lg 3 lg 5
8
，
lg x 2lg5 ，x 25 .故选 B.
a b
2
lg
a b
D.
lg(ab )
1 logab
10
解析：当 a 0 ， b 0 时， lg(ab) lg(a) lg(b) ，
人教A版必修第一册高中数学4.3-对数精品课件
(3)对数运算的实质是求幂指数．( √ )
(4)在 b＝log3(m－1)中，实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．( √ )
例题解析
例 1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以 10 为底的对数叫做常用对数；
④以 e 为底的对数叫做自然对数．
其中正确的个数为( C )
常用对数 以___为底的对数叫做常用对数
自然对数
以无理数 e＝2.718 28…为底的对数
称为自然对数
记法
lg N
_____
ln N
_____
知识梳理
3 .对数的基本性质
(1)负数和零 没有 对数.
(2)loga1＝ 0 (a>0，且 a?1).
(3)logaa＝ 1 (a>0，且 a?1).
(4)对数恒等式 alogaN＝ N (a>0 且 a?1 ，N >0).
例题解析
例5.求下列各式中的的值.
9
34
(1)0.01 = .(2)7 ( + 2) = 2.(3)2 = .(4)1 32 = .
2
解：①∵0.01 = ，∴10 = 0.01 = 10−2 , = −2.
②∵7 ( + 2) = 2，∴72 = + 2 = 49, = 47.
A．1
B．2
C．3
D．4
①③④正确，②不正确，只有 a>0 且 a≠1 时，ax＝N 才能化为对数式．
例题解析
例2.在对数式 = −2 (5 − )中，实数的取值范围是（C ）.
A.(−∞, 2) ∪ (5, +∞)
B.(2,5)
(4)在 b＝log3(m－1)中，实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．( √ )
例题解析
例 1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以 10 为底的对数叫做常用对数；
④以 e 为底的对数叫做自然对数．
其中正确的个数为( C )
常用对数 以___为底的对数叫做常用对数
自然对数
以无理数 e＝2.718 28…为底的对数
称为自然对数
记法
lg N
_____
ln N
_____
知识梳理
3 .对数的基本性质
(1)负数和零 没有 对数.
(2)loga1＝ 0 (a>0，且 a?1).
(3)logaa＝ 1 (a>0，且 a?1).
(4)对数恒等式 alogaN＝ N (a>0 且 a?1 ，N >0).
例题解析
例5.求下列各式中的的值.
9
34
(1)0.01 = .(2)7 ( + 2) = 2.(3)2 = .(4)1 32 = .
2
解：①∵0.01 = ，∴10 = 0.01 = 10−2 , = −2.
②∵7 ( + 2) = 2，∴72 = + 2 = 49, = 47.
A．1
B．2
C．3
D．4
①③④正确，②不正确，只有 a>0 且 a≠1 时，ax＝N 才能化为对数式．
例题解析
例2.在对数式 = −2 (5 − )中，实数的取值范围是（C ）.
A.(−∞, 2) ∪ (5, +∞)
B.(2,5)
新人教A版高中数学必修一4.3.1《对数的概念》课件
a 1.
0
对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
=N, N>0.
当真数N≤ 0时，
没有对数.
(2) log a 1 0( a 0且a 1).
a 1.
(3) log a a 1(a 0且a 1).
a a.
0
1
特殊对数
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，
log 1 5.73 m;
4
6
3
典例剖析
例1：指数式与对数式互化.
(4)log 1 16 4;
2
(5)lg 0.01 2;
(6)ln10 2.303.
典例剖析
例1：指数式与对数式互化.
4
(5)lg 0.01 2;
1
16;
2
2
10 0.01;
（4）因为 ln e 2 x,所以
x
ln e x, e e , x 2.
2
2
追根溯源
16世纪时,科学技术的飞速发展，
尤其是天文学，需要用到大量的
大数乘除法运算。
追根溯源
16世纪时,科学技术的飞速发展，
尤其是天文学，需要用到大量的
大数乘除法运算。
当时的数学家们感叹：“没有
即4与8,并求它们的和,即12;最后在第一行中找到12,读出其对应
的第二行中的数4 096,这就是16×256的值.
利用以上对应可以方便地算出16×256的值.
4096
类似的可以计算
的值.
256
对数的发明实现了
将乘除运算降级为
简单的加减运算。
追根溯源
人教版高中数学必修第一册4.3.1对数的概念【课件】
(1) 设 x＝log7
7
，则 7x＝
1
7 ， 即 7x＝72 ，
所以 x＝12 .
(2) 设 x＝log927，根据对数的定义知 9x＝27，即 32x＝33，所以 2x＝3，得 x＝32 ， 所以 log927＝32 .
(3)
设 x＝log 1
16
1 8
，所以
1 16
x
＝18
，即
1 2
4
;(5) log33=
;(6) logaa=
.
你从上述结果中能得出怎样的结论?
【活动3】 指数式与对数式的互化
【问题6】 对比 2x=3 和 log23=x,你发现了什么?
【问题7】 能否将指数式与对数式的互化写成一般形式?
【问题8】 求下列各式的值.
(1)
;(2)
. ;(3) log334;(4) lne-2.
解：(1) 因为 log3(lgx)=1,所以 lgx=31=3,所以 x=103=1 000. (2) 由 log3[log4(log5x)]=0 可
得 log4(log5x)=1,故 log5x=4,所以 x=54=625.
【方法规律】
(1) 求多重对数式的值的方法是由内到外,如求 loga(logbc) 时,先
【问题3】 对于等式ax＝N (a>0，且a≠1)，如何表示这里的x?
【活动2】 认识和理解对数的概念 【问题4】 对数的真数可以取哪些值?能为零吗?可以为负数吗?
【问题5】
试说出下列各对数的值(a>0,a≠1):
(1) log51=
;(2) log31=
;(3) loga1=
;
(4) log55=
人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
是真的吗
嘿，挖到几枚恐龙蛋，送
到权威机构做了碳14同位素鉴定，
结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现
在坐等博物馆人员上门收购！
碳14同位素法检测原理
生物死亡后，它机体内原有的碳14含
量每经过大约6000年会衰减为本来的
一半，这个时间称为“半衰期”.
研究人员常常根据机体内碳14的含量
来推断生物体的年代，其中半衰次数
=
(＜＜)
y
=
(＞)
a∈{a| ＞0，且a≠1}
x∈R
N∈+
O
x
四、典例精析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）log 5 125 = 3；（2）log 2
1
16
= −4；
（3）10−2 = 0.01；（4）e0 = 1（其中e=2.71828…）.
log = 1.
五、随堂练习
1.对数式与指数式的互化：
（1）2
−1
=
1
;
2
（2）ln1 = 0.
1
2
解：（1）log 2 =-1；（2） 0 =1.
2.求值：（1）log 3 9；
（2）log 9 3.
解：（1）设x=log 3 9，则3 = 9 = 32 ，所以x=2，即log 3 9=2；
1
2
与碳14的含量P之间的关系为： = ( ) .
但是，当生物组织内的碳14含量不足千分之一（这里我们按
来计算）时，放射性探测器就测不到碳14了．
1
1024
试回答以下几个问题：
（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为本来的多少？3次呢？
1
1 3 1
嘿，挖到几枚恐龙蛋，送
到权威机构做了碳14同位素鉴定，
结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现
在坐等博物馆人员上门收购！
碳14同位素法检测原理
生物死亡后，它机体内原有的碳14含
量每经过大约6000年会衰减为本来的
一半，这个时间称为“半衰期”.
研究人员常常根据机体内碳14的含量
来推断生物体的年代，其中半衰次数
=
(＜＜)
y
=
(＞)
a∈{a| ＞0，且a≠1}
x∈R
N∈+
O
x
四、典例精析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）log 5 125 = 3；（2）log 2
1
16
= −4；
（3）10−2 = 0.01；（4）e0 = 1（其中e=2.71828…）.
log = 1.
五、随堂练习
1.对数式与指数式的互化：
（1）2
−1
=
1
;
2
（2）ln1 = 0.
1
2
解：（1）log 2 =-1；（2） 0 =1.
2.求值：（1）log 3 9；
（2）log 9 3.
解：（1）设x=log 3 9，则3 = 9 = 32 ，所以x=2，即log 3 9=2；
1
2
与碳14的含量P之间的关系为： = ( ) .
但是，当生物组织内的碳14含量不足千分之一（这里我们按
来计算）时，放射性探测器就测不到碳14了．
1
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试回答以下几个问题：
（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为本来的多少？3次呢？
1
1 3 1
高中数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
(1)
log64
x
2 3
(3) lg100 x
(2) logx 8 6 (4) ln e2 x
解：(1)x
64
2 3
1
2
64 3
1
2
43 3
1 16
1
1
(2)x6 8, x 86 22 2
(3)10x 100, x 2
(4) ln e2 x ln e2 x e2 ex 2 x x 2
（1）54 625
(4) log1 16 4
2
（2）26 1 64
(5) lg 0.01 2
（3） 1 m 5.73 3
(6) ln10 2.303
其实指数式与对数式，虽然从情势上看， 两者不同，但本质上是一致的。 这个一致就是底数、指数（对数）、幂（真数） 三者之间的关系。
典例解析
例2.求下列各式中x的值：
3.求下列各式中x的值：
(1) log1 x 3
3
(2) logx 49 4
(3) lg 0.00001 x
(4) ln e x
知识拓展
对数恒等式: aloga N N (a 0，且a 1, N 0)
令 loga N x
ax N
即
aloga N N
请同学们记在课本里
巩固练习 金版P86-88 P88 A级 练习5
课堂练习 P123练习
1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）23 8 (4) log3 9 2
（2）e 3 m (5) lg n 2.3
（3）27
1 3
1
3
(6)
log3
1 81
4
2.求下列各式的值：
数学人教A版必修第一册4.3.1对数概念课件
【练习】求下列对数的值。
(1) log2 64
1 (2) log
28
(3) log9 27
探究活动：
根据对数的定义，写出下列各对数的值(a 0，a 1) :
(1) log5 1
， (4) log5 5
，
(2) log3 1 (3) log a 1
， (5) log3 3 提炼一般性结论 0 ， (6) loga a
2x 3 x log2 3 以2为底3的对数
(
1 )x 7 2
x log
1
7以
1
为底7的对数
2
2
2
3
1
7
2
例1.将下列指数式化成对数式
指数式
24 16
33 1 27
对数式
log 2 16 4
log 3
1 27
3
5a 20
（1）b 0.45 2
log 5 20 a
log 1 0.45 b
思想方法： 归纳、猜想、证明等方法，类比思想、方程思想、
函数与方程思想、数形结合思想.
真数须正值不限,
ab N叫做指数式 ,log a N b 叫做对数式.
底不为一且为正.
当 a 0, a 1, N 0 时，
幂 指数
ab N
底
真数 对数
log a N b
底
指数式与对数式的互化
回顾小结
基本知识： 对数的定义，常用对数，对数的简单性质， 学会了对数
和指数的互化以及对数的简单计算.
【问题情景】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年， 这种物质的剩留的质量是本来的84%，假设该物质最初的质量是1， 请写出经过x年这种物质的剩留量y关于时间的函数关系式：
新教材人教A版数学必修第一册4.3.1 对数的概念课件
对数与指数的关系 指数式与对数式的互化(其中 a>0，且 a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子 logmN 中，底数 m 的范围是什么？ 提示：m>0 且 m≠1.
2．对数式 logaN 是不是 loga 与 N 的乘积？ 提示：不是，logaN 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是 一个实数．
第四
章
指数函数与对数函数
4．3 对数
新课程标准解读
核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数，并能进行简单的化简计算
数学运算
4．3.1 对数的概念
某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，……
所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；
对于D，因为log25x＝12，所以2512＝x，所以x＝5，故D错误．故选A、B. 答案：AB
4．已知logx16＝2，则x等于
[问题] 依次类推，1 个这样的细胞分裂 x 次得到的细胞个数 N 是多少？ 分裂多少次得到的细胞个数为 8 和 256？如果已知细胞分裂后的个数 N，如何 求分裂次数？
知识点一 对数的概念
1．定义 一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做__以__a__为__底__N__的__对__数__， 记作__x_＝__lo_g_a_N____，其中 a 叫做_对__数__的__底__数___，N 叫做__真__数__． 2．常用对数与自然对数
高一上学期数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
对数
环节一 对数的概念
整体概览
问题1
回顾4.1节的内容，你能梳理出我们研究“指数”的基本路径吗？
答案：在4.1节中，我们先完善指数幂运算的定义，再研究指数幂运
算性质，最后应用概念和性质解决问题．
补充：任何一个数学概念的产生都是由大量的现实背景催生的，一般
地，要研究一个数学对象，除了以上大家概括出的内容，还需要添加
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
新知探究
问题4
18世纪，瑞士数学家欧拉第一使用y＝ax来定义x＝logay．他指出“对
数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可
以得到对数的哪些性质？
追问1 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？
新知探究
问题4
答案：对数是通过指数幂的情势定义出来的，由此可以看出，对数运
a x N x log a N ．
算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0且a≠1，．
两者在情势上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且
名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算．
表达式
字母名称
x
a
N
指数式
ax=N
指数
底数
幂
对数式
x=logaN
对数
底数
真数
新知探究
问题4
追问2 明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式
1 4
（4）( ) 16 ；
2
1
6 ；
（2）log 2
64
（3）log 1 5.73 m ；
（5）10－2＝0.01；
（6）e2.303＝10．
环节一 对数的概念
整体概览
问题1
回顾4.1节的内容，你能梳理出我们研究“指数”的基本路径吗？
答案：在4.1节中，我们先完善指数幂运算的定义，再研究指数幂运
算性质，最后应用概念和性质解决问题．
补充：任何一个数学概念的产生都是由大量的现实背景催生的，一般
地，要研究一个数学对象，除了以上大家概括出的内容，还需要添加
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
新知探究
问题4
18世纪，瑞士数学家欧拉第一使用y＝ax来定义x＝logay．他指出“对
数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可
以得到对数的哪些性质？
追问1 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？
新知探究
问题4
答案：对数是通过指数幂的情势定义出来的，由此可以看出，对数运
a x N x log a N ．
算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0且a≠1，．
两者在情势上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且
名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算．
表达式
字母名称
x
a
N
指数式
ax=N
指数
底数
幂
对数式
x=logaN
对数
底数
真数
新知探究
问题4
追问2 明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式
1 4
（4）( ) 16 ；
2
1
6 ；
（2）log 2
64
（3）log 1 5.73 m ；
（5）10－2＝0.01；
（6）e2.303＝10．
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.3.1 对数的概念
log381 =t,则
1
3 =81 =3-4,所以
t
t=-4.
1 2 3 4 5
4.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若
e=ln x,则x=e2,其中正确的是( C )
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
解析 lg(lg 10)=lg 1=0;ln(ln e)=ln 1=0,故①②正确,
将logaN=m写成指数式am=N后将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即
logaN=b.
变式训练2 求下列各式中的x值:
1
2
(1)log2x= ;(2)log216=x;(3)logx27=3;(4)log64x=- .
2
3
解
1
1
(1)∵log2x= ,∴x=22 ,∴x=√2.
2
(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.
3
3
logx27=4,得 4 =27,即 4 =33,故
1
x= .
4
4
x=(33)3 =34=81.
(3)由log3(lg x)=1,得lg x=3,故x=103=1 000.
自然对数
为底的对数称为自然对数,并把logeN记作 ln N
e
名师点睛
“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求
指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
过关自诊
1.为什么logaN(a>0,且a≠1)中N>0时才能有意义?
提示 依据对数的定义,若ax=N(a>0,且a≠1),则x=logaN,对于a>0,且a≠1,不论
1
3 =81 =3-4,所以
t
t=-4.
1 2 3 4 5
4.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若
e=ln x,则x=e2,其中正确的是( C )
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
解析 lg(lg 10)=lg 1=0;ln(ln e)=ln 1=0,故①②正确,
将logaN=m写成指数式am=N后将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即
logaN=b.
变式训练2 求下列各式中的x值:
1
2
(1)log2x= ;(2)log216=x;(3)logx27=3;(4)log64x=- .
2
3
解
1
1
(1)∵log2x= ,∴x=22 ,∴x=√2.
2
(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.
3
3
logx27=4,得 4 =27,即 4 =33,故
1
x= .
4
4
x=(33)3 =34=81.
(3)由log3(lg x)=1,得lg x=3,故x=103=1 000.
自然对数
为底的对数称为自然对数,并把logeN记作 ln N
e
名师点睛
“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求
指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
过关自诊
1.为什么logaN(a>0,且a≠1)中N>0时才能有意义?
提示 依据对数的定义,若ax=N(a>0,且a≠1),则x=logaN,对于a>0,且a≠1,不论
新教材人教版高中数学必修第一册 4-3-1 对数的概念(1) 教学课件
(1) 54＝625; (2)2－7＝1128；
(3) ( 12)m＝5.73
(4)log132＝－5；(5)lg 1 000＝3； (6)ln 10＝2.303
2
第十页，共二十六页。
[解] (1) 由 54＝625，可得 log5625＝4.
(2)由 2－7＝1218，可得 log21128＝－7.
第四页，共二十六页。
对数的概念
1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念：
指数 幂
对数 真数
底数 (2)底数 a 的范围是___a_>_0_，__且__a_≠_1____.
第五页，共二十六页。
2．常用对数与自然对数 10 e
第六页，共二十六页。
对数的性质
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有 对数． (2)loga 1＝0(a>0，且 a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且 a≠1)．
新教材人教版高中数学必修第一册 4.3.1 对数的概念（1） 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第四章 指数函数与对数函数
4.3.1 对数的概念
第一页，共二十六页。
学习目标
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算． (重点、难点) 2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化． (重点)
(3)10x＝100＝102，于是 x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即 e－x＝e2，
所以 x＝－2.
第十五页，共二十六页。
归纳总结
[规律方法] 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数 式，再利用指数幂的运算性质求解
新教材人教版高中数学必修第一册 4-3-1 对数的概念(2) 教学课件
第十四页，共十九页。
[跟踪训练二]
1. 求下列各式中的x值:
1
(1)log2x= ;(2)log 216=x;(3)logx27=3.
2
1
1
解:(1)∵log 2x=2 ,∴x=22 ,∴x=
2.
x
16=x,∴2 =16,∴2x=24,∴x=4.
(2)∵log2
(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.
1.数学抽象：对数的概念；
2.逻辑推理：推导对数性质；
3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；
4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.
第三页，共十九页。
自主预习，回答问题
阅读课本122-123页，思考并完成以下问题
1. 对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？
2. 什么是常ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对数和自然对数？
对数恒等式：a
log a N
＝
N ；logaax ＝ x (a＞0，且 a≠1)．
4．对数的性质
(1)1 的对数为 零 ；(2)底的对数为 1 ；(3)零和负数 没有对数 ．
第六页，共十九页。
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN 是 loga 与 N 的乘积．
( × )
(5)logxy=z(x>0,且 x≠1,y>0).
(2)log 10100=2,即 lg 100=2.
(3)loge16=a,即 ln 16=a.
1
(4)64 3
(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).
第十一页，共十九页。
1
.
数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件(3)
2.对数概念的理解:对数是一种运算,运算结果是一个实数
3.两类常见对数:常用对数: 记为;自然对数: 记为.
4.对数运算常用的两个常用结论:log a a = 1 ,(a>0,且a≠ 1),
log a 1 = 0 , (a>0,且a≠ 1),
5.对数恒等式:
= ,(a>0,且a≠ 1),
也是一位天文爱好者,他感到,“没有什么会比数学的演算更加
令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……
因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研
究大数的计算技术,他终于独立发明了对数,并于1614年出版的
名著《奇妙的对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳
皮尔对数.
3.对数的主要作用
1.情景引入
在4.2.1的问题1中,通过指数幂运算,我们能从y=1.11 中求出经过年后地景区
的游客人次为2001年的倍数y,请思考
如果要求经过多少年游客人次是2001的2倍,3倍,4倍,….那么该如何求解?
(1).1.11 =2 ⟹ =?
(2).1.11 =3 ⟹ =?
(3).1.11 =4 ⟹ =?
课后作业
同步作业本
…
像上面这样的式子，已知底数和幂的值，求指数。这就是本节要学习的对数
2.对数的发展史
对数的概念,第一是由苏格兰数学家纳皮尔
(J.Napier,1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是
由于数学的局限性,天文学家不得不花费很大精力去计算那些纷
杂的“天文数字”,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔
x的值,对照指数式中指数与对数值,谈谈你的发现
(1)64 =
3.两类常见对数:常用对数: 记为;自然对数: 记为.
4.对数运算常用的两个常用结论:log a a = 1 ,(a>0,且a≠ 1),
log a 1 = 0 , (a>0,且a≠ 1),
5.对数恒等式:
= ,(a>0,且a≠ 1),
也是一位天文爱好者,他感到,“没有什么会比数学的演算更加
令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……
因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研
究大数的计算技术,他终于独立发明了对数,并于1614年出版的
名著《奇妙的对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳
皮尔对数.
3.对数的主要作用
1.情景引入
在4.2.1的问题1中,通过指数幂运算,我们能从y=1.11 中求出经过年后地景区
的游客人次为2001年的倍数y,请思考
如果要求经过多少年游客人次是2001的2倍,3倍,4倍,….那么该如何求解?
(1).1.11 =2 ⟹ =?
(2).1.11 =3 ⟹ =?
(3).1.11 =4 ⟹ =?
课后作业
同步作业本
…
像上面这样的式子，已知底数和幂的值，求指数。这就是本节要学习的对数
2.对数的发展史
对数的概念,第一是由苏格兰数学家纳皮尔
(J.Napier,1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是
由于数学的局限性,天文学家不得不花费很大精力去计算那些纷
杂的“天文数字”,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔
x的值,对照指数式中指数与对数值,谈谈你的发现
(1)64 =
对数【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
(4) - ln e2 x
对数【新教材】人教A版高中数学必修 第一册 课件
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随堂练习
P123 1 2 3 P126 2(1)
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课堂小结
1.对数的概念: ax＝N logaN＝x
第四章 指数函数与对数函数
4.3.1 对数的概念
温故知新
42 ? ?2 16 4? 16
乘方运算
开方运算 ？运算
已知底数和幂的值，求 指数，就是本节要学习 的对数.
新课讲授 1.对数的定义
底数 真数
1.如果ax＝N ( a＞0 且a≠1 ) ,那么数x叫
做以a为底N的对数.
对数式
记作x＝logaN( a＞0 且a≠1).
(1)54 = 625；
(2)2-6 = 1 ； 64
(3)
1
m
5.73；
3
(4)log 1 16 4； (5)lg0.01 -2
2
(6)ln10 2.303
例2 求下列各式中x的值：
(1)log64
x
2 3
；
随堂练习 P123 1 2 3 (2)logx 8 6； P126 2(1)
(3)lg100 x
(2)1的对数等于零,即loga1=0; (3)底数的对数等于1,即logaa=1; (4)对数恒等式 aloga N N
(a 0且a 1, N 0)
对数【新教材】人教A版高中数学必修 第一册 课件
对数【新教材】人教A版高中数学必修 第一册 课件
例题讲解
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
人教A版必修第一册高一数4.3对数(第1课时对数的概念
2.常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把 记作_______；以无理数 为底数的对数称为自然对数，并且把 记为_______.
特别提醒：对数的概念中规定“ ，且 ”的原因
（1）
若 ，则当 为某些值时， 的值不存在．如 不存在．
（2）
若 ，①当 时， 的值不存在．如 （可理解为0的多少次幂是3）不存在．②当 时， 可以是任意实数，是不唯一的，即 有无数个值．
（2）符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式： ， .
1.若 ，则 ( ).A. B. C. D.
A
[解析] ， , .同理 ， . ．
巩固训练
2.设 ，则 _____．
13
[解析] 由 ，可得 ，解得 .
1.将 写成对数式，正确的是( ).A. B. C. D.
[解析] （1） ．（2）因为 ,所以 ，所以 .（3）因为 ,所以 ，所以 ．
方法总结 要求对数的值，可设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
1.将下列指数式与对数式互化.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
巩固训练
[解析] （1）由 ，可得 ．（2）由 ，可得 ．（3）由 ，可得 .（4）由 ，可得 ．
（3）
若 ，①当 时， 的值不存在．如 不存在．②当 时， 可以为任意实数，是不唯一的，即 有无数个值．因此规定 ，且 .
新知运用
例1 求下列各式中 的取值范围.
（1） ;（2） .
方法指点 对于（2）表达式中的真数含有 ，底数也含有 ，结合对数的概念，列出不等式组，求得 的取值范围.
[答案] ， ，∴满足 ， 的 都不存在，因此我们说0和负数没有对数．
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第四章 指数函数与对数函数
4.3 对 数
4.3.1 对数的概念
[学习目标] 1.通过实例,认识对数的模型,体会引入 对数的必要性.
2.理解对数的概念,理解常用对数、自然对数的概念,发 展数学抽象素养.
3.了解对数与指数的关系,掌握对数式与指数式的互化, 掌握对数的性质,能进行简单的运算.
一、对数的概念与常用对数、自然对数
.
解析:由题意,得
即
解得 x>-1,且 x≠0,x≠1.
2.将下列指数式与对数式进行互化. (1) = ; (2)lo 4=4; (3)lg 0.001=-3.
解:(1)由 = ,得 log5 =- . (2)由 lo 4=4,得( )4=4. (3)由 lg 0.001=-3,得 10-3=0.001.
①它们是同底的;
②指数中含有对数形式;
③其值为对数的真数.
(2)对指数中含有对数式的式子进行化简,应充分考虑 对数恒等式的应用.
【跟踪训练】
5.若 log2(logx9)=1,则 x= (
②由-log8x= ,得 log8x=- ,所以 x= ③由 logx8=-3,得 x-3=8,所以 x= .
=(23 =2-2= .
④由 logx27= ,得 =27,所以 x=2 =(33 =34=81.
(2)①设 lo 8=x,则( )x=8,即( )x=( )-3,所以 x=-3,即 lo 8=-3.
.
解析:由题意可得
即
解得 x>1,且 x≠2.
(2)将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式.
①2-7= ;
②lo 32=-5;
③lg 1 000=3;
④ln x=2.
解:①由 2-7= ,得 log2 =-7. ②由 lo 32=-5,得( )-5=32.
③由 lg 1 000=3,得 103=1 000. ④由 ln x=2,得 e2=x.
探索点二 利用对数式与指数式的互化求值
【例 2】 (1)求下列各式中 x 的值.
①x=log27 ;
②-log8x= ;
③logx8=-3;
④logx27= .
(2)求下列各式的值.
①lo 8;
②-ln .
解:(1)①由 x=log27 ,得 27x= ,即 33x=3-2,所以 3x=-2,解得 x=- .
1.对数与指数间的关系 当 a>0,且 a≠1 时,ax=N⇔x= logaN .
2.对数的性质 (1)负数和 0 没有
(2)loga1= 0 ; (3)logaa= 1 .
对数;
3.对数恒等式
= N (a>0,且 a≠1,N>0).
【思考】 能将(-2)3=-8 化为对数式吗?
提示:不能.底数要求是不等于1的正数.
②设-ln =x,则 ln =-x,即 e-x= =e-2,所以 x=2,即-ln =2.
方法规律 利用对数式与指数式的互化进行求值的策略
(1)确定范围:看 x 所在对数式中的位置,明确其范围. (2)化为指数式:利用对数式与指数式的互化,将对数 式化为指数式求解.
【跟踪训练】
3.已知 logx16=2,则 x= ( )
③由 log7[log3(log2x)]=0,得 log3(log2x)=1, 所以 log2x=3,所以 x=23=8.
(2)①
=3× =3×2=6.
②2
=(52
③100-lg 2=
=
= =4. =.方法规律来自运用对数恒等式时的注意事项
(1)对于对数恒等式
=N(a>0,且 a≠1,N>0)要注
意格式:
A.±4
B.4
C.256
D.2
解析:由 logx16=2,得 x2=16.
又因为 x>0,所以 x= =4,故选 B.
答案:B
4.已知 loga2=m,loga3=n,则 a2m-n= . 解析:因为 loga2=m,loga3=n,所以 am=2,an=3,所以 a2m-n= = = .
探索点三 利用对数的性质或对数恒等式求值
[基础测试] 2.把指数式 52=25 化为对数式为 log525=2 .
3.把对数式 loga49=2(a>0,且 a≠1)化为指数式为 a2=49 .
探索点一 对数概念的应用及对数式与指数式互化
【例 1】 (1)对数式 log(x-1)(x+2)中实数 x 的取值范围
是 (1,2)∪(2,+∞)
方法规律 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数 作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数 作为指数,底数不变,写出指数式.
【跟踪训练】
1.对数式 log(x+1)(x-1)2 中 x 的取值范围是 {x|x>-1,且x≠0,x≠1}
解析:根据对数的定义,知x=log32,故错误. 答案:×
(2)存在实数 x,使得 x=log(-2)8. ( )
解析:对数的底数是不等于1的正数,故错误.
答案:×
(3)存在等式 3=log(-3)(-27). ( )
解析:与对数的定义不符,故错误. 答案:×
二、对数与指数间的关系及对数的性质
[知识梳理]
【思考】 根据对数的定义,对数的底数和真数的取值范围分别
是什么,对数的取值范围是什么?
提示:对数的底数的取值范围是(0,1)∪(1,+∞), 真数的取值范围是(0,+∞),对数的取值范围是R.
[基础测试]
1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若 3x=2,则 x=log23. ( )
[知识梳理]
1.对数的概念 一般地,如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以a为底N 的 对数,记作x=logaN ,其中 a 叫做对数的 底数 ,N 叫做真数 .
2.常用对数与自然对数 (1)常用对数:将以 10 为底的对数叫做常用对数,记为 lg N . (2)自然对数:以 e 为底的对数称为自然对数,记为 ln N ,其中 e 是无理数,e=2.718 28….
【例 3】 (1)求下列各式中的 x 的值.
①lg(ln x)=0; ②lg(ln x)=1; (2)计算下列各式的值.
③log7[log3(log2x)]=0.
①
; ②2
;
③100-lg 2.
解:(1)①由 lg(ln x)=0,得 ln x=1,所以 x=e.
②由 lg(ln x)=1,得 ln x=10,所以 x=e10.
4.3 对 数
4.3.1 对数的概念
[学习目标] 1.通过实例,认识对数的模型,体会引入 对数的必要性.
2.理解对数的概念,理解常用对数、自然对数的概念,发 展数学抽象素养.
3.了解对数与指数的关系,掌握对数式与指数式的互化, 掌握对数的性质,能进行简单的运算.
一、对数的概念与常用对数、自然对数
.
解析:由题意,得
即
解得 x>-1,且 x≠0,x≠1.
2.将下列指数式与对数式进行互化. (1) = ; (2)lo 4=4; (3)lg 0.001=-3.
解:(1)由 = ,得 log5 =- . (2)由 lo 4=4,得( )4=4. (3)由 lg 0.001=-3,得 10-3=0.001.
①它们是同底的;
②指数中含有对数形式;
③其值为对数的真数.
(2)对指数中含有对数式的式子进行化简,应充分考虑 对数恒等式的应用.
【跟踪训练】
5.若 log2(logx9)=1,则 x= (
②由-log8x= ,得 log8x=- ,所以 x= ③由 logx8=-3,得 x-3=8,所以 x= .
=(23 =2-2= .
④由 logx27= ,得 =27,所以 x=2 =(33 =34=81.
(2)①设 lo 8=x,则( )x=8,即( )x=( )-3,所以 x=-3,即 lo 8=-3.
.
解析:由题意可得
即
解得 x>1,且 x≠2.
(2)将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式.
①2-7= ;
②lo 32=-5;
③lg 1 000=3;
④ln x=2.
解:①由 2-7= ,得 log2 =-7. ②由 lo 32=-5,得( )-5=32.
③由 lg 1 000=3,得 103=1 000. ④由 ln x=2,得 e2=x.
探索点二 利用对数式与指数式的互化求值
【例 2】 (1)求下列各式中 x 的值.
①x=log27 ;
②-log8x= ;
③logx8=-3;
④logx27= .
(2)求下列各式的值.
①lo 8;
②-ln .
解:(1)①由 x=log27 ,得 27x= ,即 33x=3-2,所以 3x=-2,解得 x=- .
1.对数与指数间的关系 当 a>0,且 a≠1 时,ax=N⇔x= logaN .
2.对数的性质 (1)负数和 0 没有
(2)loga1= 0 ; (3)logaa= 1 .
对数;
3.对数恒等式
= N (a>0,且 a≠1,N>0).
【思考】 能将(-2)3=-8 化为对数式吗?
提示:不能.底数要求是不等于1的正数.
②设-ln =x,则 ln =-x,即 e-x= =e-2,所以 x=2,即-ln =2.
方法规律 利用对数式与指数式的互化进行求值的策略
(1)确定范围:看 x 所在对数式中的位置,明确其范围. (2)化为指数式:利用对数式与指数式的互化,将对数 式化为指数式求解.
【跟踪训练】
3.已知 logx16=2,则 x= ( )
③由 log7[log3(log2x)]=0,得 log3(log2x)=1, 所以 log2x=3,所以 x=23=8.
(2)①
=3× =3×2=6.
②2
=(52
③100-lg 2=
=
= =4. =.方法规律来自运用对数恒等式时的注意事项
(1)对于对数恒等式
=N(a>0,且 a≠1,N>0)要注
意格式:
A.±4
B.4
C.256
D.2
解析:由 logx16=2,得 x2=16.
又因为 x>0,所以 x= =4,故选 B.
答案:B
4.已知 loga2=m,loga3=n,则 a2m-n= . 解析:因为 loga2=m,loga3=n,所以 am=2,an=3,所以 a2m-n= = = .
探索点三 利用对数的性质或对数恒等式求值
[基础测试] 2.把指数式 52=25 化为对数式为 log525=2 .
3.把对数式 loga49=2(a>0,且 a≠1)化为指数式为 a2=49 .
探索点一 对数概念的应用及对数式与指数式互化
【例 1】 (1)对数式 log(x-1)(x+2)中实数 x 的取值范围
是 (1,2)∪(2,+∞)
方法规律 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数 作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数 作为指数,底数不变,写出指数式.
【跟踪训练】
1.对数式 log(x+1)(x-1)2 中 x 的取值范围是 {x|x>-1,且x≠0,x≠1}
解析:根据对数的定义,知x=log32,故错误. 答案:×
(2)存在实数 x,使得 x=log(-2)8. ( )
解析:对数的底数是不等于1的正数,故错误.
答案:×
(3)存在等式 3=log(-3)(-27). ( )
解析:与对数的定义不符,故错误. 答案:×
二、对数与指数间的关系及对数的性质
[知识梳理]
【思考】 根据对数的定义,对数的底数和真数的取值范围分别
是什么,对数的取值范围是什么?
提示:对数的底数的取值范围是(0,1)∪(1,+∞), 真数的取值范围是(0,+∞),对数的取值范围是R.
[基础测试]
1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若 3x=2,则 x=log23. ( )
[知识梳理]
1.对数的概念 一般地,如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以a为底N 的 对数,记作x=logaN ,其中 a 叫做对数的 底数 ,N 叫做真数 .
2.常用对数与自然对数 (1)常用对数:将以 10 为底的对数叫做常用对数,记为 lg N . (2)自然对数:以 e 为底的对数称为自然对数,记为 ln N ,其中 e 是无理数,e=2.718 28….
【例 3】 (1)求下列各式中的 x 的值.
①lg(ln x)=0; ②lg(ln x)=1; (2)计算下列各式的值.
③log7[log3(log2x)]=0.
①
; ②2
;
③100-lg 2.
解:(1)①由 lg(ln x)=0,得 ln x=1,所以 x=e.
②由 lg(ln x)=1,得 ln x=10,所以 x=e10.