19年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.5合情推理与演绎推理

6.5 合情推理与演绎推理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：A 项中小前提不正确，选项C 、D 都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以选项A 、C 、D 都不正确，只有B 项的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．答案：B2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n＋2n －2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．答案：A3．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：C4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案：B5．(2018届济宁模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是( )A．25 B．250C．55 D．133解析：由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，….因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又 2 016＝672×3，故第2 016次操作后得到的数是250.答案：B6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)…记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得，若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．答案：A7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为________．解析：由题意知，第1个图中有8根火柴棒，笫2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，…，依此类推，第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n －1)＝6n ＋2.答案：6n ＋28．(2017届云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋22.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋229．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sin π3＝332. 答案：33210．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f (21)＝32， f (22)>2＝42，f (23)>52，f (24)>62，∴归纳得f (2n)≥n ＋22.答案：f (2n)≥n ＋2211．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A －BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A －BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明：在四面体O －BCD 与A －BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h ＝V O －BCDV A －BCD.同理有OF DF ＝V O －ABC V D －ABC ；OG BG ＝V O －ACDV B －ACD；OH CH ＝V O －ABDV C －ABD. ∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝V O －BCD ＋V O －ABC ＋V O －ACD ＋V O －ABD V A －BCD ＝V A －BCDV A －BCD＝1.12．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴0<A <π2，0<B <π2，且A ＋B >π2，∴π2>A >π2－B >0. ∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .[能 力 提 升]1．(2017届湖北武汉模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1， a 2＝a 1＋2， a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )， 即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225.答案：C2．(2017届东北三省四校联考)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一个人说的是假话，那么得优秀的同学是________．解析：分析题意可知甲、丙所说的话同真同假，又因为只有一个人说了假话，故甲、丙说的是真话，乙说的是假话，易知得优秀的是丙．答案：丙3．(2018届广东深圳质检)若函数式f (n )表示n 2＋1(n ∈N *)的各位上的数字之和，如142＋1＝197,1＋9＋7＝17，所以f (14)＝17，记f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f [f 1(n )]，…，f k ＋1(n )＝f [f k (n )]，k ∈N *，则f 2 017(17)＝________.解析：由题意可知，f 1(17)＝f (17)＝11， f 2(17)＝f (11)＝5， f 3(17)＝f (5)＝8， f 4(17)＝f (8)＝11， f 5(17)＝f (11)＝5， f 6(17)＝f (5)＝8， f 7(17)＝f (8)＝11，…所以f n (17)是从第一项起以3为周期的周期函数， 所以f 2 017(17)＝f 3×672＋1(17)＝f 1(17)＝11. 答案：114．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为________(n ∈N *)． 解析：观察给出的式子可得出如下规律： 1>12， 1＋12＋13＝1＋12＋122－1>1＝22， 1＋12＋13＋…＋17＝1＋12＋13＋…＋123－1>32， 1＋12＋13＋…＋115＝1＋12＋13＋…＋124－1>2＝42， 1＋12＋13＋…＋131＝1＋12＋13＋…＋125－1>52， …猜想：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2。