例题2.2.2
2.2.2去括号、添括号
试一试 ：
① + (+3) = +3 ③7 +（-3 ）= 7 -3 ⑤7 - (+3) = 7 -3
② -（+a) = -a ④ 8a + (-a) = 8a -a ⑥ 8a - (+a）= 8a -a
⑦7 - (-3) = 7 +3
4.求代数式值时 能化简的，要先化简，再代入求值。
练习
(1). 3ab2 5ab2 ( 3-5 )ab2 (-2)ab2
(2).求代数式的值
4x2 2x 7 3x 8x2 2 其中x -2
解：4x2 2x 7 3x 8x2 2
一找
(4x2 8x2 ) (2x 3x) (7 2) 二移
⑹ 3(2x2-y2) - (3y2-2x2) 。
想一想
如果一个三角形第一条边长为（2a-b)cm，第
二条边比第一条边长（a+b)cm，第三条边比第一
条边的2倍少bcm，哪么这个三角形的周长是多
少？
你做对
了吗
（9a-4b)cm
a+b+c=a+ (+b+c)
a- b- c=a- (+b+c)
添括号法则： 所添括号前是+号,括到括号里的各项都不变号； 所添括号前是-号 ,括到括号里的各项都要变号。
类似的：
a-(b+c) = a- b- c
问题1
你能用自己的语言叙述去括号的规 律吗？
a+(+b+c)=a+b+c
a-(+b+c)=aa+b+c
2.2.2在数轴上比较数的大小
-3 -2 -1 0 1 2 3
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 数的大小比较法则：
正数大于0， 负数小于0， 正数大于负数。
例题精讲
例1. 比较下列每组数的大小： （1）－2和＋6; （2）0和－1.8; （3） 5和0
解：（1）－2＜＋6 （2）0＞－1.8 （3） 5>0
2.将数-3、-2、0、5、1在数轴上表示出来.
-3 -2
01
5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 你能比较-3、-2、0、5、1的大小吗？
-3 ＜ - 2 ＜ 0 ＜ 1 ＜ 5
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边 的数大.
讲解新知
数轴上的两点，右边点表示的数与左边点表示的数的 大小关系？
巩固练习
1.比较下列各组数的大小
⑴ 35和-12
⑵－8和 0
⑶－12.5和－8
⑸ 1和1 32
⑷
4和5 56
2.画出数轴，把下列各组数分别在数轴上 表示出来，并按从小到大的顺序排列，用 “<”号连接起来：
3.书上 练习
课堂小结
1.数轴上的两点，右边点表示的数与左边点表 示的数的大小关系
2.正数、负数、0的大小关系
(正数大于负数）； (负数小于0）； (正数大于0）；
3|2
3|2
例1. 比较下列每组数的大小： （4） － 和－4;
解：
－4
数轴上，－ 所对应的点在－4 所对应点的右侧 ＞－4
例2.将下列各数按从小到大的顺序排列, 并用“<”号连接起来.
例3.比较下列名数的大小.
注意：有两个及以上的负数比较大小，必须画数轴
3.涉及到两个或两个以上的负数的大小比较， 要用数轴。
2.2.2椭圆的简单几何性质课件人教新课标2
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
2.2.2椭圆的简单几何性质(1~5)
求截口BAC所在椭圆的方程. y
B
A
F1
o
F2
x
C
〈例题5〉求离心率 e.
(1).若椭圆 k 8 + 9 =1的离心率为
x
2
y
2
5 或4 4 0.5，则：k=_____
(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 5 则其离心率e=__________
第二课时
例6 已知点M与点F(4，0)的距离和它 4 25 x 到直线l： 的距离之比等于 ， 5 4 y l 求点M的轨迹方程.
通法
新课引人
直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
几何 法！
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a
当直线平行于 mx 2 nx p 0(m 0)
a2 a2 】 5.准线：x 【或y c c
人教版A 数学 选修2-1
高二【16、22】专用
第二章 圆锥曲线与方程
吴川一中
陈智敏
椭圆中的基本元素
1.基本量: a、b、c、e 几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率； 相互关系： 2
c a b
2
2
c e a
x2 y2 轴上，所以，椭圆的标准方程为 1 c 3 9 4 ． e 2 （2）由已知， a 20 ， a 5
c ∴ a 10 ， 6 ，∴ b2 102 62 64
2 2
，
y 2 x2 x y 1 1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
2.2.2反证法
2.2.2反证法学习目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.学习难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.一、知识梳理1、反证法的定义：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.2、反正法的步骤：3、反证法的适用范围：二、例题讲解例1、证明2不是有理数。
例2、证明质数有无穷多个。
例3、证明：1，3，2不能为同一等差数列的三项。
例4、平面上有四个点，没有三点共线。
证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。
三、巩固练习1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）. A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c不全为0等价于为（）.A．,,a b c均不为0B．,,a b c中至多有一个为0C．,,a b c中至少有一个为0D．,,a b c中至少有一个不为03.设,,a b c都是正数，则三个数111,,a b cb c a+++（）.A．都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数5. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .6 “4x >”是“240x x ->”的 条件.7.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____ ____ ．8.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为____________．9.已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.10.已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14⎝⎛⎭⎫23n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
2.2.2等差数列前n项和公式
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn
n(a1 2
an )
34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
模式例题
解：已知条件为P(ω1)=0.9，P(ω2)=0.1，p(x|ω1)=0.2， p(x|ω2)=0.4， c = 2， ， ， = 0 λ21 = 1 λ11 λ λ12 = 6，22 = 0。 根据例2.1的计算结果可知后验概率为 P(ω1|x) = 0.818， P(ω2|x) = 0.182
2.2.2基于最小风险的贝叶斯决策 基于最小风险的贝叶斯决策 再按下式计算出条件风险
• 练习题⒈ 在两类问题中，遵循贝叶斯规 则的条件误差率由式(7) P(error|x)=min[P(ω1|x)，P(ω2|x)]给出，尽 管后验概率是连续的，当用式(5)
P(error ) = ∫ P(error, x)dx
−∞ ∞ ∞
= ∫ P(error | x) p(x)dx
−∞
计算总误差时，这种形式的条件误差率实 际将导致一个不连续的被积函数。
⒉在P(ωi|x) =1/c,（i =1，2，…，c）时，即 各类后验概率相等的情况，有
c −1 1 P = ∫ [1 − ∑ ] p (x)dx = c i =1 c
c 2
c −1 1 P* = ∫ 1 − p ( x)dx = c c
此时也有P = P*。
二、最近邻法的错误率分析 4.5.1最近邻法 最近邻法
2.2.2基于最小风险的贝叶斯决策 基于最小风险的贝叶斯决策
举例
例2.2假设在某个局部地区细胞识别中正常(ω1)和 异 常 (ω2) 两 类 先 验 概 率 分 别 为 正 常 状 态 ： P(ω1)=0.9；异常状态：P(ω2)=0.1。现有一待识的 细胞，其观察值为x， 从类条件概率密度分布曲 ， 线上查得p(x|ω1)=0.2，p(x|ω2)=0.4。损失函数分 别为 细胞x按最小风险贝叶斯决策进行分类。 ， λ11 = 0 λ12 = ， λ21 = ， λ22 =。试对该 6 1 0
2.2.2两位数减两位数的退位减法(教案)-二年级上册数学人教版
2.2.2 两位数减两位数的退位减法（教案）二年级上册数学人教版在今天的数学课上，我们将继续深入学习两位数减两位数的退位减法。
这是我们二年级上册数学人教版教材中的一个重要内容，也是进一步理解数学运算的基础。
一、教学内容我们使用的教材是《人教版数学二年级上册》，今天我们将学习第2.2.2节，即“两位数减两位数的退位减法”。
这部分内容主要包括了退位减法的运算规则和实际应用。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望孩子们能够掌握两位数减两位数的退位减法运算方法，并能够灵活运用到实际问题中。
三、教学难点与重点本节课的重点是两位数减两位数的退位减法的运算方法。
而退位减法的运算规则是孩子们容易混淆的地方，所以这也是我们今天的教学难点。
四、教具与学具准备为了帮助孩子们更好地理解退位减法，我准备了一些教具和学具，包括数字卡片、计算器以及一些实际的物品。
五、教学过程1. 实践情景引入：我会给孩子们展示一些实际情况，比如购物时找零的情况，让孩子们看到两位数减两位数的问题实际生活中是经常会遇到的。
2. 讲解与演示：我会用数字卡片和计算器，现场演示两位数减两位数的退位减法运算过程，让孩子们直观地看到运算的步骤。
3. 例题讲解：我会选取一些典型的例题，带领孩子们一起分析，一起运算，让他们理解并掌握退位减法的运算规则。
4. 随堂练习：我会给孩子们一些练习题，让他们在课堂上进行练习，及时巩固所学的知识。
5. 小组合作：我会让孩子们进行小组合作，互相讨论和解决问题，培养他们的合作意识。
六、板书设计板书设计将包括两位数减两位数的退位减法的运算步骤和关键点，以及一些典型的运算示例。
七、作业设计作业将包括一些两位数减两位数的退位减法的练习题，让孩子们在家里也能进行练习。
八、课后反思及拓展延伸课后，我会对今天的教学进行反思，看看哪些地方做得好，哪些地方还需要改进。
同时，我也会给孩子们提供一些拓展延伸的学习资源，让他们在学习的过程中能够不断进步。
§2.2.2平面与平面平行的判定(学案)1
§2.2.2平面与平面平行的判定（学案）2011.11 学习目标：1.知道两个平面平行判定定理的条件，能运用判定定理证明面面平行关系；2.通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能力.学习重点：面面平行的判定定理及应用.学习过程：一、复习回顾（自主学习）1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢?2.直线与平面平行的判定定理：符号语言表示为：图形语言表示为：3. 平面与平面有几种位置关系？（请用三种语言描述）4.两个平面平行的定义是什么？能用面面平行的定义来判定平面与平面平行吗？二、新课探究（合作学习）（一）观察思考：请同学们把三角板拿出来，怎样才能使得三角板所在的平面与桌面所在的平面平行呢？(1)三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面所在的平面平行吗？(2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在的平面与桌面所在的平面平行吗？（同桌讨论）（二）探究更一般的问题：（同组前后共4位同学讨论！） （1）平面β内有一条直线与平面α平行，α与β平行吗？ （2）平面β内有两条直线与平面α平行，α与β平行吗？ （提示：可借助长方体模型加以理解！）（三）得出结论1.平面与平面平行的判定定理:符号语言表示为： 图形语言表示为：2.学习了平面与平面平行的判定定理，你是否知道要判断平面与平面平行需要什么条件呢？关键是什么？（四）巩固练习练习：判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）已知平面,αβ和直线,,,,//,//,//m n m n m n ααββαβ⊂⊂若则；（2）若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α//β；（3）一个平面内两条不平行的直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行.题后反思：三、知识运用例题1.（课本第57页例题2）已知正方体1111ABCD A B C D （图2.2-10）， 求证:111//B AD BC D 平面平面.解题方法小结：变式练习：1.如图1正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，有以下结论： ①平面BA 1B 1与平面AC D 1平行； ②平面BA 1C 1与平面ABCD 平行； ③平面BA 1C 1与平面AC D 1平行. 以上结论正确的有（ ）个A.3B.2C.1D.0D 1BAA 1B 1C 1CD（图2.2-10）B 1D 1BAA 1C 1CD图1D C 12.如图2，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M,N,E,F 分别 是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点. 求证：平面AMN //平面EFDB.四、学习反思总结五、巩固与提高1.已知//,,,a b αβαβ⊂⊂则以下四种情形可能出现的有（ ）种 (1(1)//;(2);a b a b ⊥(3)a 与b 异面；(4) a 与b 相交. A.1 B.2 C.3 D.42.已知//,//,αγβγ则平面α与平面β的位置关系是 .(填“相交”或“平行”)3.如图3，在三棱锥P -ABC 中，E ，F ，G 分别是侧棱PA ，PB ，PC 的中点. 求证：平面EFG //平面ABC.4.（选做题）如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，三角形ABC 是等边三角形，E ，E 1分别是AC ，A 1C 1的中点，求证：平面AB 1E 1平面//平面EB C 1.A B C E F G P 图3 A EA 1 E 1。
高中数学直线和圆的方程2.2.2直线的两点式方程学案含解析
2.2.2 直线的两点式方程必备知识·自主学习1.直线的两点式、截距式方程名称两点式截距式条件两点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点A (a ，0)，B (0，b )，ab ≠0 方程112121y y x x y y x x --=--x y 1a b+=(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行的直线，x 轴，y 轴． (2)什么样的直线的方程不能用截距式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行或重合及过原点的直线． 2．线段的中点坐标公式点P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x ＝12x x 2+，y ＝12y y 2+．如果已知点P (a ，b )是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，那么点P 2的坐标是什么？提示：设点P 2(x 2，y 2)，由中点坐标公式：a ＝x 1＋x 22 ，b ＝y 1＋y 22 ，所以x 2＝2a －x 1，y 2＝2b －y 1，则点P 2(2a －x 1，2b －y 1).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( )(4)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式．( ) 提示：(1)×.若直线垂直于坐标轴，此时a 或b 不存在，不能用x a ＋yb ＝1表示．(2)√.方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)能表示包含点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)在内的直线上所有点．(3)√.能用两点式方程表示说明直线一定有斜率，所以可用点斜式方程表示．(4)√.直线不与坐标轴平行或重合，说明直线有斜率，有截距，所以方程可以写成两点式或斜截式．2．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2，3的直线方程是( ) A ．x 3 ＋y －2 ＝1 B ．x 2 ＋y－3 ＝1C ．x －2 ＋y3 ＝1D ．x －3 ＋y2＝1【解析】x －2＋y3 ＝1.3．直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限，所以它在x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负，所以a >0，b <0.4．(教材二次开发：例题改编)已知点A (3，2)，B (－1，4)，则经过点C (2，5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________.【解析】AB 的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得y －35－3 ＝x －12－1 ，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝0关键能力·合作学习类型一 直线的两点式方程(数学运算)1．过()1，2 ，()5，3 的直线方程是( ) A ．y －25－1 ＝x －13－1 B ．y －23－2 ＝x －15－1C ．y －15－1 ＝x －35－3D ．x －25－2 ＝y －32－3【解析】()1，2 ，()5，3 ，将两点坐标代入两点式 ，得y －23－2 ＝x －15－1.2．已知三角形三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在直线方程是( ) A ．x －13y ＋5＝0 B ．x －13y －5＝0 C ．x ＋13y ＋5＝0 D ．x ＋13y ＝0【解析】B ()3，－3 ，C ()0，2 ，所以BC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋32，2－32 ，即⎝⎛⎭⎫32，－12 . 则BC 边上的中线应过A ()－5，0 ，⎝⎛⎭⎫32，－12 两点，由两点式得：y －0－12－0 ＝x ＋532＋5，整理得x ＋13y ＋5＝0.3．已知点A ()1，2 ，B ()－1，－2 ，则直线AB 的方程是________.【解析】因为直线的两点式方程为x －x 1x 2－x 1 ＝y －y 1y 2－y 1，将点A ()1，2 ，B ()－1，－2 代入，得x －1－1－1 ＝y －2－2－2 ，整理得直线AB 的方程是2x －y ＝0. 答案：2x －y ＝0由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程． 【补偿训练】已知直线l 的两点式方程为y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5），则l 的斜率为( ) A ．－38 B ．38 C ．－32 D ．32【解析】y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5） ，知直线l 过点(－5，0)，(3，－3)，所以l 的斜率为0－（－3）－5－3＝－38.类型二 直线的截距式方程(数学运算)【典例】已知直线l 过点()1，2 ，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －2＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0【思路导引】直线l 在两坐标轴上的截距成倍数关系，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l 过点()1，2 求得直线方程． 【解析】选D.根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1，2 ，所以所求直线方程为y ＝2x ，整理，得2x －y ＝0，②当直线不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y 2a ＝1，代入点()1，2 的坐标得1a ＋22a＝1，解得a ＝2，此时直线l 的方程为x 2 ＋y4 ＝1，整理为2x ＋yl 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0.用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．过点()1，2 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数．当直线过原点时直线方程为y ＝2x ；当直线不过原点时设直线方程为x a ＋yb＝1，又因为截距互为相反数，则b ＝－a ，将点()1，2 代入有1a ＋2－a＝1，解得a ＝－1，此时直线方程为：x －y ＋1＝0.综上，满足过点()1，2 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条．类型三 直线方程的应用(数学运算)【角度1】对称问题【典例】已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1，2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程． 【思路导引】入射光线和反射光线是关于镜面的法线对称的．【解析】作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2).设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1，4).由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，所以由直线的两点式方程，得y －4－2－4 ＝x ＋11＋1，即3x ＋y －1＝0.故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.【角度2】最值问题【典例】如图，已知直线l过点P(2，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________.【思路导引】利用直线l过点P(2，1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系，由均值不等式得解．【解析】设直线l为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P(2，1)，则有2a＋1b＝1，三角形OAB的面积为S＝12ab.对2a＋1b＝1，利用均值不等式得1＝2a＋1b≥22a·1b＝22ab，即ab≥8.于是，三角形OAB的面积为S＝12ab≥4.当且仅当a＝4，b＝2时等号成立．答案：41．解决对称问题的方法两点关于直线对称，则两点连线必定垂直于对称轴，并且对称两点的中点一定在对称轴上，简称为“一中点二垂直”，这是解决对称问题通用的工具．2．计算最值问题的方法对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用均值不等式、二次函数等方法，求得最大(或最小)值，需注意变量的限制条件．1．入射光线从P(2，1)出发，经x轴反射后，通过点Q(4，3)，则入射光线所在直线的方程为________.【解析】利用反射定理可得，点Q (4，3)关于x 轴的对称点Q ′(4，－3)在入射光线所在直线上，故入射光线所在的直线PQ ′的方程为y －1－3－1 ＝x －24－2 ，化简得2x ＋y －5＝0. 答案：2x ＋y －5＝02．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________. 【解析】直线AB 的方程为x 3 ＋y 4 ＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，所以xy ＝3y －34 y 2＝34 (－y 2＋4y )＝34 [－(y －2)2P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2 时，xy 取得最大值3. 答案：3课堂检测·素养达标1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2【解析】选A.由两点式方程可得，y －14－1 ＝x ＋21＋2 ，即y ＝x ＋3.2．直线x a 2 －yb 2 ＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 【解析】x ＝0，得y ＝－b 2.3．直线x 3 －y4 ＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7【解析】x 3 －y 4 ＝1的横截距为3，纵截距为－4，所以直线x 3 －y4 ＝1在两坐标轴上的截距之和为－1.4．经过两点M (4，3)，N (1，5)的直线交x 轴于点P ，则点P 的坐标是________. 【解析】由直线的两点式方程，得MN 所在直线的方程为y －35－3 ＝x －41－4 ，即2x ＋3y －17＝0.令y ＝0，得x ＝172 ，故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫172，0 . 答案：⎝⎛⎭⎫172，05．(教材二次开发：练习改编)直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A (6，－2)，则直线l 的方程为________.【解析】设直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为a －1，由截距式可得：x a ＋y a －1＝1，将()6，－2 代入直线方程，解得：a ＝2或3，所以代入直线方程化简可得，x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0。
2.2.2 反证法
2 a 1且 2 b 1 0 a 1且0 b 1
1 1 ab 而 由a b a b ab
a 0, b 0
0 ab 1 ab 1
矛盾！
三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
例题 例1、已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个整数是偶数。
证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)
“不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质” 等) 常用反证法.
练习、已知x>0,y>0，x+y>2，
1 x 1 y 求证： , 中至少有一个小于 2. y x
1 x 1 y 证明： 2. 假设结论不成立，即： 2且 y x
1 x 2 y且1 y 2 x.
∴a2=(2n+1)2=4n2+ห้องสมุดไป่ตู้n+1=4n(n+1)+1
∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。 从反面进行思考，问题就可能迎刃而解。
注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，
1 1 例2、(2015,湖南，理)已知a>0,b>0， 且a b . a b
求证： (2)a 2 a 2 , b2 b 2不可能同时成立 .
假设不成立，原结论成 立，即证 .
2.2.2双曲线的简单几何性质
1. 双曲线的标准方程：
y F1
O
2 2
y
F2 x c2＝a2＋b2 O F2 x
F1
y x x y 2 1 (a＞0,b＞0) 2 1(a＞0,b＞0) 2 2 a b a b 焦点在x轴上，焦点 焦点在y轴上，焦点 是F1(－c, 0)、F2(c, 0). 是F1(0, －c)、F2(0, c).
由此可知，双曲线的离心率越大，它 的开口就越阔．
x y 1 、 1 的离心率为： 4 3 7
e 2
2
2
x y 2、 1 的离心率为： 2 2
2
2
e 2
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半
轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
例题讲解
例2. 求中心在原点，对称轴 为坐标轴，
经过点P (1， 3)且离心率为 2 的双曲 线标准方程 .
例题讲解
变式:求与椭圆
x2 y2 1有公共 49 24
5 e 4
焦点，且离心率
的双曲线方程
小 结
. .
A2 B2
图形
. .
F1
A1 A2
O
y
B2
y
F2
B1
F2
x
F2(0,c) x F1(0,-c)
F1(-c,0) 方程 范围
课后作业
课时作业
2
2
新课讲授
1．范围 双曲线上点 (x, y)都满足
∴
x2 y2 1 2 0 2 a b
x 1, 即 x2≥a2， 2 a
F1
2
y F2 O a x
2.2.2去括号
(×)
( ∨)
（3）c+2(a-b)=c+2a-b
( ×)
【例题】
利用去括号的规律进行整式的化简:
例1 化简下列各式:
(1)8a + 2b + (5a - b)
解：原式 = 8a + 2b + 5a - b =13a+b
(2)(5a-3b)-3(a2 -2b)
解：原式 = 5a -3b - (3a 2 - 6b)
（2）注意法则中变号时，括号内各项都要变，不是
只变第一项；若不变号，括号内各项都不变号；
（3）有多重括号时，一般先去小括号，再去中括号， 最后去大括号.每去掉一层括号，如果有同类项应随 时合并，为下一步运算简便化，减少差错.
【跟踪训练】
1.填空： （1）(a-b)+(-c-d)= （2）(a-b)-(-c-d)= （3）-(a-b)+(-c-d)= （4）-(a-b)-(-c-d)= a-b-c-d a-b+c+d -a+b-c-d -a+b+c+d . .
这节课我们学习了
1.去括号的依据—乘法分配律. 2.去括号的方法—去括号法则.
3.化简整式的一般步骤：去括号，合并同类项.
挫折像一把火，既可以把你的意志烧得更
坚，也可以把你的意志烧成粉末.
= 5a - 3b - 3a 2 + 6b
= -3a 2 + 5a + 3b
2.化简下列各式：
(1) 5a (3a 2) (3a 7)
1 (2) (9 y 3) 2( y 1) 3
【解析】 (1)原式 -5a 3a-2-3a 7 -5a 5. (2)原式 3y-1 2y 2 5y 1
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.2向量的减法运算及其几何意义
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b；
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2.2.2
③若 a 与 b 反向，在给定的直线 l 上作出差向量 a－b：
本 课 时 栏 目 开 关
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.
研一研·问题探究、的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：
仍是零向量
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2.2.2
对比项 对 比
本 课 时 栏 目 开 关
实数的减法
向量的减法
(3)互为相反数的 (3) 两个相反向量的和是 和是零
零向量
内 容
(4)实数的减法：减 (4)向量的减法：减去一个 去一个数等于加上 向量相当于 加上这个向量 这个数的相反数
的相反向量
根据相反向量的含义，完成下列结论： → → (1)－AB＝___ a； BA ；(2)－(－a)＝__
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
3．向量减法的平行四边形法则 → → 以向量AB＝a，AD＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则
本 课 时 栏 目 开 关
→ → 对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b. 4．向量减法的三角形法则 → → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b， 即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
本 课 时 栏 目 开 关
请你利用平行四边形法则作出差向量 a－b.
解 利用平行四边形法则． → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
→ → → 作OC＝－b，以OA，OC为邻边作平行四 → 边形 OAEC，则OE＝a－b.
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高一上数学必修一第二章《2.2.2不等式的解集》知识点梳理
高一上必修一第二章《等式与不等式》知识点梳理2.2.2不等式的解集 学习目标： 1.理解不等式解集的概念，会用集合表示不等式（组）的解集； 2.掌握绝对值不等式的解法； 3.理解绝对值的几何意义，并利用几何意义推导数轴上两点间距离公式和中点坐标公式； 4.体会化归与转化、数形结合的思想方法，发展数学运算、直观想象和逻辑推理等数学素养，培养回归概念寻找解决问题方法的解题习惯.【重点】1、掌握不等式组解集的方法.2、理解绝对值的定义，借助数轴解决简单绝对值不等式.3、掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式.4. 学会如何求绝对值不等式【难点】1、正确用数轴来理解绝对值不等式2、求解复杂绝对值不等式.3、一、不等式的解集与不等式组的解集从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成的未知数的值称为不等式的解，解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质。
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.【典型例题】例1 求不等式组2x+1≥-9，①21②的解集.解 ①式两边同时加上一1，得2x≥-10，这个不等式两边同时乘以 ，得x≥-5，因此①的解集为[-5，+oo ）.类似地，可得②的解集为（-oo ，-3）.又因为[-5，+oo ）∩（-oo ，-3）=[-5，-3），所以原不等式组的解集为[-5，-3）.二、绝对值不等式我们知道，数轴上表示数a 的点与原点的距离称为数a 的绝对值，记作|a|.而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。
例如，|x|>3，|x-1|≤2都是绝对值不等式.【尝试与发现】根据绝对值的定义可知，|x|>3等价于x≥0， x ＜0， x ＞3 或-x ＞3，即x>3或x<-3，因此|x|>3的解集为（-oo ，-3）∪（3，+oo ）.不等式|x|>3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x 的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|>3的解集，从而由下图可知所求解集为（-oo ，-3）∪（3，+oo ）.用类似方法可知，当m>0时，关于x 的不等式|x|>m 的解为x>m 或x<-m ，因此解集为（-oo ，-m ）∪（m ，+oo ）；关于x 的不等式|x|≤m 的解为-m≤x≤m，因此解集为[-m ，m]【尝试与发现】如果将a-1当成一个整体，比如令x=a-1，则|a-1|≤2|x|≤2，因此|a-1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，请读者自行尝试。
2.2.2+直线的两点式方程2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1．
则－ 12a|a2b＋|＝1b12＝，1，
a＝－1， a＝2， 解得b＝－1 或b＝12.
所以直线 l 的方程为 x＋y＋1＝0 或 x＋4y－2＝0．
当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
不能，因为 ab≠0，即有两个非零截距．
小试牛刀
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）不经过原点的直线都可以用方程ax＋by＝1 表示.( × ) （2）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ ) （3）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( √ ) （4）直线 y＝x 在 x 轴和 y 轴上的截距均为 0.( √ )
解：①因为
A(1,2)，B(－1,4)，所以线段
AB
中点
D
的坐标为
1
1
2
,
2
2
4
，即
D(0,3). ②△ABC 的边 AB 上的中线即线段 CD，因为 C(5,2)，D(0,3).所以线段 CD 所在的